Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== VŨ ANH TỒN BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC TRONG MƠ HÌNH ROESSER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== VŨ ANH TOÀN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC TRONG MƠ HÌNH ROESSER Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ VĂN HIỆN HÀ NỘI - 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 MỤC LỤC Mở đầu Một số ký hiệu Chương Một số kết sơ 1.1 Ví dụ mơ hình hệ 2-D 1.2 Một số mơ hình hệ 2-D 1.3 Một số kiến thức bổ trợ 12 Chương Tính ổn định ổn định hóa hệ Roesser rời rạc 14 2.1 Tính ổn định số lớp hệ 2-D 14 2.2 Bài toán ổn định hóa 19 2.3 Ví dụ minh họa 21 Kết luận chương 22 Chương Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị hệ 2-D rời rạc dạng Roesser 25 3.1 Phát biểu toán 25 3.2 Ước lượng hàm giá hệ đóng 27 3.3 Thiết kế điều khiển 28 3.4 Vấn đề tối ưu 31 3.5 Ví dụ minh họa 32 Kết luận chương 35 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 37 Footer Page of 54 Header Page of 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hệ hai chiều (Two-dimensional systems) nảy sinh nhiều mơ hình vật lí kỹ thuật, lan truyền thơng tin trạng thái xảy theo hai hướng độc lập Các hệ hai chiều ứng dụng mô tả phân tích tính chất nhiều mơ hình hệ động lực thực tiễn kỹ thuật hệ viễn thơng, xử lí ảnh, xử lí truyền tín hiệu hay lọc tín hiệu số đa chiều [2,10] Trong việc mơ tả mơ hình thực tiễn đó, hệ hai chiều thường biễu diễn thơng qua phương trình trạng thái (state-space model) Một số lớp mơ hình trạng thái thường sử dụng mơ hình Roesser, mơ hình Fornasini-Marchesini (FM) thứ thứ hai, mơ hình Attasi hay mơ hình Kurek [10] Do cấu trúc đặc biệt, mơ hình Roesser sử dụng nhiều việc mô tả động lực hệ thực tiễn kĩ thuật [1, 7–9] Mặt khác, lí thuyết điều khiển, tốn điều khiển đảm bảo giá trị (guaranteed cost control, viết tắt GCC) tốn quan trọng Mục tiêu toán điều khiển GCC thiết kế điều khiển phản hồi theo trạng thái (state feedback controller) cho hệ đóng (tích hợp điều khiển) tương ứng ổn định tiệm cận hàm giá hệ đóng khơng vượt ngưỡng xác định [3] Gần đây, toán nhận nhiều quan tâm nghiên cứu tác giả hệ 2-D rời rạc Nói riêng, báo [4] tác giả nghiên cứu toán điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser chứa tham số không chắn với điều kiện chặn chuẩn Dựa lược đồ phương pháp hàm Lyapunov hệ 2-D, điều kiện thiết kế điều khiển thiết lập dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities LMIs) Với mong muốn tìm hiểu sâu chủ đề này, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “Bài tốn điều khiển đảm bảo Footer Page of 54 Header Page of 54 giá trị cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser” dựa báo [4] Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa tốn điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser dựa tài liệu [4] Nội dung nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm: a) Giới thiệu số mô hình hệ 2-D rời rạc, đặc biệt hệ mơ hình thực tiễn b) Bài tốn ổn định hóa điều khiển GCC hệ 2-D rời rạc dạng Roesser c) Nghiên cứu trình bày kết [4] toán điều khiển GCC lớp 2-D dạng Roesser chứa tham số không chắn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser sau xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) xh (i, j) = (A + ∆A) xv (i, j) + (B + ∆B)u(i, j), (0.1) xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv u ∈ Rnu tương ứng vectơ trạng thái ngang, vectơ trạng thái