Chuỗi fourier và phép biến đổi fourier

Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùanhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong vàbiet ơn... M¾c dù trưóc Fourier, Euler đã đưa ra kháini

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành dưói sn dưói sn hưóng dan nhi¾t tình, chuđáo cna TS Tran Văn Vuông Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cnamình đen TS Tran văn Vuông Trong quá trình hoc t¾p và hoàn thànhlu¾n văn tác giá nh¾n đưoc sn quan tâm giúp đõ rat nhieu tù khoa Toán,phòng SĐH, trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i 2 Tác giá xin trân trongcám ơn sn giúp đõ quý báu đó

Bên canh đó, tác giá cũng xin trân trong cám ơn phòng GD-ĐT GiaBình, Trưòng THCS Th% Tran huy¾n Gia Bình, phòng GD-ĐT thànhpho Bac Ninh, trưòng THCS Nguyen Đăng Đao tính Bac Ninh, ban bèđong nghi¾p và ngưòi thân đã đ®ng viên và tao đieu ki¾n thu¾n loi trongsuot quá trình nghiên cúu và hoc t¾p đe hoàn thành lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói

sn hưóng dan cna TS Tran Văn Vuông

Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùanhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong vàbiet ơn

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

2

Mnc lnc

1.1

Không gian L p . 7

1.1.1 Các đ%nh lí quan trong cna lý thuyet tích phân 7 1.1.2 Không gian L p , 1 ≤ p ≤ ∞ 8

1.1.3 Tích ch¾p 10

1.2 V ài đ %nh lý v e không gian Banach và không gian Hilbert 11

1.2.1 Đ%nh lý ánh xa mó và đ%nh lý Lax - Milgram 11

1.2.2 trncH¾ giao, trnc c huan trong không gian Hilbert 13

1.2.3 Tính đay đn cna m®t h¾ trnc giao, trnc chuan 14 1.3 M®t so đ%nh lý giái tích 15 1.4 Tích phân Dirichlet 15

Ch ương 2 CHUOI FOURIER 18

2.1 Chuoi Fourier 18

2.2 Sn h®i tu 19

2.3 Chuoi cosin, c h uoi sin 21

2.4 Sn h®i tu đeu 22

2.5 Đ%nh lý Fejér 26

2.6 Sn h®i tu trong L2 30

2.7 Chuoi Fourier dang phúc, đang thúc Parseval 35

2.8 Chuoi Fourier cna hàm trong L p (−π, π) 37

2.9 Chuoi Fourier kép 41

Chương 3 PHÉP BIEN ĐOI FOURIER 46 3.1 Tíc h phân F ourier 46

3.2 Phép bien đoi Fourier 49

3.3 Các tính chat cna phép bien đoi Fourier 56

3.4 Phép bien đoi Fourier trong L P (R), 1 < p ≤ 2 61

3.5 Hàm Cardinal 65

3.6 Ví du áp dung phương trình truyen nhi¾t 67

3.7 Chuoi Fourier ròi rac, phép bien đoi Fourier ròi rac 68

3.8 Tính chat cna phép bien đoi Fourier ròi rac 71

3.9 Th u¾t toán FFT (Fast F ourier T ransform) 72

Ket lu¾n 76

T ài li¾u tham kháo 77

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Có the nói trong so nhung bien đoi tích phân pho bien nhat thì bienđoi Fourier ra đòi trưóc tiên M¾c dù trưóc Fourier, Euler đã đưa ra kháini¾m khai trien m®t hàm so thành chuoi hàm lưong giác, song lí thuyetnày chưa đưoc hoàn chính Fourier đã viet xong công trình ve bien đoiFourier vào năm 1807 nhưng do sn hoài nghi cna các nhà toán hoc thòibay giò nên đen năm 1815 công trình cna Fourier mói đưoc công bo Sau

đó công trình tiep tuc đưoc Drichlet và Riemann bo sung và hoàn chính

Lý thuyet ve chuoi Fourier còn nh¾n đưoc nhieu sn đóng góp cna nhieunhà toán hoc như: Heine, Lipschitz,

Ngày nay, nhung chuyên gia ve xú lí tín hi¾u so là nhung ngưòihieu hơn ai het vai trò quan trong cna chuoi Fourier và phép bien đoiFourier Có the nói rang hau het các thiet b% đi¾n tú liên quan đenhình ánh và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đeu chúa các “conchíp” làm nhi¾m vu chuyen đoi các h¾ so Fourier thành hàm so (tínhi¾u so) và đôi khi kiêm luôn chúc năng “khú nhieu” hay “hi¾u chínhtín hi¾u” dna trên các phép bien đoi Fourier Ngoài ra phép bien đoiFourier còn có nhieu úng dung quan trong các lĩnh vnc so hoc, xácsuat, quang hoc, hình hoc và nhieu lĩnh vnc khác Do tam quan trongnhư v¾y cna chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier, vói mong muontìm hieu sâu hơn nua ve chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier, tôi đãchon đe tài

“Chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier”

đe nghiên cúu

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu ve khái ni¾m, m®t so tính chat và m®t so úng dung cnachuoi Fourier và bien đoi Fourier

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu chuoi Fourier, sn h®i tu Chuoi Fourier dưói dang phúc Nghiên cúu chuoi Fourier kép, m®t so úng dung

Nghiên cúu phép bien đoi Fourier và các tính chat

Nghiên cúu m®t so úng dung cna phép bien đoi Fourier

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier

5 Phương pháp nghiên cNu

- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo

- Phân tích, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu

6 DN kien đóng góp mái

Đây là bài tong quan ve chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier Giúpngưòi đoc không chí hieu rõ hơn ve các tính chat cna nó mà còn thaychuoi Fourier và phép bien đoi Fourier có the áp dung cho các bài toándao đ®ng, phương trình truyen nhi¾t cna v¾t lý, lý thuyet thông tin,

6

Chương 1 NHUNG KIEN THÚC CHUAN B±

1.1. Không gian Lp

Đ%nh lý 1.1 Cho (f n ) là dãy tăng các hàm khá tích Lesbesgue trên

t¾p Ω ⊂ R N sao cho supn ¸ f n (∞ Khi đó, f n h®i tn hau khap nơi trên

Ω ve m®t hàm f khá tích trên Ω và "fn − f"1 ≡ ¸Ω |f n(x) − f (x)|dx

→ 0 khi n → ∞.

Giá sú

b ton tai hàm g khá tích sao cho vói moi n, |f (x)| ≤ g(x) hau khap nơi trên Ω.

Khi đó f khá tích và "f n − f"1 ≡ ¸Ω |f n (x) − f (x)| dx → 0 khi n →

∞.

H¾ quá 1.1 Cho f là hàm đo đưoc và g là hàm khá tích trên Ω Ta

có: Neu |f n(x)| ≤ g(x) hau khap nơi trên Ω thì f khá tích trên Ω.

Suy ra rang: Neu |f | khá tích thì f khá tích và ngưoc lai.

Bo đe 1.1 Giá sú (fn ) là m®t dãy các hàm khá tích sao cho

a f n ≥ 0 hau khap nơi trên Ω, ∀n.

Ω 2 |F (x, y)| dy < ∞ Khi đó, F khá tích trên Ω1 × Ω2.

Đ%nh lý 1.4 Cho F khá tích trên Ω1 × Ω2 Khi đó vói hau het x thu®c

L p (Ω) = { f : Ω → R (ho¾c C); f đo đưoc và |f | p khá tích),

L ∞ (Ω) = { f : Ω → R (ho¾c C); f đo đưoc và ∃C, |f (x)| ≤ C hau

|f (x)| ≤ ||f || ∞ hau khap nơi vói x ∈ Ω.

Đ%nh lý 1.5 (Bat đang thúc Holder) Cho f ∈ L p và g ∈ L pr vói

Dna vào bat đang thúc Holder ta chúng minh đưoc

Đ%nh lý 1.6 L p là m®t không gian vectơ và "." p là m®t chuan vói

1 ≤ p ≤ ∞.

Đ%nh lý 1.7 (Fischer-Riez).

a L p là không gian Banach vói 1 ≤ p ≤ ∞.

b Giá sú (f n ) là dãy h®i tn ve f trong không gian L p ( 1 ≤ p ≤ ∞) nghĩa

là "f n − f" p → 0.The thì dãy con (f n k )k =1,2, sao cho

f n k (x) → f (x) hau khap nơi

∀k, |f n k (x)| ≤ h(x) hau khap nơi, vói h là m®t hàm trong L

Vói Ω là t¾p mó trong R, ta ký hi¾u Ck(Ω) là không gian các hàm so

khá vi liên tuc đen cap k và C ∞ (Ω) = ∩ ∞ C k (Ω) Còn C c(Ω) là

không

p

1

gian các hàm so f liên tuc trên Ω sao cho giá (support) cna f , túc là

t¾p hop supp f = {x ∈ Ω; f (x) ƒ= 0} là compact chúa trong Ω.

là khoáng vô han ho¾c huu han cúa R, thì ta có

a

f ∗ g xác đ%nh bói (f ∗ g) (x) = ¸RN f (x − y)g(y)dy, vói giá thiet tích phân ó trên ton tai, đưoc goi là tích ch¾p cna f và g.

