Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân có vai trị quan trọng tốn học nói chung giải tích phức nói riêng Nó với phép biến đổi Fourier biến đổi Radon phép biến đổi hữu ích thường sử dụng việc giải toán phức tạp giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân… Nghiên cứu sở phép biến đổi người ta biết sở phép tính tốn tử để đưa dạng phương trình dạng đơn giản Trong vật lý, phép biến đổi Laplace dùng để giải tốn phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, hệ học Như phép biến đổi Laplace khơng có ý nghĩa lý thuyết tốn học mà cịn có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Trên sở hướng dẫn Tiến sĩ Trần Văn Vuông, lựa chọn đề tài “Biến đổi Laplace” nhằm nghiên cứu sâu phép biến đổi số ứng dụng thực tiễn Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu hệ thống kiến thức phép biến đổi Laplace - Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải số dạng toán liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace vài ứng dụng sở thao tác hàm biến số lượng nhỏ hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược số hàm số thông thường Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết - Phân tích đánh giá, tổng hợp kết Đóng góp đề tài Hiểu rõ chất phép biến đổi Laplace tìm vài ứng dụng phép biến đổi Laplace PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Cho f (t ) hàm số xác định nửa khoảng [0;∞ ) Nếu tích phân suy rộng ∞ ∫e − st f (t )dt (trong s biến số phức) hội tụ gọi biến đổi Laplace f (t ) ký hiệu L [ f (t )] Biến đổi Laplace f (t ) hàm biến phức, kí hiệu F ( s ) Cơng thức ∞ đầy đủ F ( s ) = L [ f (t )] = ∫ e− st f (t )dt Theo công thức trên, biến đổi Laplace f (t ) tích phân suy rộng nên biến đổi Laplace f (t ) viết dạng khai triển sau ∞ T F ( s ) = L [ f (t )] = ∫ e − st f (t )dt = lim ∫ e − st f (t )dt T →∞ 0 Cận tích phân nên F ( s ) mang thông tin f (t ) với t ≥ Phép biến đổi Laplace biến hàm biến thực f (t ) thành hàm biến phức ∞ F ( s ) = L [ f (t )] = ∫ e− st f (t )dt Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = c, c ∈ ¡ Lời giải Với c ≠ , ta có ∞ T − st L [ f (t )] = L [ c ] = ∫ ce dt = c.lim e dt ∫ T →∞ − st  e − st = c.lim  − T →∞   s T  c e − sT  t =  = s − lim T →∞   ( PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ) Đặt s = α + i β , ta có lim e − sT = lim e −αT (cos β T − i sin β T ) T →∞ T →∞ Do cos β T − i sin β T hàm số bị chặn biến T nên giới hạn nói α > không tồn α ≤ Nếu c = ta có L[c ] = L [0] = F ( s ) = Vậy L [c ] = F ( s) = c với Re s > s Ví dụ 1.2 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = t ∞ T Lời giải L [ f (t )] = L [t ] = ∫ te − st dt = lim ∫ te − st dt →∞ T 0  te− st e − st  T  = lim −   −  T →∞  s s  t = 0   Te − sT e − sT = − lim − lim T →∞ s T →∞ s s2 Đặt s = α + i β , ta có lim e − sT = lim e −αT (cos β T − i sin β T ) T →∞ T →∞ Do cos β T − i sin β T hàm số bị chặn biến T nên: Te − sT e − sT +) Khi Re s > , lim = lim = T →∞ T →∞ s s2 +) Khi Re s ≤ , hai giới hạn nói khơng tồn Vậy L [t ] = F ( s) = với Re s > s2 Ví dụ 1.3 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = e at , a ∈ ¡ ∞ T 0 Lời giải L [ f (t )] = L e at  = ∫ e at e − st dt = lim ∫ e − ( s− a )T dt T →∞  e − ( s − a ) t = lim  T →∞   s − a T  e − ( s− a )T  t =  = s − a − lim T →∞   ( Đặt s = α + i β , ta có lim e − ( s − a )T = lim e − (α − a )T (cos β T − i sin β T ) T →∞ T →∞ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ) Do hàm số cos β T − i sin β T hàm số bị chặn biến T nên: +) Khi Re s > a , lim e − ( s − a )T = lim e− (α −a )T (cos β T − i sin β T ) = T →∞ T →∞ +) Khi Re s ≤ a , giới hạn nói khơng tồn Vậy L eat  = F ( s ) = với Re s > a s−a Ví dụ 1.4 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = sin at , a ∈ ¡ ∞ Lời giải L [ f (t )] = L [sin at ] = ∫ e − st sin atdt a e − sT (a cos aT + s sin aT ) = − lim s + a T →∞ s + a = a với Re s > s2 + a2 Hồn tồn tương tự, ta có L[cos at ] = s với Re s > s2 + a2 Ví dụ 1.5 Tìm biến đổi Laplace hàm Heaviside 1 t ≥ θ (t ) =  0 t < ∞ Lời giải L [θ (t ) ] = F (s ) = ∫ e − st dt = với Re s > s  − 12  Ví dụ 1.6 Tìm L t  , n > −1 , áp dụng kết tìm L t    n ∞ Lời giải Xét hàm Γ(t ) xác định công thức Γ(n) = ∫ u n −1e − u du Trước hết ta chứng minh Γ(n + 1) = n ! (∀n ∈ ¥ )  dx = nu n −1du x = u  Thật vậy, Γ(n + 1) = ∫ u n e − u du nên đặt  ⇔  −u −u  dy = e du  y = − u e ∞ n PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ∞ Γ(n + 1) = ∫ u e du = −u e n −u n ∞ −u ∞ u=0 + ∫ nu n −1e − u du = n.Γ(n), (∀n ∈ ¥ ) Lặp lại q trình ta có Γ(n + 1) = n(n − 1)(n − 1) 1Γ(0) Mặt khác Γ(0) = nên Γ(n + 1) = n! Từ suy ∞ ∞ 0 L t n  = F ( s ) = ∫ e − st t n dt = ∫ e− u u n du ∞ −u n Γ (n + 1) n! = e u du = = n+1 n n +1 ∫ s s s s n+1 s 1 Γ      ∞ −1 Áp dụng kết ta có L t  =   , Γ   = ∫ u e− u du 2   s2 − ∞ 1 Đổi biến u = x Γ   = ∫ e − x dx = π 2 1 Γ  π   Do L t  =   = s   s2 − ( s > 0) 1.1.2 Sự tồn biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1 Hàm số f (t ) gọi hàm gốc có hai tính chất sau: a) f (t ) đo khoảng (0; ∞) b) f (t ) tăng không nhanh hàm mũ t → ∞ , nghĩa ∃α > 0, ∃M > 0,| f (t ) |≤ Meα t , ∀t > Số α = inf α với tất α thoả mãn (b) gọi số tăng f (t ) Định lý 1.1 Nếu f (t ) hàm gốc có số tăng α biến đổi Laplace có miền hội tụ Re s > α Chứng minh Với α ≥ α , ta có − Meα t ≤ f (t ) ≤ Meα t , ∀t > , T T T − M ∫ e e dt ≤ ∫ e f (t )dt ≤ M ∫ e − st eα t dt − st αt − st PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com T T T