dọc điều khiển đầu vào hệ, A ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu ma trận thực cho trước, ∆A, ∆B biểu thị tham số không chắn hệ với cấu trúc ∆A ∆B = LF (i, j) M1 M2 , L, M1 , M2 ma trận biết trước F (i, j) ma trận với điều kiện chặn chuẩn F (i, j) ≤ Cùng với hệ (0.1), ta xét hàm giá điều khiển ∞ ∞ J= u (i, j)Ru(i, j) + x (i, j)W1 x(i, j) , i=0 j=0 Footer Page of 54 (0.2) Header Page of 54 + x (i, j) = xh (i, j) xv (i, j) , R ∈ S+ nu W1 ∈ Sn ma trận cho trước a) Đối tượng nghiên cứu lớp hệ 2-D dạng (0.1) dạng đặc biệt nó, chẳng hạn lớp hệ 2-D dạng Roesser khơng có nhiễu b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm: • Phân tích tính ổn định ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ dương dạng (0.1) • Tìm điều kiện để thiết kế điều khiển phản hồi cho hệ đóng tương ứng ổn định đảm bảo hàm giá không vượt ngưỡng J∗ đó, tức J ≤ J∗ Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, giải tích ma trận phương pháp thiết kế điều khiển phản hồi tuyến tính để tìm điều kiện ổn định ổn định hóa với giá trị hàm giá đảm bảo ngưỡng thơng quan nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương Chương giới thiệu sơ mơ hình Roesser số kiến bổ trợ Chương phân tích tính ổn định ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ 2-D dạng Roesser không chứa đại lượng khơng chắc Chương trình bày toán điều khiển đảm bảo giá trị GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc dạng Roesser chứa tham số dạng nhiễu có cấu trúc Footer Page of 54 Header Page of 54 MỘT SỐ KÝ HIỆU R+ Tập tất số thực không âm Rn Khơng gian Euclide n−chiều với tích vơ hướng x, y = x y chuẩn vectơ x = n i=1 xi Rm×n Tập ma trận cỡ m × n A Ma trận chuyển vị ma trận A In Ma trận đơn vị Rn×n λ(A) Tập hợp giá trị riêng A λmax (A) = max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} A>0 Ma trận A đối xứng xác định dương, tức A = A , x Ax > với x ∈ Rn , x = A≥0 Ma trận A đối xứng nửa xác định dương, tức A = A , x Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>B Ma trận A − B đối xứng xác định dương S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Footer Page of 54 Header Page of 54 Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong chương này, giới thiệu sơ lược lớp hệ 2-D mơ hình Roesser số kết bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 Ví dụ mơ hình hệ 2-D Xét hệ điều khiển mơ tả phương trình đạo hàm riêng cấp sau đây: ∂T (x,t) = − ∂T (x,t) − aT (x, t) + bu(x, t), ∂x ∂t (1.1) y(x, t) = cT (x, t), T (x, t) hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) tọa độ x ∈ [0, xf ] thời t ∈ [0, ∞), u(x, t) hàm điều khiển y(x, t) tín hiệu đầu a, b, c số Pipe ݔ(ݑ, )ݐ ܶ(ݔ, )ݐ ݔ(ݕ, )ݐ ݔ Steam (or water) Hình 1.1: Hệ điều khiển q trình nhiệt Mơ hình (1.1) sử dụng số trình nhiệt phản ứng hóa học hay ống nhiệt lò hấp [10] Trong thực tế, tín hiệu Footer Page of 54 ... quan tâm nghiên cứu tác giả hệ 2-D rời rạc Nói riêng, báo [4] tác giả nghiên cứu toán điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc mô hình Roesser chứa tham số khơng chắn với điều kiện chặn chuẩn Dựa lược... hóa toán điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser dựa tài liệu [4] Nội dung nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm: a) Giới thiệu số mơ hình hệ 2-D rời rạc, đặc biệt hệ. .. HÀ NỘI ====== VŨ ANH TỒN BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC TRONG MƠ HÌNH ROESSER Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa