Như chúng ta đã chỉ ra trong mục 3.2, khung đối ngẫu được xác định bởi
g
53
ở đó F∗F = X m,n
hf, ψm,niψm,n. Chúng ta có công thức rõ ràng cho nghịch đảo của F∗F với tốc độ hội tụ nhanh theo hàm mũ, nghĩa là, như ∞ X n=0 αn, với α tỉ lệ với B A −1 . Vì vậy việc chọn các cận khung A, B là gần nhau là hữu ích. Tuy nhiên về mặt nguyên lý (3.23) yêu cầu tính một số vô hạn các ψgm,n. Tình huống không đến nỗi quá xấu như vậy.
Nếu chúng ta dùng ký hiệu
(Dmf) (x) =a−
m
2
0 f a−0mx, (Tnf) (x) = f (x−nb0)
thì dễ kiểm tra rằng, với mọi f ∈ L2(R), F∗F Dmf = DmF∗F f
Từ đó suy ra rằng (F∗F)−1 và Dm cũng giao hoán. Đặc biệt do ψm,n = DmTnψ, g ψm,n = (F∗F)−1DmTnψ = Dm(F∗F)−1Tnψ hay g ψm,n(x) =a− m 2 0 ψg0,n a−0mx
Không may thay,F∗F và Tn không giao hoán, vì vậy về mặt nguyên lý chúng ta vẫn phải tính, vô hạn ψg0,n. Trong thực tế, ta chỉ quan tâm tới các tính toán trên miền hữu hạn các thang bậc; trên đó F∗F có thể xấp xỉ một cách hợp lý bởi m1 X m=m0 X n∈Z h·, ψm,niψm,n.Nếu am1−m0 0 là một số nguyên, N = am1−m0
0 , thì dễ kiểm tra rằng mô hình cắt cụt này của F∗F giao hoán với TN, vì vậy trong trường hợp này chỉ phải tính N phần tử ψg0,n, 0 ≤ n ≤ N −1. Tuy nhiên số này vẫn là rất lớn trong nhiều trường hợp thực hành. Vì vậy nó là đặc biệt thuận lợi để làm việc với các khung hầu như chặt, nghĩa là B
công thức khôi phục (3.15), để tránh tất cả những rắc rối với khung đối ngẫu, và vẫn có được sự khôi phục tốt của hàm f bất kỳ. Mặt khác, tồnn tại những cách chọn rất đặc biệt của ψ, a0, b0 sao cho ψm,n không gần với một khung chặt, nhưng tất cả các hàm ψgm,n
được tạo thành từ một hàm duy nhất
g ψm,n(x) =ψem,n(x) = a− m 2 0 ψ ae −0mx−n (3.32) Chúng ta nhận xét rằng ψm,n và ψgm,n có rất nhiều tính chất chính quy khác nhau. Ví dụ như, tồn tại các khung ở đó ψ là C∞ và triệt tiêu nhanh hơn bất kỳ một hàm đa thức nghịch đảo nào nhưng một vài ψgm,n không thuộc Lp với p nhỏ (suy ra rằng chúng triệt tiêu rất chậm).