MARTINGALE rời rạc và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Lan Anh Martingale rời rạc ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chuyên ngành: Toán - ứng dụng Người hướng dẫn: TS.Trần Minh Tước Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tời toàn thầy cô giáo khoa Toán học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp K35ACN Toán ngành Toán ứng dụng, khoa Toán học nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Lan Anh Mục lục LỜI MỞ ĐẦU LỜI CAM ĐOAN Chương Martingale rời rạc 1.1 Kỳ vọng có điều kiện 1.2 Khái niệm tương thích dự báo 1.2.1 Các σ -trường liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên 1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các ví dụ thời điểm dừng 10 1.3.3 Các tính chất thời điểm dừng 11 1.4 Quá trình Martingale rời rạc 13 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Các ví dụ 1.4.3 Các tính chất 14 14 15 Chương Ứng dụng 19 2.1 Bài toán Gambler Martingale 19 2.2 Quá trình dừng 23 2.3 Áp dụng Optional Stopping theorem 25 Tài liệu tham khảo 29 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết xác suất thống kê phận toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế.Các khái niệm dầu tiên xác suất nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat ( 1601 - 1665 ) Bailes Pascal ( 1623 - 1662 ) xây dựng từ kỷ thứ XVII dựa việc nghiên cứu quy luật trò chơi may rủi.Sau gần kỷ phát triển, lý thuyết xác suất A.N.Kolmogorov tiên đề hóa Dựa tảng đó, nhiều hướng nghiên cứu chuyên sâu xác suất đời, có martingale Đề tài luận văn em "Martingale rời rạc ứng dụng " phần nhỏ thuộc hướng nghiên cứu Để hiểu nắm bắt số kết đề tài, em xây dựng luận văn theo chương: Chương 1: Martingale rời rạc Chương 2: Ứng dụng Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn TS.Trần Minh Tước, với cố gắng thân trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo số tác giả ( nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác.Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Lan Anh Chương Martingale rời rạc 1.1 Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X mà E(|X|) < ∞ Ta biết, E(X|Y ) kỳ vọng có điều kiện X theo Y định nghĩa hàm Y Y = y bằng:   ∑ P(X = x|Y = y) X,Y rời rạc, E[X|Y = y] = x   x fX|Y (x|y)dx X,Y liên tục có hàm mật độ f Ở x fX|Y (x|y) = f (x, y) f (x, y) = f (x, y)dx fY (y) Kết quan trọng: E[X] = E[E[X|Y ]] Sau chứng minh viết lại   ∑ E[X|Y = y]P(Y = y) X,Y rời rạc, E[X] = y   E[X|Y = y] f (y)dy X,Y liên tục Y Đây kết quan trọng sử dụng loạt tính chất sau Định nghĩa 1.2 Cho hai biến ngẫu nhiên X,Y ta gọi E[X|Y ] kỳ vọng có điều kiện X theo Y , hàm h(Y ) mà có tính chất với A ∈ σ (Y ) E[XIA ] = E[h(Y )IA ] (1.1.1) Tính chất 1.1 Nếu C số E(C|F ) = C (h.c.c) Nếu X ≤ Y (h.c.c) E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c) |E(X|F )| ≤ E(|X||F ) Nếu a, b số aEX + bEY xác định E((aX + bB)|F ) = aE(X|F ) + bE(Y |F ) (h.c.c) E(X|{0, / Ω}) = EX (h.c.c) E(X|F ) = X (h.c.c) E[E(X|F )] = EX (h.c.c) Nếu F1 ⊂ F2 E[E(X|F2 )|F1 ] = E[E(X|F1 )|F2 ] = E(X|F1 ) (h.c.c) Nếu X độc lập với F (nghĩa σ (X) F độc lập) E(X|F ) = EX (h.c.c) 10 Nếu Y F −đo E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ E(XY |F ) = Y E(X|F )(h.c.c) Chứng minh (1) hiển nhiên (2) X ≤ Y (h.c.c) suy E[XIA ] ≤ E[Y IA ] với A ∈ F hay E[E(X|F )I] ≤ E[E(Y |F )I], ∀A ∈ F Tức E(X|F ) ≤ E(Y |F ) (h.c.c) (3) −|X| ≤ X ≤ |X| suy −E(X|F ) ≤ E(Y |F ) ≤ E(|X||F ) Từ ta có điều phải chứng minh (4) A ∈ F E[(aX + bY )IA ] = aE[XIA ] + bE[Y IA ] = aE[E(X|F )IA ] + bE[E(Y |F )IA ] = E[(aE(X|F ) + bE(X|F ))IA ] Từ ta có kết luận (5) EX đo σ −đại số {0, / Ω} A = 0/ A = Ω ta có XdP = A A EXdP Đó điều phải chứng minh (6) Hiển nhiên (7) Sử dụng (1.1.1) với A = Ω (8) Nếu A ∈ F1 A E[E(X|F2 )|F1 ]dP = A E(X|F2 )dP = xdP A từ theo bất đẳng thức đầu Bất đẳng thức sau suy từ (6) nhận xét E(X|F1 ) F2 −đo (9) Nếu A ∈ F X IA độc lập Do A XdP = EXIA = EX · P(A) = Từ ta có kết luận A EXdP 1.2 Khái niệm tương thích dự báo 1.2.1 Các σ -trường liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên Cho trước trình ngẫu nhiên X = {Xn , n ∈ N} Ký hiệu σ ({Xn , n ∈ N}) σ -trường bé A chứa tất σ -trường σ (Xn ), n ∈ N Ta gọi σ ({Xn , n ∈ N}) σ -trường sinh từ X = {Xn , n ∈ N} Đặt X σ≤n = σ≤n = σ ({Xm , m ≤ n}), m, n ∈ N, X σn = σ ({Xm , m > n}), m, n ∈ N Cho dãy σ -trường {An , n ∈ N} gọi không giảm Am ⊂ An , m ≤ n, ∀m, n ∈ N Chẳng hạn, {σ≤n , n ∈ N} họ không giảm Ta lưu ý σ≤n gồm biến cố quan sát tính đến thời điểm n Định nghĩa 1.3 Dãy trình ngẫu nhiên X = {Xn , n ∈ N} gọi tương thích với dãy σ -trường {An , n ∈ N} ∀n ∈ N Xn An -đo Định nghĩa 1.4 Ta nói V = {Vn , An−1 , n ∈ N}, A1 = A0 dãy dự báo Vn An−1 -đo với n ∈ N Rõ ràng, dãy dự báo dãy tương thích Tất nhiên, ta có X = {Xn , σ ≤ n, n ∈ N} dãy tương thích Người ta thường gọi σ≤n σ -trường tự nhiên dãy X = {Xn , n ∈ N} Nó gồm tất biến cố liên quan đến khứ ( trước n ) ( n) dãy 1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng Từ sau ta giữ giả thiết sau: • Giả sử (Ω, A , P) không gian xác suất với A chứa tất tập có xác suất (tập O gọi xác suất 0, tồn A ∈ A cho P(A) = O ⊂ A) Trong trường hợp này, ta nói (Ω, A , P) không gian xác suất đầy đủ • N = {0, 1, 2, }, N = N ∪ {∞} • R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} • A , n ∈ N dãy σ -trường không giảm Ký hiệu ∞ A∞ = An n=0 σ -trường bé chứa tất An , n ∈ N 1.3.1 Định nghĩa Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} biến ngẫu nhiên ( lấy giá trị ∞).Ta nói τ thời điểm Markov {A , n ∈ N}, {ω : τ(ω) = n} ∈ An , ∀n ∈ N Nếu