Phổ của một số toán tử

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI BI TH HNG HOA PH CA MT S TON T LUN VN THC S TON HC H Ni - 2015 B GIO DC V TO TRNG I HC S PHM H NI Bựi Th Hng Hoa PH CA MT S TON T Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS T Ngc Trớ H Ni - 2015 LI CM N Tụi xin gi li cm n chõn thnh v sõu sc ti TS T Ngc Trớ, ngi ó tn tỡnh hng dn ch bo cho tụi quỏ trỡnh lm lun Thụng qua lun ny, tụi mun gi li cm n n cỏc thy cụ giỏo t Gii tớch- khoa Toỏn- trng i hc S phm H Ni cựng gia ỡnh, bn bố v cỏc thnh viờn lp Toỏn gii tớch Khúa 17 ó ng viờn, giỳp tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Hng Hoa LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun ny l tụi t lm di s hng dn ca TS T Ngc Trớ Tụi cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi ti khỏc Cỏc thụng tin trớch dn, cỏc ti liu tham kho lun ó c ch rừ ngun gc Lun cha c cụng b trờn bt k chớ, phng tin thụng tin no H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Hng Hoa MC LC M u Kin thc chun b 1.1 M u 1.2 Toỏn t úng 1.3 Ph ca toỏn t 11 Ph ca toỏn t compact 25 2.1 Toỏn t compact 25 2.2 Luõn phiờn Fredholm 29 Tớnh cht v ph ca mt s lp toỏn t 37 3.1 Toỏn t úng 37 3.2 Toỏn t t liờn hp 39 3.3 nh lý ph cho toỏn t t liờn hp 43 3.4 Vớ d c th 51 Kt lun 55 Ti liu tham kho 56 M U Lý chn ti S phỏt trin Gii tớch hm ó l cụng c quan trng cho vic gii mt s cỏc hin tng vt lý v l tin phỏt trin cỏc nhỏnh mi ca Toỏn hc Mt s ú l Lý thuyt ph Mc dự rt nhiu kt qu thuc Lý thuyt ph cú ngun gc ó lõu (nh cỏc kt qu ca Riesz) song cú l Lý thuyt ph (Spectral Theory) c xem nh mt nhỏnh nghiờn cu "riờng", chng hn l mt th mc riờng cỏc bi bỏo tin n phm ng link http://arxiv.org/archive/math ch vi chc nm tr v õy T xõy dng ban u ca Hilbert cựng vi s phỏt trin sau ny ca khỏi nim khụng gian Hilbert tru tng dn n cỏc v ph ca mt toỏn t chun tc trờn khụng gian Hilbert, mt vt lý, lý thuyt c hc lng t Cú rt nhiu nh khoa hc ó b cụng nghiờn cu phỏt trin v lm giu thờm cỏc kt qu Lý thuyt ph, vớ d nh cú Von Newman Cỏc kt qu ú cú th k õy bao gm vic nghiờn cu sang i s Banach theo mt cỏch tru tng, hay i din Gelfand cỏc trng hp giao hoỏn, phõn tớch iu hũa khụng gian giao hoỏn v khỏc bit na cỏc phõn tớch Fourier (Xin tham kho thờm Wikipedia mc vit v Lý thuyt ph ) Mc dự ng dng ca Lý thuyt ph c s dng mt cỏch rng rói Vt lý, song cỏc chng trỡnh o to bc c nhõn v c thc s Toỏn hc cha cú nhiu v sõu cỏc ni dung v lý thuyt ny Vỡ vy vi mong mun tỡm hiu v Lý thuyt ph v giỳp nhng quan tõm cú th cú thờm kin thc c s Lý thuyt ph, vi s giỳp nhit tỡnh