Phổ của một số toán tử

Từ xây dựng ban đầu của Hilbert cùng với sự phát triển sau này củakhái niệm không gian Hilbert trừu tượng dẫn đến các vấn đề về phổ củamột toán tử chuẩn tắc trên không gian Hilbert, một

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ HỒNG HOA

PHỔ CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Bùi Thị Hồng Hoa

PHỔ CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người

đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn.Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy côgiáo trong tổ Giải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2cùng gia đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa

17 đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Bùi Thị Hồng Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫncủa TS Tạ Ngọc Trí Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứutrong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Cácthông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ tạp chí, phươngtiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Bùi Thị Hồng Hoa

MỤC LỤC

1.1 Mở đầu 7

1.2 Toán tử đóng 7

1.3 Phổ của toán tử 11

2 Phổ của toán tử compact 25 2.1 Toán tử compact 25

2.2 Luân phiên Fredholm 29

3 Tính chất về phổ của một số lớp toán tử 37 3.1 Toán tử đóng 37

3.2 Toán tử tự liên hợp 39

3.3 Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp 43

3.4 Ví dụ cụ thể 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển Giải tích hàm đã là công cụ quan trọng cho việc giảimột số các hiện tượng trong vật lý và là tiền đề để phát triển các nhánhmới của Toán học Một trong số đó là Lý thuyết phổ Mặc dù rất nhiềukết quả thuộc Lý thuyết phổ có nguồn gốc đã lâu (như các kết quả củaRiesz) song có lẽ Lý thuyết phổ (Spectral Theory) được xem như mộtnhánh nghiên cứu "riêng", chẳng hạn là một thư mục riêng trong cácbài báo tiền ấn phẩm ở đường link http://arxiv.org/archive/math chỉvài chục năm trở về đây

Từ xây dựng ban đầu của Hilbert cùng với sự phát triển sau này củakhái niệm không gian Hilbert trừu tượng dẫn đến các vấn đề về phổ củamột toán tử chuẩn tắc trên không gian Hilbert, một vấn đề trong vật

lý, lý thuyết cơ học lượng tử Có rất nhiều nhà khoa học đã bỏ công đểnghiên cứu phát triển và làm giàu thêm các kết quả trong Lý thuyết phổ,

ví dụ như có Von Newman Các kết quả đó có thể kể ra ở đây bao gồmviệc nghiên cứu sang đại số Banach theo một cách trừu tượng, hay đạidiện Gelfand trong các trường hợp giao hoán, phân tích điều hòa khônggian giao hoán và khác biệt nữa trong các phân tích Fourier (Xin thamkhảo thêm ở Wikipedia mục viết về Lý thuyết phổ )

Mặc dù ứng dụng của Lý thuyết phổ được sử dụng một cách rộngrãi trong Vật lý, song trong các chương trình đào tạo bậc cử nhân và cảthạc sĩ Toán học chưa có nhiều và sâu các nội dung về lý thuyết này Vìvậy với mong muốn tìm hiểu về Lý thuyết phổ và giúp những ai quantâm có thể có thêm kiến thức cở sở Lý thuyết phổ, với sự giúp đỡ nhiệttình của thầy TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã mạnh dạn thực hiện đề tài “ Phổ

của một số toán tử ” Tôi hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp tôi hiểuthêm hơn nữa các vấn đề cơ bản của Lý thuyết phổ, giúp tôi các thôngtin hữu ích về Tính chất phổ của một số lớp toán tử và phổ của một sốtoán tử cụ thể Đặc biệt chúng tôi mong muốn được tìm hiểu một cáchtiếp cận mà không tách ra một cách cụ thể trường hợp toán tử tuyếntính bị chặn và không bị chặn Chúng tôi cũng hy vọng từ đó luận vănnày cũng giúp những ai quan tâm hiểu thêm về một số các vấn đề cơbản trong Lý thuyết phổ, làm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu tiếptheo.

