MARTINGALE rời rạc và ứng dụng

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN Pham Th% Lan Anh Martingale rèi rac Nng dnng KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP Hfi ĐAI H6C CHÍNH QUY Chun ngành: Toán - úng dnng Ngưèi hưéng dan: TS.Tran Minh Tưéc Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan TS.Tran Minh Tưóc Thay giao đe tài t¾n tình hưóng dan em q trình hồn thành khóa lu¾n Nhân d%p em xin gúi lòi cám ơn cúa tòi tồn b® thay giáo khoa Toán hoc giáng day giúp đõ chúng em suot q trình hoc t¾p tai khoa Đong thòi, tơi xin cám ơn ban lóp K35ACN Tốn ngành Tốn úng dnng, khoa Tốn hoc nhi¾t tình giúp đõ tơi q trình hoc t¾p tai lóp Hà n®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Pham Th% Lan Anh Mnc lnc LèI Me ĐAU LèI CAM ĐOAN Chương Martingale rèi rac 1.1 Kỳ vong có đieu ki¾n 1.2 Khái ni¾m tương thích dN báo đưec .8 1.2.1 Các σ -trưòng liên quan tói dãy bien ngau nhiên .8 1.3 Thèi điem Markov thèi điem dNng 1.3.1 Đ%nh nghĩa 1.3.2 Các ví dn ve thòi điem dùng 10 1.3.3 Các tính chat cúa thòi điem dùng .11 1.4 Quá trình Martingale rèi rac 13 1.4.1 Đ%nh nghĩa .14 1.4.2 Các ví dn .14 1.4.3 Các tính chat 15 Chương Úng dnng 19 2.1 Bài toán Gambler Martingale 19 2.2 Quá trình dNng 23 2.3 Áp dnng Optional Stopping theorem 25 Tài li¾u tham kháo 29 LèI Me ĐAU Lý thuyet xỏc suat v thong kờ l mđt bđ phắn cúa tốn hoc, nghiên cúu hi¾n tưong ngau nhiên úng dnng chúng vào thnc te.Các khái ni¾m dau tiên cúa xác suat nhà toán hoc tên tuoi Pierre Fermat ( 1601 - 1665 ) Bailes Pascal ( 1623 - 1662 ) xây dnng tù the ký thú XVII dna vi¾c nghiên cúu quy lu¾t trò chơi may rúi.Sau gan the ký phát trien, lý thuyet xác suat đưoc A.N.Kolmogorov tiên đe hóa Dna nen táng đó, nhieu hưóng nghiên cúu chuyên sâu cúa xác suat đòi, có martingale Đe tài lu¾n văn cúa em "Martingale ròi rac úng dnng " m®t phan nhó thu®c hưóng nghiên cúu Đe có the hieu nam bat đưoc m®t so ket cúa đe tài, em xây dnng lu¾n văn theo chương: Chương 1: Martingale ròi rac Chương 2: Úng dnng Tuy có nhieu co gang thòi gian có han nên van đe khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac khơng the tránh khói có nhung sai sót cách trình bày Mong đưoc sn góp ý xây dnng cúa thay ban Em xin chân thành cám ơn! LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n cúa em đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cúa TS.Tran Minh Tưóc, vói sn co gang cúa bán thân trình nghiên cúu thnc hiắn khúa luắn, em