Phương pháp chặt cân bằng cho hệ động lực rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ MAI HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG CHO HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy HÀ BÌNH MINH - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới anh PHẠM VĂN DUẨN, người tận tình giúp đỡ bảo hướng dẫn em q trình gõ Tex hồn thành khóa luận Anh người cung cấp thêm tư liệu kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu Đồng thời em xin chân thành cảm ơn tới thầy tổ Tốn ứng dụng thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận Trong khn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn En xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình Tiến sĩ HÀ BÌNH MINH Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài " Phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc" khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Mục lục Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 1.2 1.3 Hệ động lực tuyến tính rời rạc Hàm truyền 1.2.1 Phép biến đổi z 1.2.2 Hàm truyền 1.2.3 Một số phép toán với ma trận hàm truyền Tính điều khiển được, quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến 1.3.1 Tính điều khiển 1.3.2 Tính quan sát 1.3.3 Biểu diễn tối thiểu .10 Chương 2: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc 13 2.1 Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc 13 2.2 Phương trình Lyapunov 15 2.3 Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát 16 Chương 3: Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cân 20 3.1 Biểu diễn cân .20 3.2 Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cân 25 Tài liệu tham khảo 31 Mở đầu Lý chọn đề tài Điều khiển tốn có ý nghĩa ứng dụng quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thông xử lý tín hiệu nói riêng Các vấn đề lĩnh vực thường mơ hình hóa mơ hình tốn học Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu lĩnh vực điều khiển Một số vấn đề có tính chất kinh điển tốn điều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, ln đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Để hiểu rõ tốn em chọn đề tài “Phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái quát nội dung phạm vi nghiên cứu Bài tốn điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết điều khiển nói chung: phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Khóa luận em trình bày phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc • Chương 2: Tính ổn định hệ động lực rời rạc tuyến tính • Chương 3: Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cân Mục đích- u cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc kiến thức liên quan Nội dung Tên đề tài Phương pháp chặt cân cho hệ động lực tuyến tính rời rạc Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc - Hệ động lực tuyến tính rời rạc - Các khái niệm hàm truyền - Tính điều khiển được, quan sát biểu diễn tối thiểu hệ rời rạc • Chương 2: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc - Tính ổn định - Phương trình Lyapunov - Ma trận Grammian điều khiển, Grammian quan sát • Chương 3: Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cân - Biểu diễn cân - Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cân Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách Chương Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến biểu diễn qua hệ sau: xk+1 = Axk + Buk , (1.1) yk = Cxk + Duk (1.2) đó: Phương trình (1.1) (1.2) gọi phương trình trạng thái xk vectơ thực n chiều gọi vectơ trạng thái hệ uk vectơ thực m chiều gọi vectơ đầu vào yk vectơ thực r chiều gọi vectơ đầu vectơ x0 trạng thái ban đầu hệ, thành phần xk biến trạng thái Các ma trận A, B, C, D ma trận thực có kích thước tương ứng n × n, n × m, r × n, r × m Định lý 1.1.2 Hệ động lực tuyến tính rời rạc bất biến (1.1) (1.2) có Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC nghiệm: k xk = A x0 + k−1 Ak−1−i, (1.3) i=0 k−1 yk = CAk x0 + CAk−i−1Bui + Duk (1.4) i=0 Chứng minh Từ: xk+1 = Axk + Bu k Ta có: xk = A[Axk−2 + Buk−2] + Buk−1, = A2xk −2 + k− + k−1 , Bu ABu = k− ] + k− + −3 + ABu Bu A [Axk Bu k−1 , k−1 = A kx 0+ i=0 Ak−1−iBui k−1 Thay k xk = A x0 + i=0 Ak−1−iBui vào (1.2) ta có (1.4) Ví dụ 1.1.3 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc cho phương trình: xk+1 = 3xk + 4uk, x0 = 2, yk 6uk = 5xk + Tính x3 y3: CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC CHƯƠNG BẰNG T Σ − A˜ΣA MÔ HÌNH RÚT GỌN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN = B˜ B˜ Σ − A˜T ΣA˜ = C˜ C˜ Vậy (A˜, B˜ , C˜, D) = (T −1AT, T −1B, CT, D) với T = Lc V Σ− biểu diễn cân G(z) Thuật toán đưa biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc biểu diễn cân trình bày sau Thuật toán 1: Đầu vào: A: ma trận trạng thái n × n B: ma trận đầu vào n × m C: ma trận đầu r × n Đầu ra: T : ma trận khơng suy biến n.n A˜, B˜ , C˜ : ma trận biểu diễn cân bằng: A˜ = T −1 AT, B˜ = T −1B, C˜ = CT Giả sử: (A, B) điều khiển được, (A, C) quan sát A ổn định Kết quả: T −1CttT −T = T T OttT = Σ, ma trận đường chéo với giá trị đường chéo dương Bước 1: Tính Ctt Ott cách giải phương trình Lyapunov: Ctt − ACttA T T = BB T , (3.3) (3.4) Ott − A OttA = CC T Bước 2: Tìm nhân tử Cholesky Lc L0 Ctt Ott Ctt = LcLcT , (3.5) Ott = LoLoT (3.6) Bước 3: Tìm giá trị suy biến ma trận LTo Lc: T Lo Lc = U ΣV 1 Bước 4: Tính Σ = diag √ , √ , · · · , √ σ1 σ2 σn đó: Σ = diag(σ1, σ2, · · · , σn) − Bước 5: Dạng T = LCV Σ− Bước 6: Tính ma trận biểu diễn cân bằng: A˜ = T AT, B˜ = T −1B, C˜ = CT −1 Ví dụ 3.1.3 Xét mơ hình khơng gian trạng thái (A, B, C) cho bởi: 0, 0010 1       1 , B = , C = 1 A= 0, 1200    0 −0, 1000 Bước 1: Tính Ctt Ott:   6,0507 3, 0, 8101  Ctt = 3, 0, 8883 2769 2, , 2769   2558 0, 0, 1, 0101 8101 8883    1, 0019  1, Ott = 1, 3, 2548 0011 2, 0011   2730 1, 0019 3, 2548 5, 4787 Bước 2: Nhân tử Cholesky Ctt Ott là:   2,4598 0  Lc = 1, 0, 6936  , 3322  0, 0, 6482 0, 39 3293 69  0    Lo = 1, 0011 1, 1273   1, 0019 1, 9975 0, 6963 Bước 3: Phân tích giá trị suy biến củaLTo Lc: T [U, Σ, V ] = SV D(L o Lc) ,   0, 8598 −0, 5055 0, 0725   V = 0, 4368 0, 6545 −0, 6171   0, 2645 0, 5623 0, 7835 Bước 4: Σ−12 = diag 2, 3146 1, 1835 0, 351 Bước 5: Ma trận biến đổi: T = LcV Σ − 12   0, 9137 1, 0506 0, 5068 −   = 0, 6257 −0, 1854 −0, 9419   0, 3240 0, 5475 0, 4759  Bước 6: Ma trận cân là:  0, 5549 0, 4098 0, 0257   −1 A˜ = T AT = −0, 4098 −0, 1140 0, 2629 ,  0, 0257 −0, 2629 −0, 4199   1, 8634   −1 B˜ = T B = 0, 6885 ,   0, 0408 C˜ = CT = 1, 8634 −0, 6885 0, 0408 Thử lại: 3.2 Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cân Định lý 3.2.1 Cho (A, B, C, D) biểu diễn cân G(z), A, B, C, Σ phân hoạch dạng: A= Ar A21 A12 , B = A22 hệ r B B2 , C = Cr C2 , Σ = Gr (z) = r A B Cr Dr Σr 0 Σ2 (3.7) r hệ rút gọn bậc r G(z) ta có: a, (Ar, Br, Cr, D) biểu diễn cân Gr (z) b, ||(G(z) − Gr (z))|| ™ 2(σr+1 + · · · + σn) Chứng minh a, Do (A, B, C, D) biểu diễn cân nên thỏa mãn: Σ − AΣA T = T BB T Σ − A ΣA = C Thay (3.7) vào (3.8), ta có: Σ r Σ2 Ar − A21 A22 A12 .Σr Ar T , (3.8) C (3.9) A21 = Σ2 A12 A22 r B B2 Br B Suy ra: Σr − T r = B r Br T T T ArΣA Tương tự, thay (3.7) vào (3.9), ta có: Σr − Ar ΣAr = Cr Cr Vậy (Ar, Br, Cr, D) biểu diễn cân Gr(z) b, Giả sử φ(z) = (zI − Ar)−1, ψ(z) = zI − A22 − A21φ(z)A12, B¯ = A21φ(z)Br + B2 , C¯ (z) = Cr φ(z)B12 + C2 thì: G(z) − Gr(z) = C(zI − A)−1B − Crφ(z)Br, = Cr C2 zI − Ar −A12 −1 r B B2 − CRφ(z)Br −A21 zI − A22 = C¯ (z)φ−1 (z)B¯ (z) Cho z = jw, ta có: σmax[G(jw) − Gr(jw)] = λ 21 max [φ¯−1 (jw)B¯ (jw) B −∗ (jw)φ (jw)C (jw)C¯ (jw)] ¯ ∗ ∗ (3.10) Trong đó: σmax(M ) giá trị riêng lớn ma trận M Ta có Σ2 = diag(σr+1, , σn) Σ2 thỏa mãn: T T A22Σ2 + Σ2A22 + B2B2 = ta được: ( ∗ B¯ (jw) (jw) = φ jw)Σ2 + Σ2φ (jw) ¯ B ∗ Tương tự, Σ2 thỏa mãn: T T Σ2 A22 + A22 Σ2 + C2 C2 = ta được: C¯ (jw)C¯ (jw) = Σ2 φ(jw )∗ + φ (jw) Σ2 ∗ Thế biểu thức B¯ (jw)B¯ ∗ (jw) C¯ (jw)C¯ (jw) vào (3.10) ta ∗ được: σmax[G(jw)−Gr(jw)] = λ ma x {[Σ + φ∗(jw)] φ−1 (jw)Σ2 [Σ2 + φ(jw)]} −∗ φ (jw)Σ2 d = n − Σ2 = σ2, ta có: σmax[G(jw) − Gr(jw)] = σn{[1 + θ(jw)][λ + θ(jw)]} Trong đó:θ = φ−∗(jw)φ(jw) θ−∗ = θ vô hướng, |θ(jw)| = Dùng bất đẳng thức tam giác ta có: σmax[G(jw) − Gr(jw)] ≤ σn[1 + |θ(jw)|] = 2σn Vậy ta có điều phải chứng minh Thuật tốn 2: Mơ hình rút gọn phương pháp chặt cụt cân Đầu vào: Cho hệ ma trận A, B, C Đầu ra: Mơ hình rút gọn với ma trận AR, BR CR Giả sử A ma trận ổn định Bước 1: Tìm biểu diễn cân từ thuật toán Bước 2: Chọn q bậc mơ hình rút gọn Bước 3: Biểu diễn cân có dạng: A12 Ar r , C = A= ,B C B2 A21 A22 = B C Ví dụ 3.2.2 Xét lại ví dụ 3.1.3 Cho mơ hình khơng gian trạng thái (A, B, C) cho bởi: 0, 0010  A= 0, 1200     1 , B = , C = 1     0 −0, 1000 Lấy kết ví dụ 3.1.3 ta có ma trận cân là:   0, 5549 0, 4098 0, 0257   A˜ = T −1 AT = −0, 4098 −0, 11400, 2629 ,  0, 0257 −0, 2629 −0, 4199   1, 8634   −1 B˜ = T B = 0, 6885 ,   0, 0408 ˜ C = CT , 8634 −0, 6885 0, 0408 = Chọn q = 2, AR = 2×2 ma trận A˜ AR = 0, 5549 0, 4098 −0, 4098 −0, 1140 Giá trị riêng AR là: 0, 2204 + 0, 2368i 0, 2204 − 0, 2368i Do AR ổn định .1, 8634 Ma trận BR, CR là: BR 0, , CR = 1, 8602 −0, 6885 6885 = Kết luận Sau nghiên cứu :” Phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc” em rút kết luận sau: Những kết làm được: Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình Thầy giáo HÀ BÌNH MINH ý kiến đóng góp thầy khoa Tốn bạn sinh viên Luận văn đạt mục đích đề Cụ thể sau: • Trong luận văn em trình bày sở lý thuyết, chứng minh định lý, đưa ví dụ minh họa toán điều khiển hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa tiêu chuẩn Klman để kiểm tra tính điều khiển tính quan sát tốn • Được học hỏi sử dụng phần mềm Matlab để tính tốn: Tính giá trị riêng ma trận, nhân ma trận, tính hạng ma trận, để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định cách đơn giản nhanh • Thơng qua q trình thực luận văn em hiểu sâu toán điều khiển, hệ tuyến tính thời gian liên tục, tính quan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định tốn Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ làm tập Ngoài 48 Vũ Thị Mai Hương - Tốn K35-CN giúp em củng cố lại kiến thức ma trận: hạng 49 Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN CHƯƠNG BẰNG MƠ HÌNH RÚT GỌN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN ma trận, giá trị riêng, mà em học • Đặc biệt, sau nghiên cứu đề tài em biết ứng dụng toán điều khiển thực tế quan trọng Đây toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi cho có chất lượng mong muốn Nó áp dụng rộng rãi phổ biến thực tiễn Những mặt hạn chế chưa làm được: Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 15 tháng năm 2013 Sinh viên VŨ THỊ MAI HƯƠNG 50 Vũ Thị Mai Hương - Tốn K35-CN Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Dỗn Phước, Lý thuyết Điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997 [2] Biswa Nath Datta, Numerrical Methods for Linear Control Systems, Elsevier Academic Press,2004 51 Vũ Thị Mai Hương - Toán K35-CN ... cứu Phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc kiến thức liên quan Nội dung Tên đề tài Phương pháp chặt cân cho hệ động lực tuyến tính rời rạc Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ động. .. luận em trình bày phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc • Chương 2: Tính ổn định hệ động lực rời rạc tuyến tính •... đề tài " Phương pháp chặt cân cho hệ động lực rời rạc" khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Mục lục Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 1.2 1.3 Hệ động lực tuyến tính rời rạc