Xét bài toán ở mục2.1. Giả sử rằng họ se chơi cho đến khi một trong hai người họ phá sản. Vấn đề đặt ra là xác định xác suất để đấu thủAphá sản và trung bình số lần gieo.
ĐặtSbn là số tiền của đấu thủ Asau lần gieo thứ n. Khi đó
b
Sn =a+X1+X2+· · ·+Xn =a+Sn
trong đóXi, i=1,2, . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất P(Xi =1) = 12,P(Xi =−1) = 12. Trò chơi sẽ kết thúc nếu đấu thủ A hoặcB là phá sản, tức là thời điểm dừng của cuộc chơi là
T = min{n:Sbn =0 hoặcSbn =a+b}
=min{n:Sn =−a hoặcSn =a+b}
Chúng ta đã biết, {Sn, n≥0} là martingale. Vì SY =−a hoặcST =b nên chúng ta có
P(ST =−a) +P(ST =b) =1 (2.3.1) Chú ý rằng{đấu thủA là phá sản}={ST =−a}.
Vì vậy |ST∧n| ≤a+b ∀n≥1, theo định ngĩa Doob ta cóE[ST] = E[S0]tức là
E[ST] = (−a)·P(ST =−a) +b·P(ST =b) =0 (2.3.2) Giải (2.3.1) và (2.3.2) ta thu được
P(ST =−a) = b
a+b; P(ST =b) = a a+b Trung bình số lần gieo E[T].
Chúng ta đã biết,Yn=S2n−n, n≥0là quá trình martingale vì vậy quá trình dừngYT∧n=S2T∧n−(T ∧n) cũng là martingale. Vì vậy, chúng ta có
Áp dụng định lý hội tụ ta có E[T] = lim n→∞E[T∧n] = lim n→∞E[ST2∧n] = E[S2T] = (−a)2·P(ST =−a) +b2P(ST =b) =a2· b a+b +b 2· a a+b =a·b Vậy trung bình số lần gieo là E[T] =a·b
Định lý 2.3. Xét du động ngẫu nhiên {Sn, n≥0} với 0<S0 =k<N sao choSn =S0+X1+X2· · ·Xn vớiP(Xi =1) = p, P(Xi =−1) =q,p=1−q.
Giả sử p6=q. Khi đó xác suất để du động chạm0tức khi chạmN là
(qp)K−(qp)N 1−(qp)N
Chứng minh. Ta cóX1,X2,· · ·,Xn là các bước độc lập của du động. Khi đó S0 =k, Sn=k+X1+X2+· · ·+Xn vớiP(Xi =1) = p, P(Xi =−1) =q
Định nghĩa 2.1. Zn = (qp)Sn, n≥0. Khi đó {Zn, n≥0}là martingale đối với{Fn=σ(X1,X2,· · ·,Xn), n≥0}.
Chứng minh. Đặt{T =min{n:Sn=0hoặcSn=N}}là thời điểm đầu tiên du động chạm 0 hoặc N. Khi đó ST =0 có nghĩa là du động chạm 0 trước khi chạmN vàST =N du động chạmN trước khi chạm 0.
Vì |Zn∧T| ≤ |(q p) SN∧T| ≤ max 1≤l≤N(q p) l =M và theo định lý Doob ta có E[ZT] = E[Z0] = (q p) k Mặt khác, ta có E[ZT] = (q p) 0·P(ST =0) + (q p) N·P(ST =N) = P(ST =0) + q p) N(1−P(ST =0)).
Vì vậy ta có. P(ST =0) + (q p) N(1−P(ST =0)) = (q p) K Suy raP(ST =0) = ( q p)K−(qp)N 1−(qp)N
KẾT LUẬN
Thực tập chuyên ngành với đề tài:“Martingale rời rạc và ứng dụng”, em đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau:
1 Martingale rời rạc.
2 Ứng dụng.
Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của TS.Trần Minh Tước và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên. Đề tài thực tập cơ bản đã đạt được mục đích đề ra. Nó đã mang lại sự cần thiết và những lợi ích của thực tập chuyên ngành nói chung và việc đào tạo Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần trong sự phát triển của Toán học. Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này cũng không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà nội, 2005.
[2] Tusheng Zhang, Martingale with applications to finance, October 11,
2012.
[3] Sheldon M. Ross and Erol A. Pekoz, A Second Course in Probability,
Spring 2007.