Chuỗi Fourier và ứng dụng

Lài cám ơn Em xin trân bày tó sn biet ơn sâu sac tói PGS.TS Khuat Văn Ninh, thay t¾n tình hưóng dan chí báo giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n Em trân cám ơn thay to Giái tích tồn the ban sinh viên khoa nhi¾t tình góp ý giúp đõ em suot thòi gian hoc t¾p nghiên cúu đe hồn thành khóa lu¾n Do trình đ® chun mơn han che, thòi gian nghiên cỳu eo hep nờn nđi dung khúa luắn ny cũn ton tai nhieu thieu sót Em kính mong nh¾n đưoc sn phê bình góp ý cna thay tồn the cỏc ban e nđi dung khúa luắn ny trú nên hồn thi¾n Em xin trân cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lai Th% Thúy Lài cam đoan Tơi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p: "Chuoi Fourier Nng dnng" cơng trình nghiên cúu cna bán thân Nhung phan sú dung tài li¾u tham kháo khóa lu¾n đưoc nêu rõ phan tài li¾u tham kháo Các ket trình bày khóa lu¾n hồn tồn trung thnc, neu sai tơi xin ch%u hồn tồn trách nhi¾m ch%u moi ký lu¾t cna khoa nhà trưòng đe Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lai Th% Thúy Lài nói đau Lý chon đe tài Trong giáo trình giái tích hàm so m®t bien đưoc làm quen vói khái ni¾m chuoi Fourier cna hàm tích xét sn h®i tu cna Đây m®t lĩnh vnc quan cna Tốn hoc có nhieu úng dung thiet thnc V¾t lý, Cơ hoc, Ky thu¾t cơng ngh¾, đưoc quan tâm nghiên cúu rat nhieu Các ket ve lĩnh vnc vô phong phú, đa dang nhung biet giáo trình giái tích nói mói chí nhung kien thúc ban đau Chính v¾y khóa lu¾n tot nghi¾p em lna chon đe tài ve chuoi Fourier úng dung cna đe tiep tuc tìm hieu nghiên cúu ve chuoi Fourier Mnc ớch nghiờn cNu Tỡm hieu ve khỏi niắm, mđt so tính chat m®t so úng dung cna chuoi Fourier Nhi¾m nghiên cNu - Nghiên cúu ve chuoi Fourier - Nghiên cúu m®t so úng dung cna chuoi Fourier 4.Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Đoi tưong: Chuoi Fourier úng dung - Pham vi: Chuoi so, chuoi hàm Phương pháp nghiên cNu - Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u tham kháo Khóa lu¾n tot nghiắp Trng HSP H Nđi - Phõn tớch, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu Cau trúc Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot nghi¾p gom ba chương: - Chương 1: Kien thúc chuan b% - Chương 2: Chuoi Fourier - Chương 3: Úng dung cna chuoi Fourier Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán Mnc lnc Lài cám ơn Lài cam đoan Lài nói đau KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 CHUOI SO .8 Đ%nh nghĩa 1.1.2 Chuoi so h®i tn .8 1.1.3 Phan dư cúa chuoi h®i tn 1.1.4 ieu kiắn e mđt chuoi hđi tn 1.1.1 1.2 DÃY HÀM .10 Dãy hàm so 10 1.2.2 Su h®i tn đeu cúa dãy hàm 11 1.2.1 1.3 CHUOI HÀM 11 Đ%nh nghĩa .11 1.3.2 Su h®i tn đeu cúa chuoi hm 12 1.3.3 ieu kiắn hđi tn đeu cúa chuoi hàm 12 1.3.4 Tính chat cúa tong chuoi hàm 13 1.3.1 1.4 KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHÁ TONG 14 1.4.1 Không gian L1[−π, π] 14 1.4.2 1.5 Không gian L2[−π, π] 14 H› TRUC GIAO, H› TRUC CHUAN 15 Vectơ truc giao, h¾ truc giao 15 1.5.2 H¾ truc chuan .16 1.5.3 H¾ lưong giác 16 1.5.1 1.6 HÀM SO LIÊN TUC TUY›T ĐOI 17 CHUOI FOURIER 18 2.1 H› HÀM LƯeNG GIÁC TRUC GIAO 18 2.2 CHUOI LƯeNG GIÁC .19 2.3 CHUOI FOURIER 20 Chuoi Fourier 20 2.3.2 Tong riêng thn n cúa chuoi Fourier (tong Dirichlet) 21 2.3.1 2.4 SU H®I TU CÚA CHUOI FOURIER .24 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 Đieu ki¾n Dini .24 Đieu ki¾n Lipschitz 28 Hàm liên tnc tnng khúc, hàm vi tnng khúc 29 Nguyên lý đ%a phương .30 Đ%nh lý ve su h®i tn cúa chuoi Fourier .31 2.5 M®T SO ĐIEU KI›N H®I TU ĐEU CÚA CHUOI FOURIER 32 Đ%nh 2.5.2 Đ%nh 2.5.3 Đ%nh 2.5.4 Đ%nh 2.5.1 lý lý lý lý 2.6 32 2.7 35 2.8 35 2.9 35 2.6 KHAI TRIEN THÀNH CHUOI FOURIER .39 2.6.1 Khai trien Fourier khoáng [−π, π] 39 Khai trien m®t hàm khơng tuan hồn đoan [−π, π] 41 2.6.3 Khai trien chan khai trien lé cúa hàm f 2.6.2 [−π, π] 42 2.6.4 Khai trien tuan hoàn đoan [-l, l] bat kỳ 44 2.6.5 Khai trien m®t hàm tuan hồn [a, b] 44 2.6.6 M®t so ví dn CÁC ÚNG DUNG CÚA CHUOI FOURIER 45 52 3.1 Úng dung đe tính tong cna m®t chuoi so .52 3.2 Bài toán dây rung .53 3.3 Bài tốn dao đ®ng tn cna dây rung 55 3.4 Dao đ®ng tn cna .57 3.5 Dao đ®ng cna màng hình chu nhắt 58 3.6 Mđt so ví du 60 Ket lu¾n 62 Tài li¾u tham kháo 63 Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 CHUOI SO 1.1.1 Đ%nh nghĩa • Cho dãy so: a1, a2, , an, Lắp dóy so múi: A1 = a1 A2 = a1 + a2 An = a1 + a2 + + an = n k=1 ak n + Ký hiắu hình thúc: ak = An = lim k=1 goi lim n→+∞ +∞ ak n→+∞ ak k=1 k=1 m®t chuoi so, ak đưoc goi so hang thú k cna chuoi so 1.1.2 Chuoi so h®i tn • Xét chuoi so: +∞ ak k=1 (1.1) Khúa luắn tot nghiắp n ắt: An ak = Trng HSP H Nđi k=1 Khi đó: – An đưoc goi tong riêng thú n cna chuoi so (1.1) – Dãy {An} dãy tong riêng cna chuoi (1.1) +∞ Neu dãy {An} h®i tu lim An = A ta nói chuoi • →+∞ so n +∞ tu có tong bang A Viet là: ak = A k= ak hđi k=1 Neu dóy An khụng cú giúi han huu han ta nói chuoi so (1.1) phân k 1.1.3 Phan d cỳa chuoi hđi tn Xột chuoi so hđi tu: + ak + rn = ak k=n+ = (1.2) k=1 +∞ an+k k=1 • Khi rn đưoc goi phan d thỳ n cna chuoi hđi tu (1.2) Giá sú A = +∞ = ak An n k=1 ak ta có rn = A − An k=1 ⇒ lim rn = →+∞ n 1.1.4 ieu kiắn e mđt chuoi hđi tn %nh lý 1.1:(Đ%nh lý ve đieu ki¾n can) +∞ Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán 10 φ(0) = φ(1) = (3.15) Lý thuyet phương trình vi phân cho thay giá tr% λ làm cho toán biên (3.13), (3.15) có nghi¾m (goi giá tr% riêng cna tốn) phái dương V¾y có the dùng ký hi¾u λ2 thay cho λ Khi (3.13) (3.14) tró thành: φ” + λ2.φ (3.16) T ” + a2λ2T (3.17) Nghi¾m cna (3.16) có dang là: φ = C1cosλx + C2sinλx C1, C2 hang so Đe nghi¾m khơng đong nhat thóa mãn đieu ki¾n biên (3.15) phái chon C1 = 0, C2 = Khi giá tr% riêng λn = nπ Các nghi¾m φn tương úng φn(x) = sin(nπx) (n = 1, 2, ) Và nghi¾m tương úng cna (3.17) có dang: Tn = Ancosλnt + Bnsinaλnt Suy nghi¾m riêng (3.12) có dang: un(x, t) = [Ancos(anπt) + Bnsin(anπt)]sin(nπx), n = 1, 2, (3.18) Ta se tìm nghi¾m u dưói dang chuoi sau đây: +∞ [Ancos(anπt) + Bnsin(anπt)]sin(nπx) (3.19) n=1 Khi đieu ki¾n ban đau (3.11) tró thành: +∞ u(x, 0) Ancos(nπx) = f (x) n=0 = +∞ ur t(x, 0) = n= Bnsin(nπx) = g(x) Bang cách khai trien hàm f g theo chuoi sin ta đưoc: ¸1 An = 2 f (x)sin(nπx)dx Bn = ¸ g(x)sin(nπx)dx anπ V¾y nghi¾m cna tốn cho bói (3.18) vói h¾ so An, Bn 3.4 Dao đ®ng tN cúa Bài tốn dao đ®ng tn cna m®t đưoc gan co đ%nh m®t đau đưoc quy ve tốn tìm nghi¾m u cna phương trình: ∂2u ∂ 2u =a , ≤ x ≤ 1, t ≥ ∂t2 ∂x2 thóa mãn đieu ki¾n biên đieu ki¾n đau sau: u(0, t) = ∂u (1, t) = 0, t ≥ ∂x u(x, 0) = f (x),tur (x, 0) = g(x) (3.20) (3.21) (3.22) f g hàm liên tuc [0, 1], tri¾t tiêu x = x = Trưóc het ta tìm nghi¾m riêng ur khơng đong nhat có dang tách bien ur(x, t) = φ(x).T (t) Tương tn muc trưóc ta thu đưoc phương trình: φ” + λ2.φ (3.23) T ” + a2λ2T (3.24) Vói đieu ki¾n biên: φ(0) = φr(1) = (3.25) Tù ta có ho nghi¾m φn, Tn là: φn(x) = sinλnx n = 1, 2, Tn(x) = Ancosaλnt + Bnsinaλnt (2n + 1)π ho nghi¾m là: úng vói giá tr% riêng λn = + un(x, t) = [Ancos (2n 1)πat Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán 10 + Bnsin (2n + 1)πat + ].sin (2n 1)πx Lai Th% Thúy - K35B - sp Tốn 10 Ta tìm nghi¾m tốn dưói dang: +∞ u(x, t) un(x, t) n=0 = thóa mãn đieu ki¾n đau (3.22) Bang cách khai trien f, g thành (2n + 1)πx chuoi Fourier theo h¾ hàm , tù ta tìm h¾ so: sin (2n + 1)πx ¸ (2n + 1)πx f (x)sin dx f = An = dx (x).sin ¸ ¸ (2n + 1)πx dx 12 (2n + 1)πx ¸ dx Bn = g(x).sin (2n + 1)πa sin2 3.5 Dao đng cỳa mng hỡnh chẹ nhắt Bi toỏn dao đng tn cna mng chu nhắt vúi biờn co đ%nh đưoc đưa ve tốn tìm nghi¾m u cna phương trình ∂2u 22 ∂t2 c ∂2u ∂ u ( + ), = ∂x2 ∂y2 x a; y b, t (3.26) ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ Thóa mãn đieu ki¾n biên đieu ki¾n đau: u(x, 0) = u(x, b) = u(0, y) = u(a, y) = ∂u (x, y, t) = g(x, y), u(x, y, 0) = f (x, y) ∂t (3.27) (3.28) Trưóc het ta tìm nghi¾m riêng ur khơng đong nhat có dang tách bien: ur(x, y, t) = φ(x, y).T (t) Khi phương trình (3.26) tró thành: 2∂ u ∂ u φT ” = c ( + )T ∂x ∂y Suy ra: (3.29) ∂ 2u = T ” = λ2 − ( + ∂y2 c2 T ∂x ) φ ∂2u = hang so V¾ y ∂ 2u ∂x2 λ + ∂ 2u ∂y + 2φ = T ” + c 2λ2φ = Do đieu ki¾n biên (3.27), ta có φ = biên (3.30) (3.31) (3.32) Ta tìm ngi¾m riêng cna tốn (3.30)-(3.32) dưói dang: φ(x, y) = ϕ(x)ψ(y) (3.30) tró thành: ϕ”ψ + ϕψ” + λ2ϕψ = hay ϕr r =− ψ”2 + λ ψ = −k2 = hang so ψ ϕ Suy ra: ϕ”+k2 ϕ = 0, ψ”+l ψ = vói l2 = λ2 −k (3.33) Các phương trình có nghi¾m là: ϕ(x) = C1coskx + C2sinkx ϕ(y) = C3coslx + C4sinlx Do đieu ki¾n biên (3.31), ta đưoc ϕ(0) = ϕ(a) = ψ(0) = ψ(b) = kéo theo C1 = C3 = 0, C2sinka = C4sinlb = Chon C2 = C4 = k mπ , l nπ ta se có nghi¾m riêng: b = a= n π m π xsi y m,n ∈ R φmn(x, y) = b n sin a mπ2 nπ ( ) + ( vào phương trình (3.30) ta đưoc Thay λ = λmn ) = a b nghi¾m: Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán 10 Tmn(t) = Amncos(cλmnt) + Bmnsin(cλmnt) mπ xsin nπ yb a Tù nghi¾m riêng ur có dang: ur = umn(x, y, t) = [Amncos(cλmnt) + Bmnsin(cλmnt)]sin +∞ Ta tìm nghi¾m tốn dưói dang u(x, y, t) = m,n= umn(x, y, t) Và thóa mãn đieu ki¾n đau (3.22) Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán 10 +∞ u(x, y, 0) = nπ m xsin y = f (x, y) π Amnsin b m,n= a +∞ ∂u nπ m xsin y = g(x, y) (x, y, 0) π Bmncλmnsin = b m,n= a ∂t Giá sú f g đưoc khai trien thành chuoi Fourier kép theo h¾: nπ m π {sin xsi b y|m, n ∈ R} n a Thì h¾ so Amn, Bmn đưoc xác đ%nh sau: mπ nπ ¸b a xsi ydxdy Amn = ¸ f (x, b n y)sin nπ a ab a mπ Bmn = 3.6 abcλ ¸ mn g(x, y)sin a xsi n b ydxdy M®t so ví dn Vớ dn 1: Dõy n cđt chắt hai au x = 0, x = l, tai thòi điem ban đau có dang: 4h (P): y x(l − x); ϕ(x) = Xác đ%nh chuyen v% điem cna dây so = l vói truc hồnh neu toc đ® ban đau = 4h Giái: ϕ(x) x(l − x); ϕ(x) = = l2 Ta tìm h¾ so cna chuoi, xỏc %nh nghiắm phng trỡnh dao đng cna dây: an = ¸ l ϕ(x)sin l bn = 8h ¸l nπ ) x (lx − x dx= l3 dx sin l l nπ x Bang phương pháp tích phân tùng phan ta tìm đưoc: n a = 16h n +∞ [1 − (−1) ] (ancosaλn + bnsinaλnt)sinλnx Thay an, bn vào công thúc y n=1 = +∞ 16h nπat nπx [1 ( 1)n]cos( )sin( ) Ta đưoc: y(x, t) − l = n=1 3 n π − l Khi n = 2k − (−1)n = n3 π3 n = 2k+ − (−1)n = ⇒ y(x, t) = 32h +∞ (2n + 1)3 π3 cos( n=1 (2n + 1)πat (2n + 1)πx )sin( l l ) Vớ dn 2: Dõy n cđt chắt vo hai đau x = 0, x = l, tai thòi điem ban đau dây có dang đưòng gap khúc OAB hình ve Tìm dang cna dây tai thòi điem t bat kỳ neu toc đ® ban đau bang khơng Giái: H¾ so góc cna đưòng thang OA h/(l/2) (vì sinα = h/(l/2), α nên sinα ≈ α → α = h/(l/2) ) Phương trình đưòng thang OA là: y = h/(l/2).x = 2h x l Đưòng thang AB chan truc toa đ® Ox, Oy đoan l 2h, suy 2h phương trình đưòng thang AB là: x + y = (l − x) l 2h hay l 2h l V¾y ϕ(x) x neu O ≤ x ≤ = l 2h l ϕ(x) (l − x) ≤ x ≤ l; ψ(x) = = l 2 neu ¸l nπ Ta tìm đưoc: an x = dx ϕ(x)sin l l l l/2 nπx = [ ¸ xsin dx h + l l2 bn = ¸ l/2 (l − x)sin nx l dx] Ket luắn Trờn õy l ton bđ nđi dung cna khúa luắn vúi e ti "Chuoi Fourier Nng dnng" Khóa lu¾n nêu đưoc lý can có chuoi Fourier, tính chat h®i tu, phân kỳ, nhung lóp hàm khai trien đưoc thành chuoi Fourier, phân loai dang khai trien thành chuoi Fourier giỏi mđt so bi c bỏn; cỏc ỳng dung cna chuoi Fourier M¾c dù có nhieu co gang tìm tòi nghiên cúu năng, thòi gian có han nên đe tài khơng the tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y em rat mong đưoc sn chí báo, đóng góp ý kien cna thay giáo ban sinh viên đe đe tài đưoc hồn 11 Tài li¾u tham kháo [1] GS.TSKH.Đ¾ng Đình Áng, TS Tran Lưu Cưòng, TS.Huỳnh Bá Lân, TS.Nguyen Văn Nhân, TS.Pham Hồng Qn, 2007 Bien đoi tích phân NXB ĐH Quoc Gia Hà N®i [2] Nguyen Phu Hy, 2005 Giái tích hàm NXB Khoa hoc ky thu¾t [3] Nguyen Xn Liêm, 2006 Giái tích t¾p NXB Giáo duc [4] Tran Đúc Long, Nguyen Đình Sang, Hồng Quoc Tồn, 2006 Giáo trình giái tích t¾p 2.NXB Giáo duc [5] Tran Đúc Long, Nguyen Đình Sang, Hồng Quoc Tồn, 2010 Bài t¾p giái tích NXB Giáo duc [6] Hồng Tuy, 1979 Giái tích hi¾n đai NXB Giáo duc [7] G.P.Tôlxtôv, 1962 Fourier Series , 11 ... 17 CHUOI FOURIER 18 2.1 H› HÀM LƯeNG GIÁC TRUC GIAO 18 2.2 CHUOI LƯeNG GIÁC .19 2.3 CHUOI FOURIER 20 Chuoi Fourier 20 2.3.2 Tong riêng thn n cúa chuoi Fourier (tong... the úng vói h¾ so Fourier chuoi Fourier cna cơng thúc (2.4), (2.5) 2.3.2 Tong riêng thN n cúa chuoi Fourier (tong Dirich- let) Cho hàm f+∞ ∈ L2[−π, π] có khai trien thành chuoi Fourier là: a0 ... đe tài ve chuoi Fourier úng dung cna đe tiep tuc tìm hieu nghiên cúu ve chuoi Fourier Mnc đích nghiên cNu Tỡm hieu ve khỏi niắm, mđt so tớnh chat v mđt so ỳng dung cna chuoi Fourier Nhiắm nghiên