Tìm hiểu về bài toán điều khiển đảm bảo giá trị (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ——————–o0o——————— NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ Chuyên ngành: Tốn Ứng dụng KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: ThS NGUYỄN TRUNG DŨNG HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp đại học thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Trung Dũng Tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Trung Dũng định hướng dẫn sát suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận tốt nghiệp đại học Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc nghiên cứu định hướng đắn thầy tiền đề quan trọng giúp tơi có kết trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Tốn thầy giáo, giáo mơn Tốn Ứng dụng, trực tiếp giảng dạy truyền đạt cho kiến thức chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Đặc biệt, thực thấy hạnh phúc biết ơn họ bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để cố gắng hồn thành khóa luận tốt nghiệp đại học người thân gia đình, bạn bè Sinh viên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn ThS Nguyễn Trung Dũng Các kết trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học trung thực, trí đồng tác giả, chưa công bố luận văn hay luận án khác Sinh viên MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Kí hiệu BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU TRẠNG THÁI 1.1 Đặt toán 1.2 Thiết kế điều khiển 1.3 Điều khiển phản hồi đầu 12 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU TRONG ĐIỀU KHIỂN 18 2.1 Đặt toán 18 2.2 Điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu cộng tính 20 Kết luận 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 KÍ HIỆU R+ Tập hợp số thực không âm Rn Không gian vectơ Euclide n-chiều Z[a, b] Tập hợp số nguyên đoạn [a, b] Z0 Tập hợp số ngun khơng âm Rm×n Tập ma trận thực cấp m × n Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n A Ma trận chuyển vị ma trận A A⊗B Tích Kronecker hai ma trận A B A⊥ Phần bù trực giao ma trận A A≥0 Ma trận đối xứng nửa xác định dương A>0 Ma trận A đối xứng xác định dương col{A, B} diag{A, B}   A Ma trận khối cột   B  A Ma trận khối chéo  0 B   λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) max {Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) {Reλ : λ ∈ λ(A)} σ(A) Bán kính phổ ma trận A (i.e max{|λ| : λ ∈ λ(A)}) LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ năm 1960, nhà điều khiển học thay đổi phương pháp để thiết kế điều khiển, thay sử dụng phương pháp dựa miền tần số để đánh giá tính đảm bảo giá trị họ sử dụng nhiều đến phương pháp dựa miền thời gian Tuy nhiên, thực tế có hai vấn đề làm cho việc ứng dụng lý thuyết điều khiển (điều khiển tối ưu) khơng thành cơng Đó là: khơng xác mơ hình tốn so với đối tượng điều khiển thật vấn đề thứ hai nhiễu tác động vào hệ thống Nhận vấn đề trên, từ năm 70 kỉ XX, điều khiển đảm bảo giá trị đưa để giải vấn đề sai số mơ hình tốn hệ thống