ca thy TS T Ngc Trớ, tụi ó mnh dn thc hin ti Ph ca mt s toỏn t Tụi hy vng rng ti ny s giỳp tụi hiu thờm hn na cỏc c bn ca Lý thuyt ph, giỳp tụi cỏc thụng tin hu ớch v Tớnh cht ph ca mt s lp toỏn t v ph ca mt s toỏn t c th c bit chỳng tụi mong mun c tỡm hiu mt cỏch tip cn m khụng tỏch mt cỏch c th trng hp toỏn t tuyn tớnh b chn v khụng b chn Chỳng tụi cng hy vng t ú lun ny cng giỳp nhng quan tõm hiu thờm v mt s cỏc c bn Lý thuyt ph, lm tin cho vic hc nghiờn cu tip theo Mc ớch nghiờn cu + Gii thiu mt cỏch tng quan cỏc c bn nht v lý thuyt ph cho nhng ngi mun tỡm hiu v ny + Mt s chung liờn quan n ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp v ph ca mt s toỏn t c th Nhim v nghiờn cu + Nghiờn cu cỏch trỡnh by v ph m khụng tỏch riờng nghiờn cu toỏn t b chn v khụng b chn Nghiờn cu cỏc tớnh cht c bn v ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp v mt s vớ d c th v ph ca toỏn t t liờn hp i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: Cỏch tip cn v ph ca toỏn t tuyn tớnh; Ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp v mt s vớ d c th v toỏn t v ph ca toỏn t t liờn hp + Phm vi nghiờn cu: Ti liu, cỏc bi bỏo liờn quan n ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp Phng phỏp nghiờn cu + S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm tip cn + S dng cỏc kin thc lý thuyt ph, ph ca toỏn t compact, toỏn t t liờn hp úng gúp mi + Mt ti liu trỡnh by mt cỏch tng quan cỏc c bn nht v lý thuyt ph Ni dung Lun gm cú chng: Chng 1: Kin thc chun b Chng 2: Ph ca toỏn t compact Chng 3: Tớnh cht v ph ca mt s lp toỏn t Chng KIN THC CHUN B 1.1 M u Kớ hiu X = {0} , Y = {0}, v Z = {0} l cỏc khụng gian Banach trờn C vi chun ã (hoc ã X ) Khụng gian L (X, Y ) = T : X Y : T l tuyn tớnh v liờn tc c cho vi chun ca toỏn t T = sup x T x , v ta vit tt l L(X) := L(X, Y ) Cho D(A) l mt khụng gian tuyn tớnh ca X v A : D(A) Y l tuyn tớnh Khi ú A, hoc (A, D(A)), c gi l toỏn t tuyn tớnh i t X n Y (v trờn X nu X = Y ) vi xỏc nh D(A) Ta kớ hiu N (A) = {x D (A) : Ax = 0} , R (A) = y Y : tn ti x D (A) vi y = Ax l hch v ca A 1.2 Toỏn t úng nh ngha 1.2.1 Cho A l mt toỏn t tuyn tớnh i t X n Y Toỏn t A c gi l úng nu vi mi xn D(A), n N, cho tn ti x = lim xn trờn X v y = lim Axn trờn Y iu ú ch rng n x D(A) v Ax = y n Do ú, lim (Axn ) = A( lim xn ) nu c hai (xn ) v (Axn ) hi t n n Vớ d 1.2.2 a) Cho X = C([0, 1]) v Af = f vi D(A) = {f C ([0, 1]) : f (0) = 0} Cho fn D(A) v f, g X cho fn f v Afn = fn g X n Tn ti f C ([0, 1]) cho f = g Do = fn (0) f (0) n, ta c f D(A) iu ú cú ngha A l úng