M M − st α t − st Vậy ⇔− = − M lim ∫ e e dt ≤ F ( s) = lim ∫ e F (t )dt ≤ M lim ∫ e − st eα t dt = T →∞ T →∞ T →∞ s −α s −α 0 − M M ≤ F ( s) ≤ với Re s > α s −α s −α Nhận xét Từ định lý ta có lim F ( s ) = Re s →∞ Định lý 1.2 Nếu f (t ) hàm gốc với số tăng α biến đổi Laplace F ( s ) f (t ) hàm giải tích miền Re s > α n Chứng minh Bước Đặt Fn (s ) = ∫ e − st f (t )dt Trước hết ta chứng minh với Re s > α , với ∀ε > dãy ( F ( s) ) n n =1,2, hội tụ F ( s ) miền Re s ≥ α + 2ε Thật vậy, ∀s ∈ { z ∈ £ Re z ≥ α + 2ε } , ta có ∞ Fn ( s ) − F (s ) ≤ ∫ e − (Re s ) t f (t ) dt n ∞ ≤ M ∫ e − (Re s ) t e(α +ε ) t dt n ∞ ≤ M ∫ e − ε t dt n ∞ M  1 = M  −  e −ε t = e − nε t=n ε  ε Hơn nữa, bất đẳng thức không phụ thuộc vào s với ∀s ∈ { z ∈ £ Re z ≥ α + 2ε } nên dãy ( Fn ( s) )n=1,2, hội tụ F ( s ) miền Bước Ta chứng minh Fn ( s) giải tích miền Re s > α với n ∈ ¥ * (Tức ta tồn Fn '( s ), ∀n ∈ ¥* ) Thật vậy, với s cố định thuộc miền Re s > α , theo định lý hội tụ bị chặn Lesbesgue ta có Fn '( s ) = lim h→0 Fn (s + h) − Fn ( s ) h PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com n ∫e − ( s +h)t = lim n f (t )dt − ∫ e − st f (t )dt h →0 h n = lim0 ∫ tf (t )e h→ − st e − ht − dt ht n e − ht − dt = − ∫ tf (t )e − st dt = ∫ tf (t )e lim h→0 ht 0 n − st Theo định lý Weierstrass, hàm F ( s ) giải tích miền Re s > α 1.1.3 Tính chất biến đổi Laplace Định lý 1.3 Cho f k (t ) hàm gốc có biến đổi Laplace Fk ( s ) , số tăng tương ứng α k , k = 1, 2, , n n Nếu f (t ) = ∑ ck f k (t ), ck ∈ ¡ số , biến đổi Laplace f (t ) hàm k =1 n số F ( s ) xác định F ( s ) = ∑ ck Fk ( s) với miền hội tụ Re s > max α k 1≤ k ≤ n k =1 Chứng minh Ta có ∞ L [ f (t )] = F ( s) = ∫ e− st f (t )dt ∞ = ∫e − st n ∑c k =1 n ∞ k =1 k f k (t )dt = ∑ ck ∫ e − st f k (t )dt = ∑ ck L [ f k (t )] dt = ∑ ck Fk ( s ) n n k =1 k =1 Ví dụ 1.7 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = 2t + e3t − sin 4t Lời giải L [ f (t )] = L  2t + e3t − sin 4t  = L [t ] + L e3t  − L[sin 4t ] = + − với Re s > s s − s + 16 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com eat − e − at Ví dụ 1.8 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = sinh at = , a∈¡  e at − e − at  Lời giải L [ f (t )] = L [sinh at ] = L     = 1 L e at  − L[e − at ] 2 1 1 a = − = với Re s > a s − a s + a s − a2 e at + e − at Tương tự, f (t ) = cosh at = , a ∈ ¡ , L [ f (t )] = L [cosh at ] = s với Re s > a s − a2 Định lý 1.4 Cho f (t ) hàm gốc có số tăng α , c > số, s F ( s ) = L [ f (t )] Khi L [ f (ct )] = F   với miền hội tụ Re s > cα c c ∞ Chứng minh Ta có L [ f (ct )] = ∫ e− st f (ct )dt u Đặt u = ct du = cdt , dt = du , t = c c ∞ −  cs u s Do L [ f (ct )] = ∫ e f (u )du = F   c0 c c Định lý 1.5 Cho L [ f (t )] = F ( s ) với Re s > α 0 Đặt fτ (t ) =   f (t − τ ) t < τ t ≥ τ Khi L [ fτ (t )] = e − sτ F ( s) với Re s > α Chứng minh Ta có ∞ τ ∞ ∞ L [ fτ (t )] = ∫ e fτ (t )dt = ∫ e fτ (t )dt + ∫ e fτ (t )dt = ∫ e − st f (t − τ )dt − st − st − st τ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com τ 10 Đặt u = t − τ du = dt , t = u + τ Đổi cận: t = τ → u = 0, t = ∞ → u = ∞ ∞ ∞ 0 Do L [ fτ (t )] = ∫ e − s ( u +τ ) f (u )du = e − sτ ∫ e − su f (u )du = e − sτ F ( s ) 1 t ≥ a Ví dụ 1.9 Tìm L [θ a (t )] θ a (t ) = θ (t − a ) =  , a∈¡ t < a  1 t ≥ Lời giải Với θ (t ) =  ta có L [θ (t ) ] = F (s ) = , Re s > s 0 t < 1 t ≥ a Vì với θ a (t ) = θ (t − a ) =  a ∈ ¡ số, 0 t < a e − as L [θ a (t )] = e F ( s ) = với Re s > s − as Định lý 1.6 Cho L [ f (t )] = F ( s ) với Re s > α , λ ∈ ¡ số Khi L eλt f (t )  = F ( s − λ ) với Re s > α + λ Chứng minh Ta có ∞ ∞ 0 L eλt f (t )  = ∫ e − st eλt f (t )dt = ∫ e − ( s −λ ) t f (t )dt = F ( s − λ ) Ví dụ 1.10 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = te at , a ∈ ¡ Lời giải Vì L [t ] = F ( s) = với Re s > nên s L te at  = F ( s − a ) = với Re s > a ( s − a)2 Định lý 1.7 Cho L [ f (t )] = F ( s ) , giả sử f ( k ) (t ) tồn hàm có biến đổi Laplace, f ( k −1) (0 + ) tồn với ∀k = 1, , n Khi L  f (n)  f (0+ ) f '(0 + ) f ( n−1) (0+ )  (t )  = s  F ( s) − − − −  s s2 sn   n PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com (1.1) 45 (Hình 2.1) Do đoạn mạch mắc nối tiếp nên hiệu điện hai đầu mạch điện tổng hiệu điện thành phần ta có L 1t dI + RI + ∫ I (τ )dτ = E (t ) dt C0 dQ d 2Q dQ Q ta có L + R + = E (t ) Với mạch diện Đặt Q(t ) = ∫ I (τ )dτ I = dt dt dt C t trên, ta có số toán sau: Bài toán Giả sử I dòng điện thoả mãn L dI + RI = E0 sin ωt ) , với dt L, R, E0 ,ω số Tìm I = I (t ) với t > biết I (0) = Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có ( Ls ) L [ I (t )] + RL [ I (t )] = E0ω s + ω2 E0ω E0ω L ⇔ L [ I (t ) ] = = 2 R ( Ls + R)(s + ω ) ( s + )( s + ω ) L E0ω A Bs + C L Đặt L [ I (t )] = = + , phương pháp hệ số R R s + ω2 ( s + )( s + ω ) s + L L bất định ta tìm A = E0 Lω − E0 Lω E0 Lω , B = , C = , L2ω + R L2ω + R L2ω + R PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 46 R − t E0 Lω ER E Lω I (t ) = 2 e L + 20 sin ωt − 02 cos ωt Lω + R Lω + R L ω + R2 Bài tốn Giả sử I dịng điện mạch điện gồm cuộn cảm L tụ điện C mắc nối tiếp, E hiệu điện hai đầu đoạn mạch thoả mãn dI t L + ∫ I (τ )dτ = E , với L, C , E số Tìm I = I (t ) với t > biết dt C I (0) = Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có ( Ls ) L [ I (t )] + Vậy I (t ) = E L [ I (t ) ] E = Cs s ⇔ L [ I (t )] = EC E = LCs + L( s + ) LC ⇔ I (t ) = E C sin t L LC C sin t L LC Ví dụ 2.35 Cho mạch diện ( RLC ) sơ đồ (Hình 2.1) Giả sử thời