thực Đặc biệt, từ năm 1980, phương pháp sử dụng tối ưu lồi (chính sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMIs) trở thành công cụ hữu hiệu, sử dụng cách phổ biến lý thuyết điều khiển Hệ thống điều khiển đảm bảo giá trị cho miền thời gian rời rạc đề tài nghiên cứu có quan tâm năm gần Mục đích để thiết kế điều khiển cho hệ đóng ổn định giá trị hàm chi phí ứng với hệ đóng bị chặn Một phương pháp nghiên cứu hiệu sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov để tìm kiếm điều khiển đảm bảo giá trị dạng LMIs Điều kiện LMIs thu khả giải toán cách dễ dàng gói cơng cụ có sẵn thực máy tính đại Dưới gợi ý giúp đỡ tận tình Thầy Nguyễn Trung Dũng say mê thân, xin chọn đề tài "Tìm hiểu tốn điều khiển đảm bảo giá trị" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận thiết kế điều khiển phản hồi cho hệ đóng ổn định đồng thời hàm chi phí ứng với hệ đóng bị chặn Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu hệ thống điều khiển với thời gian rời rạc • Phạm vi nghiên cứu tiêu chuẩn đảm bảo giá trị hệ thống điều khiển với thời gian rời rạc Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lí thuyết dựa tài liệu tham khảo Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm chương • Chương 1: Bài tốn điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu trạng thái Nội dung chương trình bày kết liên quan đến toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển tuyến tính rời rạc với nhiễu trạng thái • Chương 2: Bài tốn điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu điều khiển Nội dung chương trình bày kết toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển rời rạc với nhiễu điều khiển Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU TRẠNG THÁI Nội dung chương trình bày kết liên quan đến tốn điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển tuyến tính rời rạc với nhiễu trạng thái Các kết tham khảo tài liệu [2] 1.1 Đặt toán Cho hệ điều khiển rời rạc với nhiễu trạng thái mô tả sau:   x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k)  x (0) = x0 , (1.1) x(k) ∈ Rn vectơ trạng thái , u(k) ∈ Rm điểu khiển đầu vào, A B ma trận cho trước với số chiều phù hợp, ma trận ∆A(k) ∆B(k) mô tả nhiễu tác động lên trạng thái hệ giả sử có dạng sau: ∆A (k) = DA FA (k)EA (1.2) ∆B (k) = DB FB (k)EB với FA (k)FA (k) ≤ I FB (k)FB (k) ≤ I Liên kết với hệ (1.1), ta xét hàm chi phí sau: ∞ J= x (k)Qx(k) + u (k)Ru(k) (1.3) k=0 Q R ma trận đối xứng xác định dương Trong chương này, xét điều khiển phản hồi có dạng sau: u(k) = Kx(k), K ma trận đạt thiết kế Với điều khiển (1.4), ta có hệ đóng (1.1) sau: (1.4) x(k + 1) = [A + BK + ∆A(k) + ∆B(k)]x(k) x(0) = x0 với hàm chi phí tương ứng sau: ∞ xT (k) Q + K T RK]x(k) J= k=1 Định nghĩa 1.1.1 Hệ (1.1) với u(k) = gọi ổn định vững theo nghĩa Lyapunov với > tồn δ > cho nghiệm x(k, x0 ) (1.1) thỏa mãn x0 < δ x(k, x0 ) < , ∀k ≥ 0, với nhiễu ∆A(k) ∆B(k) thỏa mãn (1.2) Mục đích chương thiết kế điều khiển phản hồi tiếp có dạng (1.4) cho