Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục và rời rạc

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hiên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cô, người giao đề tài hướng dẫn tận tình để có luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Toán, Phòng Sau đại học thầy cô giáo trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu tạo điều kiện cho kết thúc tốt đẹp chương trình học cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sao Đỏ, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình học cao học Và cuối xin cảm ơn người thân gia đình giúp đỡ, động viên nhiều suốt thời gian gian học tập Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Vũ Duy Tiến Lời nói đầu Lịch sử sóng nhỏ bắt đầu vào khoảng năm 1982 Lý thuyết sóng nhỏ kết nỗ lực nhiều ngành góp phần đem nhà toán học, vật lý kỹ sư lại với Có nhiều lý cho thành công lý thuyết Một số khả ứng dụng rộng rãi Những ứng dụng sóng nhỏ có mặt giải tích tín hiệu, kỹ thuật nâng cao chất lượng ảnh, nén dấu vân tay, nhận dạng đối tượng, kỹ thuật giảm tiếng ồn âm thanh, ∞ Phép biến đổi Fourier fˆ(ω) = e−iωx f (x)dx không −∞ công cụ toán học mạnh mẽ mà có ý nghĩa vật lý lớn ứng dụng Ví dụ, hàm f ∈ L2 (R) xét tín hiệu tương tự với lượng hữu hạn, xác định chuẩn f biến đổi Fourier f mô tả phổ tin hiệu Trong phân tích tín hiệu, tín hiệu tương tự xác định miền thời gian thông tin phổ tín hiệu cho miền tần số Công thức biến đổi Fourier không đầy đủ cho hầu hết ứng dụng Để lấy thông tin phổ fˆ(ω) từ tín hiệu tương tự f (t), từ công thức ta cần dùng lượng thời gian vô hạn, dùng thông tin khứ tương lai tín hiệu, để xác định phổ tần số ω Bên cạnh đó, công thức chí không phản ánh tần số thay đổi theo thời gian Năm 1946, Dennis Gabor, nhà vật lý người Hungary nhận giải Nobel vật lý, đưa phép biến đổi Gabor nhằm khắc phục yếu điểm cách dùng hàm cửa sổ địa phương hóa thời gian g(t - b) để lấy thông tin địa phương phép biến đổi Fourier tín hiệu, tham số b dùng để dịch chuyển cửa sổ toàn trục thời gian Tuy nhiên, phép biến đổi Gabor có nhược điểm chiều rộng cửa sổ thời gian-tần số không thay đổi giá trị tần số Năm 1982, Jean Morlet, nhà kỹ sư địa vật lý người Pháp, đưa khái niệm sóng nhỏ phép biến đổi sóng nhỏ phương tiện để phân tích tín hiệu địa chấn Phép biến đổi sóng nhỏ công cụ cắt hàm, toán tử thành thành phần tần số khác sau nghiên cứu thành phần với độ phân giải tương ứng thang bậc Phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm phép biến đổi Gabor chỗ cửa sổ có khả phóng to hay thu nhỏ, tức cửa sổ thời gian tần số tự động thu nhỏ với thành phần có tần số cao mở rộng với thành phần có tần số thấp Đó tính chất mong chờ giải tích thời gian-tần số Trong nhiều ứng dụng, đặc biệt giải tích tín hiệu, liệu biểu diễn số hữu hạn giá trị, việc nghiên cứu mô hình rời rạc phép biến đổi sóng nhỏ liên tục quan trọng hữu ích Năm 1986, I Daubechies, A Grossmann Y Meyer đưa tảng toán học cho mô hình rời rạc, xây dựng đặc biệt cho không gian L2 (R) dựa khái niệm khung không gian Hilbert, ý tưởng đưa vào R.J.Duffin A.C Schaeffer năm 1952 Được thu hút tính thời tính ứng dụng cao sóng nhỏ phép biến đổi sóng nhỏ, định chọn “ Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục rời rạc” làm đề tài luận văn tốt nghiệp Do phát triển lý thuyết sóng nhỏ nhanh thời gian hạn chế nên trình bày số nét sóng nhỏ, phép biến đổi sóng nhỏ liên tục rời rạc Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận chung danh mục tài liệu tham khảo Trong chương 1, nhắc lại kết lý thuyết không gian Lp , phép biến đổi Fourier mà không chứng minh kết Bên cạnh giới thiệu qua khái niệm sóng nhỏ ví dụ Ở chương đề cập đến tính chất phép biến đổi sóng nhỏ liên tục ứng dụng giải tích thời gian tần số kèm theo chứng minh đầy đủ, chi tiết Chương trình bày phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc, lý thuyết khung không gian Hilbert tổng quát, khung sóng nhỏ địa phương hoá thời gian tần số Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 Không gian Lp (R), ≤ p ≤ ∞ 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 (R) 1.2.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2 (R) 11 1.3 Sóng nhỏ sở 12 Chương Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục 15 2.1 Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục giải tích thời gian – tần số 15 2.2 Tính chất phép biến đổi sóng nhỏ 20 2.3 Tốc độ triệt tiêu biến đổi sóng nhỏ 23 Chương Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc 32 3.1 Rời rạc hoá phép biến đổi sóng nhỏ 32 3.2 Khung không gian Hilbert 35 3.3 Khung sóng nhỏ 45 3.3.1 Điều kiện cần khung sóng nhỏ 45 3.3.2 Điều kiện đủ đánh giá cận khung 49 3.3.3 Khung đối ngẫu 52 3.3.4 Ví dụ 54 3.3.5 Địa phương hoá thời gian - tần số 55 Chương Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 Không gian Lp(R), ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ R, ≤ p ≤ ∞ Ta định nghĩa không gian Lp (R), ≤ p ≤ ∞ sau Lp (R) = {f : R → R (hay C): f đo |f |p khả tích } Lp (R) = {f : R → R (hay C): f đo ∃C, |f (x)| ≤ C h.k.n} Ký hiệu f C h.k.n} p p p |f (x)| dx = f ∞ = inf{C : |f (x)| ≤ R Chú ý: - Lp (R)(1 ≤ p ≤ ∞) không gian Banach với · p chuẩn - Nếu f ∈ L∞ (R) |f (x)| ≤ f ∞ h.k.n Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Holder) 1 Cho f ∈ Lp (R); g ∈ Lq (R) với + = 1; ≤ p ≤ ∞ Khi p q f.g ∈ L (R) |f.g| ≤ f p · g q (1.1) Đặc biệt, p = q = ta có bất đẳng thức Schwarz - Buniakowski |f · g| ≤ f · g (1.2) Ngoài ra, với p ∈ R, ≤ p ≤ ∞ ta có bất đẳng thức Minkowski f +g p ≤ f p + g p (1.3) Định lý 1.2 (Hội tụ bị chặn Lebesgue) Cho {fn } dãy hàm (thực phức) khả tích R Giả sử: i) fn (x) → f (x) h.k.n R ii) Tồn hàm g khả tích cho với n, |fn (x)| ≤ g(x) h.k.n R Khi f khả tích fn − f1 |fn (x) − f (x)| dx → n → ∞ = (1.4) R Hệ 1.1 Cho f hàm đo g hàm khả tích R i) Nếu |f (x)| ≤ g(x) h.k.n R f khả tích R ii) |f | khả tích f khả tích R Giả sử F : Rn1 × Rn2 → R (hay C) hàm đo Định lý 1.3 (Tonelli) Giả sử Rn2 dx Rn1 Rn |F (x, y)| dy < ∞ h.k.n Rn1 |F (x, y)| dy < ∞ Khi F khả tích Rn1 × Rn2 Định lý 1.4 (Fubini) Cho F khả tích Rn1 × Rn2 Khi với hầu hết x ∈ Rn1 , F (x, ·) ≡ y → F (x, y) khả tích Rn2 x → tích Rn1 F (x, y)dy khả Rn Kết luận tương tự đổi vai trò x cho y Rn1 cho Rn2 Hơn nữa, ta có dx Rn F (x, y)dy = Rn dy Rn F (x, y)dx Rn = F (x, y)dxdy (1.5) Rn1 ×Rn2 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 (R) Định nghĩa 1.2 Phép biến đổi Fourier hàm f ∈ L1 (R) cho công thức ∞ fˆ(ω) = (Ff )(ω) := e−iωx f (x)dx (1.6) −∞ Một số tính chất fˆ(ω) với f ∈ L1 (R) cho hai định lý sau: Định lý 1.5 Cho f ∈ L1 (R) Khi phép biến đổi Fourier f thoả mãn: i) fˆ ∈ L∞ (R); fˆ ∞ ≤ f ii) fˆ liên tục R iii) Nếu đạo hàm f (k) tồn thuộc L1 (R) f (k) = (iω)(k) fˆ(ω) iv) fˆ(ω) → ω → ±∞ Định lý 1.6 Nếu f (t), g(t) ∈ L1 (R) α, β số i) F{αf (t) + βg(t)} = αF{f (t)} + βF{g(t)} ii) F{Ta f (t)} = M−a fˆ(ω) iii) F{D a1 f (t)} = Da fˆ(ω) iv) F{D−1 f (t)} = fˆ(ω) v) F{Ma f (t)} = Ta fˆ(ω) Ta phép tịnh tiến cho Ta f (t) = f (t − a) Da phép 10 giãn cho Da f (t) = t f ( ), a = 0, Ma phép biến điệu cho |a| a Ma f (t) = eiat f (t) Định nghĩa 1.3 Cho fˆ ∈ L1 (R) phép biến đổi Fourier f ∈ L1 (R) Khi phép biến đổi Fourier ngược fˆ định nghĩa (F−1 fˆ)(x) := 2π ∞ eixω fˆ(ω)dω (1.7) −∞ Định lý 1.7 Cho f ∈ L1 (R) có phép biến đổi Fourier fˆ ∈ L1 (R) Khi f (x) = (F−1 fˆ)(x) (1.8) điểm x mà f