1.2 Vài đ%nh lý ve không gian Banach và

không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho X và Y là hai không gian đ%nh chuan và A là ánh

xa tuyen tính tù X vào Y Ta đ%nh nghĩa "A" = sup {"Ax" : x ∈ X, "x" ≤

1}

Ánh xa A đưoc goi là b% ch¾n neu "A" < ∞.

Tính chat 1.1 Vói m®t ánh xa tuyen tính A tù không gian đ%nh chuan

X vào không gian đ%nh chuan Y , các đieu ki¾n sau là tương đương

a A b% ch¾n.

b A liên tnc.

c A liên tnc tai m®t điem nào đó.

Đ%nh lý 1.11 Cho A là m®t toàn ánh tù X lên Y và giá sú A tuyen

tính, b% ch¾n Khi đó A(U) là mó trong Y , Vói U là t¾p mó bat kỳ trong

X.

Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian vectơ (thnc ho¾c phúc) H đưoc goi là

không gian có tích trong neu moi c¾p thú tn (x, y) trong H × H

đưoc

liên ket vói m®t so (thnc ho¾c phúc), cũng đưoc ký hi¾u là (x, y),

sao cho

(a) (y, x) = (x, y), dau gach ký hi¾u cho liên hop phúc.

(b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z trong H.

(c) (αx, y) = α(x, y)∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R (ho¾c C neu H là không gian

vectơ phúc)

(d) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H

(e) (x, x) = 0 neu chí neu x = 0.

Khi đó, (., ) đưoc goi là tích trong (tích vô hưóng) hay dang Hermite

Tính chat 1.2 Cho H là không gian vectơ vói tích trong (.,.) Thì vói

moi x, y trong H Ta có

a Bat đang thúc Schwartz

|(x, y)| ≤ (x, x).(y, y).

b Bat đang thúc Minkovski

(x + y, x + y) 1/2 ≤ (x, x) 1/2 + (y, y) 1/2

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho H là không gian vectơ vói tích trong (.,.) Tù

tính chat trên ta có (H, "." ) là m®t không gian đ%nh chuan, trong

Ta nói H là không gian Hilbert neu H đay đn vói chuan

H → Φ (Φ = R ho¾c C) là dang song tuyen tính liên tnc trên H, nghĩa là co đ%nh m®t bien thì a tuyen tính theo bien còn lai và

|a(u, v)| ≤ M "u" "v" , ∀u, v ∈ H.

Giá sú a cưõng búc trên H nghĩa là có so α)0 sao cho

α (u, u) ≥ α"u

2

, ∀u ∈ H.

Khi đó, vói moi phiem hàm tuyen tính liên tnc l : H → Φ, ton tai duy

nhat m®t u l ∈ H, phn thu®c liên tnc vào l, thóa mãn

a (ul , v ) = (l, v) ∀v ∈ H.

2

"

1.2.2 H¾ trNc giao, trNc chuan trong không gian Hilbert

Hai vectơ x và y trong không gian Hilbert H đưoc goi là trnc giao

neu (x, y) = 0, và ta viet x⊥y Ký hi¾u x ⊥ là t¾p hop các vectơ

trong H trnc giao vói x Tương tn, cho t¾p A ⊂ H, A ⊥ chí t¾p hop

các vectơ trong H vuông góc vói moi vectơ trong A.

Ho vectơ (v α)α∈A trong không gian Hilbert H, vói A là t¾p “chí so” bat

kỳ, đưoc goi là h¾ (ho) trnc giao neu ho này không chúa vectơ 0 ∈ H

= .

"v i "

(b) Cho (v i) i =1,n là ho trnc chuan gom n vectơ, (ti) i =1,n là n so thnc (hay

cơ só đay đn) nghĩa là vói moi x trong H ta có đang thúc Parseval sau

Hilbert H Ta có các đieu ki¾n sau là tương đương:

(a) (v α)α∈A là h¾ đay đú.

(b) (v α)α∈A là h¾ trnc chuan toi đai trong H, nghĩa là không có h¾ trnc chuan nào trong H r®ng hơn chúa (v α)α∈A ngoai trù chính nó.

(c) Không gian vectơ sinh bói h¾ (v α) α∈A , túc là không gian gom tat cá các to hop tuyen tính cúa m®t so huu han vectơ trong h¾ (v α)α∈A , là trù m¾t trong H.