trờn X Ta thy rng A1 f = f vi D(A1 ) = f C ([0, 1]) : f (0) = f (0) = l úng b) Cho X = C [(0, 1)] v Af = f vi D(A) = Cc1 ((0, 1]) = f C ([0, 1]) : supp f (0, 1] , ta coi supp f ca f l bao úng ca {t [0, 1] : f (t) = 0} R Toỏn t ny khụng b úng Tht vy, xột cỏc hm fn D(A) cho bi 0t , 0, n fn (t) = 1 , t 1, t n n vi mi n N Do ú, fn f v fn f X n , õy f (t) = t2 Tuy nhiờn, supp f = [0, 1] v f / D(A) c) Cho X = Lp (Rd ), p , v m : Rd C l o c nh ngha Af = mf vi D(A) = {f X : mf X} õy l giỏ tr cc i Khi ú A l úng Tht vy, cho fn f v Afn = mfn g X n Khi ú, nú l mt dóy cho fnj (x) f (x) v m(x)fnj (x) = g(x) x Rd , n Do ú, mf = g trờn Lp Rd v ta c f D(A) v Af = g 43 Vớ d 3.2.5 a) Cho U Rd l m v b chn vi U C v cho A1 = vi D (A1 ) = W22 (U ) W21 (U ) Cho u, v D(A1 ) ta cú T u = T v = vỡ vy ( u)v = (A1 u|v) = u v = (u|A1 v) ; U U tc l, A1 l o c Vy A1 l t liờn hp theo nh lý 3.2.4 2 b) Trờn X = L (0, 1) xột A0 = vi D(A0 ) = W22 (0, 1) v A1 t a) vi U = (0, 1) Nh a) ta thy rng A0 l o c Do A0 A1 v (A1 ) R Do ú, A0 khụng l t liờn hp v (A0 ) = C 3.3 nh lý ph cho toỏn t t liờn hp Ly T L(Z) cho mt khụng gian Banach Z v p (z) = a0 +a1 z+ +an z n cú mt a thc phc Khi ú ta xỏc nh c a thc toỏn t p (T ) = a0 I + a1 T + + an T n L(Z) (3.4) Cho mt ỏnh x p p(T ) t khụng gian ca a thc n L(Z) Cho T l t liờn hp trờn mt khụng gian Hilbert cú th m rng ỏnh x ny n mi f C((T )), nh ó thy cỏc nh lý tip theo Ta t p1 (z) = z nh lý 3.3.1 (Phộp tớnh hm liờn tc) Cho T L(X) l mt t liờn hp trờn mt khụng gian Hilbert X õy chớnh xỏc l mt ỏnh x T : C ( (T )) L(X), f f (T ) , cho (C1) (f + g) (T ) = f (T ) + g (T ) , (C2) f (T ) = f (dú ú, T l n ỏnh), (C3) 1(T ) = I v p1 (T ) = T , (C4) (f g) (T ) = f (T ) g (T ) = g (T ) f (T ) , (C5) f (T ) = f (T ) , cho mi f, g C ( (T )) v , C c bit, ta cú T (p) = p (T ) cho mi a thc p, õy p(T ) c cho bi (3.4) 44 Chng minh u tiờn ta ch thuc tớnh (C1)-(C5) cho cỏc a thc p (t) = a0 +a1 t+ +an tn v q (t) = b0 +b1 t+ +bn tn vi t R v ỏnh x p p (T ) xỏc nh bi (3.4) Bt k aj , bj C cú th bng Rừ rng, n (C1) v (C3) nm trng hp ny, v p (T ) = aj T j = p (T ) j=0 T = T Hn na, n 2n (pq) (T ) = ( m=0 0j,kn j+k=m aj bk t)T m = n aj T j=0 bj T k = p (T )q (T ) j k=0 Nú cng ch rng (pq) (T ) = (qp) (T ) = q (T ) p (T ) , vỡ vy (C4) l biu din cho cỏc a thc Tớnh (C4) v (C5) ng ý rng p(T ) l chun Do ú, p (T ) = max {|| : (p (T ))} = max {|| : p ( (T ))} = p Do (T ) l compact, cỏc a thc l trự mt C((T )) theo nh lý xp x Weierstra Ta cú th m rng ỏnh x p p (T ) thnh mt phộp ng c tuyn tớnh T : f f (T ) t C((T )) n L(X) Vỡ liờn tc, (C4) v (C5) cng cha T C((T )) Nu cú mt ỏnh x : C ( (T )) L (X) tha (C1)-(C5), thỡ (p) = p (T ) = T (p) vi mi a thc theo (C1),(C3) v (C4), vỡ vy = T B 3.3.2 Ly T L(X) cho mt khụng gian Banach Z v ly p l mt a thc Khi ú (p(T )) = p((T )) H qu 3.3.3 Cho T L(X) l t liờn hp v f C ( (T )) Khi ú ta cú cỏc mnh sau (C6) Nu T x = x vi mi x X v C, ú f (T )x = f ()x, (C7) f (T ) l chun, (C8) (f (T )) = f ( (T ))(nh lý ỏnh x ph), (C9) f (T ) l t liờn hp v ch f l giỏ tr thc 45 Chng minh Cho mt dóy ca cỏc a thc pn hi t u n f Ly T x = x Mnh (C6) cho mt a thc n n j p (T ) x = aj j x = p ()x aj T x = j=0 j=0 Do ú, f (T ) x = lim pn (T ) x = lim pn () x = f () x n n T (C5) v (C4) ta suy f (T ) f (T ) = f (T ) f (T ) = f (T ) f (T ) = f (T ) f (T ) vỡ vy f (T ) l chun Tip theo ta trỡnh by (C8) Nu / f ( (T )), thỡ g = àf C ( (T )) Nh vy theo (C3) v (C4) ta cú (àI f (T )) g (T ) = g (T ) (àI f (T )) = g (T ) (à1 f ) (T ) = ((à1 f ) g) (T ) = (T ) = I Do ú, (f (T )) Cho = f () vi mi (T ) Khi ú àn := pn () thuc (pn (T )) vi mi n N theo B 3.3.2 Hn na, àn I pn (T ) àI f (T ) Gi s rng àI f (T ) l kh nghch Khi ú àn I pn (T ) cng s kh nghch vi n ln iu ny l khụng th, v vy (f (T )) Vi mnh cui, ta gi s f (T ) = f (T ) nu v ch nu f f (T ) = nu v ch nu f f = 0, bi vỡ T l n ỏnh H qu 3.3.4 Cho n N v T = T L(X) vi (T ) R+ (trong trng hp mt vit T = T 0) Khi ú cú mt toỏn t t liờn hp xỏc nh nht W L(X) vi (W ) R+ cho W n = T Chng minh Xột w(t) = t n cho t (T ) R+ v xỏc nh W := w(T ) Khi ú W n = w(T )n = w(T ) ã ã w(T ) = (w ã ã w)(T ) = p1 (T ) = T Theo (C8) v (C9) ta cú W = W 0.(Xem [10]) nh lý 3.3.5 (Trng hp compact) Cho X l mt gian Hilbert vi dim X = , T L(X) l compact v t liờn hp v A xỏc nh trự mt, 46 úng v t liờn hp trờn X cú compact gii c Khi ú ta cú cỏc mnh sau a) Cú mt ch s J {, N, {1, , N } : N N} v cỏc giỏ tr riờng n = 0, n J, cho (T ) = {0} {n : n J} R õy n n nu J = N Mt c s trc chun ca N (T ) = R (T ) gm cỏc vộct riờng ca T cho n , n J Cỏc khụng gian riờng En (T ) = N (n I T ) l hu hn chiu v phộp chiu trc giao Pn lờn En (T ) trc giao vi T , vi mi n J Cui cựng, tng T = n Pn , nJ hi t L(X) b) (A) = p (A) = {àn : n N} R vi |àn | n , cú mt c s trc chun ca X gm cỏc vộct riờng ca A Cỏc khụng gian riờng En (A) = N (àn I A) l hu hn chiu, v ta cú Qn D (A) D (A) v AQn x = Qn Ax vi mi x D(A) v n N, õy Qn l phộp chiu trc giao lờn En (A) Cui cựng, tng Ax = àn Qn x i=1 hi t X vi mi x D(A) Chng minh 1) nh lý 2.2.4, 3.1.2, 3.2.4 ó a cỏc mnh ph v dim En (T ) v dim En (A) l hu hn vi mi n Ly x, y D(A) l cỏc vộct riờng