Một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc (LV01875)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN THANH BèNH MT S TON T LNG T VI PH RI RC LUN VN THC S TON HC H NI, 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN THANH BèNH MT S TON T LNG T VI PH RI RC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS T Ngc Trớ H NI, 2016 Li cm n Nhõn dp ny, tụi cng xin chõn thnh cm n ti ton th cỏc Thy Cụ giỏo khoa Toỏn c bit l cỏc thy cụ ca chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch v Phũng Sau i hc trng i hc S phm H Ni ó ging dy v giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti trng Cui cựng, tụi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh v bn bố ó c v, ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny H Ni, thỏng nm 2016 Ngi thc hin Nguyn Thanh Bỡnh Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS T Ngc Trớ, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti: Mt s toỏn t lng t vi ph ri rc c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Ngi thc hin Nguyn Thanh Bỡnh Mc lc Danh mc kớ hiu v vit tt M u Kin thc chun b 1.1 Khụng gian Hilbert 1.2 Khụng gian Banach 10 1.3 Toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert 1.4 Toỏn t tuyn tớnh 12 1.5 11 1.4.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn 12 1.4.2 Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn 16 Ph ca toỏn t tuyn tớnh 18 1.5.1 Ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn 18 1.5.2 Ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn 22 Toỏn t Schrăodinger 25 2.1 Phộp bin i Fourier 25 2.2 Toỏn t Schrăodinger t 28 2.3 Mt s kt qu v ph ca toỏn t Schrăodinger trng hp hai chiu 31 2.4 Mt s kt qu na v ph ca toỏn t Schrăodinger 34 2.4.1 Toỏn t Schrăodinger dng H = H0 + V 34 35 |x| Toỏn t Schrăodinger vi ph ri rc 37 2.4.2 2.5 Toỏn t Hamilton dng Mt s toỏn t lng t vi ph ri rc 43 3.1 Gii thiu chung 43 3.2 im gc ca dao ng 46 3.3 Khung cỏc iu kin biờn 46 3.4 Tớch phõn ng 47 3.5 Bỏnh m thỏi lỏt (Sliced Bread) 48 3.6 nh lý Fefferman Phong 49 Kt lun 56 Ti liu tham kho 57 Danh mc kớ hiu v vit tt Cỏc kớ hiu thng dựng R: Tp hp s thc Rn : Khụng gian thc n chiu C: Tp hp s phc H: Khụng gian Hilbert Lp (X): Khụng gian Lebesgue ca cỏc hm p kh tớch Lploc (X): Khụng gian cỏc hm kh tớch a phng L (X) : Khụng gian Lebesgue ca cỏc hm b chn hu khp ni n L (R ): Khụng gian Lebesgue ca cỏc hm b trit tiờu ti ã : Chun khụng gian ã p : Chun khụng gian Banach Lp ã, ã : Tớch vụ hng I(X, Y ): Tp cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t X vo Y I = I(X, X): I(H): Tp cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn trờn H T : Toỏn t liờn hp ca toỏn t T khụng gian Hilbert T : Toỏn t liờn hp ca toỏn t T khụng gian Banach T : Bao úng ca toỏn t T (T ) : Tp gii c ca toỏn t T R(T ) : Gii thc ca toỏn t T D(T ) : Min xỏc nh ca toỏn t T Ker(T ): Ht nhõn ca toỏn t T Ran(T ): Min giỏ tr ca toỏn t T inf : Cn di ỳng sup : Cn trờn ỳng supp : Giỏ ca hm (T ) : Ph toỏn t ca T p (T ) : Ph im ca toỏn t T d (T ) : Ph ri rc ca toỏn t T ess (T ) : Ph thit yu ca toỏn t T : o ph : Toỏn t n v F : Phộp bin i Fourier S(Rn ) : Tp cỏc hm trn gim nhanh f = Ff : Phộp bin i Fourier ca f f = F f : Phộp bin i Fourier ngc ca f C(U ) : Tp cỏc hm liờn tc t U vo C C (U ) : Tp cỏc hm s C(U ) trit tiờu ti C(U, V ) : Tp cỏc hm s liờn tc t U vo V Cc (U, V ) : Tp cỏc hm trn giỏ compact (ã) : Biu trng ca H m (Rn ) : Khụng gian Sobolev M u Lớ chn ti Lý thuyt ph l mt nhỏnh quan trng ca toỏn hc Vic nghiờn cu lý thuyt ph s dng nhiu cỏc cụng c Gii tớch hm Nhiu Vt lớ c lm sỏng t bng vic nghiờn cu ph ca cỏc toỏn t Gn õy vic nghiờn cu cỏc toỏn t lng t cú ph ri rc nhn c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc Mt kt qu cho thy nu th tớch ca (p, q) |p2 + V (q) E R2n m hu hn vi mi E thỡ toỏn t lng t H = +V (x) cú ph ri rc Tuy nhiờn bi bỏo Some Quantum Operators with Discrete Spectrum but Classically Continuous Spectrum tỏc gi ó nghiờn cu Liu mt s trng hp m (p, q) |p2 + V (q) E cú th tớch vụ hn thỡ toỏn t lng t H = + V (x) cú ph ri rc c hay khụng? Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lý thuyt ph, c bit l cỏc toỏn t lng t cú ph ri rc, cựng vi s giỳp tn tỡnh ca TS T Ngc Trớ tụi ó chn nghiờn cu ti Mt s toỏn t lng t vi ph ri rc Trong lun ny, chỳng tụi mun trỡnh by mt cỏch cú h thng mt s kt qu liờn quan n cỏc lp toỏn t cú ph ri rc Ni dung chớnh sau ú l tỡm hiu kt qu ca B.Simon trờn bi bỏo "Some Quantum Operators with Discrete Spectrum but Classically Continuous Spectrum" tr li cõu hi trờn Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v mt s toỏn t lng t vi ph ri rc v cỏc nh lớ liờn quan b xung kin thc v hiu bit hn v toỏn gii tớch Nhim v nghiờn cu + Trỡnh by cỏc nh ngha, nh lý v mt s vớ d v lý thuyt ph, toỏn t Schrăodinger, mt s toỏn t lng t vi ph ri rc + Nờu mt s chng minh c th v toỏn t lng t cú ph ri rc + Chng minh nh lý Fefferman Phong v ng dng ca nh lý i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu : mt s toỏn t lng t vi ph ri rc + Phm vi nghiờn cu : Cỏc ti liu, bi bỏo liờn quan ti toỏn t lng t vi ph ri rc Phng phỏp nghiờn cu + Dựng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm gii quyt + S dng cỏc kin thc lý thuyt ph, toỏn t Schrăodinger, lý thuyt toỏn t + Tham kho mt s bi bỏo v ph ri rc v tham thy hng dn úng gúp ca lun H thng cỏc kin thc c bn v lý thuyt ph, mt s dng toỏn t Schrăodinger v mt s trng hp v toỏn t lng t vi ph ri rc giỳp cho cỏc ng 44 Cú mt s du hiu ch mt khỏc ca nhn nh, c th Zcl = kộo theo ZQ = l ỳng Vớ d, nhiu trng hp ca [7], Zcl (t)/ZQ (t) t Phn chớnh ca chng ny, chỳng tụi s a mt s vớ d n gin m ZQ (t) < mc dự (p, x) |p2 + V (x) E l vụ hn Trong ú cú vớ d n gin nht l toỏn t Hamilton hai chiu 2 H1 = + x2 y x y (3.3) V h gn nht l toỏn t H2 = D vi iu kin biờn khụng trờn {(x, y) ||xy| 1} (3.4) õy, cỏc lng t v h qu ca Zcl /ZQ t i ngc li mt bi bỏo ni ting 70 nm tui ca Weyl Khi H2 H1 1, bt kỡ phộp chng minh no v H1 cú ph ri rc s t ng kộo theo H2 cú ph ri rc C H1 v H2 u cú ph ri rc trờn cỏc khụng gian c in vụ hn Chỳng tụi s a nm chng minh rng H2 cú ph ri rc, ba cỏi trc tip vi H1 v hai cỏi khỏc cú th m rng Cỏc chng minh u cú cụng dng riờng u tiờn cú th thy rừ, nú a cn biờn rt khỏc so vi kh nng chớnh xỏc cao ca s c trng hm suy rng Ly vớ d, nú ch T r etH1 ct3 vi t nh, nhng chớnh xỏc hn l t ln t Phn u tiờn chỳng tụi trỡnh by chng minh n gin l im gc ca hm dao ng iu hũa Cỏc chng minh sau a kh nng chớnh xỏc ln sai bit ca T r etH t nhng khụng phi hng s ỳng Vi trng hp hai chiu, t x v y l cỏc bin v p, q l cỏc ng lng liờn hp t l hm c trng ca compact khụng gian x y Yajima ó chng 45 minh p2 + q + i (lu ý q khụng phi q ) l compact v ụng ch c (H1 + 1)1 l compact Trong cỏc phộp chng minh, phộp chng minh Fefferman Phong cú u im ln, nú khỏ n gin vi s chiu cao hn (cung cp cỏc iu kin cn v cho + V cú ph ri rc V l mt a thc) t a l mt i s semisimple Lie dng compact ( vớ d dng Killing l hon ton xỏc nh õm) v t l toỏn t Laplace phn õm c to bi phn õm ca dng Killing Cho v v cho av l v b (A1 , A2 , , Av ) cỏc phn t ca a t H l toỏn t trờn L2 (av ) T r [Aà , AK ]2 Ai H= i (3.5) à y , ta núi x x > vi |xy| Nu b1 (s)b2 (s) vi mi s thỡ |b1 | vi vi giỏ 2 tr s hoc |b2 | cho mi s Theo c tớnh chun [7] xỏc sut ca cỏc giỏ tr x Dx2 u l b chn vi x ln bi e t Nh vy F (r) tng t vi r ln bi exp Cr2 v T r etH2 < Phộp chng minh c suy d dng t phộp tớnh chớnh xỏc t Bng x cỏch th |b1 | bi |b1 x| v thc hin tớnh ln hai ta cú th a hng ỳng 3.5 Bỏnh m thỏi lỏt (Sliced Bread) Chỳng tụi s chng minh mt dng tng quỏt sau: nh lý 3.5.1 ("Bt ng thc bỏnh m thỏi lỏt") t V (x, y) l hm hai bin v t H = (x,y) +V t hx = d2 /dy + V(x,y) nh mt toỏn t trờn Hy = L2 (R, dy) t j (x) l s c trng ca hx c sp th t bi Vy T r etH T rHx exp t j d + j (x) dx2 (3.12) Kt qu ny cho thy H1 cú ph ri rc Trong trng hp j (x) = (2j + 1) |x| d Tip theo m rng + |x| l tng ng ng nht vi dx d2 dx + |x| Vỡ vy nu F (s) = T r exp s d2 dx2 +V thỡ (3.12) cú ngha l Tr e tH1 F (2j + 1) t j=0 (3.13) 49 Vy F (s) cú s m gim s , tng l hu hn v ú T r etH < Giỏ tr s nh sai bit ca F c xỏc nh bi cỏc trng thỏi khụng gian c in [7] v t õy ta cú th xỏc nh t nh sai bit v phi ca (3.13) Chỳng cú cỏch tớnh ging nhau, c hai u khụng i T r etH1 cú th c thy bi cn di phự hp 3.6 nh lý Fefferman Phong nh lý 3.6.1 Cho j ( > 0, j Z v ) l lp phng cnh v cú () l s ca cỏc lp phng tõm ti im j2 Vi V trờn Rv cho N j vi maxxj V (x) t N () l chiu ca phộp chiu ph cho + V trờn khong (0, ) Vy nu V l mt a thc bc d trờn Rv (b) N () N (a) , N (3.14) cho mi v hng s phự hp a, b, õy b ch ph thuc vo v v bc ca d Nhn xột 3.6.1 Cỏc chng minh ch yu v cn trờn vi tng phn khỏc Cn di c nh vi bt kỡ V Cn trờn khú thy hn Bng cỏch cho V l mt tng ca cỏc nhỏnh thu hp cao hn cú tõm ti im j2n chỳng tụi cú () < vi mi , nhng vi (H) = [0, ) th dng lờn mt V vi mi N thỡ N () Ta cn mt s iu kin vi V cú c cn trờn a thc khụng c gii hn, ỳng hn nhỡn qua phộp chng minh ch cn nhng iu sau: Cho mt hm trờn Rn , khụng b trit tiờu trờn bt kỡ m no, t G(f ) l mt f (x) õy f = supx |f (x)| hm trờn lp phng n v tng t nh f Cho V v R+ , a Rv t Và,a (x) = V (à (x a)) Khi ú ta cú tớnh cht chớnh l {G (Và,a ) |à > 0, a Rv } úng compact ã Nu V l a thc bc d nh Và,a v vỡ vy {G (Và,a )} l cu n v khụng gian 50 hu hn chiu Trong trng hp khỏc cú th V l (mt phn) ly tha ca mt a thc Cn trờn luụn cú ý ngha quan trng hn, vỡ c cho rng N () < ; () < vi mi (Tht vy N () < tc l H thc s cú ph ri rc nu N () ( hoc vi mi tng ng s ri rc ca cỏc cn thp hn Nu N N ()) thc s cú ly tha (hoc ly tha nhiu ln) thỡ N () phi cú cựng kt () mc dự cỏc hng s s khụng ỳng Trong thc t, ta cú th d qu nh N < hn tớnh ng tim cn ca nú dng chng minh N () < Cú mt gi nh rt hp lớ l nu V l a thc xỏc nh thỡ N () l so tr V l c lp vi mt s cỏc bin (trong trng hp ny N vi mi > 0) cnh ca cỏc lp phng chỳng c sp th t theo () < Tht vy, nu j = (j1 , j2 ) D thy rng V (x, y) = x2 y thỡ N max V (x) = j |j1 | + 2 |j2 | + 2 () < Phõn tớch Nh vy, giỏ tr cc i ln hn max (|j1 | , |j2 |)2 vỡ N () c 32 ln cn thn hn ta c kt qu chớnh xỏc (ti khụng i) N Phn tip theo, chỳng ta s ỏp dng nh lớ Fefferman-Phong cho mt lp c bit v a thc m bao gm phng trỡnh ca (3.5) hay cũn gi l mụ hỡnh i s Lie nh lý 3.6.2 t Q1 , , Ql l cỏc gớa tr thc, a thc thun nht bc hai trờn Rv vi Qj x j = 1, , l = 1, , v > (3.15) dn ti Khi x = vy N l Q2j P = (3.16) 51 l hu hn vi mi Lu ý: Vớ d l = 1, Q(x, y) = xy cho thy P cú th i t ti Thc t degQj = hoc thm l vi mi Qj cú cựng bc khụng d dng thy c s qua cỏc i s, nhng tớnh thun nht li l tớnh quyt nh ( = 1) < Chc chn Chng minh Xột t l, chng minh N S (x) max j, Qj >0 x nu t (3.15) suy Khi S (x) = S (x) (vỡ tớnh thun nht ca Q) ta cú S (x) = cR |x|=R Nh vy, vi bt kỡ hp k , ta cú i vi mt s giỏ tr j, , Qj ck ti x tõm ca k Khi ú d Qj Qj max,,j = d < , ck v k x x x Vy, nu k dc1 v v x, x l im tha k ("i nhau" theo hng d d th ) thỡ |Qj (x) Qj (x )| ck v Nu ck v > thỡ 2 max |Qj | > v max P > j j (1) Nu |j| Nh vy, mt lp phng khụng th tớnh c N (1) v vỡ vy N (1) < ln, j cng khụng tớnh c N B 3.6.1 Toỏn t ca (3.5) cú ph ri rc Chng minh Hm th, P , l mt a thc, ú theo nh lý Fefferman- Phong, () < hay kim tra (3.15) Thc hin phộp chỳng ta ch cn kim tra N chng minh trờn ta ta chn mt c s cho i s Lie vi T r (Ei , Ej ) = ij (cỏc phn t ca i s u i xng lch) C s ny cú th khụng phi trc 52 chun Killing, nhng nu (3.15) ỳng bt k c s tuyn tớnh, ta thy d dng nú ỳng mi c s tuyn tớnh, vy ta cú th kim tra c s ny Nh mt phộp tớnh s b, ta cú th vit toỏn t dng cu trỳc khụng i: Cijk Ek {Ei , Ej } = k Hin nhiờn Cijk l phn i xng vi hoỏn v ca i v j v Cijk = T r ([Ei , Ej ] , Ek ) Nú c xem l phn i xng ca hoỏn v khỏc Nu A = Ei thỡ Ei c s (AdA)ki = ckij i l phn i xng da vo cỏc lu ý trờn, vy tớnh xỏc nh õm chớnh xỏc ca dng Killing tr thnh ckij al cklj > (3.17) i,l,k,j aià Ei vỡ aià l c s ta ca bi toỏn Khi T r (Ei , Ej ) = Ta vit Aà = ij thỡ P cú dng aià ajK alà am K T r ([Ei , Ej ] [El , Em ]) P = à0 53 v (3.15) c chng minh Lu ý vic chng minh thc hin vi bt k biu din ca mt ma trn i xng lch ng dng nh lý Fefferman vo mụ hỡnh ca Feyman cỏc toỏn t Hamilton (3.6) c a bi Feyman coi nh chc chn cú ph ri rc lp lun tt hn vi s chiu ln hn (hoc 2) ta t v v = 2à Ta ly mt im Rv l (x, y) vi x, y Rv v t 21 (xi yj xj yi )2 H = x y + c (3.18) i Vy t l (3.6) l trng hp c bit ca (3.18) nh lý 3.6.3 Toỏn t ca (3.18) cú ph ri rc () < Phộp Chng minh Theo nh lớ Fefferman-Phong ta cn ch N chng minh ca nh lớ (3.6.2) c xem l m rng vi V = Q2j Vy ta t Qi,j (x, y) = xi yj xj yi Nú tha Qi,j xk i,j,k + Qi,j yk G (x) khụng b trit tiờu lch xa vi Bng cụng thc tớnh trc tip G (x) = (à 1) x2 + y v kt qu c chng minh Lu ý: Vi cỏc m rng n gin ca i s, nu k + phn t chiu k tỏc ng qua li bi mt hm th, nú tng ng vi dng k cỏc m rng bi k + phn t Vy ph ri rc chng minh nh lý Fefferman-Phong, chỳng tụi s dng khung Dirichlet Neuman cho m bo ND () N () NN () (3.19) 54 õy NX () l chiu ca phộp chiu ph lờn [0, ] cho toỏn t HX () vi X l iu kin biờn trờn mi ụ vuụng j jZ v B 3.6.2 () + v N N (3.20) Chng minh Nu j l mt ụ vuụng vi maxj V thỡ H0D + V cú giỏ () giỏ tr riờng ca HD () thp tr riờng thp nht v + vy cú ớt nht N nht + v B 3.6.3 (Bt ng thc Temple) Cho A l mt toỏn t t liờn hp cú hai giỏ tr riờng thp nht l à1 < à2 Gi s l mt vector n v th D(A) v à2 l mt s vi: (, A) < à2 à2 (3.21) Vy à1 (, A) [à2 (, A)]1 , A2 (, A)2 (3.22) Chng minh (A à2 ) (A à1 ) (A à2 ) ch khụng dng trờn à1 khụng gian riờng v (A à1 ) b c khụng gian ny Vy (, (A à2 ) (A à1 ) ) v (3.21) suy (3.22) B 3.6.4 Chn v, d Khi ú tn ti mt hng s c(v, d) cho mi a thc P trờn Rv cú bc d cao nht, v mi hỡnh lp phng, Rv , ta cú |P (x)|dx cmax |P (x)| (3.23) Chng minh Xột t l v bin i x v t l P ta cú th gi s l hỡnh lp phng n v tõm O v P max |P (x)| = Gi s P hon ton compact ú nú l hỡnh cu n v khụng gian vec t vụ hn chiu v |P (x)| dx l hm liờn tc khụng b trit tiờu Vy giỏ tr nh nht, c, l hon ton dng 55 B 3.6.5 Cho l lp phng n v Rv Cho V l a thc dng bc ln nht l d, v cho H = H0,N +V õy H0,N l toỏn t Neuman Laplace trờn Gi s maxV (x) Khi ú , Hgc (3.24) vi c c cho bi (3.23) Chng minh Bng cỏch gim V m ch lm gim H , ta cú th gi s max0 V = t à1 , à2 l hai giỏ tr riờng nht ca H Khi H H0,N , nú cú v ging nh hai giỏ tr riờng nht, ta cú th thy à1 à2 Cho l vect m nú cú th ng nht vi Khi ú V (x) d (x) < à2 , H = , V = Hn na , H , H , H = , V , V Khi ú max V = Vy t bt ng thc Temple à1 , V c (à2 1)1 B 3.6.6 Nu g c a bi (3.24) thỡ N (g) N () Chng minh Lu ý rng c < ta cú g < Bt kỡ hp cú giỏ tr riờng th hai nh nht > g, vy ta cú cn trờn ti NN (g) bng cỏch m cỏc lp phng m N0,N + V cú giỏ tr riờng thp nht nh hn g Xột t l v b (3.6.5), nu maxij V (x) > , hp ny khụng b nh hng vỡ vy NN (g) N () 56 Kt lun Lun : Mt s toỏn t lng t vi ph ri rc trỡnh by mt s kt qu liờn quan n mt lp toỏn t lng t cú ph ri rc tin theo dừi lun cng trỡnh by mt s kin thc chun b v toỏn t, cỏc khỏi nim liờn quan n toỏn t lng t khụng gian Hilbert, ph ca toỏn t, cỏc loi ph Mt s cỏc b , nh lý s l kin thc c s giỳp cho vic hiu cỏc chng tip theo Lun s cp n phộp bin i Fourier v a nh ngha toỏn t Schrăodinger t H0 thụng qua toỏn t Laplace = nj=1 x2j Mt s kt qu c bn v ph ca toỏn t Schrăodinger mt s trng hp c bn Ni dung chớnh ca lun cp n cỏc kt qu v cỏc trng hp toỏn t lng t vi ph ri rc Ni dung ca cỏc kt qu ny c tham kho bi bỏo Some Quantum Operators with Discrete Spectrum but Classically Continuous Spectrum ca B Simon ng trờn Annals of Physics 146, 209 220(1983) Trong khuụn kh phm vi ca ti v thi gian cú hn nờn lun khụng trỏnh thiu sút, hn ch, tỏc gi rt mong nhn c cỏc ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n! 57 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v K thut [2] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni [B] Ti liu Ting Anh [3] W Arveson (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springer - Verlag, New York [4] M Reed and B Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics I Funtional Analysis, Academic Press, New York [5] M Reed and B Simon (1975), Methods of Modern Mathematical Physics II Furier Analysis, Self - Adjointness, Academic Press, New York [6] M Reed and B Simon (1978), Methods of Modern Mathematical Physics IV Analysis of Operators, Academic Press, New York [7] B Simon (1979), Function Integration and Quantum Physics, Academic Press, New York [8] B Simon (1983), Some Quantum Operators with Discrete Spectrum but Classically Continuous Spectrum , Annals of Physics 146, 209-220 58 [9] B Simon (2008), Schrăodinger operators with purely discret spectrum , to appear in the journal, Methods of Functional Analysis and Topology, Volume in memory of A Ya Povzner [10] B Simon (2005), Trace Ideals and Their Applications, Second edition, Mathematical Surveys and Monographs, 120, American Mathematical Society, Providence, RI [11] B Simon (1976), The bound state of weakly couped Schrăodinger operator in one and two dimensions, Ann, Phys 97, 279-288 [12] M Stoiciu (2003), An estimate for the number of bound states of the Schrăodinger operator in two dimensions , Proceedings of the American Mathematical Society 132 (4), 1143-1151 [13] G Teschl(2000), Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Appplication to Schăodinger Operators, Academic Press, New York [14] Ta Ngoc Tri (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl Dirac operators, PhD Thesis, Lancaster University, England [...]... trên bất kì lõi nào của A Toán tử B được xem là toán tử nhiễu của A 1.5 Phổ của toán tử tuyến tính 1.5.1 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.5.1 Cho X là không gian Banach trên trường số C, I(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X , toán tử A ∈ I(X) Phổ của toán tử A, kí hiệu σ(A) là tập tất cả các số phức λ sao cho A − λ1 không khả nghịch trong đó 1 là toán tử đơn vị (đồng nhất) ·... H Số phức λ thuộc tập hợp giải được của A nếu A − λ1 là một song ánh từ D(A) → H với nghịch đảo bị chặn (1 là toán tử đơn vị) Định nghĩa 1.5.4 Phổ của toán tử A, kí hiệu σ(A) là tập số phức không thuộc tập giải được của A Mọi giá trị riêng của A đều thuộc phổ σ(A) Phổ điểm của A hay phổ rời rạc là tập các giá trị riêng cô lập với bội hữu hạn Phổ cốt yếu của A là tập phổ loại trừ phổ điểm Phổ của toán. .. (A∗ ) Định lý 1.5.1 Cho các toán tử tuyến tính bị chặn A, B tác dụng trong không gian Banach X sao cho toán tử A có toán tử ngược bị chặn A−1 và toán tử B 1 có B < A−1 Khi đó toán tử A + B có toán tử ngược bị chặn Định lý 1.5.2 Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Banach X , thì với mọi số α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ|... mỗi z ∈ H ta có Ax, y = x, z , ∀x ∈ D(A) Với mỗi y ∈ D(A∗ ) ta đặt A∗ y = z và gọi A∗ là toán tử liên hợp của A 17 Định nghĩa 1.4.11 Cho toán tử không bị chặn A : D (A) → H Toán tử A gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp A∗ là mở rộng của toán tử A Toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp nếu A đối xứng và D(A∗ ) = D(A) Nếu bao đóng A¯ tự liên hợp thì toán tử đối xứng A gọi là tự liên hợp cốt yếu... Kato-Rellich, với H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử V là một toán tử đối xứng với D(H0 ) ⊂ D(V ) sao cho có a < 1 và số b để V (φ) ≤ a H0 φ + b φ 31 với mọi φ ∈ D(H0 ) Khi đó H0 + V xác định trên D(H0 ) ∩ D(V ) ≡ D(H0 ) là tự liên hợp 2.3 Một số kết quả về phổ của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều Cho toán tử Schr¨odinger −∆ + V xét trên R2 Đặt N (V ) là số các giá trị riêng âm của toán tử −∆... (Cấu trúc phổ của toán tử compact tự liên hợp ) Phổ của toán tử compact tự liên hợp tác dụng trong không gian Hilbert H là phổ điểm Hệ quả 1.5.2 Nếu toán tử compact tự liên hợp A tác dụng trong H có vô số giá trị riêng thì tập các giá trị riêng là đếm được và số 0 là điểm giới hạn duy nhất của các giá trị riêng đó 1.5.2 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn Định nghĩa 1.5.3 Cho A là toán tử tuyến... là toán tử liên hợp của toán tử A A∗ cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và A∗ = A Định nghĩa 1.3.2 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu A = A∗ Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng Định nghĩa 1.3.3 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng Ax, x là số thực với. .. gˆ (p) 2.2 Toán tử Schr¨odinger tự do Định nghĩa 2.2.1 Toán tử Schr¨odinger tự do là toán tử có dạng D (H0 ) = H 2 (Rn ) H0 = −∆, n j=1 Trong đó ∆ là toán tử Laplace ∆ = (2.10) ∂2 ∂x2j Định lý 2.2.1 Toán tử Schr¨odinger tự do H0 là toán tử tự liên hợp và phổ của nó được cho bởi σ (H0 ) = σac (H0 ) = [0, +∞) , σsc (H0 ) = σpp (H0 ) = ∅ (2.11) Với σac là phổ liên tục tuyệt đối, σsc là phổ liên tục... H nên toán tử đối xứng luôn là toán tử đóng Nếu A là là toán tử đối xứng thì A∗ là mở rộng đóng của A , nên mở rộng đóng bé nhất của A là A∗∗ phải chứa trong A∗ Do đó ta có: Nếu A là toán tử đối xứng thì A ⊂ A∗∗ ⊂ A∗ Nếu A là toán tử đối xứng đóng thì A = A∗∗ ⊂ A∗ Nếu A là toán tử tự liên hợp thì A = A∗∗ = A∗ Định lý 1.4.8 [4], tr 256) (Định lý cơ bản của toán tử tự liên hợp) Cho A là toán tử đối... này được gọi là bội số của λ · Phổ rời rạc kí hiệu σd (A) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu 19 hạn Khi đó A là toán tử tự liên hợp thì σd (A) = {λ ∈ σp (A) |rank (PA (λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0} · Phổ thiết yếu kí hiệu σess (A) = σ (A) \σd (A), khi A là toán tử liên hợp thì σess (A) = {λ ∈ R |rank (PA (λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0} Ví dụ 1.5.1 Cho toán tử A tác dụng trong