Chuyển về mô hình rời rạc một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên rời rạc và ứng dụng

Chuyển về mô hình rời rạc một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên rời rạc và ứng dụng Đinh Thị Hồng Gấm Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Ths Chuyên ngành: Toán học tính toán; Mã chuyên ngành: 60 46 30 Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Giới thiệu tổng quan về những công cụ ngẫu nhiên và giải tích hàm có liên đến bài toán: phép tính vi và tích phân trong B-không gian; bài toán điều khiển với tham số ngẫu nhiên và tổng quan về một số phương pháp để giải; mô hình dò tìm hỗn hợp giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên. Nghiên cứu tham số hóa hàm điều khiển để giải trực tiếp một loại toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp: thiết lập bài toán điều khiển tổng quát; thiết lập điều khiển chấp nhận được; tham số hóa biến điều khiển theo chương trình; xác định bộ tham số điều khiển ɛ-tối ưu bằng mô hình dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp. Ứng dụng vào việc giảm thiểu thiên tai lũ lụt cho Đồng bằng Bắc Bộ: bài toán giảm thiểu thiên tai lũ lụt bằng hệ thống thủy điện bậc thang; thiết lập bài toán quy hoạch ngẫu nhiên; mô phỏng độ rủi ro lũ lụt của mỗi quy trình điều tiết hợp lý khả thi. Keywords: Toán học; Bài toán điều khiển; Giải tích hàm; Quy hoạch ngẫu nhiên Content Với vị trí địa lý tự nhiên thuộc vùng Đông Nam Á – vốn được mệnh danh là “rốn bão của thế giới”, khiến thiên tai lũ lụt kéo theo nó là hạn hán ở nước ta nhiều hơn các nước khác trên thế giới. Trong tình hình biến đổi khí hậu như hiện nay, thiên tai nói trên ngày càng trầm trọng. Nhằm hạn chế lũ lụt - hạn hán, bài toán thủy điện đa tiêu chí đã ra đời (trong những năm 1986 - 1987) từ việc xây dựng quy trình vận hành hợp lý khả thi ở nhà máy thủy điện Hòa Bình trong đó lấy nhiệm vụ phát điện làm ưu tiên gắn với đáp ứng các yêu cầu tối thiểu về thủy lợi và về tham gia điều phối cắt lũ cho hạ du. Trong những năm 2000 – 2002, khi lựa chọn quy mô thiết kế cho công trình thủy điện Sơn La, bài toán thủy điện đa tiêu chí được đưa ra dưới dạng mô hình toán học trong việc giảm thiểu độ rủi ro lũ lụt – động đất cho công trình thủy điện Sơn La, trong đó lấy việc an toàn cho công trình thủy điện Sơn La làm mục tiêu gắn với sự đáp ứng các tiêu chí tối thiểu về phát điện, thủy lợi và tham gia điều phối cắt lũ. Trong những năm 2005 – 2008 bài toán thủy điện đa tiêu chí đã được nghiên cứu dưới dạng Mô hình phân bổ dung tích phòng lũ và vận hành an toàn hợp lý hệ thống thủy điện 3 bậc thang trên sông Đà. Trong mô hình này, sự an toàn của hệ thống thủy điện (trước những rủi ro về lũ lụt) được chọn làm mục tiêu gắn với các tiêu chí tối thiểu về phát điện, dung tích phòng lũ, cung cấp nước tưới tiêu cho nông nghiệp (chưa có dung tích chống hạn) và tham gia điều phối cắt lũ. Gắn với mô hình này đã có 5 bộ phần mềm đã được soạn thảo (VSAM1 – VSAM5) với sự đảm bảo khoa học của các bài báo khoa học Ta có thể xem bài toán giảm thiểu độ rủi ro lũ lụt cho hệ thống thủy điện n – bậc thang như là bài toán giảm thiểu thiên tai lũ lụt bằng một hệ thống thủy điện bậc thang. Trong đó mục tiêu cần giảm thiểu vẫn là độ rủi ro lũ lụt nhưng hàm ý cực đại dung tích phòng lũ có thể theo nghĩa: tạo ra khả năng tồn tại cao nhất của các đập thủy điện trong hệ thống. Sẽ là không cần thiết và vô nghĩa, nếu ta chuyển mục tiêu của bài toán về dạng cực đại dung tích phòng lũ, vì dung dích này chỉ có nghĩa khi còn tồn tại hệ thống thủy điện (không xảy ra hiện tượng vỡ đạp và thảm họa lũ lụt) Với những ý nghĩa đó, trong luận văn này tôi nghiên cứu bài toán Giảm thiểu thiên tai lũ lụt bằng hệ thống thủy điện bậc thang. Do bài toán này có dạng tổng quát của 1 loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp trong mô hình liên tục, nên chương 1 của luận văn sẽ giới thiệu tổng quan về những công cụ ngẫu nhiên và giải tích hàm có liên quan đến bài toán. Trong chương 2, mô hình toán học của bài toán trên sẽ được phát biểu trong ngôn ngữ cải biên của bài toán giảm thiểu độ rủi ra lũ lụt cho hệ thống thủy điện bậc thang. Thông qua việc rời rạc hóa hàm điều khiển, một loại phương pháp Monte Carlo trực tiếp cũng được đề nghị sử dụng trong chương này để giải bài toán. Cuối cùng, một ứng dụng vào việc tham gia giảm thiểu thiên tai lũ lụt cho vùng đồng bằng Bắc Bộ sẽ được bàn tới trong chương 3 của luận văn. Chương I: Một số công cụ ngẫu nhiên và giải tích hàm liên quan 1.1 Phép tính vi và tích phân trong B – Không gian Khái niệm đạo hàm trong không gian Banach được hiểu theo nghĩa đạo hàm Frêche và tích phân được tính bởi giá trị của giới hạn tổng Rieman 1.2 Bài toán điều khiển với tham số ngẫu nhiên Bài toán điều khiển với tham số ngẫu nhiên dạng tổng quát là:       o G J x : E f z,x inf         z t g t,z t ,x t  0 t t T ,     2 0 0 n z t z L   đã cho       2 m x t X t L         2 n z t Z t L               22 mn x t ,z t Y t L xL    Bài toán này có các kết quả phong phú nhất trong việc giải bằng số thuộc lĩnh vực tất định. Tuy nhiên những phương pháp đó cũng chỉ dừng lại ở từng trường hợp riêng biệt. Có thể kể ra các phương pháp chính như: Phương pháp gián tiếp, phương pháp ẩn, phương pháp trực tiếp, phương pháp Monte Carlo. 1.3 Mô hình dò tìm hỗn hợp giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Các phương pháp số giải bài toán điều khiển thường đưa đến các bài toán quy hoạch (tất định hoặc ngẫu nhiên). Khi bài toán điều khiển có tính lồi, bài toán quy hoạch có dạng rất tổng quát ( gọi là bài toán quy hoạch đo được gắn với không gian độ đo   ,,     ) Khi bài toán điều khiển đưa đến bài toán quy hoạch ngẫu nhiên , phương pháp MC được dùng để mô phỏng các thể hiện của biến ngẫu nhiên trong đó bài toán quy hoạch tương ứng nói chung không có tính lồi và ta có thể xem nó là bài toán quy hoạch đo được gắn với không gian độ đo   ,,     . Khi giải bài toán này, ta có thể sử dụng thuật toán dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp gắn với việc trộn lẫn 2 dãy dò tìm toàn cục và dãy dò tìm đại phương để tìm cực tiểu hàm hồi quy       F E f ,    Sau đó ta tìm dãy dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp   s  . Khi đó , dãy trên hội tụ theo mục tiêu (a.s) về một lời giải nào đó của bài toán quy hoạch Chương II: Tham số hóa hàm điều khiển để giải trực tiếp một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp 2.1 Đặt vấn đề Ta xét đến bài toán điều khiển sau:       0 J x : E f z,x inf ,   n 0 x C 0,T;R           T i 1 0 f t,E z t ,x t dt 0 1 i m            i f t, ,E z t ,x t 0   12 t T,T , 12 m i m         x t x t x t t 0,T        z t A t                3 z t B t x t C t t d t 0 t T T         0 z 0 z                           i i 1 i 3 3 0 3 3 3 e E z t E z T e T t T,i 1,3 tT E z t E z T z E z T T t T TT                       Thỏa mãn các giả thiết sau: (A) Vecto trạng thái ban đầu 0 z đã cho và quá trình trạng thái   zt , 0 t T là liên tục trung bình phương theo tham số t (B) Các ma trận và vecto hàm đã cho A, B, C là liên tục sao cho tồn tại ma trận nghịch đảo   1 Bt  và ma trận hàm 1 B  cũng liên tục (C) Quá trình ngẫu nhiên Hinbe n – chiều   t đã cho là liên tục trung bình phương theo tham số t (D) Ánh xạ ngẫu nhiên 0 f và các hàm tất định x , x , i f là đã cho trong đó các ánh xạ i f là đo được và giới nội địa phương (E) Bài toán điều khiển đã xét là nghiệm Trong trường hợp đặc biệt nếu 0 thì ta được bài toán đã được nghiên cứu khi xây dựng hệ thống thủy điện ba bậc thang trên song Đà. Liên quan đến điều này, bài toán đã xét có tính tổng hợp trên     12 0;T \ T,T còn bài toán ta đang nghiên cứu có tính tổng hợp trên   3 T ,T . Bởi vậy việc mở rộng phạm vi nghiên cứu nói trên không chỉ làm giảm đi sự phức tạp của tính tổng hợp mà còn mở rộng được miền chấp nhận được (sát thực tiễn vận hành của HTTD) của bài toán ban đầu 2.2 Thiết lập bài toán điều khiển tổng quát Với mục đích chuyển bài toán đang xét về dạng điều khiển tổng hợp, trước hết ta chỉ ra tính điêu khiển được (theo điều khiển liên tục từng khúc) của hệ động lực ngẫu nhiên     z t A t                3 z t B t x t C t t d t 0 t T T         0 z 0 z Với kết quả của bổ đề 2.2.1 chỉ ra rằng hệ động lực trên là điều khiển được bởi lớp hàm liên tục từng khúc Bổ đề 2.2.2 chỉ ra rằng đặt       E z t Z t thì hệ vi phân:     Z t A t                3 Z t B t x t C t t d t 0 t T T         0 Z 0 z có nghiệm duy nhất ứng với mối điều khiển     2 0 x C 0,T ;L Bài toán đã cho có dạng của bài toán điều khiển tổng quát 2.3 Thiết lập bài toán điều khiển chấp nhận được Khi xét dạng thu hẹp của hệ vi phân tất định trên   3 0;T Ta chỉ ra rằng điều khiển     n 0 x C 0;T ;R cần tìm là điều khiển tổng hợp có dạng        3 x t X t , t T ,T   trong đó                      1 33 X t : B t G A t t T G Y T C t E t d t            Khi đó thay vì phải tìm điều khiển x trên toàn đoạn   0;T ta chỉ cần tìm điều khiển chấp nhận được trên   3 0;T còn trên   3 T ;T thì đã có biểu thức giải tích ở trên Điều khiển thu hẹp trên   3 0;T cần tìm được gọi là điều khiển theo chương trình tối ưu của bài toán đã cho 2.4 Tham số hóa biến điều khiển theo chương trình Ta có thể chuyển bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp về việc giải bài toán điều khiển theo chương trình với biến điều khiển liên tục. Tuy nhiên việc kiểm tra tính chấp nhận được của điều khiển theo chương tình gặp khó khăn về tính không đếm được số các bất đẳng thức cần kiểm tra. Để khác phục khó khăn này ta giới hạn x trong lớp các hàm liên tục tuyến tính từng khúc trên   3 0;T . Thực hiện phân hoạch trên   3 0;T , bởi các điểm chia   k t 0 t K thì ta chỉ cần tính được giá trị của x tại các điểm chia 1 t đến 3 k3 t : T Đặt   k k x : x t Ta cần tìm ma trận 3 3 k 2 11 n.m k 2 nn x x X: R x x       gọi là bộ tham số điều khiển Lớp những bộ tham số điều khiển thỏa mãn điều kiện chấp nhận được gọi là các bộ tham số điều khiển chấp nhận được và được gọi la tối ưu