2 Mục đích nghiên cứu

+ Giới thiệu một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất về lý thuyếtphổ cho những người muốn tìm hiểu về vấn đề này

+ Một số vấn đề chung liên quan đến phổ của toán tử compact, toán

tử tự liên hợp và phổ của một số toán tử cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu cách trình bày về phổ mà không tách riêng nghiên cứutoán tử bị chặn và không bị chặn Nghiên cứu các tính chất cơ bản vềphổ của toán tử compact, toán tử tự liên hợp và một số ví dụ cụ thể vềphổ của toán tử tự liên hợp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Cách tiếp cận về phổ của toán tử tuyến tính;Phổ của toán tử compact, toán tử tự liên hợp và một số ví dụ cụ thể vềtoán tử và phổ của toán tử tự liên hợp

+ Phạm vi nghiên cứu: Tài liệu, các bài báo liên quan đến phổ củatoán tử compact, toán tử tự liên hợp

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

+ Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, phổ của toán tử

compact, toán tử tự liên hợp

6 Đóng góp mới

+ Một tài liệu trình bày một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất

về lý thuyết phổ

7 Nội dung

Luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phổ của toán tử compact

Chương 3: Tính chất về phổ của một số lớp toán tử

Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Kí hiệu X 6= {0} , Y 6= {0}, và Z 6= {0} là các không gian Banach trên

C với chuẩn k·k (hoặc k·kX) Không gian

L (X, Y ) = T : X → Y : T là tuyến tính và liên tục

được cho với chuẩn của toán tử kT k = supkxk≤1kT xk, và ta viết tắt làL(X) := L(X, Y )

Cho D(A) là một không gian con tuyến tính của X và A : D(A) → Y

là tuyến tính Khi đó A, hoặc (A, D(A)), được gọi là toán tử tuyến tính

đi từ X đến Y (và trên X nếu X = Y ) với miền xác định D(A) Ta kíhiệu

n→∞xn trên X và y = lim

n→∞Axn trên Y điều đó chỉ ra rằng

x ∈ D(A) và Ax = y

n ≤ t ≤ 1,với mỗi n ∈ N Do đó, fn → f và fn0 → f0 trong X khi n → ∞, ở đây

f (t) = t2 Tuy nhiên, supp f = [0, 1] và f /∈ D(A)

c) Cho X = Lp(Rd), 1 ≤ p ≤ ∞, và m : Rd → C là đo được Địnhnghĩa Af = mf với

D(A) = {f ∈ X : mf ∈ X} Đây là miền giá trị cực đại Khi đó A là đóng Thật vậy, cho fn → f và

Afn = mfn → g trong X khi n → ∞ Khi đó, nó là một dãy con saocho fnj(x) → f (x) và m(x)fnj(x) = g(x) x ∈ Rd, khi n → ∞ Do đó,

mf = g trên Lp Rd
và ta được f ∈ D(A) và Af = g

d) Cho X = L1([0, 1]) , Y = C, và Af = f (0) với D(A) = C ([0, 1]).Khi đó A là không đóng Thật vậy, xét các hàm fn ∈ D(A) cho bởi

Định nghĩa 1.2.3 Cho A là một toán tử tuyến tính đi từ X đến Y

Đồ thị của A được cho bởi

gr(A) = {(x, Ax) ∈ X × Y : x ∈ D(A)}

Đồ thị chuẩn của A được định nghĩa bởi kxkA = kxkX + kAxkY Ta viết[D(A)] nếu ta nhóm D(A) với k·kA

Tất nhiên, k·kA là tương đương với k·kX nếu A ∈ L(X, Y ) Ta cho

X × Y với chuẩn k(x, y)kX×Y = kxkX + kykY

Bổ đề 1.2.4 Cho một toán tử tuyến tính A đi từ X đến Y , ta có cácmệnh đề sau

1 gr(A) ⊂ X × Y là một không gian con tuyến tính

2 [D (A)] một không gian véctơ định chuẩn và A ∈ L ([D(A)] , Y )