cho àj = àk ca A Khi ú àj (x|y) = (Ax|y) = (x|Ay) = àk (x|y) , vỡ vy (x|y) = Mt cỏch tng t, ta thy Ej (T ) Ek (T ) nu j = k 2) Quan h T , u tiờn ta xột trng hp J = N S dng thut toỏn Gram-Schmidt mi En (T ), ta cú th xõy dng h trc giao 47 S gm cỏc vộct riờng ca T cho cỏc giỏ tr riờng n = 0, n N Chỳ ý S R(T ) Cho 1n = 1{n } C((T )) v n = 11 + + 1n vi mi n N Khi ú 1n (T )2 = 12n (T ) = 1n (T ) Hn na, C(4) v (C9) ch T 1n (T ) = 1n (T ) T, 1n (T ) = 1n (T ) v (n I T ) 1n (T ) = ((n p1 ) 1n ) (T ) = ((n n ) 1n ) (T ) = Nu n v = T v vi mi v X, ta suy 1n (T ) v = 1n (n ) v = v theo (C6) Kt qu l, 1n (T ) l mt phộp chiu t liờn hp lờn En (T ) Cho x X v y N (1n (T )), ú ta cú (1n (T )x|y) = (x|1n (T )y) = vỡ vy 1n (T ) l trc giao, tc l 1n (T ) = Pn v n (T ) = P1 + + Pn vi mi n N Theo (C2), ta suy T n (T ) T = T T n (T ) = ((1 n ) p1 ) (T ) = (1 n ) p1 = sup |j | 0, jn+1 n Do T 1n (T ) = n Pn , ta c T = n Pn hi t n=1 L(X) Hn na, iu ny ch n (T ) y lin S hi t n y n vi mi y R(T ) Mt khỏc, S l mt c s trc chun ca R (T )(xem vớ d nh lý 2.16 [8]) Cui cựng, ta cú N (T ) = R (T ) = R (T ) (xem vớ d Mnh 4.41 [8]) T = T v X l phn x Nu J = , thỡ T = vỡ theo mnh 3.2.1 Nu J = 1, , N l hu hn, thỡ (1 n )p1 = trờn (T ) v ú ta cng lý lun trng hp vi tng hu hn Vỡ vy mnh liờn quan T ó c ch 3) C nh t (A) R v chỳ ý rng / p (R (t, A)) Cho x X l phộp chiu lờn tt c cỏc vộct riờng v ca A Nu v l mt vộct riờng ca A vi giỏ tr riờng à, thỡ (tI A)v := w l mt vộct riờng ca R(t, A) cho giỏ tr riờng = Vộct riờng w ca R(t, A) vi tà giỏ tr riờng xỏc nh vộct riờng v = R(t, A)w ca A vi giỏ tr riờng = t Gi s rng R (t, A) = R t, A = R (t, A) l t liờn hp, compact v n ỏnh Toỏn t R(t, A) cú c s trc chun ca cỏc 48 vộct riờng w c bit, R(t, A) v A cú vụ hn cỏc giỏ tr riờng vỡ dim X = v cỏc khụng gian riờng ca R(t, A) l hu hn chiu Hn na, = (x|v) = (R (t, A) x|w) vi mi vộct riờng w Do khong cỏch cỏc vộct X, ta c R(t, A)x = v ú x = Kt qu, cỏc vộct riờng v ca A khong cỏch X Khi cho mt ma trn t liờn hp ta cú tớnh trc giao ca cỏc vộct riờng ca A n cỏc giỏ tr riờng khỏc Mt c s trc chun ca X bao gm cỏc vộct riờng v ca A (Xem B 2.14 v nh lý 2.16 [8]) Cho vn,j (j = 1, , mn ) l cỏc vộct riờng ca A mt c s trc chun mn ca En (A) vỡ vy Qn x = (x|vn,j )vn,j l phộp chiu trc giao lờn En (A), j=1 vi mi n N Kt qu l, {vn,j : j = 1, , mn ; n N} l c s trc chun Qn x vi mi x X Tip theo, cho x D(A) ta cú ca X v x = n=1 mn Qn Ax = mn (Ax|vn,j )vn,j = j=1 mn = mn (x|Avn,j )vn,j = j=1 mn (x|vn,j ) àn vn,j = j=1 (x|àn vn,j )vn,j j=1 (x|vn,j ) Avn,j = AQn X j=1 Do