Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hiên hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga Tơi xin bày tó sn kính lòng biet ơn sâu sac đoi vói cơ, ngưòi giao đe tài hưóng dan t¾n tình đe tơi có đưoc lu¾n văn Tơi xin chân thành cám ơn Ban giỏm hiắu Trũng HSP H Nđi 2, Khoa Toỏn, Phòng Sau đai hoc thay giáo trang b% kien thúc, phương pháp nghiên cúu tao moi đieu ki¾n cho tơi ket thúc tot đep chương trình hoc cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tơi xin cám ơn Ban lãnh đao Trưòng Đai hoc Sao Đó, nơi tơi cơng tác, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi hồn thành chương trình hoc cao hoc Và cuoi tơi xin cám ơn nhung ngưòi thân gia đình cna tơi giúp đõ, đ®ng viên tơi rat nhieu suot thòi gian gian hoc H Nđi, thỏng nm 2011 Tỏc giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình cna nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành q khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Vũ Duy Tien Lài nói đau L%ch sú cna sóng nhó đưoc bat đau vào khống năm 1982 Lý thuyet sóng nhó ket cna sn no lnc cna nhieu ngành góp phan đem nhà tốn hoc, v¾t lý ky sư lai vói Có rat nhieu lý cho sn thành cơng cna lý thuyet M®t so úng dung r®ng rãi cna Nhung úng dung cna sóng nhó có m¾t giái tích tín hi¾u, ky thu¾t nâng cao chat lưong ánh, nén dau vân tay, nh¾n dang đoi tưong, ky thu¾t giám tieng on âm thanh, Phép bien đoi Fourier fˆ(ω) = ¸∞e −iωx f (x)dx khơng chí −∞ cơng cu tốn hoc manh me mà có ý nghĩa v¾t lý rat lón úng dung Ví du, neu hm f L2(R) oc xột nh mđt tớn hiắu tương tn vói lưong huu han, xác đ%nh bói chuan cna "f"2 bien đoi Fourier cna f mơ tá cna tin hi¾u Trong phân tích tín hi¾u, tín hi¾u tương tn đưoc xác đ%nh mien thòi gian thơng tin ve cna tín hi¾u đưoc cho mien tan so Cơng thúc cna bien đoi Fourier không đay đn cho hau het úng dung Đe lay thông tin fˆ(ω) tù tín hi¾u tương tn f (t), tù cơng thúc ta can dùng m®t lưong thòi gian vơ han, dùng cá thông tin khú tương lai cna tín hi¾u, chí đe xác đ %nh nhat tai tan so ω Bên canh đó, cơng thúc th¾m chí khơng phán ánh đưoc tan so thay đoi theo thòi gian Năm 1946, Dennis Gabor, m®t nhà v¾t lý ngưòi Hungary đưoc nh¾n giái Nobel v¾t lý, đưa phép bien đoi Gabor nham khac phuc yeu điem bang cách dùng m®t hàm cúa so đ%a phương hóa thòi gian g(t - b) đe lay nhung thông tin đ%a phương cna phép bien đoi Fourier cna tín hi¾u, tham so b đưoc dùng đe d%ch chuyen cúa so tồn b® truc thòi gian Tuy nhiên, phép bien đoi Gabor có nhưoc điem chieu r®ng cna cúa so thòi gian-tan so khơng thay đoi đoi vói moi giá tr% tan so Năm 1982, Jean Morlet, m®t nhà ky sư đ%a v¾t lý ngưòi Pháp, đưa khái ni¾m sóng nhó phép bien đoi sóng nhó m®t phương ti¾n mói đe phân tích tín hi¾u đ%a chan Phép bien đoi sóng nhó m®t cơng cu cat hàm, toán tú thành nhung thành phan tan so khác sau nghiên cúu moi thành phan vói đ® phân giái tương úng đoi vói thang b¾c cna Phép bien đoi sóng nhó có ưu điem phép bien đoi Gabor ó cho cúa so cna có phóng to hay thu nhó, túc cúa so thòi gian tan so se tn đ®ng thu nhó vói nhung thành phan có tan so cao mó r®ng vói nhung thành phan có tan so thap Đó tính chat đưoc mong chò nhat giái tích thòi gian-tan so Trong nhieu úng dung, đ¾c bi¾t giái tích tín hi¾u, du li¾u đưoc bieu dien bói m®t so huu han giá tr%, vi¾c nghiên cúu mơ hình ròi rac cna phép bien đoi sóng nhó liên tuc rat quan huu ích Năm 1986, I Daubechies, A Grossmann Y Meyer đưa m®t nen táng tốn hoc cho mơ hình ròi rac, đưoc xây dnng đ¾c bi¾t cho khơng gian L2(R) dna khái niắm khung khụng gian Hilbert, mđt ý túng oc đưa vào đau tiên R.J.Duffin A.C Schaeffer năm 1952 Đưoc thu hút bói tính thòi sn tính úng dung cao cna sóng nhó phép bien đoi sóng nhó, tơi quyet đ%nh chon “ Phép bien đoi sóng nhó liên tic rài rac” làm đe tài lu¾n văn tot nghi¾p Do sn phát trien cna lý thuyet sóng nhó rat nhanh thòi gian han che nên chúng tơi chí trình bày m®t so nét ve sóng nhó, phép bien đoi sóng nhó liên tuc ròi rac Lu¾n văn đưoc chia thành chương vói phan mó đau, ket lu¾n chung danh muc tài li¾u tham kháo Trong chương 1, nhac lai nhung ket bán cna lý thuyet không gian Lp, phép bien đoi Fourier mà khơng chúng minh ket q Bên canh chúng tơi giói thi¾u qua ve khái ni¾m sóng nhó ví du é chương đe c¾p đen tính chat cna phép bien đoi sóng nhó liên tuc úng dung cna giái tích thòi gian tan so kèm theo chúng minh đay đn, chi tiet Chương trình bày phép bien đoi sóng nhó ròi rac, lý thuyet khung khơng gian Hilbert tong qt, khung sóng nhó đ%a phương hố thòi gian tan so Mnc lnc Mỏ au Chng Mđt so khỏi niắm ket ban đau p 1.1 Không gian L (R), ≤ p ≤ ∞ 1.2 Phép bien đoi Fourier 1.2.1 Phép bien đoi Fourier