1.3 M®t so đ%nh lý giái tích

Đ%nh lý 1.15 (Stone - Weierstrass) Cho m®t hàm so f liên tnc

trên đoan đóng b% ch¾n [a, b], thì có m®t dãy đa thúc h®i tn đeu trên [a, b] ve f.

(phúc) giái tích trên mien Ωn sao cho dãy (fn) h®i tn tùng điem trên

mien Ω ve m®t hàm f và h®i tn đeu trên moi t¾p compact cúa Ω Khi

đó f giái

tích trên Ω Hơn nua, f

r h®i tn đeu tói f r trên moi t¾p con compact

cúa

Ω.

Đ%nh lý 1.17 Cho f là hàm thnc đơn đi¾u trên [a, b] và g là hàm thnc

liên tnc trên [a, b] Khi đó, ton tai điem x ∈ [a, b] sao cho

x

g (t)dt.

1.4 Tích phân Dirichlet

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho f là hàm so (thnc hay phúc) xác đ%nh trên [a,

b ] Giá sú P = {x0, x1, , x n } là m®t phân hoach cna [a, b], nghĩa là

[a, b] Ta goi V (f ) là bien phân toàn phan cna f trên [a, b] Hàm f

goi là có bien phân b% ch¾n trên [a, b] neu V (f ) < +∞

n

Tính chat 1.3 Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác đ%nh trên [a, b].

b ] Hơn nua, neu f liên tnc thì p, q cũng liên tnc.

Bo đe 1.2 (tích phân Dirichlet) Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác

đ%nh trên (a, b) thóa mãn m®t trong hai đieu kiên Dirichlet sau đây

(i) ton tai f (a+), f (b − ) và f có bien phân b% ch¾n trên [a, b], (ta xem

như f xác đ%nh trên [a, b] vói giá tr% tai biên là f (a+)và f (b − )).

(ii) Có huu han điem thu®c đoan [a, b] sao cho khi bó đi các lân c¾n bé tùy ý cúa nhung điem này thì f có bien phân b% ch¾n trên các phan còn lai cúa đoan [a, b]; hơn nua f ∈ L1(a, b) Khi đó, ta có

sin

µx x

khúc trên các đoan còn lai, thêm vào đó f ∈ L1(a, b) thì f thóa mãn

đieu ki¾n Dirichlet (ii)

Chương 2 CHUOI FOURIER

2.1 Chuoi Fourier

Vói hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khá tích Lebesgue trên [−π, π],

ta đ%nh nghĩa chuoi Fourier cna f là chuoi hàm lưong giác như sau ∞

Neu f là hàm tuan hoàn chu kỳ 2l, bang phép đoi bien t = πx/l, ta

đưa ve trưòng hop tuan hoàn chu kỳ 2π

Ta thay rang vì f ∈ L1[−π, π] nên các tích phân trong (2.2) ton tai.

2.2 SN h®i tn

Dirichlet trong (−π, π) thì chuoi Fourier cúa f se h®i tn ve f (x)

neu

x là điem gián đoan thông thưòng, h®i tn ve

x = ±π neu f (−π+) và f (π − ) ton tai.

=

Ta có

+2

f (x t ) [1 + 2(cos x t cos x + sin x t sin x)+

· · · + 2(cos nx t cos nx + sin nx t sin nx)]dx t

dx t

1 ¸ π+

2

lan lưot trong tích phân thú nhat và

tích phân thú hai cna đang thúc trên, ta đưoc

22

2 2

sin(2n + 1)α

sin(2n + 1)α

dα

+ 1 ¸

π

f (π − 2α)

Vói x = −π, chúng minh tương tn.

CHÚ THÍCH Có nhung hàm f liên tuc trên [−π, π] mà tai nhung

điem nào đó thu®c đoan [−π, π], chuoi fourier cna f không h®i tu

Van đe khôi phuc hàm f trong trưòng hop đó se đưoc xét ó muc 2.5.

−

2.3 Chuoi cosin, chuoi sin

Cho f ∈ L1 [0, π] và thoá mãn đieu ki¾n Dirichlet trên (0, π) Ta đ

%nh nghĩa f trên (−π, 0) bang công thúc f (x) = f (−x).

Khi đó, f ∈ L1 [−π, π], và thoá mãn đieu ki¾n Dirichlet trên (−π, π),

vì v¾y có the áp dung ket quá phan trên Ngoài ra, do f là hàm chan

f (π − ) tai x = π neu f (π − ) ton tai.

Đ%nh lý 2.3 Cho f ∈ L1 [0, π] và thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet

2.4 SN h®i tn đeu

mãn đieu ki¾n Dirichlet trên (−π, π) Giá sú f liên tnc trên khoáng (u, v) ⊂ (−π, π) Khi đó, chuoi Fourier cúa f h®i tn đeu ve f trên

m®t đoan bat kỳ [a, b] ⊂ (u, v).

Chúng minh Trưóc het, ta thác trien f thành m®t hàm xác đ%nh trên

R, tuan hoàn chu kỳ 2π bang công thúc f (x + 2π) = f (x) Khi

đó, trong bat kỳ đoan nào, ví du đoan [−2π, 2π] , f đưoc bieu dien dưói dang f = F − G, vói F và G là các hàm b% ch¾n, không

âm, đơn đi¾u tăng Ngoài ra, F và G liên tuc tai các điem mà f liên

tuc

Đe chúng minh sn h®i tu đeu, cho trưóc so ε > 0 bat kỳ, ta se tìm

đưoc so n0 ∈ N sao cho vói moi n > n0, bat đang thúc | S n (x) − f (x)| < ε đúng cho ∀x ∈ [a, b].

Th¾t v¾y, vói moi x ∈ [a, b], ta có

thú hai và tính tuan hoàn chu kỳ 2π cna f trong tích phân thú ba Do

f = F − G, tách c¾n tích phân và đoi bien ta đưoc

1 ¸ π/2

sin (2n + 1) α

π 0

1 ¸ π/2+

sin α

F (x − 2α)

vói moi x ∈ [−2π, 2π] và moi y ≥ 0.

Tiep theo, ta chon hai so c, d co đ%nh thoá mãn u < c < a < b < d < v.

α

Do F và G liên tuc đeu trên [c, d] nên ta có so µ ∈ (0, π/2) sao cho

(x t )| <

ε

(2.7)8

C

Sau đây, ta xét so hang đau tiên bên ve phái cna (2.6) Ta có

¸ π/2

sin(2n + 1)α

sin(2 n + 1)

α sin α

tăng trên m®t đoan tuỳ ý, và hàm α ›→ α/ sin α cũng b% ch¾n,

dương, đơn đi¾u tăng trên 0, π Do đó, theo đ%nh lý thú hai ve giá tr% trung

bình cna tích phân, ton tai ξ ∈ [0, µ], sao cho

Cũng tù đ%nh lý giá tr% trung bình thú hai, ta có ξ t ∈ µ, π 2

sao cho.1 ¸

π /

2

[F (x

n

+ 1)

n +

1

)α

= [

F

(

x

+2

(x)]

sin(2n

+ 1)α

.1

¸

r

1 ¸ q

dα.. 16 C

(2.11)

π

µ

sin

α

(2n + 1)π sin

µ

Tù (2.8) – (2.11) dan đen đánh giá sau cùng cho so

hang thú nhat bên

ve phái cna (2.6)

.1

α

)

sin(2

n

+ 1)

α

d α

−

.1

C

+

.8

(

Ta cũng có ket quá đánh giá hoàn toàntương tn cho các so hang còn lai

bên ve phái cna (2.6), tù

Bây giò chí vi¾c chon so n0 ∈ N sao cho

(2n0 + 1)π sin µ ≤ 2

cách chon này không phu thu®c vào x ∈ [a, b]

2.5 Đ%nh lý Fejér

Đ%nh lý Fejér cho phép ta xác đ%nh hàm liên tuc f tù chuoi

Fourier cna f trong trưòng hop chuoi Fourier phân kỳ.

Đ%nh lý 2.5 (Fejér) Cho hàm f xác đ%nh trên R, liên tnc, tuan hoàn

(σ n đưoc goi là tong Fejér cna f , hay còn goi là tong Césaro)

Khi đó, dãy (σn)n =1,2, h®i tu đeu ve f trên R.

Chúng minh Trong chúng minh đ%nh lý 2.1, ta có

Do đó ¸ −δ Φn(z)dz = ¸ π Φn(z)dz

n

¸

đeu trên R, nghĩa là

∃M > 0, ∀x ∈ R, |f (x)| ≤ M , và cho trưóc ε > 0, ta chon đưoc δ > 0

trong đó bat đang thúc sau cùng là do tính chat (i) và do hàm Φn không

âm Sú dung tính chat (ii), ta tìm đưoc so n0 ∈ N đ®c l¾p vói x sao

cho

ε

> n0 ⇒ Mα n(δ) <

8.V¾y ∀x, |f (x) − σ n (x)| < ε neu n > n0, ket thúc chúng minh

CHÚ THÍCH Trong đ%nh lý Fejér, neu ta thêm giá thiet f t ton tai và

liên tuc thì không riêng gì tong Fejér σn, tong riêng phan Sn cna chuoi Fourier cũng h®i đeu ve f