Luận văn phổ của một số toán tử

B GIO DC V TO TRNG I HC s PHM H NI B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI Bựi Th Hng Hoa BI TH HNG HOA PH CA MT S TON T PH CA MT S TON T LUN VN TH C S TON HC LUN VN TH C S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS T Ngc Trớ H Ni - 2015 H Ni - 2015 LI CM N Tụi xin gi li cm n chõn thnh v sõu sc ti TS T Ngc Trớ, ngi ó tn tỡnh hng dn ch bo cho tụi quỏ trỡnh lm lun Thụng qua lun ny, tụi mun gi li cm n n cỏc thy cụ giỏo t Gii tớch- khoa Toỏn- trng i hc S phm H Ni cựng gia ỡnh, bn bố v cỏc thnh viờn lp Toỏn gii tớch Khúa 17 ó ng viờn, giỳp tụi hon thnh lun ny Bựi Th Hng Hoa LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun ny l tụi t lm di s hng dn ca TS T Ngc Trớ Tụi cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi ti khỏc Cỏc thụng tin trớch dn, cỏc ti liu tham kho lun ó c ch rừ ngun gc Lun cha c cụng b trờn bt k chớ, phng tin thụng tin no H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Hng Hoa MC LC Kin thc chun b 7 Ph ca toỏn t compact 11 25 Tớnh cht v ph ca mt s lp toỏn t 3.1 Toỏn t úng 25 29 37 37 Ti liu tham kho M U Lý chn ti S phỏt trin Gii tớch hm ó l cụng c quan trng cho vic gii mt s cỏc hin tng vt lý v l tin phỏt trin cỏc nhỏnh mi ca Toỏn hc Mt s ú l Lý thuyt ph Mc dự rt nhiu kt qu thuc Lý thuyt ph cú ngun gc ó lõu (nh cỏc kt qu ca Riesz) song cú l Lý thuyt ph (Spectral Theory) c xem nh mt nhỏnh nghiờn cu "riờng", chng hn l mt th mc riờng cỏc bi bỏo tin n phm ng link http://arxiv.org/archive/math ch vi chc nm tr v õy T xõy dng ban u ca Hilbert cựng vi s phỏt trin sau ny ca khỏi nim khụng gian Hilbert tru tng dn n cỏc v ph ca mt toỏn t chun tc trờn khụng gian Hilbert, mt vt lý, lý thuyt c hc lng t Cú rt nhiu nh khoa hc ó b cụng nghiờn cu phỏt trin v lm giu thờm cỏc kt qu Lý thuyt ph, vớ d nh cú Von Newman Cỏc kt qu ú cú th k õy bao gm vic nghiờn cu sang i s Banach theo mt cỏch tru tng, hay i din Gelfand cỏc trng hp giao hoỏn, phõn tớch iu hũa khụng gian giao hoỏn v khỏc bit na cỏc phõn tớch Fourier (Xin tham kho thờm Wikipedia mc vit v Lý thuyt ph) ca mt s toỏn t Tụi hy vng rng ti ny s giỳp tụi hiu thờm hn na cỏc c bn ca Lý thuyt ph, giỳp tụi cỏc thụng tin hu ớch v Tớnh cht ph ca mt s lp toỏn t v ph ca mt s toỏn t c th c bit chỳng tụi mong mun c tỡm hiu mt cỏch tip cn m khụng tỏch mt cỏch c th trng hp toỏn t tuyn tớnh b chn v khụng b chn Chỳng tụi cng hy vng t ú lun ny cng giỳp nhng quan tõm hiu thờm v mt s cỏc c bn Lý thuyt ph, lm tin cho vic hc nghiờn cu tip theo Mc ớch nghiờn cu + Gii thiu mt cỏch