Chuỗi fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI – 2018 Mưc lưc Líi c£m ìn Líi cam oan Mð ƒu KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 ChuØi sŁ 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9 1.1.10 ChuØi hºi tư tuy»t 1.1.11 C¡c t‰nh ch§t cıa 1.2 Chi h m v sü hºi tö cıa 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 CHUÉI FOURIER V ÙNG DÖNG TRONG VI C T NH TNG CếA MáT Să CHUẫI Să 2.1 H» h 2.2 Chi l÷ỉng gi¡c 2.3 ChuØi Fourier 2.3.1 2.3.2 2.4 Ùng döng cıa chuØi Four sŁ chuØi sŁ K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Líi c£m ìn Em xin b y tä lặng bit ỡn sƠu sc tợi TS Nguyn Vôn H o, ngữới  nh hữợng chồn ã t i v tn tnh hữợng dÔn em cõ th ho n th nh lu“n v«n n y Em cơng xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh tợi cĂc thƒy cỉ Khoa To¡n tr÷íng ⁄i håc S÷ Ph⁄m H Nºi ¢ gióp ï em suŁt qu¡ tr…nh hồc NhƠn dp n y em cụng xin ữổc gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi gia nh, bn b  luổn ng viản v to mồi iãu ki»n thu“n læi cho em suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh khâa lu“n Trong qu¡ trnh thỹc hiằn, em  nhn ữổc nhiãu ỵ kin âng gâp ” b£n khâa lu“n ÷ỉc ho n thi»n nh÷ hi»n t⁄i H Nºi, ng y 17 th¡ng nôm 2018 Sinh viản Vụ Th Ngồc Diằu Lới cam oan Em xin cam oan, dữợi sỹ hữợng dÔn cıa TS Nguy„n V«n H o, khâa lu“n tŁt nghi»p ng nh ToĂn giÊi tch vợi ã t i "Chuỉi Fourier v øng döng vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chi sŁ" ÷ỉc ho n th nh bði nh“n thøc cıa b£n th¥n Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n tŁt nghi»p, em ¢ thła k‚ nhœng k‚t qu£ v th nh tüu cıa c¡c nh khoa håc vỵi sü ch¥n trång v bi‚t ìn H Nºi, ng y 17 thĂng nôm 2018 Sinh viản Vụ Th Ngồc Di»u Mð ƒu L‰ chån • t i Chi l÷ỉng gi¡c ÷ỉc kh£o cøu tł k‚t qu£ mt s nghiản cứu vã vt lỵ ỗng thới bi c¡c nh to¡n håc Gauss, Abel v Cauchy C¡c chuØi khai tri”n theo c¡c h m sin v cosin công ¢ ÷ỉc xem x†t bði hai anh em nh to¡n håc Bernoulli tł nhœng n«m 1701 1702, v th“m ch ‰ sỵm hìn bði Vi–te Ngo i ra, Euler, Larrange v mºt sŁ nh to¡n håc kh¡c công tham gia v o hữợng nghiản cứu n y Nôm 1807, Fourier ÷a ph÷ìng ph¡p bi”u di„n h m sŁ li¶n tửc qua chuỉi lữổng giĂc v sò dửng v o viằc giÊi phữỡng trnh truyãn nhiằt vt th chĐt rn Nôm 1822, cho cổng b cổng trnh Lỵ thuy‚t gi£i t‰ch cıa nhi»t v mð mºt thíi ký mợi vã ứng dửng toĂn hồc cĂc khoa hồc khĂc Trản thỹc t, Euler l ngữới  ữa cæng thøc t‰nh c¡c h» sŁ khai tri”n, cỈn Fourier