3 A là đóng nếu và chỉ nếu gr(A) là đóng trong X × Y nếu và chỉnếu [D (A)] là một không gian Banach

4 Cho A là đơn ánh và đặt D(A−1) := R(A) Khi đó, A là đóng đi

từ X đến Y nếu và chỉ nếu A−1 là đóng đi từ Y đến X

Chứng minh Mệnh đề 1) và 2) Ta có thể kiểm tra đơn giản

3) Toán tử A là đóng nếu và chỉ nếu với mọi xn ∈ D(A), n ∈ N, và(x, y) ∈ X × Y với (xn, Axn) → (x, y) trong X × Y khi n → ∞, ta có(x, y) ∈ grA Tính chất này tương đương với tính đóng của gr(A) Từk(x, Ax)kX×Y = kxkX + kAxkY, một dãy con Cauchy hoặc một dãy conhội tụ trong gr(A) tương ứng với một Cauchy hoặc một dãy con hội

tụ trong [D (A)], tương ứng Do đó, [D (A)] là đầy đủ nếu và chỉ nếugr(A), k·kX×Y
là đầy đủ nếu và chỉ nếu gr(A) ⊂ X × Y là đóng.4)Mệnh đề 4)suy ra từ mệnh đề 3) do

gr(A−1) =  y, A−1y
: y ∈ R (A) = {(Ax, x) : x ∈ D (A)}

là đóng trong Y × X nếu và chỉ nếu gr(A) là đóng trong X × Y

Định lý 1.2.5 (Định lý đồ thị đóng) Cho X và Y là các không gianBanach và A là một toán tử đóng đi từ X đến Y Khi đó A là bị chặn(tức là, kAxk ≤ c kxk với mỗi c ≥ 0 và với mọi x ∈ D (A)) nếu và chỉnếu D(A) là đóng trong X

Nói riêng, một toán tử đóng với D(A) = X thuộc L(X, Y )

Chứng minh ” ⇐ ”: Cho D(A) là đóng trong X Khi đó D(A) là mộtkhông gian Banach cho k·kX và k·kA Do kxkX ≤ kxkA với mọi x ∈

D (A), theo hệ quả của định lý ánh xạ mở (xem ví dụ Định lý 3.17trong [8]) chỉ ra rằng một số c > 0 sao cho kAxkY ≤ kxkA ≤ ckxkX vớimọi x ∈ D(A)

” ⇒ ”: Cho A là bị chặn và lấy xn ∈ D (A) hội tụ đến x ∈ Xvới k·kX Khi đó kAxn− AxmkY ≤ ckxn− xmkX, và vậy dãy (Axn)n làCauchy trong Y Sao cho tồn tại y := lim

Chứng minh a) Cho xn ∈ D (B) , n ∈ N, và x ∈ X, y ∈ Y sao cho

xn → x trong X và Bxn = Axn + T xn → y trong Y khi n → ∞ Do T

là bị chặn, tồn tại T x = lim

n→∞T xn và vậy Axn → y − T x khi n → ∞

Do A là đóng, ta suy ra x ∈ D(A) = D(B) và Ax = y − T x , tức là

Bx = Ax + T x = y

b) Cho zn ∈ D (C) , n ∈ N, và z ∈ Z, y ∈ Y sao cho zn → z trong Z

và ASzn → y trong Y khi n → ∞ Do S là bị chặn, xn := Szn hội tụđến Sz Do Axn → y và A là đóng, ta được Sz ∈ D(A) và ASz = y, tức

kφn − φk∞ → 0 và Bfn = φ0n − φ0n = 0 → 0 khi n → ∞, nhưng f /∈

D (B)

b) Cho X = C [(0, 1)] , Af = f0 với D (A) = C1([0, 1]) và m ∈

C ([0, 1]) sao cho m = 0 trên



0, 12

 Xác định T ∈ L(X) bởi T f = mfvới mọi f ∈ X Khi đó toán tử T A với D(T A) = D(A) là không đóng

Để thấy được điều này, lấy hàm fn ∈ D (A) sao cho fn = 1 trên 1

và phổ của nó là

σ (A) = C\ρ (A)

Ta tiếp tục xác định điểm phổ của A bởi

σp(A) =λ ∈ C : tồn tại υ ∈ D (A) \ {0} , với λυ = Aυ ⊂ σ (A) ,

ở đây ta gọi λ ∈ σp(A) là giá trị riêng của A và tương ứng υ là véctơriêng hoặc hàm riêng của A Cho λ ∈ ρ (A) toán tử

R (λ, A) := (λI − A)−1 : X → X

và tập {R (λ, A) : λ ∈ ρ (A)} được gọi là giải thức

Ví dụ 1.3.2 a) Cho X = Cd và T ∈ L(X) Khi đó σ (T ) chỉ gồm cácgiá trị riêng λ1, , λm của T , ở đây m ≤ d

b) Cho X = C ([0, 1]), và Au = u0 với D (A) = C1([0, 1]) Khi đó

eλ ∈ D (A) và Aeλ = λeλ với mỗi λ ∈ C Do đó, λ ∈ σp(A) vậy σ (A) =

σp(A) = C

c) Cho X = C ([0, 1]), và Au = u0 với

D (A) = u ∈ C1([0, 1]) : u (0) = 0 Lấy λ ∈ C và f ∈ X Khi đó ta có u ∈ D(A) và (λI − A) u = f nếu vàchỉ nếu u ∈ C1([0, 1]) , u0(t) = λu (t) − f (t) , t ∈ [0, 1] , và u(0) = 0, điềunày tương dương với

u (t) = −

Z t

0

eλ(t−s)f (s) ds,với mọi 0 ≤ t ≤ 1 Do đó, σ (A) = ∅ và giải thức được cho bởi

Định lý 1.3.3 Cho A là một toán tử đóng trên X và lấy λ ∈ ρ (A) Khi đó ta có các mệnh đề sau đây.

1 AR (λ, A) = λR (λ, A) − I, AR (λ, A) x = R (λ, A) Ax với mọi

x ∈ D (A) , và

1

µ − λ (R (λ, A) − R (µ, A)) = R (λ, A) R (µ, A) = R (µ, A) R (λ, A)nếu µ ∈ ρ (A) \ {λ} Đồng nhất thức cuối được gọi là phương trình giảithức

2 Phổ σ(A) là đóng, B (λ,1/kR(λ,A)k) ⊂ ρ (A) và

3 Hàm ρ (A) → L (X, [D (A)]) , λ 7→ R (λ, A, ), là đồng nhất thứcthường khác với

 ddλ

x = (λI − A) R (λ, A) x = R (λ, A) (λI − A) x,

ở đây x ∈ X trong phương trình đầu và x ∈ D(A) trong phương trìnhhai Cho µ ∈ ρ (A) ta có

(λR (λ, A) − AR (λ, A)) R (µ, A) = R (µ, A) ,

R (λ, A) (µR (µ, A) − AR (µ, A)) = R (λ, A) Phương trình giải thức được biểu diễn bởi phép trừ và hoán vị λ và µ.2) Cho |µ − λ| ≤ δ/kR(λ,A)k với mỗi δ ∈ (0, 1) và x ∈ X với kxk ≤ 1.

ở đây ta áp dụng 1) Vậy các chuỗi trong 2) hội tụ hoàn toàn trong

L (X, [D (A)]) đều trên B (λ,δ/kR(λ,A)k) và chuẩn có thể được ước lượngbởi c (λ) (1 − δ)−1 (Xem trong [8]) Cũng sử dụng (µI − A) R (λ, A) =(µ − λ) R (λ, A) + I, ta được

n+1

R (λ, A) = d

dλ

(−1)nn!R(λ, A)n+1



Mệnh đề 1.3.4 Cho Ω ∈ Rd, m ∈ C (Ω) , X = Cb(Ω) , và Af = mfvới

D (A) = {f ∈ X : mf ∈ X} Khi đó A là đóng,

σ (A) = m (Ω),

và R (λ, A) f = 1

λ − mf với mọi λ ∈ ρ (A) và f ∈ X.

Cho một tập con đóng (compact) S ⊂ C một toán tử đóng (bị chặn)Btrên một không gian Banach với σ(B) = S

Chứng minh Lấy λ /∈ m (Ω) và g ∈ Cb(Ω) Hàm f := 1

λ − mg thuộc

Cb(Ω) và λf − mf = g vì vậy mf = λf − g ∈ Cb(Ω) Vậy f ∈ D(A)

và f là nghiệm duy nhất trong D(A) của phương trình λf − Af = g.Nghĩa là λ ∈ ρ (A) và R (λ, A) g = 1

λ − mg.

Trong trường hợp đó λ = m(z) với một số z ∈ Ω, ta được

((λI − A) f ) (z) = λf (z) − m (z) f (z) = 0với mỗi f ∈ D(A) Kết quả, λI − A không là toàn ánh và vậy λ ∈ σ(A)

Ta kết luận σ (A) = m (Ω) có phổ là đóng

Mệnh đề cuối được suy ra từ Ví dụ 1.3.2c) nếu S = ∅ Mặt khác, xét

Ω = S Xác định A và X như trên Khi đó, σ(A) = S và A là bị chặnnếu S là compact (ở đây Cb(S) = C (S))

Ví dụ 1.3.5 Cho X = C0(R+) = {f ∈ C (R+) : limt→∞f (t) = 0} vớichuẩn cận trên đúng và Af = f0 với

D (A) = C01(R+) = f ∈ C1

(R+) : f, f0 ∈ X Theo ví dụ 1.2.2 ta thấy rằng A là đóng Cho λ ∈ C với Re λ > 0

và f ∈ X Khi đó, ta có u ∈ D (A) và λu − Au = f nếu chỉ nếu

u ∈ X ∩ C1(R+) và u0(t) = λu (t) − f (t) với mọi t ≥ 0 Phương trìnhnày được giải duy nhất bởi

u (t) =

Z ∞

t

eλ(t−s)f (s) ds := (Rλf ) (t) ,

eλ là một hàm riêng với giá trị riêng λ và {λ ∈ C : Re λ < 0} ⊂ σ (A)

Do σ (A) là đóng, ta suy ra

{λ ∈ C : Re λ ≤ 0} = σ (A) Định lý 1.3.6 Cho T ∈ L(X) Khi đó σ(T ) là một tập compact khácrỗng Bán kính phổ r (T ) := max {|λ| : λ ∈ σ (T )} được cho bởi

k với mọi n, m ∈ N, (theo Bổ

đề VI.1.4 trong [10]) chỉ ra rằng tồn tại

lim

n→∞kTnkn1 = inf

n∈NkTnkn1 := r ≤ kT k Nếu |λ| > r, thì

λmΦ (R (λ, T ))dλ

Do fΦ là giải tích, tích phân này không phụ thuộc vào s > r(T ) do làtích phân phức Vậy ta chọn một mômen s > r và sử dụng chuỗi hội tụđều của 1) suy ra

với mọi λ ∈ C và Φ ∈ L (X∗) Áp dụng định lý Hahn-Banach (xem ví

dụ của định lý 2.9 trong [8]), ta có R(λ, T ) = 0, điều này không xảy rakhi R(λ, T ) là đơn ánh và X 6= {0}

Ví dụ 1.3.7 a) Cho X = C ([0, 1]) và xác định toán tử Volterra V trên

σ (L) ⊂ B (0, 1) Mặt khác, L (1, 0, ) = 0, và cho |λ| < 1 dãy υ =(λn)n∈N thuộc X và thỏa mãn λυ = Lυ sao cho B (0, 1) ⊂ σp(L) ⊂