cú tham khỏo mđt so tác giá ( nêu mnc tài li¾u tham kháo) Em xin cam đoan nhung ket khóa lu¾n ket q nghiên cúu cúa bán thân, khơng trùng vói ket cúa tác giá khác.Neu sai em xin ch%u hon ton trỏch nhiắm H nđi, ngy 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Pham Th% Lan Anh Chương Martingale rèi rac 1.1 Kỳ vong có đieu ki¾n Đ%nh nghĩa 1.1 Cho bien ngau nhiên X mà E(|X|) < ∞ Ta biet, E(X| Y ) kỳ vong có đieu ki¾n cúa X theo Y đưoc đ%nh nghĩa hàm cúa Y Y = y bang:   P(X = x|Y = y) neu X,Y ròi rac, ∑ E[X|Y = y] x = ¸ x fX|Y (x|y)dx neu X,Y liên tnc v cú hm mắt đ f f (x, y) x fX|Y (x|y) = ¸ f (x, y)dx f (x, y) fY (y) = Ket quan trong: E[X ] = E[E[X|Y ]] Sau đưoc chúng minh đưoc viet lai   E[X |Y = y]P(Y = y) neu X,Y ròi rac, ∑ E[X ] = y ¸ E[X|Y = y] fY (y)dyneu X,Y liên tnc Đây ket quan đưoc sú dnng m®t loat tính chat sau Đ%nh nghĩa 1.2 Cho hai bien ngau nhiên X,Y ta goi E[X|Y ] kỳ vong có đieu ki¾n cúa X theo Y , m®t hàm h(Y ) mà có tính chat vói moi A ∈ σ (Y ) E[X IA] = E[h(Y )IA] (1.1.1) Tính chat 1.1 Neu C hang so E(C|F ) = C (h.c.c) Neu X ≤ Y (h.c.c) E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c) |E(X|F )| ≤ E(|X ||F ) Neu a, b hang so aEX + bEY xác đ%nh E((aX + bB)|F ) = aE(X |F ) + bE(Y |F ) (h.c.c) E(X|{0/ , Ω}) = EX (h.c.c) E(X |F ) = X (h.c.c) E[E(X|F )] = EX (h.c.c) Neu F1 ⊂ F2 E[E(X|F2 )|F1 ] = E[E(X|F1 )|F2 ] = E(X|F1 ) (h.c.c) Neu X đ®c l¾p vói F (nghĩa σ (X ) F đc lắp) thỡ E(X|F ) = EX (h.c.c) 10 Neu Y F−đo đưoc E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ E(XY |F ) = Y E(X |F )(h.c.c) Chúng minh (1) hien nhiên (2) X ≤ Y (h.c.c) suy E[X IA] ≤ E[Y IA] vói moi A ∈ F hay E[E(X|F )I] ≤ E[E(Y |F )I], ∀A ∈ F Túc E(X |F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c) (3) −|X| ≤ X ≤ |X| suy −E(X |F ) ≤ E(Y |F ) ≤ E(|X ||F ) Tù ta có đieu phái chúng minh (4) A ∈ F E[(aX + bY )IA] = aE[X IA] + bE[Y IA] = aE[E(X |F )IA] + bE[E(Y |F )IA] = E[(aE(X |F ) + bE(X |F ))IA] Tù ta có ket lu¾n (5) EX đo đưoc đoi vói σ−đai so {0/ , Ω} neu A = 0/ ho¾c A = Ω ta có ¸ A ¸ XdP = A EXdP Đó đieu phái chúng minh (6) Hien nhiên (7) Sú dnng (1.1.1) vói A = Ω (8) Neu A ∈ F1 ¸ ¸ ¸ E(X|F2 )dP E[E(X |F2 )|F1 ]dP A = A = A xdP tù theo bat thúc đau Bat thúc sau suy tù (6) nh¾n xét E(X |F1 ) F2−đo đưoc (9) Neu A ∈ F X IA đc lắp Do ú á XdP = EX IA = EX · P(A) A = Tù ta có ket lu¾n A EXdP 1.2 Khái ni¾m tương thích dN báo đưec 1.2.1 Các σ -trưèng liên quan téi dãy bien ngau nhiên Cho trưóc q trình ngau nhiên X = {Xn, n ∈ N} Ký hi¾u σ ({Xn, n ∈ N}) σ -trưòng bé nhat cúa A chúa tat cá σ -trưòng σ (Xn), n ∈ N Ta goi σ ({Xn, n ∈ N}) σ -trưòng sinh tù X = {Xn, n ∈ N} Đ¾t σ ≤n = σ≤n = σ ({Xm, m ≤ n}), m, n ∈ N, σ n = σ ({Xm, m > n}), m, n ∈ N Cho dãy σ -trưòng {An, n ∈ N} đưoc goi không giám neu Am ⊂ An, m ≤ n, ∀m, n ∈ N Chang han, {σ≤n, n ∈ N} ho không giám Ta lưu ý rang σ≤n gom bien co quan sát đưoc tính đen thòi điem n Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy trình ngau nhiên X = {Xn, n ∈ N} đưoc goi tương thích vói dãy σ-trưòng {An, n ∈ N} neu ∀n ∈ N Xn An-đo đưoc Đ%nh nghĩa 1.4 Ta nói rang V = {Vn, An−1, n ∈ N}, A1 = A0 dãy dn báo đưoc neu Vn An−1-đo đưoc vói moi n ∈ N Rõ ràng, dãy dn báo đưoc dãy tương thích Tat nhiên, ta ln có X = {Xn, σ≤ n, n ∈ N} dãy tương thích Ngưòi ta thưòng goi σ≤n σ -trưòng tn nhiên cúa dãy X = {Xn, n ∈ N} Nó gom tat cá nhung bien co liên quan đen khú ( trưóc n ) hi¾n tai ( tai n) cúa dãy Chương Úng dnng 2.1 Bài toán Gambler Martingale Bài toán Gambler Hai đau thú A B chơi m®t trò chơi sau: tung m®t đong xu neu đong xu ngúa đau thú A đưoc đong ngưoc lai đau thú A mat đong Giá sú rang, so tien ban đau cúa đau thú A B a đong b đong ho se tiep tnc chơi đen m®t so ho het tien Neu đau thú A thang đau thú B het tien, ngưoc lai, đau thú B thang đau thú A het tien Vì v¾y ta chí quan tâm đen tien cúa đau thú A Kí hi¾u Xi so tien mà đau thú đưoc đưoc ó lan tung thú i Khi Xi, i = 1, 2, bien ngau nhiờn đc lắp vúi phõn phoi xỏc suat P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q vói q = − p E(Xi) = p−q Tong so tien sau lan gieo thú n cho bói Sn = X1 + X2 + · · · + Xn vói S0 = n = 1, 2, Kí hi¾u Fn = σ (X1, X2 , , Xn) cho σ -đai so nhó nhat sinh bói X1, X2 , , Xn Khi Fn ⊂ Fn+1 đưoc xem l%ch sú cúa trò chơi đen thòi điem n ( lan gieo thú n ) Tính chat 2.1 So tien trung bình sau lan gieo thú n + Khi cho bói l %ch sú đen thòi điem thú n Sn + p−q Chúng minh Chúng ta có E[Sn+1|Fn] = E[Sn + Xn+1|Fn] = E[Sn|Fn] + E[Xn+1|Fn] = Sn + E[Xn+1] sú dnng tính chat Sn l Fn-o oc v Xn+1 đc lắp vúi Fn Vỡ vắy E[Sn+1|Fn] = Sn + pq Chỳ ý Neu p = q = E[Sn+1|Fn] = Sn tương úng trưòng hop trò chơi dien cơng bang {Sn, n ≥ 0} martingale • Neu p > q E[Sn+1|Fn] > Sn tương úng trưòng hop {Sn, n ≥ 0} martingale dưói • Neu p < q E[Sn+1|Fn] < Sn tương úng trưòng hop {Sn, n ≥ 0} martingale Tính chat 2.2 Trong trưòng hop dien cơng bang, túc {Sn, F, n ≥ 0} martingale vói {Fn = σ (X1, X2 , , Xn)} Khi {Yn =n S2 − n, n ≥ 0} martingale đoi vói F, n ≥ Chúng minh Vì Yn hàm cúa X1, X2 , , Xn nên Yn Fn-đo đưoc Vì |Yn| ≤ n + n2 nên Yn tích Đe chúng minh {Yn} martingale ta phái chí E[Sn+1|Fn] = Yn có Yn+1 = S2 − n + n+ = (S + Xn+1) − (n + 1) = S2 −n + 2SnXn+1 + X n+1 n −1 = Yn + 2SnXn+1 + n+ X −1 Suy E[Yn+1|Fn] = E[Yn|Fn] + E[2SnXn|Fn] + E[X n+ |Fn] − = Yn + 2SnE[Xn+1|Fn] + E[X n+ ] − = Yn + + − = Yn Tính chat 2.3 Trong trò chơi Gambler tong quát, túc xác suat đau thú A đưoc tien hay lan gieo thú i P(Xi = 1) = p , xác suat đau thú A mat tien ó lan gieo thú i P(Xi = −1) = q Đ¾t Sn = X1 + Xn đ%nh nghĩa q Sn Zn = ( ) , n ≥ p Khi {Zn, n ≥ 1} martingale đoi vói F = σ (X1, X2 , , Xn) Chúng minh Vì Zn hàm cúa X1, X2 , , Xn nên Zn Fn-đo đưoc M¾t q n p n nên Zn tích vói moi n kiem tra khác, |Zn| ≤ | +| q | J E[Zn+1|Fn] = Zn p đieu ki¾n Chúng ta có E [Zn+1 |Fn ] E = |Fn q Sn+1 p = E = p q p q Xn+1 Sn · |Fn p q Xn+1 Sn q ·E = Zn · E q |Fn p Xn+1 p = Zn · P(Xn+1 = 1) P(Xn+1 = −1) q+ q −1 p = Zn · p q ·p p + q p −1 = Z n(p + q) = Zn ·q Chú ý rang p + q = Nh¾n xét Trong trò chơi Gambler cơng bang {Sn, n ≥ 1} martingale Neu co đ%nh thòi điem n E[Sn] = Đieu khơng thú v% Tuy nhiên, có the dùng cu®c chơi so tien đat đen 100 Đây thòi điem dùng T = min{n : Sn = 100} Tính chat 2.4 Đ¾t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn, n ≥ so tien thu đưoc đen lan gieo thú n Khi T = min{n : Sn = 100} thòi điem dùng đoi vói σ-trưòng {Fn = σ (X1, X2 , , Xn), n ≥ 1} Chúng minh Vói moi n, ta có {T ≤ n} = n [ {Sk = 100} ∈ Fn k=1 2.2 Q trình dNng Cho T m®t thòi điem dùng {Zn, n ≥ 1} dãy bien ngau nhiên Đ¾t T ∧n = min(T, n) Đ%nh nghĩa  Z neu n ≤ T (ω) n ˆ A n = ZT ∧n  ZT (ω) neu n > T (ω) = Khi {Zn, n ≥ 1} đưoc goi q trình dùng đoi vói thòi điem dùng T Đ%nh lý 2.1 Neu {Zn, n ≥ 0} martingale đoi vói {Fn, n ≥ 1}, q trình dùng {Yn = ZT∧n} martingale đoi vói {Fn, n ≥ 1} Đ¾c bi¾t E[ZT ∧n ] = E[Z0] Chúng minh Ta có Yn+1 = ZT ∧(n+1) = ZT∧n + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn ) = Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn ) Vì v¾y, ta có E[Yn+1|F ] = E [Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )|Fn ] Vì {T ≥ n + 1} = {T ≤} ∈ Fn n c E [Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )|Fn ] = Yn + IT ≥n+1 E(Zn+1 − Zn ) = Yn + = Yn Đ%nh lý 2.2 Optional Stopping theorem Cho Z0, Z , martingale T m®t thòi điem dùng huu han Khi ú mđt cỏc ieu kiắn sau oc thúa món: i, T b% ch¾n, túc ton tai so nguyên m cho T (ω) ≤ m ii, {ZT∧n, n ≥ 0} b% ch¾n, túc ton tai hang so k cho |ZT∧n| ≤ k ∀n iii, E |T J < ∞ ton tai hang so C cho |Zn − Zn−1 | ≤ C ∀n Chúng ta có E[ZT ] = E[Z0] Chúng minh Trưóc het ý rang, ZT∧n − ZT Khi n ∈ ∞ Vì {ZT∧n} martingale nên ta có E[ZT ∧n ] = E[Z0] i, Vì T ≤ m ta có T ∧m = T v¾y E[ZT ] = E[ZT ∧n ] = E[Z0] ii, Vì |ZT ∧n | ≤ k b% ch¾n vói moi n nên ta có E[ZT ] = lim E[ZT n] = E[Z0] n→∞ ∧ iii, Viet ZT∧n = ZT∧n − ZT ∧n−1 + ZT ∧n−1 − ZT ∧n−2 + + Z3 − Z2 + Z2 − Z1 + Z1 − Z0 + Z Chúng ta thu đưoc |ZT∧n| = |ZT ∧n − ZT ∧n−1 | + |ZT ∧n−1 − ZT ∧n−2 | + + |Z3 − Z2 | + |Z2 − Z1 | + |Z1 − Z0 | + |Z0| ≤ C + C + · · · + C + |Z0| ≤ (T ∧ n)C + |Z0| ≤ CT + |Z0| Suy E[ZT ] = lim E[ZT n→∞ ∧ n] = E[Z0] 2.3 Áp dnng Optional Stopping theorem Xét tốn ó mnc 2.1 Giá sú rang ho se chơi cho đen m®t hai ngưòi ho phá sán Van đe đ¾t xác đ%nh xác suat đe đau thú A phá sán trung bình so lan gieo Đ¾t Sˆn so tien cúa đau thú A sau lan gieo thú n Khi S ˆn = a + X + X + · · · + X n = a + S n Xi, i = 1, 2, cỏc bien ngau nhiờn đc lắp cú phõn phoi xỏc suat P(Xi = 1) = , P(Xi = −1) = Trò chơi se ket thúc neu đau thú A ho¾c B 2 phá sán, túc thòi điem dùng cúa cu®c chơi T = min{n : Sˆn = ho¾c Sˆn = a + b} = min{n : Sn = −a ho¾c Sn = a + b} Chúng ta biet, {Sn, n ≥ 0} martingale Vì SY = −a ho¾c ST = b nên có P(ST = −a) + P(ST = b) = (2.3.1) Chú ý rang { đau thú A phá sán} = {ST = −a} Vì v¾y |ST∧n| ≤ a + b ∀n ≥ 1, theo đ%nh ngĩa Doob ta có E[ST ] = E[S0] túc E[ST ] = (−a) · P(ST = −a) + b · P(ST = b) = (2.3.2) Giái (2.3.1) (2.3.2) ta thu đưoc b P(ST = −a) = Trung bình so lan gieo E[T ] a+b a ; P(ST = b) = a+b Chúng ta biet, Yn = Sn2 − n, n ≥ trình martingale v¾y q trình dùng YT∧ n = ST∧n − (T ∧ n) martingale Vì v¾y, có E[YT ∧n ] = E[YT ∧n ] = E[T ∧ n] = Áp dnng đ%nh lý h®i tn ta có E[T ] = lim E[T ∧ n] = lim E[S2 ] n→∞ n→∞ T∧n = E[ST2 ] = (−a)2 · P(ST = −a) + b2P(ST = b) = a2 · b + b2 a = a · b a+ · a+ b b V¾y trung bình so lan gieo E[T ] = a · b Đ%nh lý 2.3 Xét du đ®ng ngau nhiên {Sn, n ≥ 0} vói < S0 = k < N cho Sn = S0 + X1 + X2 · · · Xn vói P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q, p = − q Giá sú p ƒ= q Khi xác suat đe du đ®ng cham túc cham N q ( qK N ) − ( p p) q − (p )N Chúng minh Ta có X1, X2 , ã ã ã , Xn l cỏc búc đc lắp cúa du đ®ng Khi S0 = k, Sn = k + X1 + X2 + · · · + Xn vói P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) =q q Đ%nh nghĩa 2.1 Zn = ( )Sn , n ≥ Khi {Zn, n ≥ 0} martingale đoi vói {Fn = σ (X1, X2 p, · · · , Xn), n ≥ 0} Chúng minh Đ¾t {T = min{n : Sn = ho¾c Sn = N}} thòi điem đau tiên du đ®ng cham ho¾c N Khi ST = có nghĩa du đ®ng cham trưóc cham N ST = N du đ®ng cham N trưóc cham Vì q SN∧ T q l max ( ) =M | |Zn∧T | ≤ |( 1≤l≤N p ≤ ) p q k theo đ%nh lý Doob ta có E[ZT ] = E[Z0] = ( M¾t khác, ta có q q p N ) E[ZT ] = ( · P(ST = 0) + ( · P(ST = N) p ) ) p q N = P(S = 0) + (1 − P(ST = 0)) T p ) Vì v¾y ta có q N q K P(ST = 0) + ( (1 − P(ST = 0)) = ( p ) Suy P(ST = 0) = q ( )K − ( q N ) p p q − p( )N p ) KET LU¾N Thnc t¾p chun ngành vói đe tài:“ Martingale rèi rac Nng dnng”, em nghiên cúu đưoc n®i dung yeu sau: Martingale ròi rac Úng dnng Ngồi sn no lnc hoc hói tìm tòi cúa bán thân, đe tài cúa em đưoc hồn thành dưói sn giúp đõ, hưóng dan chí báo t¾n tình cúa TS.Tran Minh Tưóc ý kien đóng góp cúa thay khoa Toán ban sinh viên Đe tài thnc t¾p bán đat đưoc mnc đích đe Nó mang lai sn can thiet nhung loi ích cúa thnc t¾p chun ngành nói chung vi¾c đào tao Cú nhân ngành Tốn nói riêng, góp phan sn phát trien cúa Toán hoc Tuy nhiên thòi gian có han mói bat đau làm quen vói phương pháp nghiên cúu khoa hoc nên đe tài khơng tránh khói thieu sót Em rat mong đưoc sn chí báo, đóng góp ý kien cúa thay ban đe đe tài đưoc hồn thiắn hn Em xin chõn thnh cỏm n! H nđi, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Pham Th% Lan Anh Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Duy Tien, Các mơ hình xác suat úng dnng, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà n®i, 2005 [2] Tusheng Zhang, Martingale with applications to finance, October 11, 2012 [3] Sheldon M Ross and Erol A Pekoz, A Second Course in Probability, Spring 2007 [4] David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University ... {Xn, A , n ∈ N} martingale (martingale dưói) τ hai thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, , N}) Khi dãy "ngat" tai thòi điem τ, Túc là: τ X = {Xn ∧ τ , A , n ∈ N} martingale (martingale dưói)... {Xn, A , n ∈ N} martingale τ, σ hai thòi điem Markov (đoi vói {An, n = 0, 1, , N}) cho P{σ ≤ τ ≤ N} = Khi đó: EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN • Giá sú X = {Xn, A , n ∈ N} martingale dưói ,và τ, σ hai thòi... cơng bang {Sn, n ≥ 0} martingale • Neu p > q E[Sn+1|Fn] > Sn tương úng trưòng hop {Sn, n ≥ 0} martingale dưói • Neu p < q E[Sn+1|Fn] < Sn tương úng trưòng hop {Sn, n ≥ 0} martingale Tính chat