Chuỗi fourier và phép biến đổi fourier (LV00345)

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS Trần Văn Vuông. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến TS Trần văn Vuông. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tác giả nhận được sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán, phòng SĐH, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó. Bên cạnh đó, tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn phòng GD-ĐT Gia Bình, Trường THCS Thị Trấn huyện Gia Bình, phòng GD-ĐT thành phố Bắc Ninh, trường THCS Nguyễn Đăng Đạo tỉnh Bắc Ninh, bạn bè đồng nghiệp và người thân đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập để hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Vuông. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1. Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Các định lí quan trọng của lý thuyết tích phân . . 7 1.1.2. Không gian L p , 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Vài định lý về không gian Banach và không gian Hilbert 11 1.2.1. Định lý ánh xạ mở và định lý Lax - Milgram . . . 11 1.2.2. Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert 13 1.2.3. Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn . . 14 1.3. Một số định lý giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. CHUỖI FOURIER 18 2.1. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Chuỗi cosin, chuỗi sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 2.4. Sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5. Định lý Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6. Sự hội tụ trong L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7. Chuỗi Fourier dạng phức, đẳng thức Parseval . . . . . . 35 2.8. Chuỗi Fourier của hàm trong L p (−π, π) . . . . . . . . . . 37 2.9. Chuỗi Fourier kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 3. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 46 3.1. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Các tính chất của phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . 56 3.4. Phép biến đổi Fourier trong L P (R), 1 < p ≤ 2 . . . . . . 61 3.5. Hàm Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6. Ví dụ áp dụng phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . 67 3.7. Chuỗi Fourier rời rạc, phép biến đổi Fourier rời rạc . . . 68 3.8. Tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc . . . . . . . . 71 3.9. Thuật toán FFT (Fast Fourier Transform) . . . . . . . . 72 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biến đổi Fourier ra đời trước tiên. Mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra khái niệm khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác, song lí thuyết này chưa được hoàn chỉnh. Fourier đã viết xong công trình về biến đổi Fourier vào năm 1807 nhưng do sự hoài nghi của các nhà toán học thời bấy giờ nên đến năm 1815 công trình của Fourier mới được công bố. Sau đó công trình tiếp tục được Drichlet và Riemann bổ sung và hoàn chỉnh. Lý thuyết về chuỗi Fourier còn nhận được nhiều sự đóng góp của nhiều nhà toán học như: Heine, Lipschitz, . . . Ngày nay, những chuyên gia về xử lí tín hiệu số là những người hiểu hơn ai hết vai trò quan trọng của chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Có thể nói rằng hầu hết các thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đều chứa các “con chíp” làm nhiệm vụ chuyển đổi các hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số) và đôi khi kiêm luôn chức năng “khử nhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu” dựa trên các phép biến đổi Fourier. Ngoài ra phép biến đổi Fourier còn có nhiều ứng dụng quan trọng các lĩnh vực số học, xác suất, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Do tầm quan trọng như vậy của chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn nữa về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier, tôi đã chọn đề tài 6 “Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của chuỗi Fourier và biến đổi Fourier. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, sự hội tụ. Chuỗi Fourier dưới dạng phức. Nghiên cứu chuỗi Fourier kép, một số ứng dụng. Nghiên cứu phép biến đổi Fourier và các tính chất. Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp mới Đây là bài tổng quan về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Giúp người đọc không chỉ hiểu rõ hơn về các tính chất của nó mà còn thấy chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier có thể áp dụng cho các bài toán dao động, phương trình truyền nhiệt của vật lý, lý thuyết thông tin, . . . Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian L p 1.1.1. Các định lí quan trọng của lý thuyết tích phân Định lý 1.1. Cho (f n ) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập Ω ⊂ R N sao cho sup n  f n ∞. Khi đó, f n hội tụ hầu khắp nơi trên Ω về một hàm f khả tích trên Ω và f n − f 1 ≡  Ω |f n (x) −f(x)|dx → 0 khi n → ∞. Định lý 1.2. Cho (f n ) là dãy các hàm thực (phức) khả tích trên Ω. Giả sử a. f n (x) → f(x) hầu khắp nơi trên Ω, b. tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi trên Ω. Khi đó f khả tích và f n − f 1 ≡  Ω |f n (x) −f(x)|dx → 0 khi n → ∞. Hệ quả 1.1. Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω. Ta có: Nếu |f n (x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi trên Ω thì f khả tích trên Ω. Suy ra rằng: Nếu |f| khả tích thì f khả tích và ngược lại. 8 Bổ đề 1.1. Giả sử (f n ) là một dãy các hàm khả tích sao cho a. f n ≥ 0 hầu khắp nơi trên Ω, ∀n. b. sup  f n < ∞. Với mỗi x ∈ Ω đặt f(x) = lim inf f n (x). Khi đó, f khả tích trên Ω và  f ≤ lim n→∞ inf  f n . Giả sử Ω 1 ⊂ R 1 , Ω 2 ⊂ R 2 là hai tập mở và F : Ω 1 ×Ω 2 → R (hoặc C) là hàm đo được. Định lý 1.3. Giả sử  Ω 2 |F (x, y)|dy < ∞ hầu khắp nơi với x ∈ Ω 1 và  Ω 1 dx  Ω 2 |F (x, y)|dy < ∞. Khi đó, F khả tích trên Ω 1 × Ω 2 . Định lý 1.4. Cho F khả tích trên Ω 1 × Ω 2 . Khi đó với hầu hết x thuộc Ω 1 F (x, .) ≡ y → F (x, y) khả tích trên Ω 2 và x →  Ω 2 F (x, y)dy khả tích trên Ω 1 . Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y, Ω 1 cho Ω 2 . Hơn nữa, ta có  Ω 1 dx  Ω 2 F (x, y)dy =  Ω 2 dy  Ω 1 F (x, y)dx =  Ω 1 ×Ω 2 F (x, y)dxdy. 1.1.2. Không gian L p , 1 ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1. Cho p ∈ R với 1 ≤ p < ∞; ta định nghĩa L p (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f| p khả tích), L ∞ (Ω) = { f : Ω → R (hoặc C); f đo được và ∃C, |f(x)| ≤ C hầu 9 khắp nơi}. Và ký hiệu f p =   Ω |f(x)| p dx  1/p f ∞ = inf  C : |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi  . NHẬN XÉT. Nếu f ∈ L ∞ (Ω) thì |f(x)| ≤ ||f|| ∞ hầu khắp nơi với x ∈ Ω. Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Holder). Cho f ∈ L p và g ∈ L p  với 1≤ p ≤ ∞ và p  là liên hợp của p, nghĩa là 1 p + 1 p  = 1. Khi đó f.g ∈ L 1 và  |f.g| ≤ f p . g p  Dựa vào bất đẳng thức Holder ta chứng minh được Định lý 1.6. L p là một không gian vectơ và . p là một chuẩn với 1 ≤ p ≤ ∞. Định lý 1.7 (Fischer-Riez). a. L p là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞. b. Giả sử (f n ) là dãy hội tụ về f trong không gian L p (1 ≤ p ≤ ∞) nghĩa là f n − f p → 0.Thế thì dãy con (f n k ) k=1,2, sao cho f n k (x) → f(x) hầu khắp nơi ∀k, |f n k (x)| ≤ h(x) hầu khắp nơi, với h là một hàm trong L p . Với Ω là tập mở trong R, ta ký hiệu C k (Ω) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến cấp k và C ∞ (Ω) = ∩ ∞ k=1 C k (Ω). Còn C c (Ω) là không 10 gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá (support) của f, tức là tập hợp supp f = {x ∈ Ω; f(x) = 0} là compact chứa trong Ω. Đặt C k c (Ω) = C k (Ω) ∩C c (Ω), C ∞ c (Ω) = C ∞ (Ω) ∩C c (Ω). Ta có kết quả sau đây về tính trù mật Định lý 1.8. Với 1 ≤ p < ∞ thì C ∞ c (Ω) trù mật trong L p (Ω). Định lý 1.9 (Riemann - Lesbesgue). Cho f ∈ L 1 (a, b), với (a,b) là khoảng vô hạn hoặc hữu hạn của R, thì ta có lim N→∞  b a f(x) cos Nxdx = 0, lim N→∞  a b f(x) sin Nxdx = 0 khi N → ∞. 1.1.3. Tích chập Định nghĩa 1.2. Cho hai hàm số f và g xác định trên R N thì hàm số f ∗ g xác định bởi (f ∗ g) (x) =  R N f(x −y)g(y)dy, với giả thiết tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g. Định lý 1.10. Giả sử f ∈ L 1 (R N ) và g ∈ L p (R N ) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó, với mỗi x ∈ R N , hàm số y → f(x − y)g(y) khả tích trên R N và f ∗g ∈ L p (R N ). Hơn nữa f ∗g ≤ f 1 g p . [...]... này có nghĩa là chuỗi F ourier của f ứng với hệ trực chuẩn (2π)−1/2 einx n∈Z trùng với chuỗi Fourier định nghĩa ở mục 1.1 Nếu f ∈ L2 [−π, π] thì ta có đẳng thức Parseval sau đây 2 |cn | ≡ lim n∈Z n→∞ π 2 |ck | = |f (x)|2 dx (2.18) −π −n≤|k|≤n hay (cn )n=1,2, 2 = f 2 Vậy ta có thể xem phép biến đổi Fourier biến f thành dãy (cn )n=1,2 định nghĩa ở (2.16) là một phép đẳng cự từ L2 (−π, π) vào 2 ... cả các phân hoạch của [a, b] Ta gọi V (f ) là biến phân toàn phần của f trên [a, b] Hàm f gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] nếu V (f ) < +∞ 16 Tính chất 1.3 Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b] Khi đó (a) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re [f ] và Im [f ], tức phần thực và phần ảo của f , có biến phân bị chặn (b) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể, |f (x)|... và đơn điệu từng khúc trên (a, b) thì f thỏa mãn điều kiện Dirichlet (i) Nếu có hữu hạn điểm thuộc [a, b] sao cho khi bỏ đi lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f đơn điệu từng 17 khúc trên các đoạn còn lại, thêm vào đó f ∈ L1 (a, b) thì f thỏa mãn điều kiện Dirichlet (ii) Chương 2 CHUỖI FOURIER 2.1 Chuỗi Fourier Với hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khả tích Lebesgue trên [−π, π], ta định nghĩa chuỗi. .. x−x x −x và α = lần lượt trong tích phân thứ nhất và 2 2 tích phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được Đổi biến α = 20 1 Sn = π (x+π)/2 f (x − 2α) 0 1 + π sin(2n + 1)α dx sin α (π−x)/2 f (x + 2α) 0 sin(2n + 1)α dx sin α (2.3) Với x ∈ (−π, π) cố định, ta có các hàm theo biến α là f (x ± 2α) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng (0, π−x ) và (0, π+x ) 2 2 Do đó, nếu f (x+ ) và f (x−... Trong đó, ta đổi biến x = π − α ở tích phân thứ hai Áp dụng bổ đề 1.2, ta có lim Sn (x) = n→∞ 1 f (π − ) + f (−π + ) 2 Với x = −π, chứng minh tương tự CHÚ THÍCH Có những hàm f liên tục trên [−π, π] mà tại những điểm nào đó thuộc đoạn [−π, π], chuỗi fourier của f không hội tụ Vấn đề khôi phục hàm f trong trường hợp đó sẽ được xét ở mục 2.5 21 2.3 Chuỗi cosin, chuỗi sin Cho f ∈ L1 [0, π] và thoả mãn... (π−x)/2 f (x + 2α) (−π−x)/2 sin (2n + 1) α dα sin α 1 π/2 sin (2n + 1) α = f (x + 2α) dα, π −π/2 sin α trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x = x + 2α trong tích phân thứ hai và tính tuần hoàn chu kỳ 2π của f trong tích phân thứ ba Do f = F − G, tách cận tích phân và đổi biến ta được 23 1 Sn (x) = π π/2 F (x + 2α) −π/2 − 1 = π 1 π π/2 G (x + 2α) −π/2 π/2 F (x + 2α) 0 1 + π 1 − π − 1 π sin (2n + 1)... Do định lý 2.1, chuỗi Fourier π 0 n 1 của f hội tụ về f tại x ∈ (−π, π) và hội tụ về [f (π) + f (−π] = 0 tại 2 sin 2x sin 3x x = ±π vậy x = 2 sin x − + − ∀x ∈ (−π, π) 2 3 Ví dụ 2.3 Với f (x) = x, 0 ≤ x ≤ 2π thì 1 2π 1 2π x dx = 2π, an = x cos nx dx = 0 n ≥ 1, a0 = π 0 π 0 và 1 2π 2 bn = x sin nx dx = − , n ≥ 1 π 0 n Do định lý 2.1, chuỗi Fourier của f hội tụ về f (x) tại x ∈ (0, 2π) và hội 1 tụ về [f... [−π, π] Đặt 1 cn = √ 2π Ta nói chuỗi n∈Z cn π f (x )e−in x dx , n ∈ Z (2.16) −π einx √ 2π là chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn (2π)−1/2 einx |n ∈ Z , và mối quan hệ này được ký hiệu bởi f (x) ∼ einx cn √ (2.17) 2π n∈Z Nếu giới hạn sau đây tồn tại eikx lim ck √ , n→∞ 2π −n≤|k|≤n thì ta nói chuỗi Fourier của f ứng với hệ trực chuẩn (2π)−1/2 ein x n∈Z là hội tụ và giá trị hội tụ cũng được ký...11 1.2 Vài định lý về không gian Banach và không gian Hilbert 1.2.1 Định lý ánh xạ mở và định lý Lax - Milgram Định nghĩa 1.3 Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và A là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Ta định nghĩa A = sup { Ax : x ∈ X, x ≤ 1} Ánh xạ A được gọi là bị chặn nếu A < ∞ Tính chất 1.1 Với một ánh xạ tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn... (0, 2π) n2 n Tại x = 0, 2π thì chuỗi hội tụ về 2π 2 Ví dụ 2.5 Khai triển hàm    cos(πx) nếu 0 x f (x) = 1 0  nếu < x 2 1 2 1 (2.14) 30 Thành chuỗi cosin như sau: thác triển hàm f trên [−1, 1], thành hàm chẵn bằng cách đặt f (x) = f (−x) với −1 ≤ x < 0 Sau đó đổi biến x = t/π và đặt    cos(t) nếu 0 |t| ϕ(t) = f (x) = f (t/π) = π 0  nếu < x 2 π 2 π Khai triển chuỗi cosin cho hàm ϕ chẵn, áp . học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Do tầm quan trọng như vậy của chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn nữa về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier, tôi đã. chọn đề tài 6 Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của chuỗi Fourier và biến đổi Fourier. 3 mới Đây là bài tổng quan về chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Giúp người đọc không chỉ hiểu rõ hơn về các tính chất của nó mà còn thấy chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier có thể áp dụng cho