nếu nó là điều khiển theo chương trình tối ưu Với việc đưa vào một tham số  , và thu hẹp miền chấp nhận được tùy theo  là miền D  ta có định lí 2.4.1 chỉ ra rằng tồn tại bộ tham số điều khiển tối ưu thuộc miền D  2.5 Xác định bộ tham số điều khiển  - tối ưu bằng mô hình dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp Ta thấy thay vì giải bài toán ban đầu ta chỉ tìm điều khiển  - tối ưu nghĩa là đưa về giải bài toán       J X : E X inf     XD   Ta có thể dùng phương pháp MC để dò tìm điều khiển tối ưu của bài toán này Bổ đề 2.5.1 và 2.5.2 chỉ ra rằng bài toán của ta thỏa mãn các yêu cầu để sử dụng phương pháp MC Khi đó dãy dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp tìm được theo định lí 2.5.1 sẽ hội tụ theo mục tiêu (a.s) về bộ tham số điều khiển tối ưu cần tìm Chương III: Ứng dụng vào việc giảm thiểu thiên tai lũ lụt cho Đồng bằng Bắc Bộ Khi nghiên cứu bài toán thủy điện đa tiêu chí, ta gặp bài toán có dạng của bài toán ta đang nghiên cứu và thỏa mãn các giả thiết đặt ra là bài toán (3.1.12)-(3.1.19) Vì vậy ta có thể sử dụng lí thuyết chương 2 và phương pháp MC để giải bài toán này Phục vụ cho việc giải số này 5 phần mềm đã được soạn thảo là VSAM1 –VSAM5 References Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Phương pháp số trong lý thuyết điều khiển tối ưu, NXB Đại học QG Hà Nội 2001. [2] Bensoussan A., Hurst E.G., Naslund B., Management Applications of modern optimal control theory, North-Holland Publ. Com., Amsterdam-Oxford 1974. [3] Trần Cảnh, Chuyển một loại bài toán điều khiển về bài toán điều khiển trên đơn hình, Kỷ yếu HN Ứng dụng TH Toàn quốc lần I, T.II (509-522), NXB Đại học QG Hà Nội 2000. [4] Trần Cảnh, Bùi Quốc Hoàn, Nguyễn Đình Xuyên, Dự báo một loại quá trình điểm gắn mã và ứng dụng vào nghiên cứu động đất, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.I, Số 1, 2003 (79-104). [5] Trần Cảnh, Tống Đình Quỳ, Mô phỏng gradient và ứng dụng để giải một số bài toán điều khiển phi tuyến bằng phương pháp gián tiếp, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.III, Số 1, 2005 (1-27). [6] Trần Cảnh, Mai Văn Được, Tống Đình Quỳ, Mô phỏng gradient và ứng dụng để giải một số bài toán điều khiển phi tuyến bằng phương pháp trực tiếp, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.VI, Số 2, 2008 (1-28). [7] N.Dunford and J.Schawartz, Linear Operators - Part I: General Theory, Inter- science Publ., New York - London 1958. [8] Mai Văn Được, Nguyễn Quý Hỷ, Vũ Tiến Việt, Thuật toán bắn ngẫu nhiên Markov và phần mềm VSAM 3 giải bài toán vận hành HTTĐ 3 bậc thang trên sông Đà, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.VI, Số 2, 2008 (75-110). 70 [9] Mai Văn Được, Nguyễn Quý Hỷ, Giải một loại bài toán điều khiển thiếu thông tin bằng phương pháp quy hoạch ngẫu nhiên và ứng dụng, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.VII, Số 2, 2009 [10] Ermolev J.M., Các phương pháp quy hoạch ngẫu nhiên (Bản tiếng Nga), Izd. "NAUKA", Moskva 1976. [11] Ermolev J.M., Gulenko V.P., Sarenko T.I., Các phương pháp sai phân hữu hạn trong bài toán điều khiển tối ưu (Bản tiếng Nga), Izd. "NAUKOVA DUMKA", Kiev 1978. [12] Fleming W.H., Rishel R.W., Deterministic and stochastic optimal control, Spinger-Velag, Berlin-New York1975. [13] I.I.Gichman, A.W.Skorochod, Nhập môn Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên (Bản tiếng Nga), Izd. "NAUKA" Moksva 1968. [14] Hội ứng dụng toán học VN, Ứng dụng mô hình toán học phục vụ Công trình thuỷ điện Sơn La, Đề tài KHCN, Liên hiệp các Hội KH & Kỹ thuật VN, Hà Nội 2002. [15] Hội ứng dụng toán học VN, Mô hình phân bổ dung tích phòng lũ và vận hành an toàn hợp lý hệ thống thủy điện 3 bậc thang trên sông Đà, Đề tài KHCN Liên hiệp các Hội KH & Kỹ thuật VN, Hà Nội 2008. [16] Nguyễn Quý Hỷ, Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hồ Quỳnh, Phạm Trọng Quát, Hà Quang Thụy, Mô hình điều khiển hợp lý Nhà máy Thủy điện Hoà Bình, BC Đề tài 10A.02.05 Bộ Điện lực, Hà Nội 1987. [17] Nguyen Quy Hy, Nguyen Thi Minh, Application of Monte Carlo method for solving a class of optimal control problems, XX Ogolnopolski Konf. Zast. Mat., Warszawa 1991 (31-33). [18] Nguyen Quy Hy, Nguyen Thi Minh, A simulation of integral and derivative of the solution of a stochastic integral equation, Ann. Pol. Math., LVII, N o 1, 1992 (1-12). 71 [19] Nguyễn Quý Hỷ, Nguyễn Đình Hoá, Tống Đình Quỳ, Nguyễn Đình Xuyên, Về một bài toán biến phân để ước lượng một loại mặt hồi quy, Kỷ yếu HN Ứng dụng TH Toàn quốc lần I, T.III (637-644), NXB Đại học QG Hà Nội 2000. [20] Nguyễn Quý Hỷ, Phương pháp mô phỏng số Monte-Carlo, NXB Đại học QG Hà Nội, 2004. [21] Nguyễn Quý Hỷ, Mai Văn Được, Trần Minh Toàn, Về một bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp trong vận hành an toàn hợp lý HTTĐ bậc thang, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.V, Số 1, 2007 (65-101). [22] Nguyễn Quý Hỷ, Trần Thu Thuỷ, Mai Văn Được, Nguyễn Duy Phương, Vũ Tiến Việt, Cơ sở toán học của phần mềm VSAM 4 & 5, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.VI, Số 1, 2008 (57-92). [23] Nguyễn Quý Hỷ, Mai Văn Được, Về một bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp trong vận hành an toàn hợp lý HTTĐ bậc thang, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.VII, Số 1, 2009 (15-52). [24] Kantorovich L.V., Akilov G.P., Giải tích hàm (Bản tiếng Nga), Izd. "NAUKA", Moskva 1977. [25] Kolmogorov A.N., Fomin S.V., Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm (Bản tiếng Nga), Izd. "NAUKA" Moksva 1972. [26] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương - độ đo và tích phân, NXB Giáo Dục Hà Nội 1994. [27] Lê Hồng Phương, Nguyễn Văn Hữu, Tống Đình Quỳ, Mô phỏng nước tự nhiên đổ về các hồ chứa Hòa Bình-Sơn La-Lai Châu, Tạp chí Ứng dụng Toán học, T.VI, Số 1, 2008 (47-56). [28] Pshenichny B.N., Danilin Yu.M., Numerical methods in extremal problems, Mir Publ., Moscow 1978. [29] Tong Dinh Quy, Nguyen Quy Hy, Tran Canh, On a stochastic approximation for estimating a gression and its application, ISTAEM Hong Kong 2001 (113-116). 72 [30] G.I.Shilov, Giải tích toán học - Phần 3: Hàm một biến số (Bản tiếng Nga) , Izd."NAUKA" Moskva 1970. [31] R.Zielinski, P.Neumann, Stochastische Vefahren zur Suche nach dem Minimum einer Funktion , Akademie-Verlag, Berlin 1983. 73 . Chuyển về mô hình rời rạc một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên rời rạc và ứng dụng Đinh Thị Hồng Gấm Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận. Ta có thể chuyển bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp về việc giải bài toán điều khiển theo chương trình với biến điều khiển liên tục. Tuy nhiên việc