hệ đóng ổn định vững hàm giá trị đảm bảo không vượt mức định Định nghĩa 1.1.2 Với hệ (1.1) chi phí (1.3), tồn điều khiển u∗ (.) số dương J ∗ cho hệ đóng ổn định vững J ≤ J ∗ J ∗ gọi giá trị bảo đảm u∗ (.) gọi điều khiển đảm bảo giá trị 1.2 Thiết kế điều khiển Bổ đề sau sử dụng loại bỏ nhiễu mơ hình Bổ đề 1.2.1 (xem Lemma 9.1.2 [2]) Cho JA , DA , EA ma trận thực với số chiều thích hợp JA ma trận đối xứng Khi JA + DA FA (k)EA + (DA FA (k)EA ) < với FA (k) thỏa mãn FA (k)FA (k) ≤ I tồn εA > cho JA + εA DA DA + ε−1 A EA EA < Định lí sau cho kết thiết kế điều khiển ổn định hóa hệ (1.1) Định lí 1.2.2 (xem Theorem 9.2.2 [2]) Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương X , ma trận Y số dương εA , εB cho bất đẳng thức ma trận DA , EA , DB , EB , DC , EC ma trận biết Phiếm hàm chi phí tương ứng với hệ (1.8) cho (1.3) Ta xét điều khiển phản hồi (1.9) u(k) = Ky(k) = KCx(k) K ma trận đạt cần xác định Với điều khiển (1.9), ta có hệ đóng (1.8) sau (1.10) x(k + 1) = [A + ∆A(k) + BKC + ∆B(k)KC]x(k) Theo Định lí 1.2.3 tồn ma trận đối xứng xác định dương P , U , V , số dương εA , εB cho   T T T T T T T T T T −P A P +C K B P EA C K EB I C K    ∗ T P + ε P D DT P 0 0  −P + εA P DA DA   B B B     E −ε I 0 A A    ma trận trọng số Trong chương này, xét điều khiển sau: u(k) = (K + ∆K)x(k), (2.3) K ma trận đạt điều khiển ∆K mô tả nhiễu Ở chương này, ta xét lớp nhiễu cộng tính sau: ∆K = H1 F1 E1 , F1T F1 ≤ ρl, ρ ≥ (2.4) với H1 E1 ma trận biết F1 ma trận tham số chưa biết Định nghĩa 2.1.1 Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2) Bộ điều khiển (2.3) với nhiễu điều khiển (2.4) gọi điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận P > 18 [A + B(K + ∆K)]T P [A + B(K + ∆K)] − P + (K + ∆K)T R(K + ∆K) + Q < với ∆K thỏa mãn (2.4) Định nghĩa 2.1.2 Hệ đóng x(k + 1) = [A + B(K + ∆K)]x(k) (2.5) gọi ổn định tồn ma trận P > cho [A + B(K + ∆K)]T P [A + B(K + ∆K)] − P < 0, với ∆K thỏa mãn (2.4) Bổ đề sau toán điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ (2.1) đảm bảo hệ đóng (2.5) ổn định xác định cận hàm chi phí (2.2) Bổ đề 2.1.1 Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2) Giả sử điều khiển (2.3) với nhiễu (2.4) điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận P > Khi hệ đóng (2.5) ổn định ∞ xT (k)[Q + (K + ∆K)T R(K + ∆K)]x(k) ≤ xT (0)P x(0), J= (2.6) k=0 với ∆K thỏa mãn (2.4) Chứng minh Hệ (2.5) ổn định suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.1 2.1.2 Lấy hàm Lyapunov V (x(k)) = xT (k)P x(k) Khi đó, sai phân V theo quỹ đạo (2.5), ta có V (x(k + 1)) − V (x(k)) = xT (k)([A + B(K + ∆K)]T P [A + B(K + ∆K)] − P )x(k) ≤ −(uT (k)Ru(k) + xT (k)Qx(k)) Điều suy N −1 uT (k)Ru(k) + xT (k)Qx(k) ≤ lim [V (x(0)) − V (x(N ))] = V (x(0)) J = lim N →∞ N →∞ k=0 Vậy bổ đề chứng minh Kết tương tự Bổ đề 1.2.1 Chương sau 19 Bổ đề 2.1.2 Cho ma trận Y , M N Khi Y + M ∆N + N T ∆T M T < với ∆ thỏa mãn ∆T ∆ ≤ σI tồn số dương ε cho Y + εM M T + σε N T N < Định nghĩa 2.1.3 Ma trận đối