σ (L) Theo tính đóng của σ(L) ta có σ (L) = B (0, 1) Chú ý rằng

σp(L) = B (0, 1) nếu X = `∞, nhưng σp(L) = B (0, 1) trong trường hợpkhác

Định nghĩa 1.3.8 Cho A là một toán tử bị đóng trên X Khi đó ta gọi

σap(A) = λ ∈ C : tồn tại xn ∈ D (A) với kxnk = 1với mọi n ∈ N,

(Chú ý rằng các hợp không cần rời nhau.)

Chứng minh 1) Ta có λ /∈ σap(A) nếu và chỉ nếu c > 0 sao cho

k(λI − A) xk ≥ c kxkvới mọi x ∈ D(A) Kéo theo ước lượng dưới là λ /∈ σp(A) Mặt khác,nếu yn = λxn − Axn → y trong X khi n → ∞ với mỗi xn ∈ D (A),khi đó ta có (xn) là Cauchy trong X, vì vậy xn hội tụ đến x ∈ X Do

đó, Axn = λxn − yn → λx − y và tính đóng của A tại x ∈ D(A) và

3) Cho λ ∈ ∂σ (A) Khi đó tồn tại λn ∈ ρ (A) với λn → λ khi n → ∞.Theo định lý 1.3.3(4), kR (λn, A)k → ∞ khi n → ∞ và do đó ta có

yn ∈ X sao cho kynk = 1 với mọi n ∈ N và an := kR (λn, A) ynk →

∞ khi n → ∞, ở đây ta có thể giả sử an > 0 với mọi n ∈ N Tập

1 σ (R (λ, A)) \ {0} = (λ − σ (A))−1 =

1

λ − µ : µ ∈ σ (A)



2 σj(R (λ, A)) \ {0} = (λ − σj (A))−1, j = p, ap, r

3 Nếu x là một véctơ riêng cho giá trị riêng µ 6= 0 của R (λ, A), khi

đó y = µR (λ, A) x là một véctơ riêng cho giá trị riêng ν = λ − 1

λI − A

Ví dụ 1.3.11 a) Cho X = Lp(R) , 1 ≤ p ≤ ∞, và phép tịnh tiến

T (t) được cho bởi (T (t) f ) (s) = f (s + t) cho s ∈ R, f ∈ X, và

t ∈ R Từ ví dụ 3.8 trong [8], ta có T (t) là phép đẳng cự trên Xvới nghịch đảo (T (t))−1 = T (−t) với mỗi t ∈ R Theo định lý 1.3.6

ta có σ (T (t)) ⊂ B (0, 1) Theo mệnh đề 1.3.10 ta có σ(T (t))−1 =σ



T (t)−1



= σ (T (−t)) ⊂ B (0, 1) vì vậy σ (T (t)) ⊂ ∂B (0, 1) vớimọi t ∈ R Cố định t 6= 0 Với mỗi λ ∈ iR, hàm eλ ∈ iR thuộc

Cb(R) ⊂ L∞(R) và

(T (t) eλ) (s) = eλ(s+t) = eλteλ(s)với mọi s ∈ R Do đó, σ (T (t)) = σp(T (t)) = ∂B (0, 1) cho p = ∞.Nếu p ∈ [1, ∞), ta sử dụng eλ để dựng một hàm riêng xấp xỉ Với

n ∈ N tập fn = n−1p 1[0,n]eλ Khi đó ta có kfnkp = n−1p k1[0,n]kp = 1 và

kT (t) fn − eλtfnkp = n−1p keλt 1[−t,n−t] − 1[0,n]
kp = n−1p |2t|−1p → 0,khi n → ∞ Kết quả là, σ (T (t)) = ∂B (0, 1) nếu t 6= 0

b) Lấy X = C0(R) và Au = u0 với

D (A) = C01(R) := f ∈ C1(R) : f, f0 ∈ C0(R) Theo ví dụ 1.3.5 ta thấy λ ∈ ρ (A) nếu Re λ 6= 0 và

Định nghĩa 1.3.12 Cho A là một toán tử tuyến tính từ X đến Y vớimiền xác định trù mật Ta định nghĩa liên hợp của nó A∗ đi từ Y∗ đến

X∗ được thiết lập bởi

D (A∗) = {y∗ ∈ Y∗; ∃z∗ ∈ X∗∀x ∈ D (A) : hAx, y∗i = hx, z∗i} ,

A∗y∗ = z∗.