liên tục Định nghĩa 1.4 −x2 Hàm có dạng gα (x) := √ e 4α , α > gọi hàm Gauss πα Ví dụ 1.1 Cho a > Khi phép biến đổi Fourier hàm Gauss e−ax π − ω2 e 4a , tức a ∞ π − ω2 e 4a a e−iωx e−ax dx = −∞ Chứng minh Xét hàm ∞ e−ax f (y) : = +xy −∞ ∞ y dx; y ∈ R y2 e−a(x− 2a )+ 4a = −∞ y2 = √ e 4a a π y2 = e 4a a ∞ e−x dx −∞ (1.9) 48 Với C này, số hạng (3.21) trở thành, a0 Cψm,n , ψm,n = m,n m,n ∞ da a2 |b| | ψm,n , hb,a |2 db a ω −∞ Nhưng −m/2 1/2 ψm,n , hb,a = a0 ψ(a−m x − nb0 )h a y + nb0 − a−m ψ(y)h dy −m aa0 −m/2 1/2 a0 a = = x−b dx a −m ψ, ha−m b−nb0 ,aa0 −m Bằng việc đổi biến a = a−m a, b = a0 b, thu a−m+1 Cψm,n , ψm,n = m,n a−m m,n ∞ = π s ω −∞ ∞ da a2 2 Bây lấy ω(s) = λe−λ ∞ da a2 | ψ, hb,a −∞ |b | a · · | ψ, hb −nb0 ,a |2 db b + nb0 |2 ω db a n Hàm có cực đại địa phương, giảm |s| tăng Với hàm ω α, β ∈ R, β > 0, ta có ∞ ∞ ω(t)dt − βωmax ≤ −∞ ω(α + nβ) ≤ ω(t)dt + βωmax −∞ n∈Z hay ω n b + nb0 a = a + ρ(b, a) b0 với |ρ(b, a)| ≤ ω(0) = λ Do Cψm,n , ψm,n m,n ∞ |R| = da a2 = b0 ∞ −∞ ∞ da a2 ∞ | ψ, hb,a |2 db + R (3.23) −∞ | ψ, hb,a |2 ρ(b, a)db ≤ λCh ψ 49 với Ch = 2π ˆ |h|−1 h(ξ) dξ.Chúng ta viết số hạng thứ (3.23) sau ∞ ∞ da ∞ − 21 ˆ ibξ ˆ ψ(ξ)a h(aξ)e dξ db b0 a −∞ ∞ 2 2π ∞ − 12 ˆ ˆ ψ(ξ) = da h(aξ) db b0 0 ∞ 2π ˆ = dξ h ξ −1 ψ(ξ) b0 Với hàm trọng đặc biệt ω mà chọn, ta có ∞ ω(t)dt = T r C = h lna0 Thay tất kết (3.21) tìm 2π A h lna0 ≤ h b0 ∞ ˆ ξ −1 ψ(ξ) dξ + R ≤ B h lna0 |R| ≤ λCh ψ 2π h cho λ dần đến ta b0 (3.17) Công thức tần số âm (3.18) chứng minh tương tự Nếu cúng ta chia hai vế cho 3.3.2 Điều kiện đủ đánh giá cận khung Không phải tất cách chọn ω, a0 , b0 đưa đến khung sóng nhỏ, chí ψ chấp nhận Định lý sau cho ta điều kiện tổng quát cho ω, a0 , b0 để ta thu khung sóng nhỏ, cho ta đánh giá với cận khung tương ứng Để | f, ψm,n |2 : làm điều này, cần đánh giá với m,n ∞ | f, ψm,n | = −m 2πb−1 a0 am = m,n −∞ m,n m,n∈Z m/2 ib0 am nξ dξ fˆ(ξ)a0 ψˆ (am ξ)e m −m fˆ ξ + 2π b−1 · a0 eib0 a0 nξ dξ ell∈Z −1 ·ψˆ am ξ + 2π b0 50 −m 2πb−1 a0 2π = b0 −m ˆ −1 fˆ ξ + 2π b−1 ψ am a0 ξ + 2π b0 m dξ ∈Z (Do định lý Plancherel cho hàm tuần hoàn) ∞ 2π −m ˆ m ˆ m ξ + 2πkb−1 )dξ = fˆ(ξ)fˆ ξ + 2π b−1 ψ(a0 ξ)ψ(a 0 a0 b0 −∞ m,k∈Z 2π = b0 ∞ 2 fˆ(ξ) −∞ ˆ m ξ) dξ+Rest(f ) ψ(a (3.24) m∈Z Rest(f ) bị chặn ∞ 2π |Rest(f )| = b0 −∞ m,k∈Z −1 ˆ m fˆ(ξ)fˆ(ξ + 2πka−m b0 )ψ(a0 ξ) · ˆ m ξ + 2πkb−1 ) ·ψ(a 0 2π ≤ b0 ∞ fˆ(ξ) m,k∈Z ˆ m ξ) ψ(a ˆ m ξ) + 2πkb−1 dξ ψ(a 0 −∞ ∞ −∞ · fˆ(ζ) 2 · ˆ m ζ) − 2πkb−1 ψ(a ˆ m ζ) dζ ψ(a 0 (dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, phép biến đổi ζ = −m ξ − 2πkb−1 nhân tử thứ hai) a0 ≤ 2π b0 ∞ fˆ(ξ) k=0 −∞ ˆ m ξ) ψ(a ˆ m ξ) + 2πkb−1 dξ ψ(a 0 · m · ∞ −∞ fˆ(ζ) m ˆ m ζ) − 2πkb−1 ψ(a ˆ m ζ) dζ ψ(a 0 (dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz tổng với biến m) 2π ≤ f b0 β k=0 2π 2π k β − k b0 b0 (3.25) ˆ m ξ) ψ(a ˆ m ξ + s) ψ(a 0 β(s) = sup ξ m∈Z Từ (3.24) (3.25) nhận thấy inf f f =0 | f, ψm,n |2 ≥ −2 m,n 2π b0 ˆ m ξ) − ψ(a ess inf ξ m∈Z 51 − 2π 2π k β − k b0 b0 β k=0 sup f −2 f =0 | f, ψm,n m,n 2π | ≤ b0 k=0 (3.26)  ˆ m ξ) + ψ(a ess inf ξ m∈Z 2π 2π k β − k b0 b0 β   2 + 2   (3.27)  Nếu vế bên phải (3.26), (3.27) dương thực bị chặn ψm,n cấu tạo thành khung, (3.26) cho ta cận với A, (3.27) cho ta cận với B Để làm điều này, điều cần là, với ≤ |ξ| ≤ a0 , (các giá trị khác ξ đưa miền cách nhân với am thích hợp, trừ trường hợp ξ = 0, {0} có độ đo không nên không thành vấn đề đây) ˆ m ξ) ≤ β < ∞ ψ(a 0 ψ(a (3.28) m∈Z với ξ = ˆ ψ(ξ) ≤ C |ξ|α + |ξ|2 − γ2 , α > 0, γ > α + (3.29) Các điều kiện triệt tiêu ψˆ yếu, thực tế đòi hỏi nhiều Nếu ψˆ liên tục, triệt tiêu (3.28) 52 ˆ m ξ) ≤ ε, có ψ(a điều kiện cần: với ξ0 = 0, m∈Z b0 2π thể khôi phục f ∈ L2 (R), với f = 1, | f, ψm,n |2 ≤ 2ε m,n 4πε suy Nếu ε chọn nhỏ tuỳ ý, không tồn b0 cận hữu hạn Mệnh đề 3.4 Nếu ψ, a0 thoả mãn ∞ ∞ ˆ m ξ) ψ(a inf 1≤|ξ|≤a0 > 0, ˆ m ξ) > ψ(a sup (3.30) 1≤|ξ|≤a0 m=−∞ m=−∞ ˆ m ξ + s) triệt tiêu nhanh ˆ m ξ) ψ(a ψ(a 0 β(s) = sup ξ m∈Z −(1+ε) (1 + |s|) với ε > 0, tồn (b0 )thr > cho ψm,n tạo thành khung với tất cách chọn b0 < (b0 )thr Với b0 < (b0 )thr , biểu thức sau cho ta cận khung ψm,n :    2 2π 2π 2π m ˆ A= inf ψ(a0 ξ) − k β − k β  b0 1≤|ξ|≤a0 m b0 b0 k=0 B=  2π  ˆ m ξ) + ψ(a sup b0 1≤|ξ|≤a0 m β k=0 2π 2π k β − k b0 b0    ˆ Các điều kiện β (3.30) thoả mãn ψ(ξ) ≤ C |ξ|α + |ξ|2 −γ với α > 0, γ > α + Bây chuyển sang nghiên cứu khung đối ngẫu khung sóng nhỏ 3.3.3 Khung đối ngẫu Như mục 3.2, khung đối ngẫu xác định ψm,n = (F ∗ F )−1 ψm,n (3.31) 53 F ∗ F = f, ψm,n ψm,n Chúng ta có công thức rõ ràng cho m,n nghịch đảo F ∗ F với tốc độ hội tụ nhanh theo hàm mũ, nghĩa ∞ B là, αn , với α tỉ lệ với − Vì việc chọn cận A n=0 khung A, B gần hữu ích Tuy nhiên mặt nguyên lý (3.23) yêu cầu tính số vô hạn ψm,n Tình không xấu Nếu dùng ký hiệu −m n (Dm f ) (x) = a0 f a−m x , (T f ) (x) = f (x − nb0 ) dễ kiểm tra rằng, với f ∈ L2 (R), F ∗F Dmf = DmF ∗F f Từ suy (F ∗ F )−1 Dm giao hoán Đặc biệt ψm,n = Dm T n ψ, ψm,n = (F ∗ F )−1 Dm T n ψ = Dm (F ∗ F )−1 T n ψ hay −m ψm,n (x) = a0 ψ0,n a−m x Không may thay, F ∗ F T n không giao hoán, mặt nguyên lý phải tính, vô hạn ψ0,n Trong thực tế, ta quan tâm tới tính toán miền hữu hạn thang bậc; m1 ∗ F F xấp xỉ cách hợp lý −m0 am số nguyên, N = ·, ψm,n ψm,n Nếu m=m0 n∈Z m1 −m0 a0 , dễ kiểm N tra mô hình cắt cụt F ∗ F giao hoán với T , trường hợp phải tính N phần tử ψ0,n , ≤ n ≤ N − Tuy nhiên số lớn nhiều trường hợp thực hành Vì đặc biệt thuận lợi để làm việc với khung chặt, nghĩa B −1 1; dừng sau số hạng bậc không A 54 công thức khôi phục (3.15), để tránh tất rắc rối với khung đối ngẫu, có khôi phục tốt hàm f Mặt khác, tồnn cách chọn đặc biệt ψ, a0 , b0 cho ψm,n không gần với khung chặt, tất hàm ψm,n tạo thành từ hàm −m ψm,n (x) = ψm,n (x) = a0 ψ a−m x−n (3.32) Chúng ta nhận xét ψm,n ψm,n có nhiều tính chất quy khác Ví dụ như, tồn khung ψ C ∞ triệt tiêu nhanh hàm đa thức nghịch đảo vài ψm,n không thuộc Lp với p nhỏ (suy chúng triệt tiêu chậm) 3.3.4 Ví dụ Cho υ hàm từ R vào R thuộc C k (hay C ∞ ) thoả mãn υ(x) = x ≤ x ≥ Một ví dụ hàm υ ∈ C xác định    πx sin2 υ(x) =   Với a0 > 1, b0 > tuỳ ý       sin − 12 ± ˆ ψ (ξ) = [lna0 ]      cos = 2π b0 a20 − (3.33) x ≤ ≤ x ≤ (3.34) x ≥ định nghĩa ψˆ± (ξ) sau ξ ≤ π υ π υ −1 ξ− (a0 − 1) ξ − a0 a0 (a0 − 1) ≤ ξ ≤ a0 a0 ≤ ξ ≤ a20 ψˆ− (ξ) = ψˆ+ (−ξ) Dễ kiểm tra supp ψˆ+ = a20 − ξ ≥ a20 = 2π b0 55 −1 χ(0,∞) (ξ) ψˆ+ (am ξ) = (lna0 ) m∈Z χ(0,∞) hàm số nửa đường thẳng mở (0, ∞), nghĩa χ(0,∞) = < ξ < ∞, trường hợp lại Với f ∈ L2 (R) bất kỳ, + f, ψm,n a−m a20 = = = 2π b0 Tương tự, m,n∈Z fˆ(ξ) [( −1 )] ψˆ+ (am ξ)dξ 2 ψˆ+ (am ξ) dξ m∈Z 2π b0 lna0 − f, ψm,n fˆ(ξ)e a20 −1 a−m m,n∈Z m,n∈Z 2πinam ∞ fˆ(ξ) dξ 2π = b0 lna0 ∞ fˆ(ξ) dξ Ta suy ε : m, n ∈ Z, ε = + −} khung chặt ψm,n 2π L2 (R), với cận khung b0 lna0 tập 3.3.5 Địa phương hoá thời gian - tần số Một động thúc đẩy nghiên cứu biến đổi sóng nhỏ chúng cung cấp tranh thời gian - tần số với tính chất địa phương hoá tốt hai biến Chúng ta khẳng định thân ψ địa phương hoá tốt thời gian tần số, khung sinh ψ cho tính chất Để thuận tiện, giả sử |ψ| ψˆ đối xứng ψ tập trung quanh thời gian gần ±ξ0 tần số với ∞ ˆ ξ ψ(ξ) dξ ξ0 = Nếu ψ địa phương hoá tốt thời gian ∞ ˆ ψ(ξ) dξ tần số tương tự ψm,n địa phương hoá tốt quanh am nb0 thời gian quanh ±am ξ0 tần số Nói cách trực giác, 56 f, ψm,n cho “nội dung thông tin” f gần thời gian am nb0 gần tần số ±am ξ0 Nếu thân f “địa phương hoá chủ yếu” hai