th… ph¡t bi”u v câ mºt sŁ cŁ gng chứng minh nh lỵ tng quĂt Tuy nhiản, Fourier  khổng t vĐn ã hi tử cho chuỉi ca mnh, m chnh Cauchy  nhn vĐn • n y v câ ÷a mºt sŁ k‚t quÊ Thảm na, Poisson cụng  xem xt vĐn ã n y nh÷ng tł mºt kh‰a c⁄nh kh¡c K‚t qu£ ca Poisson vã sỹ hi tử ca chuỉi Fourier ữổc Cauchy ch¿ l thi‚u ch°t ch‡ Tuy nhi¶n, ch‰nh cổng trnh ca Cauchy vã vĐn ã n y cụng ữổc Dirichlet ch l sai VĐn ã ch ữổc gi£i quy‚t mºt c¡ch cì b£n b‹ng cỉng tr…nh cıa Dirichlet, ông trản ch Crelle v o nôm 1829 Vợi cổng trnh n y, nhiãu ngữới xem l ngữới sĂng lp Lỵ thuyt chuỉi Fourier Cổng trnh nảu trản ca Dirichlet sau õ ữổc chnh sòa v ho n thiằn thảm bi Riemann v o nôm 1854 n nay, lỵ thuyt chuỉi s v chuỉi h m v sỹ hi tử ca chúng  ữổc coi nhữ ho n chnh Tuy nhiản, nhiãu chuỉi s d„ nh“n bi‚t ÷ỉc sü hºi tư cıa chóng, nh÷ng vi»c t‰nh tŒng cıa c¡c chi â l khỉng h• ìn gi£n ” ho n th nh khâa lu¥n tŁt nghi»p ⁄i håc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t‰ch, em chån • t i "Chi Fourier v øng dưng vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ." Möc ch nghiản cứu Tm hiu vã khĂi niằm, mt s t‰nh ch§t v øng dưng cıa chi Fourier vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ - Nhi»m vử nghiản cứu Nghiản cứu vã chuỉi Fourier - Nghiản cøu v• øng dưng cıa chi Fourier vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chi sŁ - Łi t÷ỉng v phm vi nghiản cứu i tữổng: Chuỉi Fourier v øng döng Ph⁄m vi: ChuØi sŁ, chuØi h m v t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ hºi tö Phữỡng phĂp nghiản cứu - Nghiản cứu l lun v t i li»u tham kh£o Ph¥n t‰ch, tŒng hỉp ki‚n thức phửc vử cho mửc ch nghiản cứu CĐu tróc Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, t i liằu tham khÊo, khõa lun tt nghiằp gỗm hai chữỡng - Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà - Ch÷ìng ChuØi Fourier v øng döng vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chi sŁ Ch÷ìng KI N THÙC CHU N BÀ 1.1 ChuØi sŁ 1.1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m v v dử vã chuỉi s nh nghắa 1.1.1 Cho d¢y sŁ fang: TŒng vỉ h⁄n X a1 + a2 + ::: + an n=1 ÷ỉc gåi l mºt chuỉi s Trong chuỉi s trản ngữới ta gồi + Phn tò an ữổc gồi l s hng tng quĂt thø n cıa chi sŁ + TŒng hœa h⁄n ÷ỉc xĂc nh v k hiằu dữợi dng n Xk sn = a1 + a2 + ::: + an = ak =1 ữổc gồi l tng riảng thứ n v dÂy s fs ng ữổc gồi l dÂy tng riảng thứ n ca chuỉi (1:1) Nu tỗn ti v hu hn giợi hn ca dÂy tng riảng lim s n = s th… chi n!1 ÷ỉc gåi l hºi