Ta thấy rằng

hAx, y∗i = hx, A∗y∗ivới mọi x ∈ D(A) và y∗ ∈ D (A∗)

Nhận xét 1.3.13 Cho A là tuyến tính đi từ X đến Y với D (A) = X.a) Do D(A) là trù mật, có ít nhất một véctơ z∗ = A∗y∗ theo địnhnghĩa 1.2.12 vì vậy A∗ : D (A∗) → X∗ là một ánh xạ Rõ ràng A∗ làtuyến tính Nếu A ∈ L (X, Y ), khi đó theo định nghĩa 1.3.12 trùng vớiđịnh nghĩa của A∗ trong §4.4 của [8], ở đây D (A∗) = Y∗

b) Toán tử A∗ là đóng đi từ Y∗ đến X∗

Chứng minh Cho y∗n ∈ D (A∗) , y∗ ∈ Y∗, và z∗ ∈ X∗ sao cho y∗n → y∗trong Y∗ và zn∗ := A∗yn∗ → z∗ trong X∗ khi n → ∞ Lấy x ∈ D(A) Khiđó

2 σ (A) = σ (A∗) và R(λ, A)∗ = R (λ, A∗) với mỗi λ ∈ ρ (A)

Chứng minh 1) Từ Hệ quả của định lý Hahn-Banach (xem ví dụ mệnh

đề 4.11 trong [8]), tập (λI − A) D (A) không trù mật trong X nếu và

chỉ nếu có một véctơ y∗ ∈ X∗\ {0} sao cho hλx − Ax, y∗i = 0 với mỗi

x ∈ D(A) Điều này tương đương với đẳng thức hAx, y∗i = hx, λy∗i vớimỗi x ∈ D(A), điều này có nghĩa là y∗ ∈ D (A∗) \ {0} và A∗y∗ = λy∗ tức

hx, R(λ, A)∗(λI − A∗) x∗i = hR (λ, A) x, (λI − A∗) x∗i

= h(λI − A) R (λ, A) x, x∗i = hx, x∗i ,theo định nghĩa 1.3.12 và R (λ, A) x thuộc D(A)

Do đó, R(λ, A)∗(λI − A∗) x∗ = x∗ sao cho λI − A∗ cũng là đơn ánh.Khi đó tồn tại R (λ, A∗) = R(λ, A)∗

Kết quả, cho λ ∈ ρ (A∗) Lấy x ∈ D(A) Với mỗi x∗ ∈ X∗, ta tínhđược

h(λI − A) x, R (λ, A∗) x∗i = hx, (λI − A∗) R (λ, A∗) x∗i = hx, x∗i Theo hệ quả của định lý Hahn-Banach (xem ví dụ Hệ quả 4.9 trong [8]),

Hơn nữa, σr(R) = σp(L) = B (0, 1) nếu X = c0 hoặc X = `p với

1 < p < ∞ và σr(R) = σp(L) = B (0, 1) nếu X = `1 Nếu X = `∞, thì

R = L∗ cho L trên `1 vì vậy σ (R) = B (0, 1)

Cho A là một toán tử tuyến tính Khi đó B là một toán tử tuyếntính đi từ X đến Y được gọi là A-bị chặn nếu D (A) ⊂ D (B) và B ∈

L ([D (A)] , Y )

