Luan van Nhom huu han va ung dung

Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ ®äc hiÓu vµ tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n vµ tr×nh bµy chøng minh cña B.Zagier c«ng thøc Frobenius.. Bè côc cña lu[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

*****************

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN

Mục lục

Lời nói đầu

1 Một số ví dụ nhóm tác động nhóm

1.1 Nhãm ma trËn

1.2 Tác động nhóm

1.3 Nhóm đối xứng

2 Các khái niệm đại số sở phép biểu diễn nhóm 10 2.1 Phép biểu diễn tuyến tính 10

2.2 Biểu diễn tương đương 12

2.3 C¸c vÝ dơ 13

2.4 Tổng tích tenxơ phép biểu diễn - Phép biểu diễn thương 16 2.4.1 Tổng phép biểu diễn 16

2.4.2 TÝch tenx¬ cđa phÐp biĨu diƠn 17

2.4.3 Phép biểu diễn đối ngẫu 18

2.4.4 Phép biểu diễn thương 18

2.5 Phân tích bất khả quy mét phÐp biĨu diƠn 19

2.6 Đặc trưng phép biểu diễn hữu hạn 23

3 Biểu diễn nhóm hữu hạn công thức Frobenius 24 3.1 Đặc trưng hệ trực chn 24

3.2 BiĨu diƠn chÝnh quy 28

3.3 Hệ trực chuẩn đặc trưng số biểu diễn bất khả quy 29 3.4 ứng dụng 32

Lời nói đầu

Lý thuyt biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng nhóm abel phát biểu cho nhóm cyclic Gauss, Dirichlet sau mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn Frobenius Stickelberger Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn phát biểu vào cuối kỷ XIX cơng trình Frobenius, Schur Burnside

Nói cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu cách mà nhóm tác động khơng gian véctơ tự đẳng cấu tuyến tính Lý thuyết biểu diễn nhóm không phần quan trọng đại số đại mà cịn có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết số, tổ hợp vật lý

Mục đích luận văn đọc hiểu trình bày lại số kiến thức lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn trình bày chứng minh B.Zagier công thức Frobenius

Bố cục luận văn gồm ba chương:

Chương Một số ví dụ nhóm tác động nhóm Trong chương chúng tơi nhắc lại số khái niệm như: Nhóm ma trận, tác động nhóm, nhóm đối xứng Những kiến thức sử dụng phần lại luận văn

Chương Các khái niệm đại số sở phép biểu diễn nhóm Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm số ví dụ đơn giản để minh hoạ cho khái niệm phép biểu diễn nhóm

Chương Biểu diễn nhóm hữu hạn cơng thức Frobenius Đây chương luận văn Trong chương chúng tơi trình bày lại số kết lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn đặc biệt chúng tơi dã trình bày lại chứng minh công thức Frobenius thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm

chỉ bảo tận tình nghiêm khắc thầy mà luận văn hoàn thành cách khoa học tiến độ Xin chân thành cảm ơn thầy cô công tác Viện Toán, trường Đại học thuộc Đại học Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy quan tâm Xin cảm ơn anh Phạm Hồng Nam, giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian hc v nghiờn cu

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Học Viên

Chng 1

Một số ví dụ nhóm tác động nhúm

Ta nhắc lại số kiến thức cần dùng luận văn

1.1 Nhóm ma trận

Cho C trường số phức, kí hiệu Mm,n(C) tập hợp tất ma trận cấpmìn C Mm,n(C) lập nên C-khơng gian véc tơ mìn chiều, trường hợp m = n ta kí hiệu Mn(C) thay cho Mn,n(C) Ta xác định nhóm tuyến tính:

GL(n,C) := {A ∈ Mn(C), detA 6= 0} Ta xác định nhóm tuyến tính đặc biệt,

SL(n,C) := {A ∈ Mn(C);detA = 1} Ta xác định nhóm trực giao:

O(n) := {A ∈ Mn(R); tAA = En}, cho n= p+q, ta có:

O(p, q) := {A ∈ Mn(R); tADp,qA = Dp,q},

trong Dp,q ma trận đường chéo mà aii = 1, ∀i = 1, p aii = −1,∀i = p+ 1, n Và xác định nhúm unita:

là nhóm khả nghịch

Cho n = p+ q nhóm

U(p, q) := {A ∈ Mn(R); tADp,qA = Dp,q}

Từ nhóm O(n) ta xác định nhóm SO(n) nhóm O(n) sau:

SO(n) := {A ∈ O(n);detA = 1}

A(n) := {D(a1, , an);a1, , an C} ma trận đường chéo với phần tửa1, , an nằm đường chéo

1.2 Tác động nhóm

Trong phần ln cho G nhóm, phần tử đơn vị làe χ tập

Định nghĩa 1.2.1 G gọi tác động trái χ tồn ánh xạ Gìχ →χ

(g, x) 7→ g ·x tho¶ mÃn điều kiện sau:

i) gÃ(g0 Ãx) = (gg0)·x ii) e·x = x

víi mäig, g0 ∈ G, x ∈ χ

Chú ý: Đặt Autχ tập hợp tất song ánh từ χ vào χ từ định nghĩa ta đồng cấu nhóm

ϕ :G→ Autχ g 7→ g ·x

• Với x0 ∈ χ ta xác định tập Gãx0 χ:

G·x0 := {g ·x0;g ∈ G},

Gãx0 gọi G quỹ đạo(chứax0)

• Với x0 ∈ χ ta xác định nhóm χ

Gx0 := {g ∈ G, g ·x0 = x0}

và gọi nhóm đẳng hướng hay nhóm ổn định củax0

Ví dụ 1.2.2 ChoG = GL(n,C)và χ ⊆ Cn, ta xỏc nh c mt tỏc ng

trái ánh xạ:

Gì (A, x) AÃx víi mäix ∈ Cn

Định nghĩa 1.2.3 Một tậpχ gọi khơng gian có nhóm G tác động bắc cầu χ

Định nghĩa 1.2.4 Với mọiG−tập, ta xác địnhχ/GhayχGlà tập cácG−quỹ đạo χ χG tập điểm bất động G, nghĩa tập phần tử x∈ χ cho g ãx = x với g ∈ G

Chú ý: Nếu χ có cấu trúc đại số, ví dụ χ khơng gian véc tơ trường hợp ánh xạ:

λ :G x gÃx tuyến tính với g ∈ G

Định nghĩa 1.2.5 Cho χ χ0 G−tập trái f : χ → χ0 ánh xạ ánh xạ f gọi đẳng biến hay G−đồng cấu với g ∈ G x∈ χ, ta có :

Cho H nhóm G, ta định nghĩa nhóm G H

NG(H) := {g ∈ G;gHg−1 = H}

Rõ ràng NG(H) nhóm chuẩn tắc tối đại G H nhóm Aut(G/H) đẳng cấu với NG(H)/H Ta xác định nhóm chuẩn tắc CG(H) := {g ∈ G;ghg−1 = h,∀h ∈ H}, gọi nhóm tâm hố H G

Trong trường hợp đặc biệt H = G nhóm tâm hố xác định bởi: CG(G) = {g ∈ G;gh = hg,∀h ∈ H} =: C(G)

Hoàn toàn tương tự ta có nhóm tác động phải nhóm Gtrên tập χ:

Định nghĩa 1.2.6 G gọi tác động phải χ tồn ánh xạ Gìχ →χ

(g, x) 7→ x·g tho¶ mÃn điều kiện sau:

i) (xÃg)Ãg0 = xÃ(gg0)

ii) x·e = x, ∀x ∈ χ, g, g0 ∈ G

Chú ý: Ta đưa nhóm tác động phải tác động trái ngược lại nhờ phản đẳng cấu:

G→ G g 7→ g−1

Do cho χ G−tập phải tác động trái cho bởi:

1.3 Nhóm đối xứng

Định nghĩa 1.3.1 Nhóm đối xứng Sn nhóm hốn vị, nghĩa nhóm tạo song ánh nphần tử

Râ ràng Aut nhóm song ánh từ tập vào chÝnh tËp χ, chän χn :=

{1,2, , n} Sn = Autn Chú ý:

ã Số phần tử nhómSn #Sn = n!

ã Mi phần tử σ ∈ Sn viết dạng tích chuyển vị, nghĩa hốn vị có hai phần tử chuyển chỗ cho

• Cho σ ∈ Sn, ta xác định hàm dấu σ bởi: Sign(σ) := ε(σ) := Y

1i<jn

(i)(j) ij

ã Rõ ràng ¸nh x¹

ε :Sn → {−1,1} σ 7→ε(σ)

là đồng cấu nhóm Trong {−1,1} nhóm nhóm nhân R∗ = R\ {0} Kerε nhóm chuẩn tắc gọi nhóm luân phiên

ã Một nhóm hoán vị phân tích thành tích xích nghĩa

một hoán vÞ (i1, , ir) víi ij 7→ ij+1 víi j < r vµ ir 7→ i1 nÕu r > vµ lµ

đồng r =

ã Mỗi hoán vị có phân tích thành tích xích rời

nhau

Định nghĩa 1.3.2 Một phân hoạch củanlà dÃy (n1, , nr) số tự nhiên ni N víi ni ≥ nj nÕu i < j vµ

P

ni = n

VÝ dơ 1.3.4 Cho n= v×

3 = + + = +

3 =

nên n = có phân hoạch (1,1,1); (2,1); (3) Suy S3 có ba lớp liên

hợp là:

C1 = {id}

C2 = {(1,2),(2,3),(3,1)}

Chương 2

Các khái niệm đại số sở phép biểu diễn nhóm

2.1 PhÐp biĨu diƠn tun tÝnh

Cho G nhóm, V C- không gian vÐc t¬

Định nghĩa 2.1.1 π gọi phép biểu diễn tuyến tính G V π đồng cấu từ G đến AutV, nghĩa ánh xạ

π :G →AutV g 7→π(g), tho¶ m·n

π(gg0) = π(g)π(g0), ∀g, g0 ∈ G

AutV kí hiệu GL(V) nhóm tất tự đẳng cấu V Trong trường hợp V C- không gian véc tơ hữu hạn chiều với dimV = nthì ta nói π có bậc n π phép biểu diễn n chiều

ChoB = (v1, , vn) sở V với mọiF AutV biểu diễn sở B ma trận khả nghịch A cấp nìn, A := MB(F),

ta cú đẳng cấu không gian véc tơ V ' Cn đẳng cấu nhóm

Định nghĩa 2.1.2 Một phép biểu diễn tuyến tính n chiều nhóm G phép liên kết g G với ma trận (g) = A(g) ∈ GL(n,C) tho¶ m·n:

A(gg0) =A(g)A(g0),∀g, g0 ∈ G

Vì đồng cấu nhóm biến phần tử đơn vị nhóm thành phần tử đơn vị nhóm kia, nên rõ ràng π biến ma trận En thành phần tử đơn vị e nhóm G rõ ràng ta có π(e) =idV trường hợp tổng quát

NÕu G lµ nhãm ma trËn G⊂ GL(n,C) nh­ phÇn 1.1, chóng ta cã

mét phÐp biĨu diƠn tù nhiªn π0 cho bëi:

π0(A) = A

với mỗiA G

Định nghĩa 2.1.3 Choπ lµ mét phÐp biĨu diƠn tun tÝnh cđaGtrong V gọi biểu diễn bất khả quy nÕu nã kh«ng cã kh«ng gian π− bÊt

biÕn V0 V

Mét kh«ng gian V0 ⊂ V lµ π− bÊt biÕn nÕu ta cã

π(g)(v0) ∈ V0,∀g ∈ G,∀v0 ∈ V0

Trong trường hợp, π0 := π |V0 phép biểu diễn ca G V0 thỡ

0 gọi phÐp biĨu diƠn

Do ta nói π biểu diễn bất khả quy π phép biểu diễn thực

• Cho V không gian unita phức, nghĩa V trang bị tích vơ hướng:

< , >:V ×V →C

(v, v0) 7→< v, v0 > tho¶ m·n tÝnh chÊt:

ii) Là dạng Hemitian, nghĩa với v, v V ta cã < v, v0 >= < v, v0 >

iii) Xác định dương , nghĩa là: ∀v ∈ V ta có < v, v > ≥ 0dấu ” = ” xảy với v =

Cho V = Cn ta thường sử dụng tích vô hướng

< x, y >:= n X

i=1

xiyi, x, y Cn

Định nghĩa 2.1.4 Mét phÐp biĨu diƠn π cđa G V unita

(g) unita, nghĩa víi mäi v, v0 ∈ V vµ g ∈ G ta cã: < π(g)v, π(g)v0 > = < v, v0 >

2.2 Biểu diễn tương đương

Cho hai phép biểu diễn π π0 G C−không gian véc tơ V tương ứng vớiV0 , ta cần tìm ánh xạ G− đẳng cấu với

F : V V0

Định nghĩa 2.2.1 Một ánh xạ Ctuyến tính F : V V0 gọi toán tử bện nÕu víi mäi g ∈ G, ta cã

F π(g) =π0(g)F, nghĩa biểu đồ sau giao hoán

V −−→F V0 π(g)

  y

  yπ

0(g) V −−→F V0

Nhận xét: Khơng gian tốn tử bện π vàπ0 không gian véc tơ trường C Nó định nghĩa HomG(V, V0) C(V, V0) Hơn thường sử dụng kí hiệu C(V) := C(V, V)

c(π, π0) =c(V, V0) = dimC(V, V0)

vàc(π, π0) gọi bội π π0 kí hiệu mult(π, π0) Phép biểu diễn π π0 với c(π, π0) = c(π0, π) = gọi rời Ta cần xác định lớp tương đương phép biểu diễn bất khả quy bất biến G

2.3 C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 2.3.1 Cho G nhóm ma trận G có phép biểu diễn tự nhiên 0, nghĩa với nhóm ma trận thực (phức) G GL(n,C) có biểu diÔn

trong V = Cn liên kết với A ∈ G Rõ ràng phép biểu diễn tự nhiên unita với G = SO(n) SU(n) trường hợp tổng qt khơng unita khơng bất khả quy, điều suy từ ví dụ sau:

VÝ dơ 2.3.2 Cho G = S3, xét phần tử S3 là: id = (1), x := (1,2),

y := (1,2,3) râ rµng ta cã: x2 =

1 3

1 3

=

1 3

= id (2.1) y2 =

1 3

1 3

=

1 3

= (2.2)

xy =

1 3

1 3

=

1 3

= (2.3)

yx =

1 3

1 3

=

1 3

xyx = 3

1 3

1 3 =

1

2 =

(2.5) y3 =

1 3

1 3

1 3

=

1 3

= id (2.6) Do phần tử g ∈ S3 biểu diễn thành tích luỹ

thừa x y Từ suy S3 =< x, y > nhóm sinh x y

Do ta dễ dàng tìm phép biểu diễn V = C, phép biểu

diễn tầm thường

π1(g) = 1,∀g ∈ S3

vµ phÐp biĨu diƠn dÊu

π2(g) = sign g {1},g S3

Ta tìm phép biĨu diƠn chiỊu π0 trªn V = C3 bëi ma trận

hoán vị sau

0(y) = A(y) =





0 1 0



 (2.7)

phép biểu diễn gọi phép biểu diễn hốn vị Ta có V = C3 =

3

X

i=1

eiC víi

ω = e1z1 + e2z2 +e2z2 ∈ V

trong e1 = t(1,0,0), e2 = t(0,1,0), e3 = t(0,0,1) z1, z2, z3 C thỡ

0 cho

π0(g)ω =

X

i

eg(i)zi = X

eizg−1(i)

Như biết π0 phép biu din unita, nhng khụng bt kh quy:

Đặt V1 := (e1 +e2 +e3)C không gian bất biÕn cña V

ThËt vËy:

do π0 |V1= π1 phép biểu diễn tầm thường V1 Cho

ω = X i

ziei th×

< e1 + e2 + e3, ω >=

X

i zi Ta dƠ dµng chøng minh V3 = {,

P

i zi = 0} không gian V phần bù V1 V, mặt khác ta có

X

i

zi = X

i

zg1(i)

với mọig S3 nên V3 không gian bất biến

Đặt a := e1 + e2 + e3ξ2 vµ b := e1 + e2ξ + e3ξ2 víi ξ = e2πi/3, ta dƠ

dµng chứng minh a, b sở V3 Đặt := |V3 ta

rằng bất khả quy

Nhn xột: Tất phép biểu diễn trongS3 tương đương với π1, π2

hc π0

Ví dụ 2.3.3 Cho χ G−tập với G tác động trái x 7→ g ã x V = F(χ) không gian véc tơ hàm phức f : χ → C thoả mãn với f ∈ V fg ∈ V fg xác định bởi:

fg(x) = f(g−1x)

Nhận xét: Hàm (λ(g)f)(x) := f(g−1x) xác định phép biểu diễn λ G V

Chøng minh ThËt vËy, (gg0)·x = g·g0 ·x vµ suy

λ(gg0)f(x) = f((gg0)−1 ·x) =f(g0−1g−1 ·x) = f(g0−1 ·g−1 ·x) vµ

Suy

λ(g.g0)f(x) = λ(g)λ(g0)f(x)

Hoàn toàn tương tự ta xây dựng phép biểu diễn G V thông qua G−tác động phải với V = F(χ)−không gian hàm

phức với fg = f(xãg) hàm (ρ(g)f)(x) := f(g ãx) xác định phép biểu diễn ρ G V Thật

xã(gg0) = xãg ãg0 suy

ρ(gg0)f(x) =f(x·(gg0)) =f(x·g·g0) vµ

ρ(g)ρ(g0)f(x) = ρ(g)fg0(x) =f(x·g ·g0) Suy

ρ(gg0)f(x) = ρ(g)ρ(g0)f(x)

2.4 Tổng tích tenxơ phép biểu diễn - Phép biểu diễn thương

2.4.1 Tỉng cđa phÐp biĨu diƠn

Cho (, V) (0, V0) phép biĨu diƠn (tun tÝnh) cđa nhãmG th× tỉng trùc tiÕp cho bởi:

( ⊕π0)(g)(v ⊕v0) := π(g)v ⊕π0(g)v0, ∀v ⊕v0 ∈ V ⊕V0

Cho V = Cn, V0 = Cm vµ π(g) = A(g) ∈ GL(n,C) , π0(g) = A0(g) ∈

GL(m,C) th× ta cã:

(π ⊕π0)(g) =

A(g) 0 A0(g)

2.4.2 TÝch tenx¬ cđa phÐp biĨu diƠn

Cho (π, V) và(0, V0) phép biểu diễn nhóm Gvà V V0 tích tenxơ V V0 tích tenxơ cho bởi:

(π ⊗π0)(g)(v ⊗v0) := π(g)v ⊗π0(g)v0, ∀v ⊗v0 ∈ V ⊗V0

Cho V = Cn, V0 = Cm vµ π(g) = A(g) ∈ GL(n,C), π0(g) = A0(g) ∈

GL(m,C) tích tenxơ cho tích Kronecker ma trËnA(g) vµ A0(g): (π ⊗π0)(g) =

a1,1A0(g)· · · a1,nA0(g) an,1A0(g)· · · an,nA0(g)

∈ GL(nm,C) (2.9) Chó ý: NÕu V cã mét c¬ sở (ei)iI V0 có sở (fj)jJ V V0 có sở (ei fj)(i,j)IìJ

Bằng quy nạp ta định nghĩa tích tenxơ nhiều hai nhân tử tích tenxơ ln có hai tính chất giao hốn kết hp

Ví dụ 2.4.1 ChoV không gian véc tơ ba chiều với sở là(e1, e2, e3)

thì ta có:

ã 2V có số chiều với sở

(e1 e1, e1 ⊗e2, e1 ⊗e3, e2 ⊗e1, , e3 ⊗e3)

ã S2V có số chiều với së lµ

(e1 ⊗e1, e1 ⊗e2 +e2 ⊗e1, e1 ⊗e3, e2 ⊗e2, e2 ⊗e3 +e3 ⊗e2, e3 ⊗e3)

ã 2V có số chiều với së lµ

e1 ∧e2 := e1 ⊗e2 −e2 ⊗e1

e1 ∧e3 := e1 ⊗e3 −e3 ⊗e1

e2 ∧e3 := e2 ⊗e3 −e3 ⊗e2

Trong trường hợp tổng quát ta có sở củaSpV và∧pV trong⊗2V tương

øng lµ

ei1 eip :=

X

g∈Sp

ei1 ∧ ∧eip :=

g∈Sp

sign g eig(1) ⊗ ⊗eig(p), i1 < < ip

Chó ý:

•NếuV khơng gian chiều thìSpV đồng với khơng gian C[u, v, w]p đa thức bậc p không gian biến Nếu π phép biểu diễn Gtrong V ánh xạ ei 7→ π(g)ei cảm sinh phép biểu diễn tuyến tính Spπ và∧pπ trong SpV tương ứng ∧pV.

• Mét tÝnh chÊt quan cđa cÊu tróc cđa phÐp biĨu diễn với chiều hữu

hạn tới phép biểu diễn chiều tự nhiên tới phép biểu diễn bất khả quy

bởi tích Tenxơ quy tổng thành phần bất khả quy

2.4.3 Phép biểu diễn đối ngẫu

Cho V∗ không gian đối ngẫu C-khơng gian véc tơ V thì: V∗ = Hom(V,C) ={ϕ : V → C, ϕ C - tuyến tính}

Nếu dimV∗ < ∞ dimV∗ = dimV Đặt ϕ(v) =:< ϕ, v > với ϕ ∈ V∗ v ∈ V Nếu dimV = n với sở (e1, , en) dimV∗ = nnên tồn sở (e1∗, , e∗n) củaV∗ xác định sau:

< e∗i, ej >= δij(= , i = j = , i6= j) ta gọi (e∗1, , e∗n) sở đối ngẫu V∗

Định nghĩa 2.4.2 Choπ phép biểu diễn Gtrong V phép biểu diễn đối ngẫu π∗ V∗ xác định bởi:

(π∗(g)ϕ)(v) := ϕ(π(g−1)v), ∀ϕ∈ V∗, v ∈ V 2.4.4 Phép biểu diễn thương

Cho (π1, V1) lµ phÐp biĨu diƠn cđa phÐp biĨu diƠn(π, V )cđa G Khi

đó phép biểu diễn thương trongV /V1 kí hiệu π π xác định sau:

NhËn xÐt: Ta dÔ thÊy:

π(g) = +V1 ⇔ π(g) = π1(g)

vµ

π(g) 6= +V1 ⇔ π(g) 6= π1(g)

Mét tÝnh chÊt chÝnh cña phép biểu diễn phân tích chúng thành phép biểu diễn bất khả quy Phần giới thiệu phân tích bất khả quy phép biểu diễn

2.5 Phân tích bất khả quy phép biểu diễn

Nhắc lại phép biểu diễn (, V) bất khả quy phép biểu diễn thực

Định nghĩa 2.5.1 Cho(, V)là phép biểu diễn, (, V)được gọi phân tích tồn không gian bÊt biÕn V1 ⊂ V víi phÇn bï bÊt

biến V2, nghĩa V = V1 ⊕V2 Thì ta có π = π1 +π2 π1

phÐp biĨu diƠn Gtrong V1 vµ π2 lµ phÐp biĨu diƠn G V2

Định nghĩa 2.5.2 Cho(π, V ) phép biểu diễn,(π, V) gọi khả quy đầy đủ phép biểu diễn không tầm thường (π, V) có phần bù bất biến

Định lý 2.5.3 ([4], Định lý 1.1) Cho(π, V)là phép biểu diễn nhóm hữu hạnGvà (π1, V1)là phép biểu diễn Khi tồn phần bù bất

biÕn V2

Chứng minh Cho <, >0 tích vơ hướng V ln tồn khơng gian V ' Cn Ta xác định tích vơ hướng G−bất biến là:

< v, v0 >:= X g∈G

< π(g)v, π(g)v0 > ∀v, v0 ∈ G

Đặt V2 := {v V, < v, v1 >= 0, v1 V1} Rõ ràng V2 không gian

Cho v ∈ V2, g ∈ G, ta cã:

< π(g)v, v1 >=< π(g−1)π(g)v, π(g−1)v1 >=< v, π(g−1)v1 >=

nÕu v1 ∈ V1 th× suy π(g−1)v ∈ V2 Suy V2 lµ π(g−1)−bÊt biÕn

Chó ý: ChoG lµ nhãm t ý vµ (π, V) lµ phÐp biĨu diƠn unita cđa G th× víi mäi phÐp biĨu diƠn (1, V1) có phần bù bất biến (2, V2) gièng

nh­ chøng minh trªn suy ra:

V2 := V1⊥ = {v ∈ V, < v, v1 >= ∀v1 ∈ V1}

VÝ dô 2.5.4 Cho G = R nhóm cộng số thực lµ phÐp biĨu diƠn hai chiỊu V = C2 cho bëi

R b 7→

b

=: A(b) (2.10) Đặt V1 := e1C khơng gian bất biến Khi

A(b)e1 = e1, ∀b ∈ R

Đặt

V2 := vC =

x y

C (2.11)

th× nã phần bù bất biến V1 Suy

A(b)v =

x+ by y

= λ

x y

(2.12)

vớiλ đóλ ∈ C, nghĩa x+by = λx vày = λy y 6= 0suy λ = suy by = với b điều mâu thuẫn

NhËn xÐt: Mäi phÐp biÓu diễn (, V) không phân tích phân tích thành tổng hai phép biểu diễn = π1 +π2 Cø tiÕp tơc

q trình cho π1 π2, trường hợp tổng quát q trình

cã thĨ kh«ng dõng

Chú ý: Trong trường hợp tồn dãy không gian bất biến lồng

V = V0 ⊃V1 ⊃ ⊃ Vn = {0}

thoả mãn phép biểu diễnπi trênVi/Vi+1là bất khả quy Theo định lý

Jordan-Holder độ dài dãy không gian bất biến lồng tối đại, xác định gọi tương đương lớp π

Định lý 2.5.6 (( Bổ đề Schur ), [4], Định lý 1.2) Nếu hai phép biểu diễn tuyến tính (π, V) (π0, V0) bất khả quy, với tốn tử bện F ∈ C(π, π0) hoặc khả nghịch Nếu V = V0, π = π0 dimV = nthì F đồng dạng nghĩa F = λid với λ ∈ C

Chøng minh i) Ta cã F : V →V0 víi

π0(g)F(v) =F(π(g)v), ∀g ∈ G, v ∈ V (∗) th×

KerF = {v V, F(v) = 0}

là không gian π−bÊt biÕn cđa V bëi v× víi v ∈ KerF ⇒ F(v) = tõ

(∗) suy

F(π(g)v) =π0(g)F(v) = nghÜa lµπ(g)v ∈ KerF

Hồn toàn tương tựImF = {F(v), v ∈ V khơng gian bất biến V0 Do tính bất khả quy π suy KerF = {0} KerF = V tính bất khả quy π0 ta có ImF = {0} ImF = V0 Suy F ánh xạ không đẳng cấu

ii) Nếu V = V0 tự đẳng cấu F : V → V có giá trị riêng λ ∈ C, suy F0 := F −λE ánh xạ tuyến tính với kerF0 6= {0} Từ i) suy F0 = 0, nghĩa F = λE

Tiếp theo ta đưa định lý chiều unita Schur's hữu hạn mà khụng chng minh

Định lý 2.5.7 ([4], Định lý 1.3) Cho(π,Cn)lµ phÐp biĨu diƠn ma trËn unita cđa nhãm G, nghÜa lµ π(g) = A(g) ∈ U(n) Cho M GL(n,Cn) ma trận giao hoán với tất A(g) nghÜa lµ

M A(g) = A(g)M, ∀g ∈ G Khi M ma trận vơ hướng, M = λEn, λ ∈ C

Hệ 2.5.8 ([4], Hệ ) Nếu tồn ma trận, khác vô hướng, giao hoán với tất ma trận phép biểu diễn unita chiều hữu hạn π phép biểu diễn khả quy

Hệ giúp ta chứng minh tính bất khả quy số trường hợp Bổ đề Schur dùng để chứng minh số trường hợp trường hợp chiều vô hạn

Định lý 2.5.9 ([4], Định lý 1.4) Phép biểu diễn bất khả quy chiều hữu hạn tuỳ ý mét nhãm Aben lµ1−chiỊu

Chứng minh Cho (π, V) phép biểu diễn G đó: F : V V, v (g0)v

là toán tử bện với g0 G, ta có:

(g)F(v) =(g)(g0)v

= (gg0)v biểu diễn

= (g0g)v G abel

= (g0)(g)v

= F(π(g)v)

Theo bổ đề Schur F đồng dạng, nghĩa tồn λ ∈ C cho

Vì g0 G tuỳ ý, suy V0 = vC không gian bÊt biÕn cđa V

Víi π lµ phÐp biĨu diƠn bÊt kh¶ quy suy V = V0 nghÜa lµ V cã chiỊu lµ

1

2.6 Đặc trưng phép biểu diễn hữu hạn

Trong phần ta giả thiết (, V) phép biểu diễn phức chiều hữu hạn nhómG với dimV = n

Định nghĩa 2.6.1 Đặc trưng biểu diễn cho (g) := T r(g), g ∈ G

trong T r vết Nếu π cho ma trận A(g) = (aij(g)) ∈ GL(n,C), ta có:

χπ(g) = n X

i=1

aii

Giả sử A0 ma trận liên hợp với A, nghĩa A0 = T AT1, T ∈

GL(n,C) ta có vết A A0 Do vết phép biểu diễn xác định không phụ thuộc vào cách chọn ma trận biểu diễn Ta có:

χπ(e) =n = dimV

Giả sử π unita, π(g) ma trận dạngA(g) liên hợp với ma trận đường chéo D = D(λ1, , λn) λ1, , λn giá trị đặc trưng A(g)

Chó ý:

χπ(g) = n X

i=1

λi

NếuG hữu hạn phần tử thuộc Gcũng có cấp hữu hạn π(g) cú cp hu hn

Định lý 2.6.2 ([4], Định lý 1.6) Cho(π, V)vµ (π0, V0)lµ hai phÐp biĨu diƠn hữu hạn chiều nhóm G, ta có:

Chương 3

BiĨu diƠn cđa nhãm hữu hạn công thức Frobenius

Trong chng ny ta giả thiết cấp G , #G= m <

3.1 Đặc trưng hệ trực chuẩn

Cho C trường, G nhóm với #G = m Thì ta xác định khơng gian ánh xạ từG tới C bởi:

CG := {u : G−→ C}

thật CG C-không gian véc tơ, với phép cộng u + u0 xác định bởi:

(u+u0)(g) := u(g) +u0(g), ∀g ∈ G phép nhân vô hướng λu xác định bởi:

(λu) := λu(g), u ∈ CG , λ∈ C,

ta xác định phép nhân uu0 sau: (uu0)(g) := X

a,b∈G;ab=g

có thể kiểm tra CG C−đại số kết hợp Ta gọi CG vành nhóm hay đại số nhóm G Có thể biểu diễn:

CG := {X

g∈G

u(g)g, u(g) ∈ C}

Khi phép cộng xác định X

u(g)g +Xu0(g)g := X(u(g) +u0(g))g phép nhân cho

X

u(g)g.Xu0(g)g := X < v(g)g, u0(g)g >:= X ab=g

u(a)u0(b)

Ta viếtH = CGvà H0 = CclG đại số hàm lớp, nghĩa hàm u thoả mãn u(g) = u(g0) với g ∼ g0

Cho hệ π1, , πh hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy, đặc trưng χπ1, , χπh hệ trực chuẩn H Xác định tích vơ hướng <, > bởi:

< u, v >:= (1/m)X t∈G

u(t)v(t), ∀u, v ∈ H

Ta xác định dạng song tuyến tính cho bởi: (u, v) := (1/m)X

t∈G

u(t−1)v(t) Nếu u = χπ đặc trưng suy u(t) = u(t−1)

(χπ, v) =< χπ, v >, v ∈ H

Định lý 3.1.1 ([4], Định lý 2.1) Cho π π0 phép biểu diễn bất khả quy G Đặt χ = χπ χ0 = χπ0 đặc trưng Khi

< χ, χ0 >= 0, nÕu π 6∼π0 < χ, χ0 >=

Mệnh đề 3.1.2 Choπ π phép biểu diễn bất khả quy, F : V → V ánh xạ tuyến tính

F0 := (1/m)X g∈G

π0(g−1)F π(g) Khi

1) F0 = 0, nÕu π 6∼ π0

2) F0 = λid, V = V0, π = π0 λ = (1/dimV)T rF Chứng minh Ta có F0 tốn tử bện π π0 Khi

π0(g)−1F0π(g) = (1/m)X t∈G

π0(g)−1π0(t)−1F π(t)π(g) = (1/m)P

t∈Gπ

0(tg)−1F π(tg) = F0,

áp dụng Bổ đề Schur's, suy F0 = F0 = λid nên: T rF0 = (1/m)X

t∈G

T r(π(t−1)F π(t)) =T rF vµ

T r id= n= dimV víi λ = (1/n)T rF

Mệnh đề 3.1.3 ([4], Mệnh đề 2.2) Choπ vàπ0 mệnh đề trên, cho hai ma trận π(g) =A(g) π0(g) =B(g), có:

(1/m)X t∈G

Bij(t−1)Akl(t) = ∀i, j, k, l ∈ (1), (1/m)P

t∈GAij(t

−1)A

kl(t) = (1/n)δilδjk ,∀i, j, k, l ∈ (2) Chứng minh Với F = (Fij) Bổ đề 3.1.2 ta có

(1/m)X t∈G

X

jk

Bij(t−1)FjkAkl(t) =Fil0 biĨu diƠn

(1/m)P t∈G

P

jkBij(t

−1)F

jkAkl(t) = 0, ∀ i, l ∈ (1) (1/m)X

t∈G X

ik

Aij(t−1)FjkAkl(t) = λδil = (1/n) X

jk

Chứng minh Định lý Ta có: 0(t) = P

Bii(t) vµχ(t) = P

Aii(t) vµ suy < χ, χ >= (1/m)X

t∈G

χ(t−1)χ(t) = (1/m)X t∈G

X

ij

Aii(t−1)Ajj(t) = (1/n)Pijδijδij =

< χ, χ0 >= (1/m)X t∈G

χ0(t−1)χ(t) = (1/m)X t∈G

X

ij

Bii(t−1)Ajj(t)

Hệ 3.1.4 ([4], Hệ 1) Cho (π, V) phép biểu diễn hữu hạn chiều G, với đặc trưng χ := χπ (πi, Vi) phép biểu diễn bất khả quy với đặc trưng χi := χπi

V = V1 ⊕ ⊕Vk

Cho (π0, V0) phép biểu diễn bất khả quy với đặc trưng χ0 = χπ0 Khi đó: #{Vi, Vi ' V0} =< χ0, χ >

Chøng minh Ta cã χ = P

iχi suy < χ, χ0 >= X

i

< χ0, χi >

hoặc là χ0 6∼ χi χ0 ∼ χi Suy < χ0, χ > số thành phần bất khả quy πi chứa π tương đương với π0

Hệ 3.1.5 ([4], Hệ 3) Nếu hai phép biểu diễn π π0 thoả mãn χπ = χπ0 π π0 tương đương

HƯ qu¶ 3.1.6 ([4], Hệ 4) Nếu phân tích thành phép biĨu diƠn bÊt kh¶ quy π1, , πh víi sè(béi) thành phần i xuất mi, nghĩa :

V = m1V1 ⊕ ⊕mhVh, hc cã thĨ viÕt

V = Vm1

1 ⊕ ⊕V

mh

khi

< χ, χ >= h X

i=1

m2i

HÖ 3.1.7 ([4], Hệ 7) bất khả quy nÕu < χ, χ >= 3.2 BiĨu diƠn quy

Định nghĩa 3.2.1 Một biểu diễn nhóm hữu hạnGvới #G = m không gian véc tơ V với sở et mà t G, nghĩa V =< et >tG gọi chÝnh quy nÕu

λ(g)et := egt, nghÜa lµ ta cã

λ(g)v = X t∈G

z(g−1t)et, ∀ zt ∈ C

víi v = P

t∈Gztet, zt ∈ C

V đồng với H ta có

λ(g)u = X t∈G

u(g−1t)et, ∀ u = X

t∈G

u(t)t ∈ H

Nếu g 6= e, ta có gt 6= t với t ∈ G, phần tử đường chéo λ(g) Cụ thể, ta có T rλ(g) = với g 6= e T rλ(e) = T rEm = m Vậy ta chứng minh mệnh đề sau:

Mệnh đề 3.2.2 ([4], Mệnh đề 2.3) Đặc trưng χλ phép biểu diễn quy λ G cho bởi:

χλ(e) = #G= m, χλ(g) = 0, ∀ g 6= e

Chøng minh ¸p dơng HƯ qu¶ 3.4.1 ta cã

M ult(πi, λ) =< χπi, χλ >

L¹i cã

M ult(πi, λ) = (1/m) X

t∈G

χλ(t−1)χπi(t)

suy

M ult(πi, λ) = (1/m)·m ·χπi(e) =ni

Mệnh đề 3.2.4 ([4], Mệnh đề 2.5) Choπ1, , πh hệ đầy đủ phép biểu diễn bất khả quy G Khi với ni = dimVi thì:

i) Ph i=1n

2

i = m

ii) NÕu t ∈ G, t 6= e th× Ph

i=1niχπi(t) =

Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có χλ(t) =

X

niχi(t), ∀ t ∈ G cho t= e, suy

X

n2i = m Cho t6= e , suy

X

niχi(t) =

3.3 Hệ trực chuẩn đặc trưng số biểu din bt kh quy

Nhắc lại hàm f G gọi hàm lớp f(g) = f(tgt−1) víi mäig, t ∈ G

Mệnh đề 3.3.1 ([4], Mệnh đề 2.6) Cho f hàm lớp Gvà (π, V) phép biểu diễn G Cho πf tự đẳng cấu V xác định bởi:

πf := X

t∈G

Nếu π bất khả quy với dimV = n đặc trưng χ, πf bội ánh xạ đồng nhất, nghĩa πf = λidV, với

λ = (1/n)X t∈G

χ(t)f(t) = (m/n) < χ, f >

Chøng minh Ta cã π(s)−1πfπ(s) =

X

t∈G

f(t)π(s)−1π(t)π(s) =X t∈G

f(t)(s1ts) Vìf hàm lớp, ta có ánh xạ t7 s−1ts= t0, suy

π(s)−1πfπ(s) = X

t0∈G

f(t0)π(t0) =πf

Theo Bổ đề Schur's ta có πf = λid bội ánh xạ đồng Ta có T rλid= nλ

T rπf = X

f(t)T rπ(t) =Xf(t)χ(t) suy

λ = (1/n)Xf(t)χ(t) = (m/n) < χ, f > đặc trưng lớp hàm, phần tử H0

Định lý 3.3.2 ([4], Định lý 2.2) Đặc trưngχ1, , χh xác định sở trực chuẩn H0

Chứng minh Cần chứng minh (i) hệ sinh cña H0

Lấy tuỳ ý f ∈ H0 trực giao tới tất χi Với phép biểu diễn π G, đặt πf =

P

f(t)π(t) Theo Bổ đề 3.3.1 πf = π bất khả quy Vì π phân tích thành phép biểu diễn bất khả quy, πf = suy phép biểu diễn quy, nghĩa π = λ xác định sở véc tơ không gian biểu diễn cho λ

πfe1 =

X

t

f(t)λ(t)e1 =

X

t

f(t)et

HƯ qu¶ 3.3.3 ([4], HƯ qu¶ 1) Số biểu diễn bất khả quy G số lớp liên hợp

Hệ 3.3.4 ([4], Hệ 2) Cho g G c(g) := #{g0;g0 g} số

các phần tử lớp liên hợp củag, i) Ph

i=1i(g)i(g

0) = m/c(g) nÕu g0 = g.

ii) Ph

i=1χi(g)χi(g

0) = 0 nÕu g0 6∼g.

Chứng minh Chofg hàm đặc trưng lớp g, nghĩa làfg(g0) = 1nếu g0 ∼ g fg(g0) = g0 6∼ g Vì fg ∈ H0, theo định lý ta viết:

fg = h X

i=1

λiχi víi

λi =< i, fg >= (c(g)/m)i(g) Với t G

fg(t) = (c(g)/m) h X

i=1

χi(g)χi(t)

V×fg(t) = víi t ∼ g suy (i) vµ fg(t) = víi t6∼ g suy (ii)

Chú ý: Cho π1, , πh phép biểu diễn bất khả quy, (π, V) phép biểu diễn ChoV = U1⊕ ⊕Uk tổng trực tiếp phân tích V thành phép biểu diễn bất khả quy Cho i = 1, , h , xác định Wi tổng trực tiếp U1, , Uk , Ui đẳng cấu với Vi Thì

V = W1 ⊕ ⊕Wh

Định lý 3.3.5 ([4], Định lý 2.3) Phân tích V = W1 ⊕ ⊕Wh khơng phụ thuộc vào cách chọn phân tích củaV thành không gian bất khả quy Định lý 3.3.6 ([5], Định lý A.1.5) Cho Glà nhóm hữu hạn tồn đẳng cấu đại số đẳng biến GìG tắc

C[G] =∼ M i∈I

[g] 7−→ (πi)i∈I πi ánh xạ tuyến tínhπi(g) : Vi −→Vi 3.4 ứng dụng

Như ta biếtN(G, C1, , Ck) := #{(c1, , ck) ∈ C1ì Ck | c1 ck = 1} C1, , Ck lớp liên hợp tuỳ ý thuộc G hệ số đặc trưng phép biểu diễn bất khả quy

Chó ý r»ng N(G, C1, , Ck) không phụ thuộc vào thứ tự Ci vµCi+1,

vì ta đồng nhấtCiCi+1 = Ci+1(Ci−+11CiCi+1) Do ú ta c phộp hoỏn

vị Ci Ci+1

Định lý 3.4.1 ((Công thức Frobenius), [5], Định lý A.1.9) Cho G nhóm hữu hạn vàC1, , Ck lớp liên hợp Gthì

N(G, C1, , Ck) =

| C1 | | Ck |

|G |

X

χ

χ(C1) χ(Ck) χ(1)k−2

χ chạy khắp tập đặc trưng phép biểu diễn bất khả quy G Chứng minh Nếu C lớp liên hợp G với phần tử eG =

P g∈G

[g] tâm Theo bổ đề Schur tác động phép biến đổi bất khả quy π G bội vơ hướng vπ(G) Vì g ∈ C có vết giống nhau, suy χπ(g) =χπ(C), ta tìm

|C | χπ(C) = X

g∈C

χπ(g) = tr(π(eC), V) = tr(vπ(C).Id, V) =vπ(C) dimπ

vπ(C) =

| C |

dimπχπ(C) =

χπ(C) χπ(1)

| C |

Víi

Ng(G, C1, , Ck) := #{(a1, , ag, b1, , bg, c1, , ck) ∈

Định lý 3.4.2 ([5], Định lý A.1.10) Với ký hiệu định lý với g ≥ 0ta có

Ng(G, C1, , Ck) =| G |2g−1 |C1 | | Ck | X

χ

χ(C1) χ(Ck) χ(1)g−2

Chøng minh Ta cã [a1, b1] [ay, by] = a1(b1a1b1−1) ag(bgagb−g1)−1 Cho

Ng(G;C1, , Ck) =

X

A1, ,Ag∈C

G A1

G Ag

.N(G;A1, A−11, , Ag, A−g1, C1, , Ck)

áp dụng công thức Frobenius ta có

Ng(G;C1, , Ck) =| G |g−1| C1 | | Ck |

X

A1, ,Ag∈C

| A1 | | Ag |

X

χ

χ(A1)χ(A1) χ(Ag).χ(Ag)χ(C1) χ(Ck) χ(1)k+2g−2

=| G |g−1| C1 | | Ck | X

χ

χ(C1) χ(Ck) χ(1)k+2g−2

X

A∈C

| A | χ(A)χ(A) g

KÕt luËn

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà nội, 1999

[2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dc, H ni, 1999

[3] Ngô Việt Trung, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hµ néi, 2002