không gian L1(R) 1.2.2 Phép bien đoi Fourier khơng gian L2(R) 11 1.3 Sóng nhó só 12 Chương Phép bien đoi sóng nhó liên tnc 15 2.1 Phép bien đoi sóng nhó liên tuc giái tích thòi gian – tan so 15 2.2 Tính chat bán cna phép bien đoi sóng nhó 20 2.3 Toc đ triắt tiờu cna bien oi súng nhó 23 Chương Phép bien đoi sóng nhó rài rac 32 3.1 Ròi rac hố phép bien đoi sóng nhó 32 3.2 Khung không gian Hilbert 35 3.3 Khung sóng nhó 45 3.3.1 Đieu ki¾n can cna khung sóng nhó .45 3.3.2 Đieu ki¾n đn đánh giá c¾n khung 3.3.3 Khung đoi ngau 49 52 3.3.4 Ví du .54 3.3.5 Đ%a phương hố thòi gian - tan so 55 Chương Mđt so khỏi niắm v ket quỏ ban au 1.1 Không gian Lp(R), ≤ p ≤ ∞ Đ%nh nghĩa 1.1 Cho p ∈ R, ≤ p ≤ ∞ Ta đ%nh nghĩa không gian Lp(R), ≤ p ≤ ∞ sau p Lp(R) = {f : R → R (hay C): f đo đưoc |f | tích } Lp(R) = {f : R → R (hay C): f đo đưoc ∃C, |f (x)| ≤ C h.k.n} Ký hiắu "f"p = p C h.k.n} "f"∞ = inf{C : |f (x)| ≤ p |f (x)| dx R Chú ý: - Lp(R)(1 ≤ p ≤ ∞) khơng gian Banach vói " · "p m®t chuan - Neu f ∈ L∞(R) |f (x)| ≤ "f"∞ h.k.n Đ%nh lý 1.1 (Bat thúc Holder) 1 p q Cho f ∈ L (R); g ∈ L (R) + = 1; ≤ p ≤ ∞ Khi p q vói f.g ∈ L1(R) v |f.g| "f"p ã "g"q (1.1) ắc bi¾t, p = q = ta có bat thúc Schwarz - Buniakowski ¸ |f · g| ≤ "f"2 · "g"2 (1.2) Ngồi ra, vói p ∈ R, ≤ p ≤ ∞ ta có bat thúc Minkowski "f + g"p ≤ "f"p + "g"p (1.3) %nh lý 1.2 (Hđi tn b% chắn cỳa Lebesgue) Cho {fn} dãy hàm (thnc ho¾c phúc) tích R Giá sú: i) fn(x) → f (x) h.k.n R ii) Ton tai hàm g tích cho vói moi n, |fn(x)| ≤ g(x) h.k.n R Khi f tích "fn − f1"1 ¸ |fn(x) − f (x)| dx → n → ∞ = (1.4) R H¾ 1.1 Cho f m®t hàm đo đưoc g hàm tích R i) Neu |f (x)| ≤ g(x) h.k.n R f tích R ii) |f | tích chí f tích R Giá sú F : Rn1 × Rn2 → R (hay C) hàm đo đưoc Đ%nh lý 1.3 (Tonelli) ¸ Giá n1 n2 |F (x, y)| dy < ∞ h.k.n R R sú ¸ ¸ dx Rn1 Rn2 |F (x, y)| dy < ∞ Khi F tích Rn1 × Rn2 Đ%nh lý 1.4 (Fubini) Cho F tích Rn1 × Rn2 Khi vói¸hau het x ∈ Rn1 , F (x, ·) ≡ y ›→ F (x, y) tích Rn2 x Rn2 F (x, y)dy ›→ tích Rn1 Ket lu¾n tương tn đoi vai trò x cho y Rn1 cho Rn2 Hơn nua, ta có ¸ ¸ F y)dy (x, = dx Rn1 Rn2 ¸ Rn2 ¸ dy F (x, y)dx F (x, y)dxdy Rn1 ¸ = (1.5) Rn1 ×Rn2 1.2 1.2.1 Phép bien đoi Fourier Phép bien đoi Fourier không gian L1 (R) Đ%nh nghĩa 1.2 Phép bien đoi Fourier cna m®t hàm f ∈ L1(R) cho bói cơng thúc fˆ(ω) = (Ff )(ω) := −iωx ¸∞e f (x)dx (1.6) −∞ M®t so