Việc tính toán phép biến đổi Fourier rời rạc có nhiều ứng dụng lý thuyết thông tin, địa vật lý, y học, quang học, âm học. . . Tuy nhiên,
nếu ta sử dụng định nghĩa (3.33) thì ta sẽ gặp một trở ngại là số lượng phép tính cần thực hiện khá lớn. Thật vậy, với mỗi k, để tính X(k) = PN−1
n=0 x(n)wkn thì ta cần tính N phép nhân phức và N −1 phép cộng phức. Vậy để có phép biến đổi Fourier rời rạc X(k), k = 0,1, ..., N −1, thì cần tính N2 phép nhân phức và N(N −1)phép cộng phức. Suy ra với N càng lớn thì số phép tính cần thực hiện càng tăng rất nhiều. Năm 1965, hai nhà toán học Cooley và Tukey đã tìm ra thuật toán tính nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc. Từ đó, một số các thuật toán tính nhanh khác xuất hiện với tên gọi chung FFT. Điểm giống nhau của các thuật toán này là đều dựa vào nguyên tắc phân tích dãy N số thành các phép biến đổi Fourier rời rạc với các dãy số bé hơn.
Ở đây, chúng ta chỉ tìm hiểu một trong các thuật toán FFT. Ta sẽ thấy số lượng các phép toán giảm đi một cách đáng kể.
Thuật giải FFT chỉ áp dụng cho trường hợp N = 2r, r ∈ N (3.36)
Ta sẽ dùng các tính chất sau đây của W
Wk(N-n) = (Wkn)∗, (3.37)
Wkn = Wk(n+N) = W(k+N)n, (3.38)
Trong đó, ký hiệu (*) là ký hiệu liên hợp phức. Các tính chất trên được suy trực tiếp từ định nghĩa của W.
Vì N là chẵn nên tổng trong (3.33) có thể tách thành hai tổng X(k) = N−1 X n=0 x(n)Wkn = X nchẵn x(n)Wkn+ X nlẻ x(n)Wkn
= N/2−1 X m=0 x(2m)(W2)km +Wk N/2−1 X m=0 x(2m + 1)(W2)km. (3.39) Để ý rằng W2 = e−2i2π/N = e−i2π/(N/2), (3.40)
do đó, nếu đặt Xe(k) và X0(k) lần lượt là số hạng thứ nhất và thứ hai trong vế phải của (3.39), ta thấy chúng là các phép biến đổi Fourier rời rạc của hai dãy điểm là
{x(2m)|m = 0, ..., N/2−1}
và
{x(2m+ 1)|m = 0, ..., N/2−1}.
Vậy
X(k) = Xe(k) +WkX0(k), (3.41)
(trong đó các chỉ số e và o của chữ X là viết tắt của chữ even và odd). Ngoài ra, do tính tuần hoàn chu kỳ N/2, chỉ cần tính Xe(k) và X0(k)
với N/2≤ k ≤N −1, (hoặc với 0 ≤ k ≤ N/2−1). Lặp lại việc tách tổng như trên, ta có
Xe(k) = N/2−1 P m=0 x(2m)(w2)km = N/4−1 X p=0 x(4p)(w4)kp+W2k N/4−1 X p=0 x(4p+ 2)(W4)kp, Xo(k) = N/2−1 P m=0 x(2m + 1)(W2)km = N/4−1 X p=0 x(4p+ 1)(w4)kp+ W2k N/4−1 X p=0 x(4p+ 3)(W4)kp,
có nghĩa là Xe và X0 được phân tích thành tổng của hai phép biến đổi Fourier rời rạc của N/4 điểm.
Tiếp tục việc phân tích như thế cho đến khi ta được phép biến đổi Fourier rời rạc của hai điểm. Khi đó, ta có
Luận văn đã nghiên cứu về chuỗi Fourier, phép biến đổi Fourier và một số tính chất, ứng dụng của nó. Cụ thể:
Khảo sát vấn đề biểu diễn một hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π thành tổng vô hạn các hàm điều hòa đơn giản, chỉ ra rằng một biểu diễn như thế có thể thực hiện với một lớp hàm khá rộng. Ý nghĩa của vấn đề này là một dao động phức tạp có thể biểu diễn thành tổng các dao động điều hòa đơn giản, Ngoài ra khái niệm chuỗi hàm lượng giác không chỉ ứng dụng cho các dao động tuần hoàn mà còn rất có ích trong việc nghiên cứu nhiều hiện tượng tự nhiên khác.
Biểu diễn một hàm không tuần hoàn như là hợp của các dao động điều hòa nhờ vào công cụ tương tự như chuỗi Fourier là tích phân Fourier.
Với phạm vi thời gian và kiến thức có hạn, chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Mong quý thầy cô và các bạn góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, Nxb giáo dục, Hà Nội. [2] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cương, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn
Nhân (2001), Biến đổi tích phân, Nxb giáo dục, Hà Nội.
[3] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, tập 1, Nxb Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
[5] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội. [6] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng (2005), Giải tích
toán học học hàm số một biến, Nxb ĐHQ Hà Nội.
[7] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng(2002), Giải tích các hàm nhiều biến, Nxb ĐHQG Hà Nội.
[8] Võ Tiếp (dịch)(1983), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập 3, Nxb giáo dục, Hà Nội.
[9] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[10] Brigham, E. Oran (1988), The fast Fourier transform and its ap- plications, Englewood Cliffs, N.J. Prentice Hall.
[11] C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000), “The discrete fractional Fourier transform”, IEEE Trans. On Signal Processing, 48 (5), 1329-1337.
[12] C. Fefferman “On the divergence of multiple Fourier series” (1971),
Bull. Amer. Math. Soc, 77 (2), 191 - 195.
[13] C. Fefferman “On the divergence of multiple Fourier series” (1971),
Bull. Amer. Math. Soc, 77 (5), 744 - 745.
[14] F. A. Gr¨unbaum (1982), “The eigenvectors of the discrete Fourier transform”, J. Math. Anal. Appl, 88 (2), 355-363.