Trong chương 1 chúng ta đã được biết sơ lược tổng quát về lý thuyếtphổ, tiếp đến trong chương 2 chúng ta sẽ đi tìm hiểu về phổ của toán tửcompact

Chương 2PHỔ CỦA TOÁN TỬ COMPACT

Một số kiến thức cơ bản cần dùng trong khóa luận đã được trình bàytrong chương 1, tiếp theo ta đi tìm hiểu một số khái niệm và tính chất

cơ bản của toán tử compact, sau đó trình bày một số kết quả cơ bản vềphổ của toán tử compact Nội dung chương này được trích dẫn từ cáctài liệu [6], [8],[10]

2.1 Toán tử compact

Một tập con khác rỗng B ⊂ X được gọi là compact tương đối nếu baođóng của nó là compact trong X Ta sẽ sử dụng tính chất nếu và chỉnếu mỗi dãy trong B đều có một dãy con hội tụ (giới hạn trong B).Trên thực tế sự cần thiết của các điều kiện sau là rõ ràng Kết quả, tathừa nhận rằng mỗi dãy trong B đều có một dãy con hội tụ Lấy (xn)

là một dãy trong B Khi đó, với mỗi n ∈ N thì tồn tại một yn ∈ B với

Nhận xét 2.1.2 a) Nếu T là compact, thì T B (0, 1) là bị chặn và saocho T là bị chặn; tức là L0(X, Y ) ⊆ L (X, Y )

b) Cho T : X → Y là tuyến tính Khi đó ta có các mệnh đề sau làtương đương:

đó, T B là compact Suy ra (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i)

c) Không gian của các toán tử có hạng hữu hạn được xác định bởi

L00(X, Y ) = {T ∈ L (X, Y ) : dim T X < ∞} Theo định lý Heine Borel ta có L00(X, Y ) ⊆ L0(X, Y )

d) Xác định I : X → X là compact nếu và chỉ nếu B (0, 1) là compactnếu và chỉ nếu dim X < ∞ (xem ví dụ Định lý 1.40 trong [8])

Mệnh đề 2.1.3 L0(X, Y ) là một không gian con tuyến tính đóng của

L (X, Y ) Lấy T ∈ L (X, Y ) và S ∈ L (Y, Z) Nếu một trong các toán tử

T hoặc S là compact, thì ST là compact

Chứng minh Lấy xk ∈ X, k ∈ N, thỏa mãn supk∈Nkxkk := c < ∞.a) Cho T, R ∈ L0(X, Y ) là compact Nếu α ∈ C, thì αT cũngcompact Mặt khác, tồn tại một dãy con hội tụ (T xkj)j Do (xkj)j bịchặn, có dãy con hội tụ là (Rxkjl)l Do đó, ((T + R) xkjl)l hội tụ và vậy

T + R ∈ L0(X, Y )

b) Cho Tn ∈ L0(X, Y ) hội tụ trong L (X, Y ) đến T ∈ L (X, Y ) khi

n → ∞ Do T1 là compact, có một dãy con hội tụ là (T1xν1(j))j Vì

kxν1(j)k ≤ c với mọi j, khi đó tồn tại một dãy con ν2 ⊆ ν1 sao cho(T2xν2(j))j hội tụ Chú ý rằng (T1xν2(j))j hội tụ Tương tự, ta được cácdãy con νl ⊆ νl−1 sao cho (Tnxνl(j))j hội tụ với mọi l ≥ n

Tập um = xνm(m) Do đó, (Tnum)m hội tụ khi m → ∞ với mỗi n ∈ N.Lấy ε > 0 Cố định N = Nε ∈ N sao cho kTN − T k ≤ ε Lấy M ≥ m ≥

c) Lấy S ∈ L0(X, Y ) Do (T xk)k là bị chặn, nó có một dãy con hội

tụ (ST xkj)j, sao cho ST là compact

Nếu T ∈ L0(X, Y ), khi đó có một dãy con hội tụ (T xkj)j và ST xkj

hội tụ Vậy ST là compact