hình chữ nhật không gian thời gian – tần số, nghĩa với < Ω0 < Ω1 < ∞, < T < ∞, fˆ(ξ) dξ ≥ (1 − δ) f (3.35) Ω0 ≤|ξ|≤Ω1 |f (x)|2 dx ≥ (1 − δ) f (3.36) |x|≤T số nhỏ, tranh trực giác gợi ý m f, ψm,n tương ứng với m, n với (am nb0 , ±a0 ξ0 ) nằm hay gần với [−T, T ] × ([−Ω1 , −Ω0 ] ∪ [Ω0 , Ω1 ]) cần thiết để khôi phục f với xấp xỉ tốt Định lý 3.2 −m Giả sử ψm,n (x) = a0 ψ (am x − nb0 ) cấu tạo thành khung với cận khung A, B, giả sử |ψ(x)| ≤ C + x2 − α2 , ˆ ψ(ξ) ≤ C |ξ|β + ξ − β+γ (3.37) với α > 1, β > 0, γ > Khi với ε > 0, tồn tập hữu hạn Bε (Ω0 , Ω1 , T ) ⊂ Z2 cho với f ∈ L2 (R) f− f, ψm,n B A ≤ (m,n)∈Bε ˆ dξ ψ(ξ) + |ξ|Ω1 |f (x)|2 dx + ε f + (3.38) |x|>T Chứng minh Chúng ta xác định tập Bε sau: Bε (Ω0 , Ω1 , T ) = (m, n) ∈ Z2 ; m0 ≤ m ≤ m1 , |nb0 | ≤ a−m T +t , m0 , m1 , t xác định đây, phụ thuộc vào Ω0 , Ω1 , T ε 57 f − f, ψm,n (m,n)∈Bε f, h − = sup h =1 f, ψm,n (m,n)∈Bε f, ψm,n = sup h =1 ψm,n , h ψm,n , h (m,n)∈Bε ≤ sup [| PΩ0 ,Ω1 f, ψm,n | + | (1 − PΩ0 ,Ω1 ) f, ψm,n |] · h =1 mm n∈Z · ψm,n , h [| QT f, ψm,n | + | (1 − QT ) f, ψm,n |] · + sup h =1 m 2(1−λ) (3.42) ; γ 1 1+ γ Mặt khác, với Ω0 ≤ |ξ| ≤ Ω1 chọn, ví dụ λ = ˆ m ξ) ψ(a 2(1−λ) + a2m Ω0 ≤ C3 m>m1 −γ(1−λ) m>m1 2γ(1−λ) −2m1 γ(1−λ) a0 ≤ C4 Ω0 (3.43) ˆ m ξ) ψ(a ma−m T +t a−m T +t Tổng theo n tách thành hai phần, n > b0 a−m a−m T +t T +t na−m T +t ∞ C8 + t + (n − n1 )b0 + a−m (T − x) |x|≤T n=n −m a0 − nb0 −α dx −m = nb0 − a−m x ≥ (n − n1 )b0 + ta0 (T − x)) + (t + b0 )2 ≤ C9 ψ a−m x − nb0 −α ≤ C10 t−2α t=0 a−m T +t gải theo cách tương tự Tổng theo n với n < − b0 Suy | QT f, ψm,n |2 ≤ 2(m1 − m0 + 1)C10 t−2α f m0 ≤m≤m1 |nb0 >|>a−m T +t Bε2 f Cái làm nhỏ cách chọn −1 −2 t ≥ 8(m1 − m0 + 1)C10 B ε 2α 61 Định lý chứng minh ✷ Định lý 3.2 rằng, ψ có tốc độ triệt tiêu hợp lý miền thời gian miền tần số, khung sinh ψ có tính địa phương hoá thời gian – tần số, với tập thời gian – tần số có dạng [−T, T ] × ([−Ω1 , −Ω0 ] ∪ [Ω0 , Ω1 ]) Chú ý Nếu f thoả mãn (3.35) (3.36), hai số hạng đầu B vế phải (3.37) bị chặn 2δ f ; chọn ε = δ dẫn đến A f, ψm,n ψm,n = O(δ) f− (m,n)∈Bε Bε (Ω0 , Ω1 , T ) → ∞ ε → 0; độ xác vô hạn thực vô hạn f, ψm,n dùng KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết quả: [1] Phép biến đổi sóng nhỏ liên tục tốc độ triệt tiêu phép biến đổi sóng nhỏ liên tục [2] Phép biến đổi sóng nhỏ rời rạc lý thuyết khung sóng nhỏ [3] Địa phương hoá thời gian - số [4] Hướng nghiên cứu vấn đề mở lý thuyết khung ma chưa nghiên cứu trước