tư v câ tŒng l s: Khi â ta công vi‚t P an = s: N‚u lim sn = n!1 n=1 giợi hn n y, th chuỉi ữổc gồi l phƠn k hoc khổng tỗn ti Chữỡng KI N THÙC CHU N BÀ Mºt sŁ v‰ dö V‰ dö X†t chuØi sŁ X n n q = + q + q + ::: + q + :::: n=0 Tng riảng ca chuỉi s ữổc x¡c ành nh÷ sau n sn = + q + q + ::: + q : Ta x†t c¡c tr÷íng hỉp (i) Tr÷íng hỉp q 6= 1Ta câ tŒng ri¶ng thø n cıa chuØi l n + N‚u jqj < th… nlim q = Do õ Nhữ th, chuỉi s  cho hi tử v cõ tng l + Nu j nhữ th chuỉi  cho phƠn ký (ii) Trữớng hổp q = q j Ơy, ta thĐy rng lim sn = lim n = +1: n!1 n!1 Nhữ vy, chuỉi phƠn ký (iii) Trữớng hổp q = DÂy tng riảng cõ hai dÂy ữổc xĂc nh nhữ sau ( Bi v hai dÂy cõ cĂc giợi hn khĂc nhau, nản dÂy tng riảng fs ng khổng cõ giợi hn Do õ, vợi jqj = th chuỉi  cho cụng phƠn ký Qua > th h Chữỡng CHUẫI FOURIER V MáT Să CHUẫI Să NG DệNG TRONG VI C T NH T˚NG CÕA Khi â, b‹ng ph†p Œi bi‚n y = Do â h m g(y) = f Ta nhn ữổc khai trin Fourier dữợi Ơy g(y) = Trong â a0 = a b n n = Z = Z 1 ly Trð l⁄i bi‚n cô x = [ ta nh“n ÷ỉc khai tri”n cıa h m f l; l] f(x) = Trong â c¡c h» sŁ Fourier ÷ỉc t‰nh theo cỉng thøc Z a = a = n g(y)dy = Z Z f l l f(x) bn = o⁄n Ch÷ìng CHUẫI FOURIER V MáT Să CHUẫI Să 2.4 NG DệNG TRONG VI C T NH T˚NG CÕA Ùng döng cıa chuØi Fourier vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi s Trong viằc nghiản cứu vã chuỉi s, ta cõ th” khflng ành sü hºi tư cıa nhi•u chi sŁ nhữ cĂc chuỉi X n n=1 Tuy nhiản, viằc t‰nh tŒng cıa c¡c chi n y khỉng h• ìn gi£n Trong phƒn n y, chóng tỉi giỵi thi»u mºt sŁ v‰ dư °c s›c v• vi»c t‰nh tŒng cıa nhœng chi sŁ tr¶n qua øng dưng cıa khai tri”n chuØi Fourier 2.4.1 Khai tri”n th nh chuØi Fourier cıa h m sŁ f(x) tuƒn ho n vỵi chu k… x¡c ành bði cæng thøc ( f(x) = x x < Tł â t‰nh tŒng chuØi sŁ Ta t‰nh ÷ỉc c¡c h» sŁ Fourier cıa h m f nh÷ sau = cos2nx n = 2k + n = 2k bn = Ch÷ìng CHUẫI FOURIER V MáT Să CHUẫI Să NG DệNG TRONG VI C T NH T˚NG CÕA = = sin 2x + ::: : Theo nh lỵ Dini f x ( + ) + f(x ) vỵi måi x R: V… h m f li¶n tưc t⁄i c¡c i”m x 6= (2k+ 1) ; k Z nản f(x) = vợi mồi x 6= (2k+ 1) : T⁄i c¡c i”m x = (2k + 1) ; k Z tŒng cıa chuØi Fourier cıa h m f b‹ng °c bi»t, t⁄i x = ta câ Tł â ta t‰nh ÷ỉc 2.4.2 Cho h m sŁ tuƒn ho n vợi chu k xĂc nh bi Chữỡng CHUẫI FOURIER V MáT Să CHUẫI Să NG DệNG TRONG VI C T NH T˚NG CÕA Xk =0 D„ d ng th§y r‹ng h m sŁ f thäa mÂn cĂc iãu kiằn ca nh l Dini Ngo i + f(x) = f(x ) + f(x ) ; vỵi måi x R: Bði v… f l mºt h m sŁ chfin, n¶n khai tri”n chuØi Fourier cıa h m câ d⁄ng a S(x) = + X an cos nx; vỵi måi x R: n=1 C¡c h» sŁ cıa chuØi n y ÷æc t‰nh nh÷ sau = 4=0 an = = Z = n sin n ; Chữỡng CHUẫI FOURIER V MáT Să CHUẫI Să NG DệNG TRONG VI C T NH TNG CếA vợi n=1,2,3, T õ, cĂc hằ s fang ữổc tnh nhữ sau vợi k = 0; 1; 2; 3; :::: Nh÷ th‚ ta nh“n ÷ỉc khai tri”n Fourier cıa h m n y nhữ sau f(x) = cos x vợi måi x R: °c bi»t, t⁄i x = 0; ta nh“n ÷ỉc tŒng cıa chi sŁ cƒn t‰nh l 2.4.3 Cho f l bði cỉng thøc ¥y l mt h m s chfin, nản Nhữ th, ta nhn ÷æc Tł â, ta nh“n : ÷æc khai tri”n chuØi Fourier cıa h m n y nh÷ sau Chữỡng CHUẫI FOURIER V MáT Să CHUẫI Să c bi»t t⁄i x = ta nh“n ÙNG DÖNG TRONG VI C T NH T˚NG CÕA ÷ỉc gi¡ trà cıa tŒng sau Tł cỉng thøc (2:7) ta cơng t‰nh ÷ỉc gi¡ trà cıa chuØi sŁ Th“t v“y, ta câ n=1 n Tł â CuŁi cịng ta nh“n ÷ỉc 2.4.4 Câ th” nh“n ÷ỉc cỉng thøc (2:8) b‹ng c¡ch t…m khai tri”n chuØi Fourier cıa h m sŁ tuƒn ho n chu k… x¡c ành tr¶n R bði f (x) = x ; vỵi måi jxj : H m s f liản tửc thọa mÂn mồi iãu kiằn ca nh lỵ Dini nản bng tng ca chuỉi Fourier ca nâ t⁄i måi i”m tr¶n R: B‹ng t‰nh to¡n ìn gi£n ta nh“n ÷ỉc khai tri”n n y nh÷ sau x = Thay x = v o bi”u thøc (2:9), ta ÷ỉc (2:8): Thay x = v o bi”u thøc (2:9), ta ÷ỉc K‚t lu“n Khâa lu“n tr…nh b y mºt c¡ch h» thŁng cì b£n v• lỵ thuyt chuỉi s, lỵ thuyt chuỉi h m Giợi thiằu vã khai trin chuỉi Fourier ca h m sŁ tuƒn ho n vỵi chu ký ; x¡c ành tr¶n R: Mưc ‰ch ch‰nh cıa khâa lu“n l giỵi thi»u mºt sŁ k‚t qu£ °c s›c vi»c sß dưng khai tri”n chi Fourier ” t‰nh tŒng cıa nhœng chuØi sŁ °c bi»t 42 T i li»u tham kh£o [1] Nguy„n Phö Hy (2005), Gi£i t‰ch h m, NXB Khoa hồc k thut [2] Nguyn XuƠn Liảm (2010), Gi£i t‰ch t“p 2, NXB Gi¡o döc [3] Trƒn øc Long, Nguy„n …nh Sang, Ho ng QuŁc To n (2008), Gi¡o tr…nh gi£i t‰ch t“p 2, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi [4] Trƒn øc Long, Nguy„n …nh Sang, Ho ng QuŁc To n (2010), B i t“p gi£i t‰ch 2, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi 43 ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Người... nghi¶n cøu Nghi¶n cứu vã chuỉi Fourier - Nghiản cứu vã ứng dửng cıa chuØi Fourier vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuỉi s - i tữổng v phm vi nghiản cøu Łi t÷ỉng: Chi Fourier v øng dưng Ph⁄m vi: ChuØi... tŁt nghi»p ng nh To¡n gi£i tch vợi ã t i "Chuỉi Fourier v ứng dửng vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chi sŁ" ÷ỉc ho n th nh bði nh“n thøc cıa b£n th¥n Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n tŁt nghi»p,