tng quan cỏc c bn nht v lý thuyt ph cho nhng ngi mun tỡm hiu v ny + Mt s chung liờn quan n ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp v ph ca mt s toỏn t c th Nhim v nghiờn cu + Nghiờn cu cỏch trỡnh by v ph m khụng tỏch riờng nghiờn cu toỏn t b chn v khụng b chn Nghiờn cu cỏc tớnh cht c bn v ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp v mt s vớ d c th v ph ca toỏn t t liờn hp + Mt ti liu trỡnh by mt cỏch tng quan cỏc c bn nht v lý thuyt ph Chng KIN THC CHUN B 1.1 M u Kớ hiu X ^ {0} , Y {0}) v z ^ {0} l cỏc khụng gian Banach trờn c vi chun II-| (hoc ||-|| x ) Khụng gian Ê (X, Y) {r : X ằ Y : T l tuyn tớnh v liờn tc} c cho vi chun ca toỏn t T|| = SUPII^II^ ||Tx||, v ta vit tt l Ê(X) := Ê (X,Y) Cho D(A) l mt khụng gian tuyn tớnh ca X v A : D(A) ằ Y l tuyn tớnh Khi ú A, hoc (, D(A)), c gi l toỏn t tuyn tớnh i t X n Y (v trờn X nu X = Y) vi xỏc nh D() Ta kớ hiu N { A ) = { x e D (A) : A x = 0} , R (A) = y G Y : tn ti X G D (^4) vi y = Ax} l hch v Do ú, lim (Ax n ) = A( lim x n ) nu c hai (x n ) v (Ax n ) hi t n>oc n>oc ) Cho X = ([0,1]) v Af = f' vi D(A) = { f e C ( [ ỡ l ] ) : f ( ) = 0} v f,g G X cho f n f v Af n = f n g X n> 00 Tn ti / G O ([0,1]) cho /' = g Do = f n (0) ằ /(0) n>oo, ta c / D(A) iu ú cú ngha A l úng trờn X Ta thy rng Af = f' vi D ( A t ) = { f '([0,1]) : /(0) = /'() = 0} fn(t) = < 0, vi mi 77, N Do ú, f n > f v ằ /' X 71 > 00, õy /(ớ) = t Tuy nhiờn, supp/ = [0,1] v / D(A) c) Cho X = L p (R d ), < p < 00, v m : R d > c l o c nh ngha Af = mf vi D(A) = {f ex :mf e X } d) Cho X = L ([0,1]), Y = c, v Af = /(0) vi D{A) = c ([0,1]) Khi ú A l khụng úng Tht vy, xột cỏc hm f n G D(A) cho bi n > 00, nhng Af n = Z7 /ằ(0) = nh ngha 1.2.3 Cho A l mt toỏn t tuyn tớnh i t X n Y th ca A c cho bi gr(^4) = {(a;, Ax) G X X Y : X G D(A)} th chun ca A c nh ngha bi \\x\\ A = ll^ll^ + ||i4a:||y Ta vit [D(A)] nu ta nhúm D(A) vi \\-\\ A 42 nh lý 3.2.4 Cho X l mt khụng gian Hilbert v A c xỏc nh l trự mt, úng v m rng () = {A e : Im > 0} hoc (A) = {A G : Im < 0} b) Cỏc mnh sau l tng ng (1) = A' Chng minh, a) Gi s tn ti G {) v /z G p(A) vi Im > v Im i > on thng t n /Lớ phi cha mt im e d () Khi ú, Im > v Ê ap (A) bi Mnh 1.3.9, iu ny mõu thun vi B 3.2.3 A l i xng Thc t tng t ch nu Im < v Im i < Ta cú a) c chng minh b) Cho A l t liờn hp B 3.2.3 ch ap (A) ỗ M Do (3.2) ta cng cú r () = p (A') = p () Do ú, r () = p () ỗ R T Mnh 1.3.9 ta kt lun (A) ỗ M, tc l (1) kộo theo (2) Kộo theo (4) =ằ (1) c) Cho A = A Khi ú ( A ) = { A ' ) vỡ vy Mnh c) c suy t B 3.2.3 43 Vớ d 3.2.5 a) Cho ỗ R d l m v b chn vi d u E c v cho A = A vi D { A X ) = w ( U ) w ( U ) Cho , V n vn,3 j=l ^ j=l Do ú ta cú 71 > oo, vỡ vy tớnh úng ca A c ch mnh cui nh lý 3.3.6 (Biu din nhõn-The multiplication representation) Cho T C ( X ) l t liờn hp mt khụng gian Hilbert X tỏch c Khi ú cú mt khụng gian o c ( ỡ , A , j ỡ ) , mt hm o c h : ằ (T) v mt toỏn t unita u : X -- L2(i) cho 49 nh lý 3.3.7 (A khụng b chn) Cho A l úng, xỏc nh trự mt v toỏn t t liờn hp trờn mt khụng gian Hilbert X tỏch c Kh ú ta cú cỏc mnh sau a) Tn ti mt khụng gian o c mt hm o c h: > (A) v mt toỏn t unita X L (//) cho D () = i I : hUx L (//)} v Ax = U~ hUx b) Tn ti mt ỏnh x : B b ( ( A )) ( X ), (/) = f ( ) , tha mn (Cl) v (C3)-(C5) õy pi(T) = T (C3') l thay th bi T\ () = R ( \ , ) c h o T \ (z ) = ( z ) ~ l v m i X Ê p ( A ) Hn na, nu f n Ê Bb ( (A)) l b chn u v hi t n f Ê B , ( ( )) theo tng im, thỡ f n ( A ) x ằ f ( A ) x n oo vi mi X ÊX Cui cựng, ly f Ê D(A) v f G B b ( ( ) ) t a c ú f ( ) x D ( ) v A f ( A ) x = f () Ax Chng minh, a) Cho t Ê p () (Xem 1) Khi ú R(t, ) Ê C { X ) l t liờn hp v cú th c biu din nh R ( t , A ) = U~ l mU trờn mt khụng gian L (f,/z) Theo mnh 1.3.10 cú (A) = t [ (R (t, )) \ {0}] -1 Tp vi j G J v G (R (t, A)) \ {0} Cỏc { X {j}} cú ,o c Ta cú th m rng h bng n mt hm o c trờn Cho X G -0(^4) Ta t y = tx 50 b) Ta xỏc nh phộp tớnh mt hm : / !-> / (A ) cho A bng cỏch thit lp f ( A ) x = U ~ 1( f o h ) U x cho / e B b ( ( A ) ) v e X Ta t M f i p = (f o h ) i p cho G L ( f l ) Nú l n gin kim tra xem f ( A ) G Ê(X), l tuyn tớnh, ( A ) = I v (C5) l ỳng Cho e p { A ) Ta cú hUrx (-A) X = h ( h) Ux h(X h ) ~ l U x Ê L [ỡ) vi mi X Ê X Theo a) ta cú \ () X D (A) v (XI ) \ () = I Mt cỏch tng t ta thy rng V\ (A) (Xx ) = X vi mi X D ( A ) , v vỡ (C3) ó ch Rỳt gn v tớnh (C4) vỡ II/ (A)|| = \ \ M f \ \ < 11/11^ (xem vớ d 1.54 [8J) v ( f g ) () = u- ( f h) ( g h) U x = - ( f h) ~ (g h) Ux f (A) g (A) = X, õy g Ê B b ( (A)) v X Ê X Cho f , f n e B b ( ( A )) b chn u bi cho f n f theo tng im n > 00 Vi mi X X , ta cú f n ( A ) x f ( ) X = ~ ( n /) h ) U x Do ( f n f ) h theo tng im v l((/n - f ) h ) U x I < 2c \ U x \, nh lý hi t Lebesgue ch rng ((/ n /) h ) X tin n L (ỡ) v f n 51 3.4 Vớ d c th / / 00 ex[t~s)f{s)ds, 00 I/ (s)| ds = (^ * l/l) (ớ) vi mi t e M, ta suy rng II-R A /II P S IMIill/llp = ^-11/- Theo nh lý sau: Cho J l khong m v / e L] o c ( J) Khi ú ta cú / e w ( J) nu v ch nu cú mt g e L] o c ( J) v o hm kh vi liờn tc ca / cho f ( t ) = f ( s ) + (r)dr Js vi mi s,t e J Trong trng hp ny, g = df 52 vi v / I Ly e Ta ly