Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người đã giao đề tài và hướng dẫn tận tình để tôi có được luận văn này. . Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Toán, Phòng Sau đại học cũng như các thầy cô giáo đã trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu và tạo mọi điều kiện cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình học cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sao Đỏ, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học cao học. Và cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân trong gia đình của tôi đã giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian gian học tập. Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Vũ Duy Tiến Lời nói đầu Lịch sử của sóng nhỏ được bắt đầu vào khoảng năm 1982. Lý thuyết sóng nhỏ là kết quả của sự nỗ lực của nhiều ngành và góp phần đem các nhà toán học, vật lý và kỹ sư lại với nhau. Có rất nhiều lý do cho sự thành công của lý thuyết này. Một trong số đó là khả năng ứng dụng rộng rãi của nó. Những ứng dụng của sóng nhỏ có mặt trong giải tích tín hiệu, kỹ thuật nâng cao chất lượng ảnh, nén dấu vân tay, nhận dạng đối tượng, kỹ thuật giảm tiếng ồn âm thanh, Phép biến đổi Fourier ˆ f(ω) =  ∞ −∞ e −iωx f(x)dx không chỉ là công cụ toán học mạnh mẽ mà còn có ý nghĩa vật lý rất lớn trong các ứng dụng. Ví dụ, nếu hàm f ∈ L 2 (R) được xét như một tín hiệu tương tự với năng lượng hữu hạn, xác định bởi chuẩn của nó f 2 thì biến đổi Fourier của f mô tả phổ của tin hiệu. Trong phân tích tín hiệu, các tín hiệu tương tự được xác định trong miền thời gian và thông tin về phổ của các tín hiệu này được cho trong miền tần số. Công thức của biến đổi Fourier là không đầy đủ cho hầu hết các ứng dụng. Để lấy thông tin phổ ˆ f(ω) từ tín hiệu tương tự f(t), từ công thức này ta cần dùng một lượng thời gian vô hạn, dùng cả thông tin quá khứ và tương lai của tín hiệu, chỉ để xác định phổ duy nhất tại tần số ω. Bên cạnh đó, công thức trên thậm chí không phản ánh được các tần số thay đổi theo thời gian Năm 1946, Dennis Gabor, một nhà vật lý người Hungary đã được nhận giải Nobel vật lý, đưa ra phép biến đổi Gabor nhằm khắc phục yếu điểm trên bằng cách dùng một hàm cửa sổ địa phương hóa thời gian g(t - b) để lấy những thông tin địa phương của phép biến đổi Fourier của tín hiệu, trong đó tham số b được dùng để dịch 4 chuyển cửa sổ trên toàn bộ trục thời gian. Tuy nhiên, phép biến đổi Gabor có nhược điểm là chiều rộng của cửa sổ thời gian-tần số không thay đổi đối với mọi giá trị tần số. Năm 1982, Jean Morlet, một nhà kỹ sư địa vật lý người Pháp, đã đưa ra khái niệm sóng nhỏ và phép biến đổi sóng nhỏ như là một phương tiện mới để phân tích tín hiệu địa chấn. Phép biến đổi sóng nhỏ là một công cụ cắt các hàm, các toán tử thành những thành phần tần số khác nhau và sau đó nghiên cứu mỗi thành phần với độ phân giải tương ứng đối với các thang bậc của nó. Phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm hơn phép biến đổi Gabor ở chỗ cửa sổ của nó có khả năng phóng to hay thu nhỏ, tức là cửa sổ thời gian tần số sẽ tự động thu nhỏ với những thành phần có tần số cao và mở rộng với những thành phần có tần số thấp. Đó là tính chất được mong chờ nhất trong giải tích thời gian-tần số. Trong nhiều ứng dụng, đặc biệt trong giải tích tín hiệu, dữ liệu được biểu diễn bởi một số hữu hạn các giá trị, do đó việc nghiên cứu mô hình rời rạc của phép biến đổi sóng nhỏ liên tục là rất quan trọng và hữu ích. Năm 1986, I. Daubechies, A. Grossmann và Y. Meyer đã đưa ra một nền tảng toán học cho mô hình rời rạc, được xây dựng đặc biệt cho không gian L 2 (R) và dựa trên khái niệm khung trong không gian Hilbert, một ý tưởng được đưa vào đầu tiên do R.J.Duffin và A.C. Schaeffer năm 1952. Được thu hút bởi tính thời sự và tính ứng dụng cao của sóng nhỏ cũng như phép biến đổi sóng nhỏ, tôi quyết định chọn “ Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc” làm đề tài luận văn tốt nghiệp. Do sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ rất nhanh và do thời gian hạn chế nên chúng tôi chỉ trình bày một số nét chính về sóng nhỏ, các phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc. Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết 5 luận chung và danh mục tài liệu tham khảo. Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại những kết quả cơ bản của lý thuyết không gian L p , và phép biến đổi Fourier mà không chứng minh các kết quả đó. Bên cạnh đó chúng tôi giới thiệu qua về khái niệm sóng nhỏ và các ví dụ. Ở chương 2 đề cập đến các tính chất của phép biến đổi sóng nhỏ liên tục cũng như các ứng dụng của nó trong giải tích thời gian tần số kèm theo các chứng minh đầy đủ, chi tiết. Chương 3 trình bày phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc, lý thuyết khung trong không gian Hilbert tổng quát, khung sóng nhỏ và địa phương hoá thời gian tần số. Mục lục Mở đầu 3 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu 7 1.1. Không gian L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R) 9 1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R) 11 1.3. Sóng nhỏ cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục 15 2.1. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và giải tích thời gian – tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sóng nhỏ . . . . 20 2.3. Tốc độ triệt tiêu của biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . 23 Chương 3. Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc 32 3.1. Rời rạc hoá phép biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . . . 32 3.2. Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 35 3.3. Khung sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1. Điều kiện cần của khung sóng nhỏ . . . . . . . 45 3.3.2. Điều kiện đủ và các đánh giá cận khung . . . 49 3.3.3. Khung đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.5. Địa phương hoá thời gian - tần số . . . . . . . 55 Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 1.1. Không gian L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Ta định nghĩa không gian L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞ như sau L p (R) = {f : R → R (hay C): f đo được và |f| p khả tích } L p (R) = {f : R → R (hay C): f đo được và ∃C, |f(x)| ≤ C h.k.n} Ký hiệu f p =   R |f(x)| p dx  1 p và f ∞ = inf{C : |f(x)| ≤ C h.k.n}. Chú ý: - L p (R)(1 ≤ p ≤ ∞) là không gian Banach với  ·  p là một chuẩn - Nếu f ∈ L ∞ (R) thì |f(x)| ≤ f ∞ h.k.n Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ L p (R); g ∈ L q (R) với 1 p + 1 q = 1; 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f.g ∈ L 1 (R) và  |f.g| ≤ f p · g q . (1.1) Đặc biệt, khi p = q = 2 ta có bất đẳng thức Schwarz - Buni- akowski  |f · g| ≤ f 2 · g 2 . (1.2) 8 Ngoài ra, với p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞ ta có bất đẳng thức Minkowski f + g p ≤ f p + g p . (1.3) Định lý 1.2. (Hội tụ bị chặn của Lebesgue) Cho {f n } là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên R. Giả sử: i) f n (x) → f(x) h.k.n trên R ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |f n (x)| ≤ g(x) h.k.n trên R Khi đó f khả tích và f n − f 1  1 =  R |f n (x) −f(x)|dx → 0 khi n → ∞ (1.4) Hệ quả 1.1. Cho f là một hàm đo được và g là hàm khả tích trên R. i) Nếu |f(x)| ≤ g(x) h.k.n trên R thì f khả tích trên R. ii) |f| khả tích khi và chỉ khi f khả tích trên R. Giả sử F : R n 1 × R n 2 → R (hay C) là hàm đo được. Định lý 1.3. (Tonelli) Giả sử  R n 2 |F (x, y)|dy < ∞ h.k.n trên R n 1 và  R n 1 dx  R n 2 |F (x, y)|dy < ∞. Khi đó F khả tích trên R n 1 × R n 2 . Định lý 1.4. (Fubini) Cho F khả tích trên R n 1 × R n 2 . Khi đó với hầu hết x ∈ R n 1 , F (x, ·) ≡ y → F (x, y) khả tích trên R n 2 và x →  R n 2 F (x, y)dy khả tích trên R n 1 . Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y và R n 1 cho R n 2 . Hơn nữa, ta có 9  R n 1 dx  R n 2 F (x, y)dy =  R n 2 dy  R n 1 F (x, y)dx =  R n 1 ×R n 2 F (x, y)dxdy . (1.5) 1.2. Phép biến đổi Fourier 1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R) Định nghĩa 1.2. Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L 1 (R) cho bởi công thức ˆ f(ω) = (Ff)(ω) :=  ∞ −∞ e −iωx f(x)dx (1.6) Một số tính chất cơ bản của ˆ f(ω) với f ∈ L 1 (R) được cho trong hai định lý sau: Định lý 1.5. Cho f ∈ L 1 (R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f thoả mãn: i) ˆ f ∈ L ∞ (R);  ˆ f ∞ ≤ f 1 ii) ˆ f liên tục đều trên R iii) Nếu đạo hàm f (k) tồn tại và thuộc L 1 (R) thì  f (k) = (iω) (k) ˆ f(ω) iv) ˆ f(ω) → 0 khi ω → ±∞ Định lý 1.6. Nếu f(t), g(t) ∈ L 1 (R) và α, β là các hằng số bất kỳ thì i) F{αf(t) + βg(t)} = αF{f(t)} + βF{g(t)} ii) F{T a f(t)} = M −a ˆ f(ω) iii) F{D 1 a f(t)} = D a ˆ f(ω) iv) F{D −1 f(t)} = ˆ f(ω) v) F{M a f(t)} = T a ˆ f(ω) trong đó T a là phép tịnh tiến cho bởi T a f(t) = f(t −a). D a là phép 10 giãn cho bởi D a f(t) = 1  |a| f( t a ), a = 0, M a là phép biến điệu cho bởi M a f(t) = e iat f(t). Định nghĩa 1.3. Cho ˆ f ∈ L 1 (R) là phép biến đổi Fourier của f ∈ L 1 (R). Khi đó phép biến đổi Fourier ngược của ˆ f được định nghĩa là (F −1 ˆ f)(x) := 1 2π  ∞ −∞ e ixω ˆ f(ω)dω (1.7) Định lý 1.7. Cho f ∈ L 1 (R) có phép biến đổi Fourier ˆ f ∈ L 1 (R). Khi đó f(x) = (F −1 ˆ f)(x) (1.8) tại mọi điểm x mà ở đó f liên tục. Định nghĩa 1.4. Hàm có dạng g α (x) := 1 2 √ πα e −x 2 4α , α > 0 được gọi là hàm Gauss. Ví dụ 1.1. Cho a > 0. Khi đó phép biến đổi Fourier của hàm Gauss e −ax 2 là  π a e − ω 2 4a , tức là  ∞ −∞ e −iωx e −ax 2 dx =  π a e − ω 2 4a . (1.9) Chứng minh. Xét hàm f(y) : =  ∞ −∞ e −ax 2 +xy dx; y ∈ R =  ∞ −∞ e −a(x− y 2a )+ y 2 4a = 1 √ a e y 2 4a  ∞ −∞ e −x 2 dx =  π a e y 2 4a [...]... có thể kết luận với sự giúp đỡ của(2.35), là: R = o ar+1/2 khi a → 0 + 2 Chương 3 Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc 3.1 Rời rạc hoá phép biến đổi sóng nhỏ Trong phép biến đổi sóng nhỏ liên tục chúng ta xét họ: 1 ψb,a (x) = |a|− 2 ψ t−b a ở đó b ∈ R, a ∈ R với a = 0 và ψ là chấp nhận được Để thuận tiện, trong phép rời rạc chúng ta chỉ hạn chế a nhận các giá trị dương, vì vậy điều kiện chấp nhận được trở... = , ta có 2 ˆ ψ(ω) = F √ ω2 d2 ϕ(t) (ω) = (iω)2 ϕ(ω) = 2πω 2 e− 2 ˆ dt2 Khi đó ∞ −∞ ˆ ψ(ω) |ω| 2 ∞ dω = −∞ Vậy ψ(t) là một sóng nhỏ cơ sở 2 2π |ω|3 e−ω dω < ∞ Chương 2 Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục 2.1 Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và giải tích thời gian – tần số Biến đổi Fourier ∞ ˆ f (ω) = e−iωx f (x)dx (2.1) −∞ không chỉ là công cụ toán học mạnh mẽ mà còn có ý nghĩa vật lý rất lớn trong các... ac), c > 0 c (2.22) viii) ở đây Tc là phép tịnh tiến cho bởi Tc f (x) = f (x − c) và Dc là phép 1 x giãn cho bởi Dc f (x) = f ( ) với c = 0 |c| c Sử dụng công thức (2.7) và các tính chất của tích vô hướng ta có thể chứng minh được các tính chất trên Định lý 2.2 (Công thức Parseval của phép biến đổi sóng nhỏ) Giả sử ψ là sóng nhỏ cơ sở và Wψ là phép biến đổi sóng nhỏ ứng với ψ Khi đó ∞ ∞ (Wψ f ) (b,... nên hẹp đối với tần số trung ω∗ tâm lớn và rộng hơn với tần số trung tâm nhỏ mặc dù diện tích a của cửa sổ là hằng số 4 ψ ψ Đây là tính chất được mong chờ nhất ˆ trong giải tích thời gian tần số 2.2 Tính chất cơ bản của phép biến đổi sóng nhỏ Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi sóng nhỏ được cho trong định lý sau: Định lý 2.1 Nếu ψ, φ là các sóng nhỏ cơ sở và các hàm f, g ∈ L2 (R) thì i) (Tuyến... ý tưởng sóng nhỏ như một họ các hàm được xây dựng từ các phép tịnh tiến và giãn nở một hàm được gọi là sóng nhỏ cơ sở” (hay cũng được gọi là sóng nhỏ mẹ) ψ(t) ψb,a (x) := 1 |a| x−b ); a, b ∈ R, a = 0 a ψ( (1.13) trong đó a được gọi là tham số giãn nở, còn b được gọi là tham số dịch chuyển, xác định thời gian của sóng nhỏ Nếu |a| < 1, sóng nhỏ (1.1) là mô hình nén của sóng nhỏ cơ sở (có giá nhỏ hơn... kỳ giá trị nào của ω Điều này làm cho phép biến đổi Fourier cửa sổ luôn có độ rộng của sổ không thay đổi với bất kỳ tần số nào, dù là rất cao hay rất thấp Đây là hạn chế cơ bản của phép biến đổi Fourier cửa sổ Năm 1982, Jean Morlet đã đưa ra khái niệm phép biến đổi sóng nhỏ như là một phương tiện mới cho phân tích tín hiệu địa chấn 17 Định nghĩa 2.1 Phép biến đổi tuyến tính Wψ được cho bởi ∞ 1 −2... trong đó a, b ∈ R, a = 0 được gọi là phép biến đổi sóng nhỏ ứng với sóng nhỏ cơ sở ψ Sử dụng ký hiệu (1.13) ta có thể viết lại (Wψ f ) (b, a) = f, ψb,a (2.7) Khi tham số a được cố định lại, (Wψ f ) (b, a) như là một hàm của b sẽ cho những thông tin chi tiết của tín hiệu f ở thang bậc a Do sóng nhỏ |ψb,a | có độ rộng thời gian tương thích với tần số, phép biến đổi sóng nhỏ có cửa sổ thời gian - tần số linh... với giá compact Nếu f ∈ L2 (R) là một tín hiệu thời gian liên tục với biến đổi sóng nhỏ thoả mãn đánh giá 1 |Wψ f (b, a)| ≤ C |a|α+ 2 , a, b ∈ R với một α ∈ (0, 1], thì f liên tục H older toàn cục với số mũ α ¨ 26 Các định lý sau có bản chất tinh tế hơn Từ các định lý này ta rút ra rằng: để tối ưu hóa tính chất tiệm cận của phép biến đổi sóng nhỏ Wψ f ta phải áp đặt thêm điều kiện trên ψ Tính chính... trong các trường hợp khác được gọi là moment cấp k của ψ ∈ L1 (R) Sóng nhỏ cơ sở ψ là một sóng nhỏ cơ sở bậc N nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: tN ψ ∈ L1 (R); Mk (ψ) = 0(0 ≤ k ≤ N − 1), MN (ψ) =: γ = 0 Nếu không có gì đặc biệt được đưa ra thì, bậc của sóng nhỏ ˆ cơ sở là 1 Biến đổi Fourier ψ của sóng nhỏ cơ sở bậc N là khả vi liên tục N lần Các điều kiện mômen kéo theo các điều kiện: ˆ ˆ ψ (k)... Parseval, ψ cũng thuộc L2 (R) nhưng ψ không nhất thiết là một hàm cửa sổ Giả sử rằng ψ là sóng nhỏ cơ sở bất ˆ kỳ thỏa mãn cả ψ và biến đổi Fourier ψ của nó là các hàm cửa sổ với tâm và bán kính cho bởi t∗ , ω ∗ , ψ, ˆ ψ, theo thứ tự thì hàm ψb,a cũng là hàm cửa sổ với tâm là b + at∗ và bán kính là a ψ Khi đó biến đổi sóng nhỏ (Wψ f ) (b, a) = f, ψb,a của một tín hiệu tương tự f , sẽ địa phương hóa tín hiệu . phép biến đổi sóng nhỏ . . . . 20 2.3. Tốc độ triệt tiêu của biến đổi sóng nhỏ . . . . . . . . 23 Chương 3. Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc 32 3.1. Rời rạc hoá phép biến đổi sóng nhỏ . . . . . |ω| 3 e −ω 2 dω < ∞. Vậy ψ(t) là một sóng nhỏ cơ sở. Chương 2 Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục 2.1. Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và giải tích thời gian – tần số Biến đổi Fourier ˆ f(ω) =  ∞ −∞ e −iωx f(x)dx. cũng như phép biến đổi sóng nhỏ, tôi quyết định chọn “ Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc làm đề tài luận văn tốt nghiệp. Do sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ rất nhanh và do thời gian