tính chat bán cna fˆ(ω) vói f ∈ L1 (R) đưoc cho hai đ%nh lý sau: Đ%nh lý 1.5 Cho f ∈ L1(R) Khi phép bien đoi Fourier cúa f thố mãn: ˆ ≤ "f"1 i) fˆ ∈ L∞ (R); "f "∞ ii) fˆ liên tnc đeu R iii) Neu đao hàm f (k) ton tai thu®c L1(R) fˆ(k) = (iω)(k) fˆ(ω) iv) fˆ(ω) → ω → ±∞ Đ%nh lý 1.6 Neu f (t), g(t) ∈ L1(R) α, β hang so bat kỳ i) F{αf (t) + βg(t)} = αF{f (t)} + βF{g(t)} ii) F{Ta f (t)} = M−a fˆ(ω) iii) F{D f (t)} = Da fˆ(ω) a iv) F{D−1 f (t)} = fˆ(ω) v) F{Ma f (t)} = Ta fˆ(ω) Ta phép t%nh tien cho bói Taf (t) = f (t − a) Da phép 10 giãn cho bói Daf (t) = bói Maf (t) = eiatf (t) t f ,( ), a ƒ= 0, Ma phép bien đi¾u |a| a cho Đ%nh nghĩa 1.3 Cho fˆ ∈ L1 (R) phép bien đoi Fourier cna f ∈ L1 (R) Khi phép bien đoi Fourier ngưoc cna fˆ đưoc đ%nh nghĩa ¸ ∞ ixω (F−1 fˆ)(x) := e fˆ(ω)dω (1.7) 2π −∞ Đ%nh lý 1.7 Cho f ∈ L1 (R) có phép bien đoi Fourier fˆ ∈ L1 (R) Khi f (x) = (F−1 fˆ)(x) (1.8) tai moi điem x mà ó f liên tnc Đ%nh nghĩa 1.4 −x2 √ e πα Hàm có dang gα(x) := 4α , α > đưoc goi hàm Gauss Ví dn 1.1 Cho a > Khi phép bien đoi Fourier cna hàm Gauss e−ax2 π − ω2 e 4a , túc a π ω2 ¸ ∞ − 4a e (1.9) −iωx −ax a e e dx = −∞ Chúng minh Xét hàm ¸ f (y) : = ¸ ∞ e−ax +xydx; y ∈ R −∞ ∞ y y2 e−a(x− 2a )+ 4a −∞ ¸ y2 ∞ − x2 e dx = √ e 4a a −∞ π y2 = e 4a = hop chí phái tính N phan tú ψ˜0,n , ≤ n ≤ N − Tuy nhiên so van rat lón nhieu trưòng hop thnc hành Vì v¾y đ¾c bi¾t thu¾n loi đe làm vi¾c vói khung hau ch¾t, nghĩa B −1 1; có the dùng sau so hang b¾c khơng A cơng thúc khôi phuc (3.15), đe tránh tat cá nhung rac roi vói khung đoi ngau, van có đưoc sn khơi phuc tot cna hàm f bat kỳ M¾t khác, tonn tai nhung cách chon rat đ¾c bi¾t cna ψ, a0, b0 cho ψm,n khơng gan vói m®t khung ch¾t, tat cá hàm ψ˜m,n đưoc tao thành tù m®t hàm nhat − ψ˜m,n (x) = ψ˜m,n (x) = ma ˜ ψ a−m x − n (3.32) Chúng ta nh¾n xét rang ψm,n ψ˜m,n có rat nhieu tính chat quy khác Ví du như, ton tai khung ó ψ C ∞ tri¾t tiêu nhanh bat kỳ m®t hàm đa thúc ngh%ch đáo m®t vài ψ˜m,n khơng thu®c Lp vói p nhó (suy rang chúng tri¾t tiêu rat ch¾m) 3.3.4 Ví dn Cho υ m®t hàm tù R vào R thu®c C k (hay C∞ ) thoá mãn neu x ≤ (3.33) υ(x) = neu x ≥ M®t ví du hàm υ ∈ C xác đ%nh bói  neu x ≤   υ(x) = sin2 neu ≤ x ≤ πx  neu x ≥ (3.34) Vói a0 > 1, b0 > tuỳ ý đ%nh nghĩa ψˆ± (ξ) sau  neu ξ ≤ A ho¾c ξ ≥ a A  π A ξ  − sin −2 ± ˆ neu A ≤ ξ ≤ a0A ψ (ξ) = [lna0 ]  A(a − υ 1) ξ− a2A neu a0A  π a0 A ξ ≤ ≤  cos a0A(a0 − 1) υ 0 ó A = 2π b0 a02 − − De kiem tra rang ψˆ− (ξ) = ψˆ+ (−ξ) + 2π ψˆ supp = a0 − A = b + ˆ m ψ = (a0 (lna0) m∈Z ξ) −1 χ(0,∞)(ξ) ó χ(0,∞) hàm chí so cna núa đưòng thang mó (0, ∞), nghĩa χ(0,∞) = neu < ξ < ∞, bang trưòng hop lai Vói f ∈ L2(R) bat kỳ, ¸ −m .2 a f, Aa0 ˆ( −1 + ˆ ξ)dξ 2πina + [ 0 (ξ)e ψ )] ψ (a m = m A a 0−1 f m,n a0−mA m,n∈Z m,n∈Z 2π + m ¸ fˆ(ξ).2 ψˆ (a ξ).2 dξ = b m∈Z ¸ ∞ 2π ˆ(ξ)2 dξ = f b lna 0 ¸ ∞ − Tương tn, 2 ψf, ˆ = f (ξ) dξ Ta suy rang 2π m,n b0lna0 m,n∈Z ε t¾p ψ m, : m, n Z, = + hoắc } l mđt khung ch¾t 2π n L (R), vói c¾n khung b0lna0 3.3.5 Đ%a phương hoá thài gian - tan so M®t nhung đ®ng thúc đay nghiên cúu bien đoi sóng nhó chúng cung cap m®t búc tranh thòi gian - tan so vói tính chat đ%a phương hố tot cá hai bien Chúng ta khang đ%nh rang neu bán thân ψ đưoc đ%a phương hố tot thòi gian tan so, khung sinh bói ψ se cho tính chat Đe thu¾n ti¾n, giá sú rang |ψ| đoi xúng ψ ˆ ψ ¸ ∞ quanh thòi gian gan ±ξ0 tan so vói t¾p trung ψˆ(ξ).2 dξ ξ0 ξ ¸ ∞ ˆ = Neu hố tot thòi gian ψ đ%a 0phương ψ(ξ) dξ tan so tương tn ψm,n se đ%a phương hố tot quanh am nb0 thòi gian quanh ±am ξ0 tan so Nói m®t cách trnc giác, (f, ψm,n) cho “n®i dung thơng tin” cna f gan thòi gian amnb0 gan tan so ±amξ0 Neu bán thân f “đ%a phương hố chn yeu” hai hình chu nh¾t khơng gian thòi gian – tan so, nghĩa vói < Ω0 < Ω1 < ∞, < T < ∞, ¸ ˆ f (ξ) dξ ≥ (1 − δ)"f" (3.35) Ω0≤|ξ|≤Ω1 ¸ 2 |x|≤T (3.36) |f (x)| dx ≥ (1 − δ)"f" ó m®t so nhó, búc tranh trnc giác goi ý rang chí nhung (f, ψm,n) tương úng vói m, n vói (amnb0, ±amξ0) nam hay gan 0 vói [−T, T ] × ([−Ω1, −Ω0] ∪ [Ω0, Ω1]) can thiet đe khơi phuc f vói m®t xap xí rat tot Đ%nh lý 3.2 −m Giá sú rang ψm,n(x) = a ψ (amx − nb0) cau tao thnh mđt 0 khung vúi cỏc cắn khung A, B, giá sú rang −2 |ψ(x)| ≤ C + x α , ψˆ(ξ) C ξ 1+ β.ξ ≤ || β+ γ − (3.37) vói α > 1, β > 0, γ > Khi vói moi > 0, ton tai mđt huu han B (Ω0, Ω1, T ) ⊂ Z2 cho vói moi f ∈ L2(R) "f − ψˆ(ξ).2 dξ f , ψ˜m,n " B ¸ ≤ + A (m,n)∈B |ξ|Ω1 ε ¸ + (3.38) |f (x)| dx + |x| Chúng minh >T ε"f" Chúng ta xác đ%nh t¾p Bε sau: Bε (Ω0, Ω1, T ) = (m, n) ∈ Z2; m0 ≤ m ≤ m1, |nb0| ≤ a−mT + t , ó m0, m1, t đưoc xác đ%nh dưói đây, phu thu®c vào Ω0, Ω1, T ε "f − f, ψ˜m,n " (m,n)∈Bε = sup (f, h) − (f, ψm,n) ψ m,n, h ˜ "h"=1 (m,n)∈Bε = sup (f, ψm,n) ψ˜ m,n, h h =1 (m,n)∈B " ε " ≤ [|(PΩ ,Ω f, ψm,n)| + |((1 − PΩ ,Ω ) f, sup ψm,n)|] · "h"=1 + sup ˜ · ψ m,n , h mm1 n∈Z [|(QT f, ψm,n)| + |((1 − QT ) f, ψm,n)|] · · ψ˜m,n , "h"=1 m γ ; có the + 1 γ M¾t khác, vói Ω0 ≤ |ξ| ≤ Ω1 chon, ví du λ = ) ˆ m ψ(a0 m>m1 ξ) .2(1−λ −γ(1−λ) 2m ≤ C3 m>m + a Ω0 2γ(1−λ) −2m1γ(1−λ) ≤ C 4Ω 2(1−λ ) ˆ m ψ(a ≤ ma0 −m T T |ψ (amx − nb0)| dx a−m +t Tong theo n đưoc tách thành hai phan, n > n< a− − m Khi ¸ a−m T +t b0 −mvà a0 T+t T+t Giá sú n1 so nguyên nhó nhat lón b0 b0 −m |x|≤T ¸ |nb0|>a ∞0 −m ψ a0 x − T +t nb0 dx ≤ , −α C8 ,1 + t + (n − n1)b0 + a−m(T − x) dx ≤−m a |x|≤T n=n1 (bói a−m − nb0 = nb0 − a−mx ≥ (n − n1)b0 + ta−m(T − x)) ∞ ≤ C9 Ab0)2 − 0 + (t + α ≤ C10t−2α t=0 Tong theo n vói n < − Suy rang a0− T + đưoc gái quyet theo cách tương tn m t b |(QT f, ψm,n)| ≤ 2(m1 − m0 + 1)C10 t "f" −2α −m m0≤m≤m1 |nb0>|>a T +t Cái có the làm nhó Bε2"f bang cách chon " t ≥ 8(m1 − m0 + 1)C10B −1 −2 ε 2α Đ%nh lý đưoc chúng minh ✷ Đ%nh lý 3.2 rang, neu cú toc đ triắt tiờu hop lý mien thòi gian mien tan so, khung sinh bói ψ có tính đ%a phương hố thòi gian – tan so, vói t¾p thòi gian – tan so có dang [−T, T ] × ([−Ω1, −Ω0] ∪ [Ω0, Ω1]) Chú ý Neu f thố mãn (3.35) (3.36), hai so hang đau B "f"; chon ε = δ dan đen ve phái cna (3.37) b% ch¾n bói 2δ A "f − (f, ψm,n ) ψ˜m,n " = O(δ) (m,n)∈B ε "Bε (Ω0, Ω1, T ) " → ∞ ε → 0; đ® xác vơ han chí có the thnc hi¾n đưoc neu vơ han (f, ψm,n) đưoc dùng KET LU¾N Lu¾n văn trình bày m®t so ket q: [1] Phép bien oi súng nhú liờn tuc v toc đ triắt tiêu cna phép bien đoi sóng nhó liên tuc [2] Phép bien đoi sóng nhó ròi rac lý thuyet ve khung sóng nhó [3] Đ%a phương hố thòi gian - tan so [4] Hưóng nghiên cúu tiep theo nhung van đe mó lý thuyet khung ma chưa đưoc nghiên cúu trưóc ... đưoc đưa vào đau tiên R.J.Duffin A.C Schaeffer năm 1952 Đưoc thu hút bói tính thòi sn tính úng dung cao cna sóng nhó phép bien đoi sóng nhó, tơi quyet đ%nh chon “ Phép bien đoi sóng nhó liên tic... 1.2 Phép bien đoi Fourier 1.2.1 Phép bien đoi Fourier không gian L1(R) 1.2.2 Phép bien đoi Fourier khơng gian L2(R) 11 1.3 Sóng nhó só 12 Chương Phép bien đoi sóng nhó liên tnc... 15 2.1 Phép bien đoi sóng nhó liên tuc giái tích thòi gian – tan so 15 2.2 Tính chat bán cna phép bien đoi sóng nhó 20 2.3 Toc đ triắt tiờu cna bien oi súng nhú 23 Chương Phép bien