thêm vào P(τ < ∞) = 1, τ gọi thời điểm dừng Chú ý: τ thời điểm Markov khi: {ω : τ(ω) ≤ n} ∈ An , ∀n ∈ N Thật vậy, chứng minh suy từ bất đẳng thức sau; n {ω : τ(ω) ≤ n} = {ω : τ(ω) = k} ∈ An k=0 dãy martingale An , n ∈ N Thật vậy, An−1 ⊂ An ta có Xn−1 = E(X|An−1 ) = E(E(X|An )|An−1 ) = E(Xn |An−1 ) Ví dụ 1.3 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} martingale g hàm lồi với E|g(Xn )| < ∞, n ∈ N {g(Xn ), A , n ∈ N} martingale Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen với m ≤ n ta có: g(Xm ) = g(E(Xn |Am )) ≤ E(g(Xn )|Am ) 1.4.3 Các tính chất Tính chất 1.9 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} martingale trên, hàm chung bình EXn không phụ thuộc vào n ∈ N Thật vậy, với m ≤ n ta có: EXm = E(E|Am ) = EXn Tính chất 1.10 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} martingale dưới, hàm chung bình EXn không giảm theo n ∈ N Thật vậy, với m ≤ n ta có: EXm ≤ E(E|Am ) = EXn Tính chất 1.11 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} martingale, E|Xn | p , ≤ p < ∞ không giảm theo n ∈ N Thật vậy, |x| p , ≤ p < ∞ hàm lồi, nên {|Xn |n , A , n ∈ N} martingale dưới, từ tính chất hai ta có tính chất ba Tính chất 1.12 Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} martingale trên, τ, σ hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) cho P{τ ≤ N} = Khi đó: Xσ ≥ E(Xσ |A ) tập {τ ≥ σ }, P − hầu chắn 15 (1.4.2) Tức là, P{ω ∈ {τ ≥ σ } : Xσ ≤ E(Xσ |A )} = Do đó: Xτ∧σ ≥ E(Xσ |Aτ∧σ ), P − hầu chắn (1.4.3) Thật vậy, ta ý rằng: N E|Xτ | = N ∑ n=0 {τ=n} |Xτ |dP = ∑ N n=0 {τ=n} |Xn |dP ≤ ∑ E|Xn | < ∞ n=0 tức E|Xτ | < ∞ Tiếp theo, ý rằng: N {τ ≥ σ } = N {σ = n}{τ ≥ n}, Ω = n=0 {σ = n} n=0 Vì ta xét tập {σ − n} chứng tỏ (1.4.2) đối với: ω ∈ {σ = n} ∩ {τ ≥ σ } = {σ = n} ∩ {τ ≥ n} Trên tập Xσ = Xn , nên theo 1.1.3 (tính chất 8) ta có: E(Xτ |Aσ ) = E(Xτ |An ), ({σ = n}, P − hầu chắn) Do cần tập {σ = n} ∩ {τ ≥ n} Xn ≥ E(Xτ |An ), P − hầu chắn Giả sử A ∈ A Khi đó: A∩{σ =n}∩{τ≥n} (Xn − Xτ )dP = A∩{σ =n}∩{τ>n} + A∩{σ =n}∩{τ>n} (Xn − Xτ )dP (Xn − Xτ )dP = A∩{σ =n}∩{τ>n} (Xn − Xτ )dP ≥ A∩{σ =n}∩{τ≥n+1} (Xn+1 − Xτ )dP (1.4.4) Trong bất đẳng thức sau thực do: (Xn ) martingale trên, nên tập: A ∩ {σ = n} ∩ {τ > n} ∈ An 16 Ta có: Xn ≥ E(Xn+1 |An ), P − hầu chắn tương đương: A Xn dP ≥ A E(Xn+1 |A )dP = A Xn+1 dP, ∀A ∈ An Tiếp tục bất đẳng thức (1.4.4) ta được: A∩{σ =n}∩{τ≥n} (Xn − Xτ )dP ≥ A∩{σ =n}∩{τ≥n+1} ≥ A∩{σ =n}∩{τ=N} Vì tập Ω| N n=0 {σ (Xn+1 − Xτ )dP (Xn − Xτ )dP (1.4.5) = n} có độ đo không, nên từ (1.4.5) suy (1.4.2) Tính chất 1.13 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} martingale τ, σ hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) cho P{σ ≤ τ ≤ N} = Khi đó: EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN • Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} martingale dưới,và τ, σ hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) cho P{σ ≤ τ ≤ N} = 1.Khi đó, ta có: EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN • Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} martingale dưới, τ, σ hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) cho P{σ ≤ τ ≤ N} = 1, ta có: E|Xτ | ≤ EX0 + 2EXN− ≤ sup E|Xn | n≤N Thật vậy, từ tính chât ta có khẳng định đầu tính chất Khẳng đinh thứ chứng minh sau Ta thấy |Xτ | = Xτ + 2Xτ− , theo khẳng − − định thứ E|Xτ | = EXτ + 2E− τ ≤ EX0 + 2EXτ Do {Xn , An , n = 17 0, 1, , N} martingale dưới, nên theo khẳng định thứ hai EXτ− ≤ EXN− Vậy : E|Xτ | = EX0 + 2EXτ− EX0 + 2EXN− ≤ EX0 + 2E|XN | ≤ sup E|Xn | n≤N Ví bất đẳng thức (1.4.4) (1.4.5) trở thành đẳng thức martingale nên ta thu điều phải chứng minh Tính chất 1.14 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} martingale τ, σ hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) cho P{τ ≤ N} = P{σ ≤ N} = Khi đó, Xσ = E(Xσ |A ) tập {τ ≥ σ } , P−hầu chắn Đặc biệt, P{σ ≤ τ ≤ N} = EX0 = EXσ = EXτ = EXN Tính chất 1.15 Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} martingale (martingale dưới) τ hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) Khi dãy "ngắt" thời điểm τ, Tức là: X τ = {Xn∧τ , A , n ∈ N} martingale (martingale dưới) Chứng minh Thật vậy, ta thấy: n−1 Xn∧τ = ∑ Xm Iτ=m + Xn Iτ≥n m=0 Suy Xn∧τ A -đo có kỳ vọng hữu hạn Hơn nữa, Xn+1∧τ − Xn∧τ = Iτ≥n (Xn+1 − Xn ) đó: E(Xn+1∧τ − Xn∧τ |An ) = Iτ>n E((Xn+1 − Xn |An ) = (≤ 0) 18 Chương Ứng dụng 2.1 Bài toán Gambler Martingale Bài toán Gambler Hai đấu thủ A B chơi trò chơi sau: tung đồng xu đồng xu ngửa đấu thủ A đồng ngược lại đấu thủ A đồng Giả sử rằng, số tiền ban đầu đấu thủ A B a đồng b đồng họ tiếp tục chơi đến số họ hết tiền Nếu đấu thủ A thắng đấu thủ B hết tiền, ngược lại, đấu thủ B thắng đấu thủ A hết tiền Vì ta quan tâm đến tiền đấu thủ A Kí hiệu Xi số tiền mà đấu thủ được lần tung thứ i Khi Xi , i = 1, 2, biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối xác suất P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q với q = − p E(Xi ) = p − q Tổng số tiền sau lần gieo thứ n cho Sn = X1 + X2 + · · · + Xn 19 với S0 = n = 1, 2, Kí hiệu Fn = σ (X1 , X2 , , Xn ) cho σ -đại số nhỏ sinh X1 , X2 , , Xn Khi Fn ⊂ Fn+1 xem lịch sử trò chơi đến thời điểm n ( lần gieo thứ n ) Tính chất 2.1 Số tiền trung bình sau lần gieo thứ n + Khi cho lịch sử đến thời điểm thứ n Sn + p − q Chứng minh Chúng ta có E[Sn+1 |Fn ] = E[Sn + Xn+1 |Fn ] = E[Sn |Fn ] + E[Xn+1 |Fn ] = Sn + E[Xn+1 ] Ở sử dụng tính chất Sn Fn -đo Xn+1 độc lập với Fn Vì E[Sn+1 |Fn ] = Sn + p − q Chú ý • Nếu p = q = 12 E[Sn+1 |Fn ] = Sn tương ứng trường hợp trò chơi diễn công {Sn , n ≥ 0} martingale • Nếu p > q E[Sn+1 |Fn ] > Sn tương ứng trường hợp {Sn , n ≥ 0} martingale • Nếu p < q E[Sn+1 |Fn ] < Sn tương ứng trường hợp {Sn , n ≥ 0} martingale Tính chất 2.2 Trong trường hợp diễn công bằng, tức {Sn , F , n ≥ 0} martingale với {Fn = σ (X1 , X2 , , Xn )} Khi {Yn = Sn2 − n, n ≥ 0} martingale F , n ≥ 20 Chứng minh Vì Yn hàm X1 , X2 , , Xn nên Yn Fn -đo Vì |Yn | ≤ n + n2 nên Yn khả tích Để chứng minh {Yn } martingale ta phải E[Sn+1 |Fn ] = Yn có Yn+1 = = = = Sn+1 −n+1 (S + Xn+1 )2 − (n + 1) −1 Sn2 − n + 2Sn Xn+1 + Xn+1 −1 Yn + 2Sn Xn+1 + Xn+1 Suy |F ] − E[Yn+1 |Fn ] = E[Yn |Fn ] + E[2Sn Xn |Fn ] + E[Xn+1 n ]−1 = Yn + 2Sn E[Xn+1 |Fn ] + E[Xn+1 = Yn + + − = Yn Tính chất 2.3 Trong trò chơi Gambler tổng quát, tức xác suất đấu thủ A tiền hay lần gieo thứ i P(Xi = 1) = p , xác suất đấu thủ A tiền lần gieo thứ i P(Xi = −1) = q Đặt Sn = X1 + Xn định nghĩa q Zn = ( )Sn , n ≥ p Khi {Zn , n ≥ 1} martingale F = σ (X1 , X2 , , Xn ) Chứng minh Vì Zn hàm X1 , X2 , , Xn nên Zn Fn -đo Mặt q p n khác, |Zn | ≤ | |n + nên Zn khả tích với n kiểm tra p q điều kiện E[Zn+1 |Fn ] = Zn 21 Chúng ta có Sn+1 E [Zn+1 |Fn ] = E q p Sn = E p q p q = |Fn · Sn ·E = Zn · Xn+1 q p Xn+1 |Fn |Fn Xn+1 q p = Zn · E q p q P(Xn+1 = 1) + p q p q · p+ = Zn · p q p −1 P(Xn+1 = −1) −1 · q = Zn (p + q) = Zn Chú ý p + q = Nhận xét Trong trò chơi Gambler công {Sn , n ≥ 1} martingale Nếu cố định thời điểm n E[Sn ] = Điều không thú vị Tuy nhiên, dừng chơi số tiền đạt đến 100 Đây thời điểm dừng T = min{n : Sn = 100} Tính chất 2.4 Đặt Sn = X1 + X2 + · · · + Xn , n ≥ số tiền thu đến lần gieo thứ n Khi T = min{n : Sn = 100} thời điểm dừng σ -trường {Fn = σ (X1 , X2 , , Xn ), n ≥ 1} Chứng minh Với n, ta có n {T ≤ n} = {Sk = 100} ∈ Fn k=1 22 2.2 Quá trình dừng Cho T thời điểm dừng {Zn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên Đặt T ∧ n = min(T, n) Định nghĩa  Z n ≤ T (ω) n An = ZT ∧n = Z T (ω) n > T (ω) Khi {Zn , n ≥ 1} gọi trình dừng thời điểm dừng T Định lý 2.1 Nếu {Zn , n ≥ 0} martingale {Fn , n ≥ 1}, trình dừng {Yn = ZT ∧n } martingale {Fn , n ≥ 1} Đặc biệt E[ZT ∧n ] = E[Z0 ] Chứng minh Ta có Yn+1 = ZT ∧(n+1) = ZT ∧n + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn ) = Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn ) Vì vậy, ta có E[Yn+1 |F ] = E [Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )|Fn ] Vì {T ≥ n + 1} = {T ≤ n}c ∈ Fn E [Yn + IT ≥n+1 (Zn+1 − Zn )|Fn ] = Yn + IT ≥n+1 E(Zn+1 − Zn ) = Yn + = Yn Định lý 2.2 Optional Stopping theorem Cho Z0 , Z2 , martingale T thời điểm dừng hữu hạn Khi điều kiện sau thỏa mãn: i, T bị chặn, tức tồn số nguyên m cho T (ω) ≤ m 23 ii, {ZT ∧n , n ≥ 0} bị chặn, tức tồn số k cho |ZT ∧n | ≤ k ∀n iii, E T < ∞ tồn số C cho |Zn − Zn−1 | ≤ C ∀n Chúng ta có E[ZT ] = E[Z0 ] Chứng minh Trước rằng, ZT ∧n − ZT Khi n ∈ ∞ Vì {ZT ∧n } martingale nên ta có E[ZT ∧n ] = E[Z0 ] i, Vì T ≤ m ta có T ∧ m = T E[ZT ] = E[ZT ∧n ] = E[Z0 ] ii, Vì |ZT ∧n | ≤ k bị chặn với n nên ta có E[ZT ] = lim E[ZT ∧n ] = E[Z0 ] n→∞ iii, Viết ZT ∧n = ZT ∧n − ZT ∧n−1 + ZT ∧n−1 − ZT ∧n−2 + + Z3 − Z2 + Z2 − Z1 + Z1 − Z0 + Z0 Chúng ta thu |ZT ∧n | = |ZT ∧n − ZT ∧n−1 | + |ZT ∧n−1 − ZT ∧n−2 | + + |Z3 − Z2 | + |Z2 − Z1 | + |Z1 − Z0 | + |Z0 | ≤ C +C + · · · +C + |Z0 | ≤ (T ∧ n)C + |Z0 | ≤ CT + |Z0 | Suy E[ZT ] = lim E[ZT ∧n ] = E[Z0 ] n→∞ 24 2.3 Áp dụng Optional Stopping theorem Xét toán mục 2.1 Giả sử họ se chơi hai người họ phá sản Vấn đề đặt xác định xác suất để đấu thủ A phá sản trung bình số lần gieo Đặt Sn số tiền đấu thủ A sau lần gieo thứ n Khi Sn = a + X1 + X2 + · · · + Xn = a + Sn Xi , i = 1, 2, biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất P(Xi = 1) = 12 , P(Xi = −1) = 12 Trò chơi kết thúc đấu thủ A B phá sản, tức thời điểm dừng chơi T = min{n : Sn = Sn = a + b} = min{n : Sn = −a Sn = a + b} Chúng ta biết, {Sn , n ≥ 0} martingale Vì SY = −a ST = b nên có P(ST = −a) + P(ST = b) = (2.3.1) Chú ý { đấu thủ A phá sản} = {ST = −a} Vì |ST ∧n | ≤ a + b ∀n ≥ 1, theo định ngĩa Doob ta có E[ST ] = E[S0 ] tức E[ST ] = (−a) · P(ST = −a) + b · P(ST = b) = (2.3.2) Giải (2.3.1) (2.3.2) ta thu P(ST = −a) = b a ; P(ST = b) = a+b a+b Trung bình số lần gieo E[T ] Chúng ta biết, Yn = Sn2 − n, n ≥ trình martingale trình dừng YT ∧n = ST2 ∧n − (T ∧ n) martingale Vì vậy, có E[YT ∧n ] = E[YT2∧n ] = E[T ∧ n] = 25 Áp dụng định lý hội tụ ta có E[T ] = lim E[T ∧ n] = lim E[ST2 ∧n ] n→∞ n→∞ = E[ST2 ] = (−a)2 · P(ST = −a) + b2 P(ST = b) = a2 · a b + b2 · = a·b a+b a+b Vậy trung bình số lần gieo E[T ] = a · b Định lý 2.3 Xét du động ngẫu nhiên {Sn , n ≥ 0} với < S0 = k < N cho Sn = S0 + X1 + X2 · · · Xn với P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q, p = − q Giả sử p = q Khi xác suất để du động chạm tức chạm N ( qp )K − ( qp )N − ( qp )N Chứng minh Ta có X1 , X2 , · · · , Xn bước độc lập du động Khi S0 = k, Sn = k + X1 + X2 + · · · + Xn với P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = q Định nghĩa 2.1 Zn = ( qp )Sn , n ≥ Khi {Zn , n ≥ 0} martingale {Fn = σ (X1 , X2 , · · · , Xn ), n ≥ 0} Chứng minh Đặt {T = min{n : Sn = Sn = N}} thời điểm du động chạm N Khi ST = có nghĩa du động chạm trước chạm N ST = N du động chạm N trước chạm Vì q q |Zn∧T | ≤ |( )SN∧T | ≤ max ( )l = M p 1≤l≤N p theo định lý Doob ta có q E[ZT ] = E[Z0 ] = ( )k p Mặt khác, ta có q q E[ZT ] = ( )0 · P(ST = 0) + ( )N · P(ST = N) p p q N = P(ST = 0) + ) (1 − P(ST = 0)) p 26 Vì ta có q q P(ST = 0) + ( )N (1 − P(ST = 0)) = ( )K p p Suy P(ST = 0) = ( qp )K − ( qp )N − ( qp )N 27 KẾT LUẬN Thực tập chuyên ngành với đề tài:“ Martingale rời rạc ứng dụng”, em nghiên cứu nội dung chủ yếu sau: Martingale rời rạc Ứng dụng Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình TS.Trần Minh Tước ý kiến đóng góp thầy cô khoa Toán bạn sinh viên Đề tài thực tập đạt mục đích đề Nó mang lại cần thiết lợi ích thực tập chuyên ngành nói chung việc đào tạo Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần phát triển Toán học Tuy nhiên thời gian có hạn bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Lan Anh 28 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2005 [2] Tusheng Zhang, Martingale with applications to finance, October 11, 2012 [3] Sheldon M Ross and Erol A Pekoz, A Second Course in Probability, Spring 2007 [4] David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University 29 [...]... KẾT LUẬN Thực tập chuyên ngành với đề tài:“ Martingale rời rạc và ứng dụng , em đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau: 1 Martingale rời rạc 2 Ứng dụng Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của TS.Trần Minh Tước và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên Đề tài thực tập cơ bản đã... chúng ta sử dụng tính chất Sn là Fn -đo được và Xn+1 độc lập với Fn Vì vậy E[Sn+1 |Fn ] = Sn + p − q Chú ý • Nếu p = q = 12 thì E[Sn+1 |Fn ] = Sn tương ứng trường hợp này trò chơi diễn ra công bằng và {Sn , n ≥ 0} là martingale • Nếu p > q thì E[Sn+1 |Fn ] > Sn tương ứng trường hợp này {Sn , n ≥ 0} là martingale dưới • Nếu p < q thì E[Sn+1 |Fn ] < Sn tương ứng trường hợp này {Sn , n ≥ 0} là martingale. .. τ = {Xn∧τ , A , n ∈ N} cũng là martingale (martingale dưới) Chứng minh Thật vậy, ta thấy: n−1 Xn∧τ = ∑ Xm Iτ=m + Xn Iτ≥n m=0 Suy ra Xn∧τ là A -đo được và có kỳ vọng hữu hạn Hơn nữa, Xn+1∧τ − Xn∧τ = Iτ≥n (Xn+1 − Xn ) do đó: E(Xn+1∧τ − Xn∧τ |An ) = Iτ>n E((Xn+1 − Xn |An ) = 0 (≤ 0) 18 Chương 2 Ứng dụng 2.1 Bài toán Gambler và Martingale Bài toán Gambler Hai đấu thủ A và B chơi một trò chơi như sau:... chứng minh như sau Ta thấy |Xτ | = Xτ + 2Xτ− , và theo khẳng − − định thứ nhất thì E|Xτ | = EXτ + 2E− τ ≤ EX0 + 2EXτ Do {Xn , An , n = 17 0, 1, , N} là martingale dưới, nên theo khẳng định thứ hai thì EXτ− ≤ EXN− Vậy là : E|Xτ | = EX0 + 2EXτ− EX0 + 2EXN− ≤ EX0 + 2E|XN | ≤ 3 sup E|Xn | n≤N Ví các bất đẳng thức (1.4.4) và (1.4.5) trở thành đẳng thức đối với martingale nên ta thu được điều phải chứng... {Xn , A , n ∈ N} là martingale trên và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) sao cho P{σ ≤ τ ≤ N} = 1 Khi đó: EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN • Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale dưới ,và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với {An , n = 0, 1, , N}) sao cho P{σ ≤ τ ≤ N} = 1.Khi đó, ta có: EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN • Giả sử X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale dưới, và τ, σ là hai thời... X là biến ngẫu nhiên nào đó có E|X| < ∞ và {An , n ∈ N} là dãy σ −trường con không giảm của A Khi đó, dãy Xn = E(X|An ) 14 là dãy martingale đối với An , n ∈ N Thật vậy, vì An−1 ⊂ An ta có Xn−1 = E(X|An−1 ) = E(E(X|An )|An−1 ) = E(Xn |An−1 ) Ví dụ 1.3 Nếu X = {Xn , A , n ∈ N} là martingale và g là hàm lồi với E|g(Xn )| < ∞, n ∈ N thì {g(Xn ), A , n ∈ N} là martingale dưới Thật vậy, theo bất đẳng thức... N} là dãu tương thích và τ là thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N} thì:  X τ(ω) (ω)nếu ω ∈ {τ(ω) < ∞} , Xτ : Ω → R, Xτ (ω) := 0 nếu ω ∈ {τ(ω) = ∞} là đo được đối với Aτ , tức là: Xτ ∈ Aτ Thật vậy, với mọi tập Borel B của đường thẳng {Xτ ∈ B} ∩ {τ = n} = {Xn ∈ B}, {τ = n} ∈ An Vì {Xn ∈ B} ∈ An Điều này chứng tỏ {Xτ ∈ B} ∈ Aτ , tức là Xτ ∈ Aτ 1.4 Quá trình Martingale rời rạc Các định nghĩa dưới... trên Tính chất 2.2 Trong trường hợp diễn ra công bằng, tức là {Sn , F , n ≥ 0} là martingale với {Fn = σ (X1 , X2 , , Xn )} Khi đó {Yn = Sn2 − n, n ≥ 0} cùng là martingale đối với F , n ≥ 1 20 Chứng minh Vì Yn là hàm của X1 , X2 , , Xn nên Yn là Fn -đo được Vì |Yn | ≤ n + n2 nên Yn là khả tích Để chứng minh {Yn } là martingale ta phải chỉ ra E[Sn+1 |Fn ] = Yn chúng ta có Yn+1 = = = = 2 Sn+1 −n+1... là: Martingale trên (đối với {An , n ∈ N}) , nếu: (i) {Xn , An , n ∈ N} là dãy tương thích; (ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N; (iii) với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn |A ) ≤ Xm , P− hầu chắc chắn Martingale dưới (đối với {An , n ∈ N}) ,nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii’) với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn |Am ) ≥ Xm , P− hầu chắc chắn Martingale (đối với {An , n ∈ N}) , nếu điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii’)... Thị Lan Anh 28 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội, 2005 [2] Tusheng Zhang, Martingale with applications to finance, October 11, 2012 [3] Sheldon M Ross and Erol A Pekoz, A Second Course in Probability, Spring 2007 [4] David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University 29 ... qp )N 27 KẾT LUẬN Thực tập chuyên ngành với đề tài:“ Martingale rời rạc ứng dụng , em nghiên cứu nội dung chủ yếu sau: Martingale rời rạc Ứng dụng Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn... đời, có martingale Đề tài luận văn em "Martingale rời rạc ứng dụng " phần nhỏ thuộc hướng nghiên cứu Để hiểu nắm bắt số kết đề tài, em xây dựng luận văn theo chương: Chương 1: Martingale rời rạc. .. = Sn tương ứng trường hợp trò chơi diễn công {Sn , n ≥ 0} martingale • Nếu p > q E[Sn+1 |Fn ] > Sn tương ứng trường hợp {Sn , n ≥ 0} martingale • Nếu p < q E[Sn+1 |Fn ] < Sn tương ứng trường