ú ta cú n A n Qk Ax Qk x = k=1 k=1 Qk Ax = k=1 AQk x = k=1 àk Qk x, k=1 n , vỡ vy tớnh úng ca A c ch mnh cui nh lý 3.3.6 (Biu din nhõn-The multiplication representation) Cho T L(X) l t liờn hp mt khụng gian Hilbert X tỏch c Khi ú cú mt khụng gian o c (, A, à), mt hm o c h : (T ) v mt toỏn t unita U : X L2 (à) cho T x = U hU x, vi mi x X 49 nh lý 3.3.7 (A khụng b chn) Cho A l úng, xỏc nh trự mt v toỏn t t liờn hp trờn mt khụng gian Hilbert X tỏch c Khi ú ta cú cỏc mnh sau a) Tn ti mt khụng gian o c (, A, à, mt hm o c h : (A) v mt toỏn t unita X L2 (à) cho D (A) = x X : hU x L2 (à) v Ax = U hU x b) Tn ti mt ỏnh x co : Bb ( (A)) L (X) , (f ) = f (A), tha (C1) v (C3)-(C5) õy p1 (T ) = T (C3) l thay th bi r (A) = R (, A) cho r (z) = ( z)1 v mi (A) Hn na, nu fn Bb ( (A)) l b chn u v hi t n f Bb ( (A)) theo tng im, thỡ fn (A) x f (A)x n vi mi x X Cui cựng, ly f D(A) v f Bb ( (A)) ta cú f (A) x D (A) v Af (A) x = f (A) Ax Chng minh a) Cho t (A) R (Xem [10]) Khi ú R(t, A) L(X) l t liờn hp v cú th c biu din nh R (t, A) = U mU trờn mt khụng gian L2 (, à) Theo mnh 1.3.10 cú (A) = t [ (R (t, A)) \ {0}]1 Tp h ( ì {j}) = t 1 = t (A) , m ( ì {j}) vi j J v (R (t, A)) \ {0} Cỏc {0 ì {j}} cú c Ta cú th m rng h bng n mt hm o c trờn Cho x D(A) Ta t y = tx Ax X Do x = R (t, A) y = U mU y, ta cú hU x = hmU y = (tm 1) U y L2 (à) U hU x = tU mU y y = tx y = Ax Nu x X tha hU x L2 (à), thỡ ta t y = U (t1 h) U x X v cú mU y = (tm mh) U x = U x Vỡ th, x = U mU y = R (t, A) y D (A) v a) c chng minh 50 b) Ta xỏc nh phộp tớnh mt hm : f f (A) cho A bng cỏch thit lp f (A) x = U (f h) U x cho f Bb ( (A)) v x X Ta t Mf = (f h) cho L2 (à) Nú l n gin kim tra xem f (A) L(X), l tuyn tớnh, 1(A) = I v (C5) l ỳng Cho (A) Ta cú hU r (A) x = h (r h) U x = h(1 h)1 U x L2 (à) vi mi x X Theo a) ta cú r (A) X D (A) v (I A) r (A) = I Mt cỏch tng t ta thy rng r (A) (x Ax) = x vi mi x D(A), v vỡ (C3) ó ch Rỳt gn v tớnh (C4) vỡ f (A) = Mf f (xem vớ d 1.54 [8]) v (f g) (A) x = U (f h) (g h) U x = U (f h) U U (g h) U x = f (A) g (A) x, õy g Bb ( (A)) v x X Cho f, fn Bb ( (A)) b chn u bi c cho fn f theo tng im n Vi mi x X, ta cú fn (A) x f (A) x = U ((fn f ) h) U x Do (fn f ) h theo tng im v |((fn f ) h) U x| 2c |U x| , nh lý hi t Lebesgue ch rng ((fn f ) h) U x tin n L2 (à) v fn (A) x f (A) x X n Cho x D(A) Cỏc kt qu trờn ch g := h (f h) U x = (f h) U U hU x = (f h) U Ax L2 (à) Mt khỏc, g = hU U (f h) U x = hU f (A) x Phn a) nh vy ng ý rng f (A) x D (A) v Af (A) x = U hU f (A) x = U g = U (f h) U Ax = f (A) Ax 51 3.4 Vớ d c th Vớ d 