Tích chập suy rộng fourier cosine, fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❇⑩❈❍ ❑❍❖❆ ❍⑨ ◆❐■ ◆●❯❨➍◆ ❆◆❍ ✣⑨■ ❚➑❈❍ ❈❍❾P ❙❯❨ ❘❐◆● ❋❖❯❘■❊❘ ❈❖❙■◆❊✱ ❋❖❯❘■❊❘ ❙■◆❊ ❚❍❮■ ●■❆◆ ❘❮■ ❘❸❈ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✷✵ ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ư❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❇⑩❈❍ ❑❍❖❆ ❍⑨ ◆❐■ ◆●❯❨➍◆ ❆◆❍ ✣⑨■ ❚➑❈❍ ❈❍❾P ❙❯❨ ❘❐◆● ❋❖❯❘■❊❘ ❈❖❙■◆❊✱ ❋❖❯❘■❊❘ ❙■◆❊ ❚❍❮■ ●■❆◆ ❘❮■ ❘❸❈ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ◆❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❤å❝ ▼➣ ♥❣➔♥❤✿ ✾✹✻✵✶✵✶ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿ P●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❳❯❹◆ ❚❍❷❖ ❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✷✵ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❉❆◆❍ ▼Ư❈ ❈⑩❈ ❑Þ ❍■➏❯ ❱⑨ ❈❍Ú ❱■➌❚ ❚➁❚ ▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❇■➌◆ ✣✃■ ❋❖❯❘■❊❘ ❚❍❮■ ●■❆◆ ❘❮■ ❘❸❈ ✶✳✶ ❚➼♥ ❤✐➺✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ❚➼♥ ❤✐➺✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷ ❈→❝ ❤➺ t❤è♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜➜t ❜✐➳♥ ✶✳✷ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✸ ✣à♥❤ ỵ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚➑❈❍ ❈❍❾P ❙❯❨ ❘❐◆● ❋❖❯❘■❊❘ ❈❖❙■◆❊✱ ❋❖❯❘■❊❘ ❙■◆❊ ❚❍❮■ ●■❆◆ ❘❮■ ❘❸❈ ✷✳✶ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ ✈➔ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✷✳✶✳✶ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ❞➣② t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✸ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✶ ✹ ✺ ✼ ✶✵ ✷✵ ✷✵ ✷✵ ✷✶ ✷✹ ✷✹ ✷✺ ✷✽ ✷✾ ✸✵ ✸✵ ✸✵ ✸✷ ✸✺ ✸✻ ✷✳✷✳✷ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈ỵ✐ ❤➔♠ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✷✳✸✳✶ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✷ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈ỵ✐ ❤➔♠ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✹ ❚➼❝❤ ❝❤➟♣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✹✾ ✺✵ ✺✺ ✻✹ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❑■➎❯ ❚➑❈❍ ❈❍❾P ❙❯❨ ❘❐◆● ❚❍❮■ ●■❆◆ ❘❮■ ❘❸❈ ❱⑨ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❖❊P▲■❩❚✲❍❆◆❑❊▲ ❘❮■ ❘❸❈ ✼✵ ✸✳✶ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡✱ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✵ ✸✳✶✳✶ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✸✳✶✳✷ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸ ✸✳✶✳✸ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺ ✸✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦❡♣❧✐t③✲❍❛♥❦❡❧ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ Pữỡ tr t rớ r ợ ✤➦❝ ❜✐➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ Pữỡ tr t ợ ♣❤↔✐ ✤➦❝ ❜✐➺t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼ ✸✳✷✳✸ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦❡♣❧✐t③✲❍❛♥❦❡❧ rí✐ r↕❝ ✳ ✳ ✳ ✾✵ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱⑨ ❑■➌◆ ◆●❍➚ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✵ ❉❆◆❍ ▼Ö❈ ❈➷◆● 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(R+ , ρ), ≤ p < ∞✱ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ sè f ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ R+ ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ∞ p p ||f ||Lp (R+ ,ρ) = |f (x)| ρ(x)dx < ∞, ð ✤➙② ρ(x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ trå♥❣ ❞÷ì♥❣✳ ❼ ❚ ❧➔ t♦→♥ tû t➼❝❤ ❝❤➟♣ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✷✶✮✳ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✶✷✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r✳ F ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✶✷✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡✳ Fc ✼ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✶✸✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡✳ Fs γ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✶✸✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ✈ỵ✐ ❤➔♠ trå♥❣ γ(y) = sin y ✤è✐ ✈ỵ✐ F ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r✳ ❼ FDT ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✶✺✮ ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ❼ ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✸✵✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ♣❤ù❝ x := {x(n)}n0 ữủ tr ợ (N0 ) p x x p ∞ := ∞ |x(0)| + |x(n)|p p n=1 p < ∞, ≤ p < ∞, := sup |xn | < ∞ n≥0 ❼ o (N0 ) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✸✵✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ (N0 ) ✈ỵ✐ x(0) = 0✳ ❼ FcDT ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✸✵✮ ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ❼ FsDT ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✸✶✮ ❧➔ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✸✻✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ FsDT ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ γ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✹✸✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ✈ỵ✐ ❤➔♠ trå♥❣ γ(y) = sin ω FsDT ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✺✵✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ FcDT ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ γ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✺✺✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ✈ỵ✐ ❤➔♠ trå♥❣ γ(y) = sin ω FcDT ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ♦ ❼ (· ∗ ·) ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✻✹✮ ❧➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ FcDT t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ❼ TsDT ✭①❡♠ tr❛♥❣ ✼✶✮ ❧➔ t♦→♥ tû ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ✽ ❚ø ✭✸✳✺✻✮✱ ✭✸✳✺✼✮✱ ✭✸✳✺✽✮ ✈➔ tø ❝→❝ ỵ t õ x(n) = z(n) + z ∗ k (n) − u ∗ h (n) − u ∗ h ∗ k (n) FsDT ♦ FsDT FsDT  y(n) = h(n) + h ∗ k (n) − v ∗ z (n) − FcDT FcDT FsDT ♦ v ∗ z ∗ k (n) FcDT FcDT ❱➻ ❝→❝ ❞➣② h(n), v(n), z(n) ∈ o1 (N0 ) t ỵ t t s rë♥❣ s✉② r❛ x(n), y(n) ∈ o1 (N0 )✳ ✣à♥❤ ỵ ữủ ự t ữỡ tr ❞↕♥❣  ∞   x(n) + y(m) u(n + m − 1) + u(|n − m + 1|)    m=0 −u(|m + n + 1|) − u(|n − m − 1|)  ∞     v(k) x(|n − k|) − x(n + k) + y(n) = z(n) ✭✸✳✺✾✮ = w(n), k=0 ð ✤â ❝→❝ ❞➣② u(n), z(n), v(n) ✈➔ w(n) ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ✤➣ ❜✐➳t✱ x(n) y(n) t ỵ ✸✳✷✳✼✳ ◆➳✉ u(n), v(n), z(n), w(n) ∈ o (N0 ) ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = 0, ∀ω ∈ [0, π] ❑❤✐ ✤â✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✺✾✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t t❤✉ë❝ o (N0 ) ✭✸✳✻✵✮ ð ❞↕♥❣  γ γ ♦ ♦  x(n) = z(n) − w ∗ u (n) + h ∗ z (n) + h ∗ (w ∗ u) (n) FcDT w(n) − v ∗ z (n) + w ∗ h (n) −  y(n) = ✈ỵ✐ h(n) ∈ FcDT FsDT FsDT ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ FcDT FcDT v ∗ z FsDT ♦ ∗ h (n), FcDT ✭✸✳✻✶✮ (N0 ) π h(n) = π sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) cos(nω)dω − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) ✭✸✳✻✷✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈➔♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ët✱ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈➔♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✾✸ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❤➺ ✸✳✺✾ t❛ ✤÷đ❝   FcDT {x(n)}(ω)     + sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω)  2FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {x(n)}(ω)     + FsDT {y(n)}(ω) = FsDT {w(n)}(ω) ●✐↔✐ ❤➺ tr➯♥ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r ✈ỵ✐ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❧➔ FcDT {x(n)}(ω) ✈➔ FsDT {y(n)}(ω)✱ t❛ ❝â ∆ = − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω), ✭✸✳✻✸✮ ∆1 = FcDT {z(n)}(ω) − sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω), ✭✸✳✻✹✮ ✈➔ ∆2 = FsDT {w(n)}(ω) − 2FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) ✭✸✳✻✺✮ ◆➳✉ − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = 0✱ ❦❤✐ ✤â tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✻✸✮ t❛ ❝â 1 = ∆ − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) sin ω · FsDT {v(n)}(ω)FcDT {u(n)}(ω) =1 + − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) ✭✸✳✻✻✮ ◆➳✉ − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = ❤➺ ✭✸✳✺✾✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t t tỗ t ♥❤➜t ❞➣② sè ♣❤ù❝ h(n) ∈ (N0 ) s❛♦ ❝❤♦ Hc (ω) :=FcDT {h(n)}(ω) sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) ❙û ❞ö♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ♥❣÷đ❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✮ t❛ ✤÷đ❝ π h(n) = π sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) cos(nω)dω − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) ✾✹ ❚❤❡♦ ❤➺ ❈r❛♠❡r ✈➔ tø ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✺✾✮✱ ✭✸✳✻✸✮✱ ✭✸✳✻✹✮ ✈➔ ✭✸✳✻✺✮✱ t❛ ✤÷đ❝✿ ∆1 ∆ = FcDT {z(n)}(ω) − sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) FcDT {x(n)}(ω) = · + 2FcDT {h(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω) + 2FcDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) − sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) − sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω), ∆2 ∆ =FsDT {w(n)}(ω) − 2FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) FsDT {y(n)}(ω) = + 2FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) − 4FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) ❉♦ t➼♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡✱ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s tớ rớ r tứ ỵ ✷✳✷✳✸✱ ✷✳✷✳✺✱ ✷✳✸✳✶✱ ✷✳✸✳✹ ✈➔ ✷✳✹✳✶ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❞➣② x(n), y(n) ∈ o1 (N0 ) ❝â ❞↕♥❣  γ γ ♦ ♦  x(n) = z(n) − w ∗ u (n) + h ∗ z (n) + h ∗ (w ∗ u) (n), FcDT  y(n) = FcDT w(n) − v ∗ z (n) + w ∗ h (n) − FsDT FsDT FcDT FcDT v ∗ z FsDT h (n) FcDT ỵ ữủ ự ♠✐♥❤✳ ❝✮ ❳➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉  ∞   x(n) + u(m) y(|n + m − 1|) + y(|n − m − 1|)    m=0 −y(n + m + 1) − y(|n − m + 1|)  ∞     v(k) x(k + n) + x(|k − n|)sign(k − n) + y(n) = z(n) ✭✸✳✻✼✮ = w(n), k=0 ð ✤â ❝→❝ ❞➣② u(n), z(n), v(n) ✈➔ w(n) ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ✤➣ ❜✐➳t✱ x(n) ✈➔ y(n) t ỵ ◆➳✉ u(n), z(n), v(n), w(n) ∈ ✱ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (N0 ) − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = 0, ∀ω ∈ [0, π] ❑❤✐ ✤â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✭✸✳✻✼✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x(n) ✈➔ y(n) ∈  γ  x(n) = z(n) + z ∗ h (n) − u ∗ w (n) − u ∗ w w(n) + w ∗ h (n) − v ∗ z (n) − v ∗ z FsDT ♦  y(n) = ❱ỵ✐ h(n) ∈ FcDT (N0 ) π h(n) = FsDT π ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ FcDT γ FsDT FcDT ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✱ (N0 ) ∗ h (n) FsDT ♦ ∗ h (n) FcDT ✭✸✳✻✽✮ sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) cos(nω)dω − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) ✭✸✳✻✾✮ ❚❛ õ t t ữợ x(n) + u ∗ y (n) = z(n) FsDT  v ∗ x (n) + y(n) FcDT = w(n) ✭✸✳✼✵✮ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈➔♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✶ ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✺✮✱ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈➔♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✷ ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✺✶✮ ❝õ❛ ❤➺ ✭✸✳✻✼✮ t❛ ✤÷đ❝   FsDT {x(n)}(ω)     + sin ω · F {u(n)}(ω) · F {y(n)}(ω) = F {z(n)}(ω) cDT cDT sDT  2FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)     + FcDT {y(n)}(ω) = FcDT {w(n)}(ω) ✭✸✳✼✶✮ ❚ø ❤➺ t❛ ❝â ∆ = − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω), ✭✸✳✼✷✮ ∆1 = FsDT {z(n)}(ω) − sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω), ✭✸✳✼✸✮ ✾✻ ✈➔ ∆2 = FcDT {w(n)}(ω) − · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) ✭✸✳✼✹✮ ◆➳✉ − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = 0✱ t❛ ❝â 1 = ∆ − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) =1 + − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}() tỗ t t ❞➣② h(n) ∈ (N0 ) ✭✸✳✼✺✮ s❛♦ ❝❤♦ Hc (ω) :=FcDT {h(n)}(ω) sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) ✭✸✳✼✻✮ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ♥❣÷đ❝ ✭✷✳✸✮ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ π h(n) = π sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) cos(nω)dω − sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}() õ ữỡ tr t ữợ = + 2FcDT {h(n)}(ω) ✭✸✳✼✼✮ ∆ ❚❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r✱ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✻✼✮ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐   FsDT {x(n)}(ω) = ∆1 ∆ ✭✸✳✼✽✮ ∆  FcDT {y(n)}(ω) = ∆ ❑➳t ❤đ♣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✼✷✮✱ ✭✸✳✼✸✮✱ ✭✸✳✼✹✮ ✈➔ ✭✸✳✼✼✮ rỗ t tr t ữủ FsDT {x(n)}() = FsDT {z(n)}(ω) − sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω) · + 2FcDT {h(n)}(ω) ✭✸✳✼✾✮ =FsDT {z(n)}(ω) + 2FsDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) − sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω) − sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω), ✾✼ ✈➔ FcDT {y(n)}(ω) = FcDT {w(n)}(ω) − · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) · + 2FcDT {h(n)}(ω) ✭✸✳✽✵✮ =FcDT {w(n)}(ω) + 2FcDT {w(n)}(ω)FcDT {h(n)}(ω) − · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) − · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) ❚ø t➼♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ ✈➔ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rớ r tứ ỵ ỵ t t ữủ x(n), y(n) ∈ o1 (N0 ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✻✼✮ ð ❞↕♥❣  γ γ  x(n) = z(n) + z ∗ h (n) − u ∗ w (n) − u ∗ w ∗ h (n) FsDT  y(n) = ♦ FsDT FsDT FsDT ♦ w(n) + w ∗ h (n) − v ∗ z (n) − (v ∗ z) ∗ h (n) FcDT FcDT FcDT FcDT ✷ ỵ ữủ ự t ữỡ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✤↕t ✤÷đ❝✿ ❼ ❳➙② ❞ü♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✱ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ❧➔ ✉♥✐t❛ tr♦♥❣ o2 (N0 ) ✈➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦✐➸✉ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ❧➔ ✉♥✐t❛ tr♦♥❣ (N0 ) ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ữủ ỗ tớ r ử t sỹ tỗ t ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❧➔♠ rã ❤ì♥ sỹ tỗ t t ❝❤➟♣ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✳ ❼ ●✐↔✐ r❛ ♥❣❤✐➺♠ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ❝→❝ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ✈➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ợ ỹ ữủ ợ ữỡ tr t rớ r ợ t ữỡ tr t rớ r↕❝ ✈ỵ✐ ♥❤➙♥ ❜➜t ❦ý ✈➔ ✈➳ ♣❤↔✐ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ❝ư t❤➸ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦❡♣❧✐t③✲ ❍❛♥❦❡❧ rí✐ r↕❝ ✈ỵ✐ ♥❤➙♥ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ▼ët sè ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦❡♣❧✐t③✲❍❛♥❦❡❧ rí✐ r↕❝ ♥❤÷ ❤➺ ✭✸✳✺✶✮✱ ✭✸✳✺✾✮ ✈➔ ❤➺ ✭✸✳✻✼✮ ❝ô♥❣ ❣✐↔✐ r❛ ✾✽ ♥❣❤✐➺♠ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣✱ t➼❝❤ ❝❤➟♣ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✤â✳ ✣→♥❤ ❣✐→ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ữỡ tr q ởt số t tự ố ợ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝✱ t➼❝❤ ❝❤➟♣ s✉② rë♥❣ ❋♦✉r✐❡r s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ✈➔ t➼❝❤ ❝❤➟♣ ❋♦✉r✐❡r ❝♦s✐♥❡ t❤í✐ ❣✐❛♥ rí✐ r↕❝ ♠ỵ✐ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝✳ ❇➻♥❤ ❧✉➟♥ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❦❤❛✐ t❤→❝ 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