Chuỗi fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Một số khái niệm ví dụ chuỗi số hội tụ chuỗi số 1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 1.1.3 Tính chất phép tốn chuỗi hội tụ 10 1.1.4 Dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương 11 1.1.5 Dấu hiệu so sánh 11 1.1.6 Dấu hiệu Cauchy 14 1.1.7 Dấu hiệu D’Alembert 14 1.1.8 Dấu hiệu tích phân 15 1.1.9 Chuỗi đan dấu 16 1.1.10 Chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi bán hội tụ 17 1.1.11 Các tính chất chuỗi hội tụ 18 1.2 Chuỗi hàm hội tụ chuỗi hàm 20 1.2.1 Khái niệm 20 1.2.2 Sự hội tụ hội tụ chuỗi hàm 20 1.2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm số 21 1.2.4 Tính chất tổng chuỗi hàm hội tụ 25 1.2.5 Chuỗi lũy thừa 26 CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 32 2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao 32 2.2 Chuỗi lượng giác 33 2.3 Chuỗi Fourier 34 2.3.1 Sự hội tụ chuỗi Fourier 35 2.3.2 Khai triển chuỗi Fourier hàm tuần hoàn 35 2.4 Ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập hồn thành khóa luận Trong q trình thực hiện, em nhận nhiều ý kiến đóng góp để khóa luận hồn thiện Hà Nội, ngày 17 tháng năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Ngọc Diệu Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp ngành Tốn giải tích với đề tài "Chuỗi Fourier ứng dụng việc tính tổng số chuỗi số" hồn thành nhận thức thân Trong trình thực khóa luận tốt nghiệp, em thừa kế kết thành tựu nhà khoa học với chân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 17 tháng năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Ngọc Diệu Mở đầu Lí chọn đề tài Chuỗi lượng giác khảo cứu từ kết số nghiên cứu vật lý đồng thời nhà toán học Gauss, Abel Cauchy Các chuỗi khai triển theo hàm sin cosin xem xét hai anh em nhà toán học Bernoulli từ năm 1701 – 1702, chí sớm Viète Ngoài ra, Euler, Larrange số nhà toán học khác tham gia vào hướng nghiên cứu Năm 1807, Fourier đưa phương pháp biểu diễn hàm số liên tục qua chuỗi lượng giác sử dụng vào việc giải phương trình truyền nhiệt vật thể chất rắn Năm 1822, ông cho công bố cơng trình “Lý thuyết giải tích nhiệt” mở thời kỳ ứng dụng toán học khoa học khác Trên thực tế, Euler người đưa cơng thức tính hệ số khai triển, cịn Fourier phát biểu có số cố gắng chứng minh định lý tổng quát Tuy nhiên, Fourier không đặt vấn đề hội tụ cho chuỗi mình, mà Cauchy nhìn vấn đề có đưa số kết Thêm nữa, Poisson xem xét vấn đề từ khía cạnh khác Kết Poisson hội tụ chuỗi Fourier Cauchy thiếu chặt chẽ Tuy nhiên, cơng trình Cauchy vấn đề Dirichlet sai Vấn đề giải cách cơng trình Dirichlet, đăng tạp chí Crelle vào năm 1829 Với cơng trình này, nhiều người xem ơng người sáng lập Lý thuyết chuỗi Fourier Cơng trình nêu Dirichlet sau chỉnh sửa hồn thiện thêm Riemann vào năm 1854 Đến nay, lý thuyết chuỗi số chuỗi hàm hội tụ chúng coi hoàn chỉnh Tuy nhiên, nhiều chuỗi số dễ nhận biết hội tụ chúng, việc tính tổng chuỗi khơng đơn giản Để hồn thành khóa ln tốt nghiệp đại học chun ngành Tốn giải tích, em chọn đề tài "Chuỗi Fourier ứng dụng việc tính tổng số chuỗi số." Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm, số tính chất ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chuỗi Fourier - Nghiên cứu ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Chuỗi Fourier ứng dụng - Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm tính tổng số chuỗi số hội tụ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận tài liệu tham khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm hai chương - Chương Kiến thức chuẩn bị - Chương Chuỗi Fourier ứng dụng việc tính tổng số chuỗi số Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Chuỗi số Một số khái niệm ví dụ chuỗi số hội tụ chuỗi số Định nghĩa 1.1.1 Cho dãy số {an } Tổng vô hạn a1 + a2 + + an + = ∞ (1.1) an n=1 gọi chuỗi số Trong chuỗi số người ta gọi + Phần tử an gọi số hạng tổng quát thứ n chuỗi số + Tổng hữa hạn xác định kí hiệu dạng n sn = a1 + a2 + + an = (1.2) ak k=1 gọi tổng riêng thứ n dãy số {sn } gọi dãy tổng riêng thứ n chuỗi (1.1) Nếu tồn hữu hạn giới hạn dãy tổng riêng lim sn = s chuỗi n→∞ gọi hội tụ có tổng s Khi ta viết ∞ n=1 an = s Nếu lim sn = ±∞ không tồn n→∞ giới hạn này, chuỗi gọi phân kì Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số ví dụ Ví dụ Xét chuỗi số ∞ q n = + q + q + + q n + n=0 Tổng riêng chuỗi số xác định sau sn = + q + q + + q n−1 Ta xét trường hợp (i) Trường hợp q = Ta có tổng riêng thứ n chuỗi sn = − qn qn = − 1−q 1−q 1−q + Nếu |q| < lim q n = Do lim sn = n→∞ n→∞ 1−q ∞ 1−q n=0 + Nếu |q| > hiển nhiên giới hạn dãy tổng riêng lim sn = ∞ Như thế, chuỗi số cho hội tụ có tổng qn = n→∞ chuỗi cho phân kỳ (ii) Trường hợp q = Ở đây, ta thấy lim sn = lim n = +∞ n→∞ n→∞ Như vậy, chuỗi phân kỳ (iii) Trường hợp q = −1 Dãy tổng riêng có hai dãy xác định sau sn = n = 2k n = 2k + Bởi hai dãy có giới hạn khác nhau, nên dãy tổng riêng {sn } khơng có giới hạn Do đó, với |q| = chuỗi cho phân kỳ Qua việc xét vậy, ta có kết luận cuối chuỗi hội tụ trường hợp |q| < Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 29 (−1)n Tại x = chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibniz n=0 2n + Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa −1 < x ≤ ∞ xn Ví dụ Chuỗi n=0 n! ∞ an+1 = → nên bán kính hội tụ chuỗi R = +∞, an n+1 tức chuỗi hội tụ điểm Ta có Ví dụ Chuỗi ∞ nn xn n=1 Ta có n |an | = n → +∞ nên R = 0, tức chuỗi hội tụ điểm x = Khai triển thành chuỗi lũy thừa số hàm sơ cấp Hàm mũ Hàm f (x) = ex có đạo hàm cấp khoảng (−∞, +∞) đạo hàm xác định f (n) (x) = ex ; với n = 1, 2, Do đó, ta có f (n) (0) = e0 = 1; với n = 1, 2, Giả sử x0 điểm khoảng (−∞, +∞) Khi đó, tồn đoạn [ − r, r] , với r > cho x0 ∈ [ − r, r] Như thế, với x ∈ [ − r, r] ta ln có đánh giá sau f (n) (x) = |ex | ≤ er = M ; n = 1, 2, Điều chứng tỏ hàm f (x) bị chặn đoạn [ − r, r] Do đó, hàm ex khai triển thành chuỗi Taylor điểm x0 sau x f (x) = e = ∞ k=0 f (k) (x0 ) (x − x0 )k = k! ∞ k=0 e x0 (x − x0 )k k! Đặc biệt, điểm x0 = ta nhận khai triển Mac - Laurent x2 xn e =1+x+ + + + ; với x ∈ (−∞, +∞) 2! n! x Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 30 Các hàm lượng giác Ta có (sin x)(n) = sin(x + nπ ); với n = 1, 2, nên (sin x)(n) ≤ 1; với x n = 1, 2, Chú ý sin = 0; f ′ (0) = sin π = 1; f ′′ (0) = 0; f ′′′ (0) = −1 Tổng quát 2kπ = 0; k = 1, 2, 3, (2k + 1)π f (2k+1) (0) = sin = (−1)(2k+1) ; k = 1, 2, 3, f (2k) (0) = sin Vậy ta có khai triển 2n+1 x3 x5 n x sin x = x − + − + (−1) + ; 3! 5! (2n + 1)! với −∞ < x < +∞ Hoàn toàn tương tự với hàm cos x ta có 2n x2 x4 x6 n x + − + + (−1) + ; cos x = x − 2! 4! 6! (2n)! với −∞ < x < +∞ Khai triển hàm logarit ln(1 + x); x > −1 Trước hết hiển nhiên ta có khai triển sau − x + x2 − + (−1)n xn + = ; 1+x Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 31 với −1 < x < Do tính chất lũy thừa, khoảng hội tụ lấy tích phân số hạng, ta có x dt = ln(1 + x) = 1+t ∞ n=0 x ∞ xn+1 (−1) (−1) t dt = ; n + n=0 n n n với −1 < x < Vậy ta có khai triển hàm ln(1 + x) n x2 x3 n−1 x ln(1 + x) = x − + − + (−1) + ; n với −1 < x < Khai triển hàm hyperbolic z 2n+1 z3 z5 + shz = z + + + + 3! 5! (2n + 1)! z2 z4 z 2n cosh z = + + + + + 2! 4! (2n)! Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao Định nghĩa 2.1.1 Giả sử {ϕn }+∞ n=1 dãy hàm khả tích [a, b] Khi đó, b a ϕn (x)ϕm (x)dx = với m, n ∈ N, m = n ta nói {ϕn } hệ hàm trực giao đoạn [−π, π] Bằng số phép biến đổi sơ cấp, ta dễ dàng nhận kết Bổ đề Hệ hàm lượng giác {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx} trực giao đoạn [−π, π] Điều có nghĩa π coskx cos nxdx = −π π sinkx sin nxdx = −π π k = n π k = n k = n π k = n sin kx cos nx = ; với k, n −π 32 (2.1) Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 33 2.2 Chuỗi lượng giác Định nghĩa 2.2.1 Chuỗi hàm lượng giác chuỗi có dạng +∞ a0 (an cos nx + bn sin nx) + n=1 (2.2) + Trong a0 , an , bn (n = 1, ) số thực + Số hạng tổng quát chuỗi hàm un (x) = an cos nx + bn sin nx tuần 2π hồn với chu kì , liên tục khả vi cấp n + Nếu chuỗi (2.2) hội tụ có tổng f (x) f hàm liên tục, tuần hồn với chu kì 2π Vì sau ta cần xét chuỗi hàm lượng giác đoạn có độ dài 2π Bằng phép đổi biến ta chuyển hàm tuần hoàn đoạn [a, b] hàm tuần hoàn đoạn có độ dài 2π Chính vậy, ta xét đến hàm tuần hoàn đoạn [−π, π] Giả sử chuỗi hàm (2.2) hội tụ đêu [−π, π] hàm f (x), tức +∞ a0 f (x) = (an cos nx + bn sin nx) ; x ∈ [−π, π] + n=1 (2.3) Để hệ số a0 ta lấy tích phân số hạng chuỗi hàm từ −π đến π ta π π f (x)dx = −π −π π = −π π +∞ a0 dx + n=1 (an cos nx + bn sin nx)dx −π a0 dx = πa0 Từ đó, ta tính a0 = π π f (x)dx −π Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 34 Để tính hệ số ak ta nhân hai vế đẳng thức (2.3) với cos kx, sau lấy tích phân hai vế đẳng thức nhận đoạn [−π, π] tính trực giao hệ hàm lượng giác ta có π π cos2 kxdx = πak f (x) cos kxdx = ak −π −π Từ đó, ta nhận ak = π π f (x) cos kxdx; k = 1, 2, −π Tương tự để tính bk , ta nhân hai vế đẳng thức (2.3) với sin kx sau lấy tích phân hai vế đẳng thức nhận [−π, π] π π f (x) sin kxdx = bk −π sin2 kxdx = πbk −π Cũng từ đó, ta nhận bk = π 2.3 π f (x)sinkxdx; k = 1, 2, −π Chuỗi Fourier Định nghĩa 2.3.1 Giả sử f hàm khả tích đoạn [−π, π] tuần hồn với chu kì 2π Chuỗi hàm +∞ a0 (an cos nx + bn sin nx) ; x ∈ [−π, π]; + S(x) = n=1 đó, hệ số chuỗi xác định phần gọi chuỗi Fourier hàm f (x) Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 35 2.3.1 Sự hội tụ chuỗi Fourier Vấn đề đặt chuỗi Fourier S(x) hàm f (x) hội tụ hàm Chúng tơi giới thiệu kết sau, phép chứng minh ta xem tài liệu tham khảo [2] định lý 2.10 Định lý 2.3.1 (Định lý Dini) Giả sử f hàm số liên tục khúc, bị chặn tuần hồn với chu kì 2π, xác định R Khi đó, ta có khẳng định sau (i) Chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ hàm điểm hàm liên tục (ii) Chuỗi Fourier hàm hội tụ giá trị trung bình cộng giới hạn trái giới hạn phải hàm điểm hàm gián đoạn 2.3.2 Khai triển chuỗi Fourier hàm tuần hoàn Việc khai triển thành chuỗi Fourier hàm khả tích, bị chặn tuần hồn đoạn [ − π, π] xác định phần qua việc tính hệ số chuỗi Khai triển Fourier hàm chẵn Giả sử f (x) hàm chẵn, khả tích đoạn [ − π, π] xác định tuần hoàn R với chu kì 2π Bởi f (x) sin nx hàm lẻ, nên chuỗi Fourier hàm có dạng +∞ a0 an cos nx + n=1 (2.4) Khai triển Fourier hàm lẻ Giả sử f (x) hàm lẻ, khả tích đoạn [ − π, π] xác định tuần hoàn R với chu kì 2π Bởi f (x) cos nx hàm lẻ, nên chuỗi Fourier hàm có dạng ∞ bn sin nx (2.5) n=1 Khai triển tuần hồn đoạn [ − l; l] Cho hàm số f (x) xác định khả tích đoạn [ − l; l], tuần hoàn R với chu kì 2l Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 36 πx y biến thiên đoạn [ − π; π] l hàm xác định khả tích đoạn [ − π, π] Khi đó, phép đổi biến y = ly π Ta nhận khai triển Fourier Do hàm g(y) = f +∞ a0 g(y) = (an cos ny + bn sin ny); với y ∈ [ − π, π] + n=1 Trong π a0 = π an = π bn = π −π π −π π g(y)dy = π ly dy π f −π g(y)cosnydy = π π −π f ly π cosnydy; n = 1, 2, f ly π sin nydy; n = 1, 2, −π π π g(y) sin nydy = Trở lại biến cũ x = [ − l, l] π −π ly ta nhận khai triển hàm f đoạn π +∞ cosnπx sin nπx a0 an + + bn f (x) = l l n=1 Trong hệ số Fourier tính theo cơng thức a0 = π an = bn = l l π −π l g(y)dy = π f (x) −l f −π ly dy π cosnπx dx; l n = 1, 2, sin nπx dx; l n = 1, 2, f (x) −l l π (2.6) Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 37 2.4 Ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số Trong việc nghiên cứu chuỗi số, ta khẳng định hội tụ nhiều chuỗi số chuỗi ∞ ∞ n−1 (−1) ; ; n n n=1 n=1 ∞ (−1)n−1 n=1 2n − Tuy nhiên, việc tính tổng chuỗi không đơn giản Trong phần này, giới thiệu số ví dụ đặc sắc việc tính tổng chuỗi số qua ứng dụng khai triển chuỗi Fourier 2.4.1 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn với chu kì 2π xác định cơng thức f (x) = Từ tính tổng chuỗi số x ≤ x < π ∞ n=1 − π ≤ x < (2n − 1)2 Ta tính hệ số Fourier hàm f sau π π π f (x) dx = x dx = a0 = π −π π0 an = π π −π π f (x) cos nx dx = π x cos nx dx   π  x sin nx π sin nx dx − π n n 0  − n = 2k + cos nx π n2 π = = 0 nπ n = 2k = bn = π π −π π f (x) sin nx dx = π x sin nx dx Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 38   π  x cos nx π cos nx dx − π n n 0   n = 2k + x cos nx π n = =−  nπ  − n = 2k n = Vậy chuỗi Fourier hàm f π − π cos x cos 3x + + + 12 32 sin x sin 2x − + Theo định lý Dini f (x+ ) + f (x− ) π = − π cos x cos 3x sin x sin 2x + + + − + ; 12 32 với x ∈ R Vì hàm f liên tục điểm x = (2k + 1)π; k ∈ Z nên f (x) = π − π cos x cos 3x + + + 12 32 sin x sin 2x − + ; với x = (2k + 1)π Tại điểm x = (2k + 1)π; k ∈ Z tổng chuỗi Fourier hàm f π f (x+ ) + f (x− ) f (π + ) + f (π − ) + π = = = 2 2 Đặc biệt, x = π ta có π π = + π Từ ta tính 1 + + + + 12 32 (2n − 1)2 ∞ n=1 π2 = (2n − 1)2 2.4.2 Cho hàm số tuần hồn với chu kì 2π xác định Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 39  π      4π f (x) = −     0 π π x ∈ − , 2 π 3π x ∈ , 2 π x = ± Từ đó, tính tổng chuỗi số ∞ k=0 (−1)k 1 1 = − + − + + (−1)k + 2k + 2k + Dễ dàng thấy hàm số f thỏa mãn điều kiện định lí Dini Ngồi f (x+ ) + f (x− ) ; với x ∈ R Bởi f hàm số chẵn, nên khai triển chuỗi Fourier hàm có dạng f (x) = ∞ a0 an cos nx; với x ∈ R + S(x) = n=1 Các hệ số chuỗi tính sau π a0 = π f (x) dx π 2 = π = π dx + π π π − π dx π π − =0 4 π an = π f (x) cos nx dx π 2 = π = π cos nx dx + π π sin n ; n π π − π cos nx dx Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 40 với n=1,2,3, Từ đó, hệ số {an } tính sau   a2k = 2k + với k = 0, 1, 2, 3, Như ta nhận khai triển Fourier hàm  a2k+1 = (−1)k sau f (x) = cos x − cos 3x cos 5x cos(2k + 1)x + − + (−1)k + ; 2k + với x ∈ R Đặc biệt, x = 0, ta nhận tổng chuỗi số cần tính π 1 + = − + − + + (−1)k 2k + 2.4.3 Cho f hàm số tuần hồn chu kì 2π xác định R công thức f (x) = |x| ; |x| ≤ π Đây hàm số chẵn, nên bn = 0; n = 1, 2, a0 = π an = π π −π π |x| dx = π x cos nx dx = Như thế, ta nhận   0 an =  − (cos nπ − 1) πn2 n = 2k π(2k + 1)2 n = 2k + Từ đó, ta nhận khai triển chuỗi Fourier hàm sau π − π ∞ k=0 cos(2k + 1)x = |x| ; với |x| ≤ π (2k + 1)2 Chương CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 41 Đặc biệt x = ta nhận giá trị tổng sau ∞ k=0 π2 = (2k + 1)2 (2.7) Từ cơng thức (2.7) ta tính giá trị chuỗi số ∞ n=1 n2 Thật vậy, ta có ∞ n=1 Từ = n2 ∞ n=1 ∞ k=1 = n2 Cuối ta nhận ∞ 1 + 4k k=0 (2k + 1)2 ∞ k=0 ∞ n=1 π2 = (2k + 1)2 π2 = n2 (2.8) 2.4.4 Có thể nhận cơng thức (2.8) cách tìm khai triển chuỗi Fourier hàm số tuần hồn chu kì 2π xác định R f (x) = x2 ; với |x| ≤ π Hàm số f liên tục thỏa mãn điều kiện định lý Dini nên tổng chuỗi Fourier điểm R Bằng tính tốn đơn giản ta nhận khai triển sau ∞ (−1)n π2 x = +4 cos nx; với |x| ≤ π n n=1 Thay x = π vào biểu thức (2.9), ta (2.8) Thay x = vào biểu thức (2.9), ta ∞ n=1 (−1)n π2 = − n2 12 (2.9) Kết luận Khóa luận trình bày cách hệ thống lý thuyết chuỗi số, lý thuyết chuỗi hàm Giới thiệu khai triển chuỗi Fourier hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π, xác định R Mục đích khóa luận giới thiệu số kết đặc sắc việc sử dụng khai triển chuỗi Fourier để tính tổng chuỗi số đặc biệt 42 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Xuân Liêm (2010), Giải tích tập 2, NXB Giáo dục [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2010), Bài tập giải tích 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 43 ... FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 37 2.4 Ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số Trong việc nghiên cứu chuỗi số, ta khẳng định hội tụ nhiều chuỗi số chuỗi ∞... chuỗi Fourier - Nghiên cứu ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Chuỗi Fourier ứng dụng - Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm tính tổng số chuỗi số. .. "Chuỗi Fourier ứng dụng việc tính tổng số chuỗi số. " Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm, số tính chất ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi số Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chuỗi