xứng P nghiệm ổn định hóa phương trình Riccati AT P A − P − AT P B(B T P B + R)−1 B T P A + N = 0, thỏa mãn phương trình Riccati ma trận A − B(B T P B + R)−1 B T P A ổn định 2.2 Điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu cộng tính Trong mục này, ta xét tốn đảm bảo giá trị với điều khiển có nhiễu cộng tính (2.4) Trước hết, có định lí sau Định lí 2.2.1 Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2) Tồn điều khiển phản hồi trạng thái (2.3) có ma trận đạt K với nhiễu (2.4) điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận chi phí P tồn số ε > thỏa mãn ∆ R2 = R2 (P, ε) = I − εH1T B T P B + R H1 > 0, (2.7) ρ ∆ Sa (P, ε) = AT P A − P + E1T E1 + Q − AT P B B T P B + R ε −1 B T P A < (2.8) Hơn nữa, (2.7) (2.8) thỏa mãn, đó, ma trận đạt điều khiển đảm bảo giá trị cho K = (B T P B + R)−1 B T P A (2.9) Chứng minh Giả sử điều khiển (2.3) với nhiễu (2.4) điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận chi phí P Khi đó, từ Định nghĩa 2.1.1 suy [A + B (K + ∆K)]T P [A + B (K + ∆K)] −P + (K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q < 0, 20 với nhiễu ∆K có dạng (2.4) The bổ đề Schur (2.4), bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức sau:  −P −1   −R−1  [A + B(K + ∆K)]T (K + ∆K)T  −P −1 A + BK = (A + BK)T K T Q−P −R−1 A + B(K + ∆K)  K + ∆K    Q−P K +K        BH1    BH1 H1  F1 0 E1 +  H1  F1 0 E1  < +    0 Theo Bổ đề 2.1.2, bất đẳng thức tương đương với tồn số dương ε thỏa mãn  −P −1 A + BK −R−1  (A + BK)T K T Q−P    T  BH1 BH1   ρ   K +K +ε  H1   H1  +   0 E1   ε   E1T 0    −P −1 + εBH1 H1T B T εBH1 H1T A + BK   −1 + εH H T T BT  < = K −R εH H 1 1   ρ T T T (A + BK) K Q − P + ε E1 E1 Theo bổ đề Schur, bất đẳng thức tương đương với       T −1 M11 M12 ∆ P BH1 BH1  =(  − ε   )−1 > M = −1 R M21 M22 H1 H1 (2.10) ∆1 = (A + BK)T K T   A + BK  − P + ρ E1T E1 + Q M ε K T (A + BK) + (A + BK)T M K = (A + BK)T M11 (A + BK) + K T M12 12 +K T M22 K − P + ρε E1T E1 + Q = AT M11 A − P + ρε E1T E1 + Q − AT (M11 B + M12 )R1−1 (M11 B + M12 )T A +[K T + AT (M11 B + M12 )R−1 ]R1 [K T + AT (M11 B + M12 )R−1 ]T < 0, 21 (2.11) T R1 = B T M11 B + M22 + M12 B + B T M12 (2.12) Chúng ta thấy M > tương đương với bất đẳng thức (2.7) Bằng cách tính trực tiếp, ta có       T   P P BH1 BH P  + ε   R−1     M = R R H1 H1 R   −1 T T −1 T P + εP BH1 R2 H1 B P εP BH1 R2 H1 R  = εRH1 R2−1 H1T B T P R + εRH1 R2−1 H1T R (2.13) Do đó, từ (2.12) (2.13), suy R1 = B T P B + εB T P BH1 R2−1 H1T B T P B + R + εRH1 R2−1 H1T R +εB T P BH1 R2−1 H1T R + εRH1 R2−1 H1T B T P B (2.14) = X + εXH1 R2−1 H1T X, M11 B + M12 = P B + εP BH1 R2−1 H1T B T P B + εP BH1 R2−1 H1T R = P B(1 + εH1 R2−1 H1T X), (2.15) R1−1 (M11 B + M12 )T = (X + εXH1 R2−1 H1T X)−1 (I + εH1 R2−1 H1T X)B T P = X −1 B T P, (2.16) X = B T P B + R (2.17) Theo (2.14), (2.15), (2.16) (2.17) suy ∆1 = AT P A − P + ρε E1T E1 + Q −AT P B[(I + εH1 R2−1 H1T X)X −1 − εH1 R2−1 H1T ]B T P A +[K T + AT P BX −1 ]R1 [K T + AT P BX −1 ]T (2.18) = Sa (P, ε) + [K T + AT P BX −1 ]R1 [K T + AT P BX −1 ]T Từ (2.10)và (2.18), ta thu điều kiện cần Để chứng minh điều kiện đủ, ta thay K (2.10) (2.18) Định lí 2.2.1 cho ta điều kiện cần đủ để giải toán điều khiển đảm bảo giá trị Tuy nhiên, điều kiện chưa cách lựa chọn tham số thiết kế ε để đảm bảo giá trị hệ kín nhỏ Kí hiệu εa = sup{ε > : Sa (P, ε) = có nghiệm ổn định hóa P ≥ (2.7) đúng} (2.19) 22 Khi đó, tham số thiết kế ε đảm bảo giá trị cho hệ kín nằm khoảng < ε < εa Định lí điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu (tức là, quy tắc điều khiển cực tiểu hàm chi phí định nghĩa (2.2)) đạt giá trị biên ε = εa Định lí 2.2.2 Xét hệ (2.1) với hàm giá chi phí (2.2) Giả sử cặp (A, B) ổn định hóa Nếu tồn điều khiển phản hồi (2.3) với nhiễu cộng tính (2.4) điều khiển đảm bảo giá trị với ma trận chi phí P0 , phương trình Riccati với εa xác định 2.19 có nghiệm Popt > thỏa mãn Popt ≤ P0 R2 (Popt , εa ) ≥ 0, (2.20) Sa (Popt , εa ) = (2.21) điều khiển (2.3) với ma trận đạt K = −(B T Popt B + R)−1 B T Popt A (2.22) cho hệ đóng ổn định J ≤ xT0 Popt x0 với nhiễu ∆K có dạng (2.4) Chứng minh Theo Định lí 2.2.1, tồn số dương ε thỏa mãn bất đẳng thức (2.7) (2.8) với ε = ε P = P0 Giả sử P0 ≥ nghiệm Sa (P, ε ) = Từ ta có P01 ≤ P0 R2 (P01 , ε ) > Do đó, εa (2.19) ∞ định nghĩa tốt Chọn dãy {εn }∞ n=1 {Pn }n=1 cho < εn ≤ εn+1 εn → εa (n → ∞), Pn nghiệm Sa (P, εn ) = R2 (Pn , εn ) > Theo định nghĩa củaSa (P, ε) (2.8) định lí so sánh, ta cóPn ≥ Pn+1 > (n = 1, 2, ) Do đó, lim Pn = P∞ ≥ tồn P∞ thỏa mãn Sa (P∞ , εa ) = R2 (P∞ , εa ) ≥ n→∞ Từ ta suy P∞ nghiệm Sa (P∞ , εa ) = P∞ > Xét dãy {ε0n }∞ n=1 với σn > 0, σn → (n → ∞), tồn dãy {εn }∞ n=1 với < ε0n < εa , ε0n → εa (n → ∞) thỏa mãn Sa (P∞ , ε0n ) − σn I < 0, n = 1, 2, Theo chứng minh Định lí 2.2.1, suy [A + B (K + ∆K)]T P∞ [A + B (K + ∆K)] − P∞ +(K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q − σn I < 0, 23 n = 1, 2, K cho (2.22) với Popt = P∞ ∆K cho (2.4) Cho n → ∞ ta có [A + B (K + ∆K)]T P∞ [A + B (K + ∆K)] − P∞ +(K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q ≤ Đặt Pδ = δP∞ với δ > Khi đó, từ Q > bất đẳng thức trên, ta có [A + B (K + ∆K)]T Pδ [A + B (K + ∆K)] − Pδ + (K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q = δ [A + B (K + ∆K)]T Pδ [A + B (K + ∆K)] − Pδ + (K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q − (δ − 1) (K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q ≤ (δ − 1) (K + ∆K)T R (K + ∆K) + Q < Vì uk = (K + ∆K) xk điều khiển đảm bảo giá trị với Pδ Theo Bổ đề 2.1.1 cho δ → 1, ta có J ≤ lim xT0 Pδ x0 = xT0 P∞ x0 Vì ε ≤ εa , suy δ→1 P∞ ≤ P01 ≤ P0 Đặt Popt = P∞ suy định lí chứng minh Nhận xét 2.2.1 Định lí 2.2.2 đưa thủ tục thiết kế để điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu hàm chi phí hệ đóng J bị chặn giá trị nhỏ xT0 Popt x0 Từ (2.7), tham số εa Định lí 2.2.2 thuộc khoảng < εa ≤ λa , λa =      λmax H1T B T Pa B + R H1 ∞ −1 , H1 = 0, (2.23) , H1 = 0, Pa > nghiệm phương trình Riccati Sa,∞ (P ) = AT P A − P + Q − AT P B B T P B + R −1 B T P A = (2.24) Khi đó, từ (2.19)–(2.21), suy εa = max{0 < ε < λa : Sa (P, ε) = 0có nghiệm ổn định dươngP R2 (P, ε) ≥ 0} (2.25) Với ε ∈ (0, λa ] cho trước, ta giải phương trình Riccati Sa (P, εa ) ≥ với nghiệm P > 0và kiểm tra xem P có thỏa mãn R2 (P, εa ) ≥ Vì thế, cách khởi tạo ε = λa cho giảm dần ε đến tồn nghiệm (với Sa (P, ε) = 0, P > R2 (P, ε) ≥ ) thu giá trị tối ưu εa Tuy nhiên, việc tìm kiếm εa khoảng (0, εa ) gặp khó khăn khoảng (0, λ] lớn Hơn 24 nữa, giá trị tối ưu tham số εa nằm biên khoảng (0, εa ) cho họ khiển đảm bảo giá trị Ngồi ra, phương trình Riccati (2.21) tương ứng với điều khiển tối ưu bậc hai cho hệ (2.1) với hàm chi phí ∞ xTk Qxk + uTk Ruk , Ja = k=0 Q = ρ εa E1T E1 + Q Để minh họa cho kết trên, xét ví dụ sau Ví dụ 2.2.1 Xét hệ (2.1) với hàm chi phí (2.2) điều khiển phản hồi (2.3) với       −1 0.5 , B =  , Q =   , R = A= 1.5 1 Xét nhiễu cộng tính dạng (2.4) với    , ρ = 0.2 H1 = 1 , E1 =  Bằng cách giải (2.24) sử dụng (2.23), có λa = 0.0836 Sau đó, phương pháp Chú ý 2.2.1 ta thu giá trị tối ưu ε (2.25) εa = 0.0266 Ma trận Popt ma trận đạt K cho  Popt  −14.3698  , K = −1.7120 −1.0375 , = −14.3698 17.7787 44.1062 giá trị riêng hệ đóng −0.6315 0.1540 suy hệ đóng ổn định 25 KẾT LUẬN Các kết đạt khóa luận tốt nghiệp bao gồm: Đã tìm hiểu cách hệ thống tốn điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ điều khiển với thời gian rời rạc Đã tìm hiểu phương pháp điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ thống điều khiển rời rạc với nhiễu trạng thái Đã tìm hiểu phương pháp điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ thống điều khiển rời rạc với nhiễu điều khiển Trên sở tìm hiểu ban đầu vấn đề này, em nghiên cứu sâu lý thuyết điều khiển nói chung cấp học 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập Mơn Lý Thuyết Điều Khiển Tốn Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [2] E K Boukas, F.M AL-Sunni, Mechatronic Systems: Analysis, Design and Implementation, Springer, 2011 [3] S Boyd, L E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [4] G H Yang, J L Wang, Y C Soh, Guaranteed cost control for discretetime linear systems under controller gain perturbations,Linear Algebra and its Applications, 312 (2000) 161–180 27 ... Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị với nhiễu điều khiển Nội dung chương trình bày kết tốn điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển rời rạc với nhiễu điều khiển Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN... nghiệp bao gồm: Đã tìm hiểu cách hệ thống toán điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ điều khiển với thời gian rời rạc Đã tìm hiểu phương pháp điều khiển đảm bảo giá trị cho hệ thống điều khiển rời rạc... thời bảo đảm cực tiểu phiếm hàm chi phí 17 Chương BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ VỚI NHIỄU TRONG ĐIỀU KHIỂN Nội dung chương trình bày kết toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ điều khiển