Luận văn phép biến đổi fourier rời rạc

BO GIO DUC V DO TAO TRlTCẽNG DAI HOC SU* PHAM H NễI BI THI THO PHẫP BIEN DễI FOURIER RễI RAC LUN VAN THAC SI TON HOC H NQI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI Ngũi hng dn khoa hc: TS Nguyn Vn KhiH NI, 201 5LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti TS Nguyn Vn Khi, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun tt nghip Tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, ngi thõn ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Tho LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti Phộp bin i Fourier ri rc tụi t lm Cỏc kt qu v ti liu trớch dn c ch rừ ngun gc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lu n vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Th o Mc lc M u KIN THC CHUN B 1.1 Mt vi khỏi nim gii tớch 1.1.1 7 Mt s nh l ca l thuyt tớch phõn 1.1.2 Khụng gian L p (1 < p < oo) 1.2 1.1.3 Tớch chp 1.1.4 Tớch phõn Dirichlet Chui Fourier v tớch phõn Fourier 1.2.1 8 Chui Fourierl 1.2.2 S hi t 1.2.3 Tớch phõn Fourier PHẫP BIN DI FOURIER Phộp bin i Fourier L (K) 2.1 2.1.1 9 Phộp bin di Fourier 2.1.2 Mt s dng bi n i Fourier khỏc 2.1.3 Cỏc tớnh cht Phộp bin i Fourier L (R n ) 2.2 10 10 2.2.1 nh ngha 2.2.2 Tớnh cht 11 Hỡnh d tỡm hiu ph k hiu hỡnh (b) - ph hn, ta tớnh DFT ca tớn G 100 200 300 400 Flequency (Hz)ny õy ta thy rừ hai tn s 88Hz th hin hỡnh (d), im biờn cao nht v 235Hz bờn mi nhp tim Tuy nhiờn, ta khụng thy tn s lp li nhp tim l 1.22Hz DFT hỡnh (c) *10' Hỡnh (e) gii thớch rừ hn iu ny, Nú l phiờn bn m rng ca cỏc nh nhn di tn t 60Hz n 100Hz Trong tn s 1.22Hz quỏ nh nờn khụng thy rừ hỡnh (c) thỡ hỡnh (e) ny, ta thy rừ cỏc hi ca tn s v thy rừ khong cỏch 22Hz gia hai nh nhn l 1.22 Hz Ffẩỷuộriỷv ớHil Hỡnh e Mt vi vớ d khỏc cho phõn tớch ph tớn hiu dựng DFT 148 11 Vớ d 4.1.1 Cho tớn hiu X (t) = sin27t+sin37rt+sin57rt+sin5.57rt , (t : ms).Tớn hi u ny c ly mu tc fg 10Khz D vic phõn tớch ph dựng DFT cho nh tỏch bit thỡ thi gian ly mu Tq l bao lõu? Li gii Cỏc thnh phn tn s /i = K h z ] /2 = l,5Khz-, Khong cỏch tn s nh nht cn c phõn bit 149 /3 = 2,5Khz-, /4 = 2,75 Khz 11 A/ = 2,75 - 2,5 = 0,25 Khz S mu ti thiu cn phi ly 10 Khz fs N > -- = A/ = 40 0,25 Khz Thi gian ly mu N 40 Tq = N X T s = = = 4( m s ) v f s 10000 Vớ d 4.1.2 Cho tớn hiu 150 X (t) = sin^Tt + sinTt + sin2'ùùf^t, Khz < 11 /3 ^ S H k z , (t : m s ) Tớn hiu ny uc ly mu t c fs = 10Khz khong thi gian 20 ms Tớn hiu sau ú c phõn tớch ph dựng DFT Xỏc nh tm giỏ tr ca /3 kt qu cho nh tỏch bit? Li gii Cỏc thnh phn tn s: /1 = Khz] /2 = 2Khz-, f ^ K h z S mu d liu thu c N = f s X To = 10 X 10 X 20 X 10 "3 = 200 Khong cỏch tn s nh nht cú th phõn bit c l 151 11 A / = Ê = ^ = 0,05Jfhz N 200 Tm giỏ tr ca /3 l /3 [/1 + Af; /2 - A f ] = [1 + 0,05; 2-0,05] = [ 1, 05Khz; 1,95K h z ] Tớnh tớn hiu h thng ri rc LTI Tớn hiu h thng ri rc LTI c tớnh bng cỏch nhp tớn hiu vo v i ỏp ng xung ca h thng: y[n] = X [n] * h [n] 152 11 Ta cú hai cỏch tớnh tng chp ny, mt l tớnh trc tip, hai l tớnh thụng qua tng chp vũng Cỏch tớnh qua tng chp vũng s cú l i hn v mt thi gian Lý l tng chp vũng cú th tớnh thụng qua DFT, m DFT cú th c tớnh nhanh nh thut toỏn tớnh nhanh FFT tớnh y [ n ] , ta thc hin theo cỏc bc sau õy: Kộo di X [n] n di N = N x + N f t 1 Kộo di h [ n ] n di N = N x + N h 153 11 Tớnh DFT ca X [n] N mu, ta c X [ k ] Tớnh DFT ca h [ n ] N mu, ta c H [ k ] Nhõn X [Ê;] vi H [fc], ta c H [fc] Y [ k ] = X [Jfc] H [ k ] Tớnh DFT ngc ca Y [ k ] , ta c y [ n ] 154 11 Vic tớnh DFT v DFT ngc c thc hin nh mt thut toỏn tớnh nhanh DFT, gi l FFT (Fast Fourier Transform) B lc hai chiu dựng FFT Nu dựng tớch chp chuyn hng lot cỏc phn t t khụng gian sang tn s ta nờn ỏp dng FFT Phộp bin i ny yờu cu ( N / 2) ,log 2N phộp nhõn phc v 2.N log 2N phộp cng phc thu c D FFT, N phộp nhõn phc tn s gia FFT ca im nh v cỏc ỏp ng tn s ca b lc, { N / 2) ,log 2N phộp nhõn phc cho IFFT Mt khỏc, mt b lc D FID cú kớch thc (2m + 1) X (2m + 1) ũi hi (2m + l )2 N phộp nhõn thu c nh trc tip khụng gian Xem xột mt nh cú kớch thc 512 X 5112 im FFT yờu cu: (4 { N / 2) log N) + 4N = X 512 X (2 X + 1) 155 11 20 triu phộp nhõn a tớnh toỏn ny chỳng ta coi rng mt phộp nhõn phc thỡ bng phộp nhõn thụng thng v b lc cú pha zero Phng phỏp khụng gian ỏp dng cho mt b lc cú kớch thc 7x7 yờu cu X X 512 Ri 13 triu phộp nhõn Nu kớch thc b lc tng lờn thỡ phng phỏp phõn chia tn s cú th ỏp dng Mt b lc cú kớch thc 11 X 11 yờu cu khong 30 triu phộp nhõn s ch cn khong 19 triu phộp nhõn ỏp d ng phng phỏp phõn chia tn s Hai phng phỏp ny s cú cựng mt s phộp nhõn nu 4N (2log N + 1) = (2m + l )2 N 156 11 Cho mt nh cú kớch thc 512 X 512 (2m + 1) ~ 9, d chng minh l nu kớch thc b lc nh hn thỡ ta cú th dựng phng phỏp phõn chia khụng gian Tuy nhiờn, cn chỳ ý phng phỏp phõn chia tn s cng yờu cu ớt thi gian x lý hn s ln truy nhp a gim xung u im ny c tng lờn kớch thc ca b lc ln hn x u im ny s khụng cũn na xột n li wraparound trỏnh li ny ta phi tng gp bn ln kớch thc ca nh Cho mt nh cú kớch thc 512 cn phi tng lờn 157 1024 X 1024 trỏnh cỏc phộp tớnh toỏn quỏ ln thỡ X 512 ta 11 chỳ ý rng h ( 711, 712) ca b lc rỳt IFFT s tng lờn rt nhanh 711,712 tng lờn Tớnh cht ny cng ni bt m rng Fourier ch chốn c cỏc giỏ tr zero vo cỏc giỏ tr cui ca b lc t = Cn nhc li n + n 158 11 l c ỏp ng tn s v ỏp ng xung c xem xột lm vic vi DFT 159 Thuc tớnh l h ( 711, 77, 2) tng lờn mt cỏch nhanh chúng c xem xột la chn phng ỏn lc Khụng ph thuc vo kớch thc ca nh, a phộp nhõn gia ỏp ng tn s ca nh v ỏp ng tn s ca b lc v chỳng ta chỳ ý rng li wraparound ch xut hin nh nm ng bao ca nh v phn ln trng hp li ny cú th b qua Kt lun Ni dung ca lun l nghiờn cu phộp bin i Fourier nờu mt vi ng dng ca nú Lun ó trỡnh by c mt 160 160 ri rc v skt qu sau: Trỡnh by mt cỏch h thng cỏc kin thc v chui Fourier, phộp bin i Fourier Trỡnh by phộp bin i Fourier ri rc v cỏc tớnh cht c bn ca nú Nờu mt vi ng dng ca phộp bin i Fourier ri rc 161 161 Phn úng gúp ca lun l h thng hoỏ, chi tit hoỏ v trỡnh by c thờm mt s vớ d cho phộp bin i Fourier ri rc Do iu kin v thi gian v trỡnh nghiờn cu cũn hn ch nờn lu n khụng trỏnh nhng thiu sút, kớnh mong quý thy cụ v b n bố úng gúp ý kin v b sung lun c hon thin Tỏc gi xin chõn thnh cm n 162 162 [...]... các phép như tích chập Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh Nó còn áp dụng vào nhiều ứng dụng như lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phép biến đổi Fourier rời rạc" Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến. .. đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc và một vài ứng dụng của nó Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụng của nó Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Chuỗi Fourier, tích phân Fourier - Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc - ứng dụng - Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng... 11 PHÉP BIẾ N Đ ồĩ FOURIER RỜI RẠC 27 2.3 Chuỗi Fourier ròi rạc 2.4 Phép biế n đ ối Fourier ròi rạc Đ ịnh nghĩa 2.4.1 12 12 Biểu diên phép biế n đ ối Fourier ròi rạ c dư ổi dạng 32 34 41 ma trận 2.4.2 Tính chất của phép biế n đ ối Fourier ròi rạc 2.5 Phép biế n đ ỗi Fourier nhanh 4 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP B Ĩ Ế N 46 46 RÒĨRẠC 4.1 Phân tích phổ tín hiệu Đ ỎI FOURIER 4.2 Tính tín hiệu ra hệ thống rời. .. Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài Dự kiến đóng góp Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc và nêu một số ứng dụng về phép biến đổi Fourier rời rạc Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ * Một vài khái niệm trong giải tích 1.1 Một số định lý của lý thuyết tích phân Mục này nhắc lại một số kết quả về lý... học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi là phép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành... thống rời rạc LTI 51 52 4.3 Bộ lọc hai chiều dùng FFT 54 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo Mở đầu Lí do chọn đề tài Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học cũng như trong toán học tính toán Có nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi... cả các phân hoạch của [a, 6] Ta gọi V (/) là biến phân toàn phần của / trên [a, 6] Hàm / gọi là có biến phân bị chặn trên [a, 6] nếu V (/) < 00 Tính chất 1.1.1 Cho f là hàm số (thực hoặc phứ c) xác định trên [a,ò] Khi đó: (i) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re [/] và I m [ f ] , tức phần thực và phần ảo của f, có biến phân bị chặn (ii) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể, I/ (z)|... [a,b] sao cho khi bỏ đi các lân c ận bé tuỳ ý của nhữ ng điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [a, tíị; hơn nữa f £ L 1 (a, b) Khi đó, ta có: Nếu 0 = a < b, 3f (0+) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận [0, ố] c ủ a 0 ( ỗ < 0) t h ì Nếu 0 < a < b thì Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 1.2 Chuỗi Fourier Định nghĩa 1.2.1 Giả sử / G L 1 [—7T,7r], nghĩa là / khả tích Lebesgue... _ f { x ) s i n n x d x , 71 = 1, 2, 7T ■/_7r được gọi là hệ số Fourier của hàm /, còn chuỗi hàm lượng giác ữo 2~ + ^ 00 (anc osnx + bnsinnx) 0, 1, 2, n=l được gọi là chuỗi Fourier của hàm / Sự hội tụ * Sự hội tụ trong L 1 (E) Định lý 1.2.1 Cho / G I1 [ — 7T,7r], nếu / thoả mẫ n điều kiện Dirichlet trong ( — 7 T, 7 r ) í / l ì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tạ i các đi ểm X £ (—7T, 7r) m à... n->00 J n Định lý 1.1.3 (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên ÍỈ 1 X íỉ 2 Khi đó với h ế t X € rỉi t a c ó F (X,.) :i—>■ F (X, y) khả tích trên ÍỈ 2 a: / F Jn 2 (x,y) dy khả tích trên íĩi Kết luận tương tự khi đổi vai trò X cho y, ÍỈ 1 cho ÍỈ 2- Hơn nữa ta có: dx F(x,y)dy= dy F(x,y)dx= / F(x,y)dxdy J Ĩ11 1.1.1 ' * 0.2 fì 2 ÍÌ 1 J n1xíi2 Không gian L p (1 < p < oo) Định nghĩa 1.1.1 Cho p £ R , 1 < p