3.4.1 a) Cho p < , X = Lp (R) v A = vi D (A) = Wp1 (R) Cho Re > ta cú e(ts) f (s) ds, (R f ) (t) = t vi t R v f X Cho = eRe 1R_ Do eRe (ts) |f (s)| ds = ( |f |) (t) |R (f (t))| t vi mi t R, ta suy rng f p Re Theo nh lý sau: Cho J R l khong m v f L1loc (J) Khi ú ta cú f W (J) nu v ch nu cú mt g L1loc (J) v o hm kh vi liờn tc ca f cho R f p f p = t f (t) = f (s) + g ( )d s vi mi s, t J Trong trng hp ny, g = f Theo nh lý trờn ch rng R f W (R) vi R f = R f f Lp (R) Suy ra, R f Wp1 (R) = D (A) C0 (R) v (I A) R = I Tip theo, ly C v gi s rng tn ti mt u D(A) v u = Au = u Theo kt qu trờn ta cú 1 (u (t) u (s)) = ts ts t s u ( )d = ts t u ( )d u (s) s t s, tc l, u l kh vi vi o hm liờn tc u Kt qu, nhn c u l mt bi ca e Do e / X, ta c u = v vy I A l n ỏnh Nh vy, ta cn ch rng p (A) = v (A) vi R (, A) = R nu Re > Theo cỏch tng t, ta thy rng (A) nu Re < 0, õy gii thc c cho bi t e(ts) f (s) ds, R (, A) f (t) = 52 vi t R v f X Ly iR Ta ly n Cc1 (R) vi n = n p trờn [n, n] , n (t) = cho |t| n + v n 2n p , vi mi n N Khi ú ta c un = n e Wp1 (R) , n un p p |n (t) e (t)| dt p 1 = n p (2n) p = p , n un Aun p = n e p p = {n |t| n+1} 1 p |n (t) e (t)| dt 2n p p , vi mi n N H qu l, ap (A) v vy (A) = iR Vớ d 3.4.2 Cho X = Lp (R) , p < , v B = vi D (B) = / R_ cú mt C vi Re > cho = S Wp2 (R) Cho dng A vớ d 3.4.1, ta c (àI B) u = (I A) (I + A) u (3.5) cho u Wp2 (R) Do I A v I + A = (I A) l khụng kh nghch theo vớ d 3.4.1, ta cú u = (I + A)1 (I A)1 (àI B) u vi mi u D(B) Trong trng hp khỏc, cho v Wp1 Rd ta cú (I + A)1 v = A(I + A)1 v = (I + A)1 v + v Wp1 (R) Tht võy, (I + A)1 Wp1 (R) Wp2 (R) Hn na, ta cú th chn u = (I + A)1 (I A)1 f vi mi f X (3.5), (àI B) (I + A)1 (I A)1 f = f vi mi f X Do ú, (B) v R (à, B) = (I + A)1 (I A)1 , vỡ vy (B) R_ Cho 0, ta cú = vi mi iR Khi ú I A l song ỏnh Phng trỡnh (3.5) ch rng àI B khụng l song ỏnh H qu l, (B) = R_ = A2 53 Vớ d 3.4.3 a) Cho X = L (0, ) v A = i trờn D (A) = W21 (0, ) Vi u D (A) v Cc (0, ), ta cú (u) dx = i (Au|) = i u = ui dx = (u|A) 0 Vi D (A) cú n Cc (0, ) hi t n W21 (0, ), vỡ vy n v An A X n T ú, (Au|) = (u|A) vi mi u, D (A), hay núi cỏch khỏc A l i xng Ta cú (iA) = { C : Re 0} vỡ vy (A) = i (iA) = { C : Im 0} Túm li, A khụng t liờn hp b) Cho X = L2 (R) v A = i vi D (A) = W21 (R) Nh phn a, ta ch rng A l i xng Vớ d 3.4.1 ch rng (A) = i (iA) = i2 R = R Do ú A t liờn hp c) Cho X = L2 (R) v A = vi D (A) = W22 (R) Vi u D (A) v Cc (R) ta cú u = (1)2 (Au|) = u = (u|A) R R Nu D (A) tn ti mt s n Cc (R) vi n v An = n = A X n Do ú (Au|) = (u|A) v A l i xng Hn na, (A) = R_ bi vớ d 3.4.2 vỡ th A l t liờn hp Vớ d 3.4.4 a) Cho U Rd l m v b chn vi U C v cho A1 = W2 (U ) W21 (U ) d vi D (A1 ) = Vi u, D (A1 ) ta cú T u = T = Theo b sau: Cho U R l b chn v m vi U C , < p < , u Wp2 (U ) , vWp2 (U ) Khi ú ta cú (u) vdx = U (v u) vd uvdx + U U uv vd U Khi ú kộo theo (A1 u|) = (u) = U u = (u|A1 ); U 54 hay núi cỏch khỏc A1 l i xng Vỡ vy A1 l t liờn hp nh lý 3.2.4 2 b) Trờn X = L (0, 1) xột A0 = vi D (A0 ) = W22 (0, 1) v A1 phn a vi U = (0, 1) Nh vớ d a ta ó thy A0 l i xng Khi A0 A1 v (A1 ) R, ta cú C\R (A0 ) Do vy, A0 khụng t liờn hp v (A0 ) = C Vớ d 3.4.5 Cho X = L2 R3 , A = vi D (A) = W22 R3 v V : D (A) X cho bi V u (x) = |x|b u (x) vi mt s b R Khi kp = > d = ta cú D (A) C0 R3 theo phộp nhỳng Sobolev Cho < S dng cỏc ta cc v vớ d 3.1.4, ta tớnh c 2 |V u| dx = b R3 B(0,) |u (x)|2 2 dx + b |x|2 r dr u r2 c b2 + c Au 2 + c u 2 |u (x)|2 dx |x| R \B(0,) 2 |u| dx c u R3 \B(0,) b2 + u 2,2 b2 + u 2 2, vi cỏc hng s c > khụng ph thuc vo u v Hn na, V l i xng trờn D (A) (V u|) = R3 b u (x) (x)dx = (u|V ) |x|2 vi mi u, D (A) Vỡ vy ta cú A + V t liờn hp nu ta ly mt > nh tựy ý 55 KT LUN Kt qu chớnh lun ó t c l - Trỡnh by mt cỏch tip cn tng quỏt v ph ca toỏn t tuyn tớnh m khụng theo cỏch i t toỏn t b chn n toỏn t khụng b chn; - Mt s cỏc tớnh cht c bn v ph ca toỏn t compact; - Mt s tớnh cht v ph ca mt s lp toỏn t khỏc; - Mt s vớ d c th v tớnh t liờn hp ca toỏn t v ph ca toỏn t tuyn tớnh Do thi gian cú hn nờn lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp v ý kin ca cỏc thy cụ cựng cỏc bn lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n ! 56 TI LIU THAM KHO Ti liu ting Vit [1] Nguyn Ph Hy(2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut [2] Hong Ty(2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni Ti liu ting Anh [3] W Arverson (2001), A Short Course on Spectrum Theory, SringerVerlag, New York [4] J.B Conway (1990), A Course in Functional Analysis, SpringerVerlag, New York [5] D.Gilbarg, N.S Trudinger (1998), Elliptic Partial Differential of Second Order, Springer-Verlag, Berlin [6] E Kowalski (2009), Spectral theory in Hilbert spaces, Lecture Note, ETH Ză urich, Switzerland [7] M Reed, B Simon (1975), Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, New York [8] R Schnaubelt (2010), Functional Analysis, Class Notes, Karlsruhe 57 [9] T Ngc Trớ (2009), Results on the number of the zero modes of the Weyl- Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University [10] D Werner (2005), Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin