Phép biến đổi tích phân dạng fourier hữu hạn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- VÕ THÀNH VIÊN TÊN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ THÀNH VIÊN TÊN ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng năm 2017 Tác giả Võ Thành Viên LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Tốn Giải Tích khóa 31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Võ Thành Viên MỤC LỤC Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER HỮU HẠN5 1.1 Phép biến đổi tích phân fourier hữu hạn 1.2 Phép biến đổi tích phân fourier cosine sine hữu hạn CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN 14 2.1 Phép biến đổi tích phân Hartley hữu hạn 14 2.2 Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn 20 CHƯƠNG ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 26 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân thường 26 3.2 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng 27 3.3 Ứng dụng giải phương trình tích phân 29 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : Tập hợp số tự nhiên N∗ : Tập hợp N \ {0} Z : Tập hợp số nguyên Z∗ : Tập hợp Z \ {0} L1 (E) : Không gian hàm f có | f | khả tích Lebesgue E, với f | f (x)|dx = E L2 (E) : Không gian hàm f , bình phương khả tích Lebesgue E, với f 2 | f (x)|2 dx, f , g = = E f (x)g(x)dx E l2 (Z) : Không gian dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn ∑ |an|2 < +∞ với a = ∑ |an|2 n∈Z n∈Z c0 (Z) : Không gian dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn lim an = với a = sup |an | |n|→∞ n∈Z cas(x) : Hàm cos cộng sin : cas x = cos x + sin x MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài: Joseph Fourier (1768-1853) người nghiên cứu chuỗi lượng giác dựa theo cơng trình trước Euler, D’Alembert Daniel Bernoulli Các cơng trình Joseph Fourier cơng bố vào năm 1807 1811 việc áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình nhiệt Kể từ đến Giải tích Fourier khơng ngừng phát triển thu hút nhiều nhà toán học tiếng quan tâm Trong phải kể đến Riemann, Cantor, Lebesgue, Cauchy, Hartley, Hankel, Hilbert, Laplace, Mellin, Giải tích Fourier khơng góp phần vào phát triển giải tích cổ điển mà cịn ứng dụng lĩnh vực khoa học khác như: vật lý, học, quang học, hóa học, sinh học, phân tích tín hiệu, kỹ thuật máy tính đại, Trong giải tích nói riêng, Giải tích Fourier khẳng định chỗ đứng thơng qua việc giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân Đặc biệt giải phương trình kể miền hữu hạn phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn hữu dụng lý sau: trước tiên, phương trình thay phương trình đại số đơn giản, cho phép tìm nghiệm biến đổi dạng Fourier hàm Nghiệm phương trình ban đầu thu thông qua phép biến đổi ngược Thứ hai, biến đổi dạng Fourier hữu hạn kết hợp với định lý tích chập cung cấp cách biểu diễn nghiệm dạng tường minh cho toán biên ban đầu Các phép biến đổi Fourier, Fourier cosin, Fourier sine Hartley hữu hạn định nghĩa sau: F{ f (x)}(n) = 2π π f (x)e−inx dx, n ∈ Z, −π π Fc { f (x)}(n) = 2π f (x) cos(nx)dx, n ∈ N, 2π f (x) sin(nx)dx, n ∈ N, −π π Fs { f (x)}(n) = −π H1 { f (x)}(n) = 2π π f (x) cas(nx)dx, n ∈ Z, −π π H2 { f (x)}(n) = 2π f (x) cas(−nx)dx, n ∈ Z −π ., cas x = cos x + sin x Theo cơng thức Euler phép biến đổi Fourier Harley biểu diễn tuyến tính qua hai phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine sau: F = Tc + iTs , H1 = Tc + Ts , H2 = Tc − Ts Điều đưa đến cho ý tưởng đưa phép biến đổi tích phân mới: Fa,b = aTc + bTs (a, b ∈ C) gọi phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn Với lí hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn, chọn nghiên cứu đề tài: Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn ứng dụng Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu luận văn nghiên cứu tính chất phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn ứng dụng chúng vào giải phương trình vi tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Fourier sine, phép biến đổi Hartley phép biến đổi Fourier đối xứng - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu số tính chất liên quan đến phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn liên quan đến việc giải phương trình vi - tích phân Ứng dụng tính chất nghiên cứu vào giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào kết biết phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Fourier sine để nghiên cứu kết tương tự cho phép biến đổi Hartley phép biến đổi Fourier đối xứng Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia thành ba chương Chương 1, trình bày khái niệm, số tính chất phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine hữu hạn Định lý tích chập ảnh Fourier, Fourier cosine Fourier sine hữu hạn f , f Chương 2, trình bày phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn gồm: Hai phép biến đổi Hartley phép biến đối dạng Fourier Xây dựng tích chập liên kết phép biến đổi tích phân dạng Fourier kể Chương 3, ứng dụng kết phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn vào giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn người khơng chun toán cần kết toán để ứng dụng cho tốn thực tiễn CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER HỮU HẠN Chương trình bày khái niệm số tính chất liên quan phép biến đổi tích phân Fourier đoạn hữu hạn Đây công cụ để tìm nghiệm tốn biên với giá trị ban đầu xác định miền hữu hạn Phép biến đổi Fourier sine hữu hạn đưa Doetsch (1935) Sau đó, số tác giả quan tâm trình bày cách tổng quát Kneitz (1938), Koschmieder (1941), Brown (1944) Roettinger (1947) (xem [4]) 1.1 Phép biến đổi tích phân fourier hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 (biến đổi Fourier hữu hạn, [1]) Biến đổi Fourier hữu hạn hàm f (x) ký hiệu F { f (x)} xác định F { f (x)} (n) = 2π π f (x)e−inx dx = f (n), n∈Z (1.1) −π tổng vô hạn ∞ (Ff )(x) = ∑ f (n)einx (1.2) n=−∞ gọi chuỗi Fourier hàm f đoạn [ − π, π] f (n) gọi hệ số Fourier thứ n hàm f Đặt π an = π f (x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2, , (1.3) f (x) sin(nx)dx, n = 1, 2, 3, , (1.4) −π bn = π π −π Theo cơng thức Euler chuỗi Fourier hàm f viết lại dạng ∞ a0 (Ff )(x) = + ∑ [an cos(nx) + bn sin(nx)] (1.5) n=1 Ví dụ 1.1.1 Cho hàm f (x) = x với −π ≤ x ≤ π 31 tương ứng phương trình (3.12) có nghiệm tầm thường Vì vậy, theo định lý loại trừ Fredholm phương trình (3.12) có nghiệm với f ∈ L2 [0, 2π] Ta chứng minh công thức nghiệm (3.14) Giả sử ϕ hàm bình phương khả tích thỏa mãn phương trình (3.12) Áp H1 , H2 vào hai vế phương trình (3.12) sử dụng đẳng thức (3.17) (3.20), ta thu hệ hai phương trình tuyến tính với n ≥ A(n)ϕ1 (n) + B(n)ϕ2 (n) = f1 (n), B(−n)ϕ1 (n) + A(−n)ϕ2 (n) = f2 (n), (3.22) hệ số Hartley ϕ1 (n), ϕ2 (n) hàm ϕ ẩn hệ (3.22) Với n ∈ N, (3.13) định thức hệ (3.22) Từ D(n) = 0, ∀n ∈ N, suy hệ phương trình (3.22) có nghiệm cho D1 (n) D2 (n) ϕ1 (n) = , ϕ2 (n) = , n = 0, 1, (3.23) D(n) D(n) Ta lại có 2 ∞ D1 (0) D1 (n) D2 (n) ϕ 2= +∑ + < +∞ D(0) D(n) D(n) n=1 Do đó, hàm ϕ0 cho ∞ D1 (0) D2 (n) D1 (n) ϕ0 (x) = +∑ cas(nx) + cas(−nx) , D(0) n=1 D(n) D(n) thuộc L2 [−π, π] ϕ0 (x) = ϕ(x) hầu khắp nơi [−π, π] Phần (ii) chứng minh Ví dụ 3.3.1 Tìm nghiệm phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến π ϕ(x) + [sin 3(x − u) + cos(x + u)]ϕ(u)du = cos3 x (3.24) π −π Đặt p(x) = sin(3x), q(x) = cos x, f (x) = cos3 x Khi đó, phương trình (3.24) có dạng phương trình (3.12) với λ = Ta tính tốn  −3 n = ±1, D(n) = n = ±3,  n = {±1, ±3} Như vậy, điều kiện Định lý 3.3.1 thỏa mãn nên phương trình (3.24) có nghiệm cho (3.14) ϕ(x) = cos3 (x) − cos x − sin x cos2 x + sin x 32 Mặt khác, phương trình (3.24) giải phương pháp nhân suy biến thu nghiệm ϕ∗ (x) = cos3 x − sin(3x) − cos(3x) − cos x = cos3 (x) − cos x − sin x cos2 x + sin x = ϕ(x) Ví dụ 3.3.2 Tìm nghiệm phương trình tích phân tuyến tính với nhân không suy biến √ √ π ϕ(x) + + ϕ(u)du = (3.25) π −π sin(x − u) − cos(x + u) + Đặt √ √ p(x) = , q(x) = , f (x) = sin x − cos x + Khi đó, phương trình (3.25) có dạng phương trình (3.12) với λ = Ta có f˜1 (n) = f˜2 (n) = 0, ∀n ≥ 1, suy D1 (n) = D2 (n) = 0, ∀n ≥ Theo cơng thức nghiệm (3.14), ta có nghiệm phương trình (3.25) D1 (0) = ϕ(x) = D(0) 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine phép biến đổi tích phân Hartley Dựa vào hai phép biến đổi tích phân Hartley, luận văn đưa hai phép biến đổi tích phân dạng Fourier T1 , T2 chứng minh số kết tương tự hai phép biến đổi tích phân Hartley Bên cạnh đó, luận văn xây đựng số tích chập liên kết phép biến đổi T1 với hai phép biến đổi Hartley Luận văn vận dụng kết phép biến đổi tích phân dạng Fourier vào giải số phương trình vi phân, tích phân có thực tiễn Việc giải phương trình tập trung sử dụng phép biến đổi Hartley phép biến đổi Fourier sine mà chưa dùng phép biến đổi khác Làm cho việc vận dụng kết nghiên cứu vào giải phương trình chưa thực trọn vẹn Đây hướng phát triển sau luận văn 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bhatia R (2005), Fourier series, The Mathematical Association of America [2] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis Group, LLC [3] N M Tuan and P D Tuan (2013), “The fine Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels”, J Math Anal Appl, No 397, pp 537-549 [4] Stein E M., and Shakarchi R (2007), Fourier analysis: An introduction, Princeton University Press TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si ' Tend€ tai: Phep bi�n d6i tich phan dc;ing Fourier hfru hc;in Nganh: Toan giai tich HQ va ten h9c vien: Vo Thanh Vien Nguai hu6ng dfrn khoa h9c: TS Phan Due Tufin Ca sadao tc;io: Truang Dc;ii H9c Su Phi;im Da Ning Tom tiit: Nhfrng k�t qua chinh cua lu?n van : Lu?n van dad€ c?p.d�n vfin d€ phep bi�n d6i tich phan dc;ing Fourier hfru hc;inva ung dvng, v&i nhi€u vi dv minh h9a chq cac ham cv th� Do la uu di�m n6i b?t cua lu?n van Y nghia khoa h9c va thvc ti�n: + Phep bi�n d6i tich phan dc;ing Fourier hfru h�n la Imai ni�m quan tr9ng Giai tich Do do, vi�c nghien cuu Phep bi�n d6i tich phan d�ng Fourier huu hc;in va ung dvng la ca s6 khoa h9c va co y nghia thvc ti�n:· + Co th� SU dvng lU?Il van lam tai li�u tham khao danh cho sinh vien nghanh toan va nhfrng nguai khong chuyen toan cfin cac k�t qua cua toan d� ung dvng cho cac bai toan thvc ti�n cua minh Huong nghien CU'U ti�p theo cuad€ tai: Vi�c giai cac phuang trinh vi phan, phuang trinh dc;io ham rieng va phuang trinh tich phan chi t?p trung su dvng phep bi�n d6i Hartley va phep bi�n d6i Fourier sine ma chua dung cac phep bi�nd6i khac Lam cho vi�c V?n dvng cac k�t qua nghien CU'U vao giai cac phuang trinh chua thvc S\f tr9n v�n Day cung la hu&ng phat tri�n sau cua lu?n van Tir khoa: N : T?p hqp cac s6 tv nhien N*: T?p hqp N\{O} z : T?p hqp cac s6 nguyen z•: T?p hqp Z\{O} L) (E) : Khong gian cac ham f co Ill binh phuong kha tich Lebesgue tren E, v&i ll!ll = f If ( x)ldx E L2 (E): Khong gian cac ham f kha tich Lebesgue tren E, v&i ll!II� = flf(x)i dx va (J,g)= ff(x)g(x)dx E E 12 (Z): Khong gian cac day s6 a= {an}nE7t thoa man II a�= IlaJa v&i II a II= IlaJ C0 /1E7/, ( Z) : Khong gian CaC day SfJ a = {a11 } ,7E7t thoa man tim an = o v&i 11 a 11 = suplan l · nE'll, cas ( x) : Ham cos c(mg sin : casx= cos x + s inx Xac nhin cua ngtroi hmmg d!in ln[-.oo -� �v Ngtroi thl}'C hi�n d� tai V �" [�J lf· 1�1 INFORMAT ON PAGE OF MASTER THESIS Topic Name: Transformation of finite Fourier form Sector: Analytical Mathematics Student's name: Vo Thanh Vien Instructor: TS Phan Due Tuan Training institution: Da Nang Pedagogic University Summary: The main results of the thesis: The thesis dealswith the transformation of finite Four_ier form and application, with many examples illustrating specific functions That is the outstanding advantages of the thesis Scientific and practical meanings: + Finite Fourier transform is an important concept in Analytic Consequently, the study of finite Fourier transformations and applications is a scientific and practical basis + A reference dissertation for mathematics students and non-mathematicianswho need math results to apply to their practical problems Research direction of the topic: The solving of differential equations, partial differential equations and integral equations only focused on the Hartley transfonn and Fourier sine transformations without other transformations Make the use of research results in solving equations is not really complete This is also the direction of later development of the thesis Keyword: N : Set of natural numbers w·: Aggregate N \ {O} 7!, : The set of integers z• : Aggregate 7!, \ { 0} L1 (E) : Space functions f neck With IIJ!l1 = flf(x)ldx Iii Lebesgue square footage on E, E L2 (E): Space functions f Lebesgue capacity on E, With IIJII� = f.lJ(x)l dx and E (/,g) = ff(x)g(x)dx E 12 (Z): Space numbers sequence a= {a,,},,Ez satisfy II a II= z]aJa With II a II= �]aJ 11EZ c0 (7!,) : Space numbers sequence a= {a,, },iEz satisfy lim a,, = With II a II= suplan l · lnl -+oo nEZ cas(x): Tunnel cos drain sin : casx = cos x + sinx Confirmation of the instructor �v The person doing the topic V �" [�J lf· 1�1 -� , I ' I I I DAI HOC DA NA.NG TRUONG D� HQC SU PH� CQNG HOA XA HQI CHU NGHIA v1iT NAM D(>c l�p - Tv - Htmh pbu'ic BAN TU'ONG TRINH BO SUNG, SUA CHfJ'A LU!N VAN H9 va ten h9c vien: Vo Thanh Vien Chuyen nganh: Toan Giai Tich Kh6a: 31 Tend� tai lu?n van: Phep bi�nd6i tich phan d,;mg Fourier huu h1;1n Nguoi hu6ng dfin khoa h9c: TS Phan Due Tufin Ngay bao v� lu?n van: 26 thang 08 nam 2017 Sau ti�p thu y ki�n cua H