điểm t = điện áp hai đầu mạch 1V, với t < I (t ) = thay đổi tụ điện Khi ta có phương trình L dI 1t + RI + ∫ I (τ )dτ = δ (t ) , dt C0 R, L, C số Tìm I = I (t ) với t > trường hợp sau: a) L R2 > C b) L R2 < C Lời giải a) Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có ( Ls ) L [ I (t )] + RL [ I (t )] + L [ I (t )] = Cs PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 47 ⇔ L [ I (t ) ] = s Ls + Rs + C = s  R   R2  + − L  s +   L   LC L2    R R2 Đặt a = , b = − > (theo giả thiết a), ta có 2L L 4L L.L [ I (t ) ] = ⇔ I (t ) = s s+a a = − ( s + a) + b ( s + a) + b2 ( s + a)2 + b2 e − at  a   cos bt − sin bt  L  b  b Bằng cách làm hoàn toàn tương tự đặt R R2 e − at  a  a= , b = − + > ta có I (t ) =  cosh bt − sinh bt  2L L 4L L  b  Ví dụ 2.36 Một vật khối lượng m bắn thời điểm t = với vận tốc ban đầu v0 Nếu ta coi ma sát vật với khơng khí khơng đáng kể phương trình chuyển động vật mx ''(t ) + kx '(t ) = mv0δ (t ) , x(t ) độ dịch chuyển vật thời điểm t ≥ thoả mãn x (0) = , x '(0) = k > số Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có ms L [ x(t )] + ksL [ x(t )] = mv0 L [δ (t )] = mv0 ⇔ L [ x(t ) ] = Đặt v0 s (s + k ) m = mv0 v0 = ms + ks s ( s + k ) m A B mv −mv0 + , đồng hệ số ta có A = , B = , s s+ k k k m mv0 mv0 k − t  mv0  k k m L [ x(t )] = − ⇔ x (t ) = 1 − e  k s k   s+ m PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 48 Ví dụ 2.37 Một vật khối lượng m treo lò xo, đầu gắn cố định (Hình 2.2) (Hình 2.2) •o ( x Gọi x(t ) vị trí vật thời điểm t Chọn x = vị trí vật lúc vật đứng yên, chiều dương hướng xuống Gọi k > độ đàn hồi lò xo, F (t ) hợp lực tác dụng lên vật, ta có phương trình mx ''(t ) + kx + ax '(t ) = F (t ) Xét hệ trường hợp F (t ) = ta có x ''+ Đặt a = 2b, m a k x '+ x = m m k = λ x ''+ 2bx '+ λ x = m Phương trình đặc trưng tương ứng r + 2br + λ = ⇔ r = −b ± b2 − λ ( ) Với < b < λ ta có x (t ) = e − bt c1 sin λ − b t + c2 cos λ − b t Đặt c = c12 + c2 , cos ϕ = c2 x (t ) = ce − bt cos c ( ) λ − b2 t − ϕ 2.4 Giải phương trình tích phân t t 0 Phương trình dạng f (t ) = g (t ) + ∫ k (t ,τ ) f (τ )dτ g (t ) = ∫ k (t ,τ ) f (τ )dτ , k (t ,τ ) hàm hai biến cho trước gọi hạch f (t ) hàm cần tìm, gọi phương trình tích phân Khi hạch k (t ,τ ) có dạng đặc biệt k (t ,τ ) = k (t − τ ) ta giải phương trình dạng cách lấy biến đổi Laplace PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 49 Cụ thể g (t ) k (t ,τ ) hàm biết phương trình tích phân cho dạng nêu L [ f (t )] = L [ g (t )] + L [ f (t )].L [ k (t ) ] ⇔ L [ f (t )] = L [ g (t ) ] − L [ k (t )] t Ví dụ 2.38 Giải phương trình tích phân x (t ) = e− t + ∫ sin(t − τ ) x(τ )dτ Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta t  L [ x(t )] = L e  + L  ∫ sin(t − τ ) x (τ )dτ  0  −t ⇔ L [ x(t ) ] = L e − t  + L [sin t ].L [ x (t )] L e − t  1 s2 + ⇔ L [ x(t ) ] = = = + 2− s − L [sin t ] s ( s + 1) s + s ⇔ x ( t ) = 2e − t + t − Vậy nghiệm toán x (t ) = 2e − t + t − Ví dụ 2.39 Tìm nghiệm phương trình tích phân sau t ∫ sin(t − τ ) x(τ )dτ = t sin t Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta t  L  ∫ sin(t − τ ) x (τ )dτ  = L [t sin t ] 0  ⇔ L [sin t ].L [ x(t )] = ⇔ 2s ( s + 1)2 2s L x ( t ) = [ ] s2 + ( s + 1) ⇔ L [ x (t ) ] = 2s = L [cos t ] s +1 ⇔ x(t ) = 2cos t PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 50 Vậy nghiệm toán x (t ) = 2cos t Ví dụ 2.40 Một hạt trượt không ma sát quanh đường cong với điều kiện khoảng thời gian mà vật rơi xuống trọng lực độc lập với điểm rơi (Ta gọi đường cong đường đẳng thời) Khi vị trí vật cho phương trình tích phân T0 = 2g y f (u )du , T0 số thời gian, g y −u ∫ trọng lực f (u ) cho ds y = u với s = s( y ) độ dài đường dy cong Nhận thấy phương trình tích phân tích chập hàm f ( y ) Lấy biến đổi Laplace hai vế ta có L [T0 ] = ⇔ L [ f ( y )] = ⇔ L [ f ( y )] =   L[ f ( y)] L   2g  y  2g π s T s 2g π T = c0 , c = T g 0 π s s c y ⇔ f ( y) = 2  dx   dx  c c2 − y ds Vì f ( y ) = = +   nên +   = ⇔ x = ∫ dy dy dy dy y y     c2   x = (ϕ + sin ϕ ) 2ϕ  Đặt y = c sin   ta  2  y = c (1 − cosϕ )  PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com y 51 2.5 Giải phương trình sai phân Ví dụ 2.41 Giải phương trình an+ − 3an +1 + an = 0, a0 = 0, a1 = Lời giải Đặt y (t ) = an , n ≤ t < n + 1, n = 0,1,2, , phương trình cho trở thành y (t + 2) − y (t + 1) + y (t ) = ∞ Nhận thấy L [ y (t + 2)] = ∫ e − st y (t + 2)dt ∞ = ∫ e − s (τ − 2) y (τ )dτ (τ = t + 2) ∞ 0 = e s ∫ e− sτ y (τ )dτ − e s ∫ e − sτ y (τ )dτ = e L [ y (t ) ] − e 2s 2s ∫e − sτ a0 dτ − e 2s ∫e − sτ a1dτ ( a0 = 0, a1 = )  e − s − e −2 s  = e s L [ y (t ) ] − e s   s   = e s L [ y (t ) ] − es (1 − e − s ) s Hoàn toàn tương tự ta tìm L [ y (t + 1)] = e s L [ y (t )] Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta e− s e L [ y (t ) ] − (1 − e − s ) − 3e s L [ y (t )] + L [ y (t )] = s −2 s ⇔ L [ y (t )] = e s (1 − e s ) s (e s − 3e s + 2) e s (1 − e s )  1  ⇔ L [ y (t )] = − s  s  s  e − e −1 − es  1  ⇔ L [ y (t )] = −   −s s  − 2e − e− s  − e− s − e− s ⇔ L [ y (t )] = − = L  2[t ]  − L [1] −s −s s(1 − 2e ) s(1 − e ) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 52 ⇔ y (t ) = an = n − 1, n = 0,1,2, Ta kiểm tra lại kết toán sau an+ = 2n + − , an+1 = n+1 − , an = 2n − , an+ − 3an +1 + 2an = (2 n+ − 1) − 3(2 n+1 − 1) + 2(2 n − 1) = n+ − 3.2n +1 + 2.2n = 2.2 n+1 − 3.2n +1 + 2n +1 = Ví dụ 2.42 Giải phương trình an+ − 3an+1 + 2an = 3n , a0 = 0, a1 = Lời giải Bằng cách làm hồn tồn tương tự ví dụ ta tìm L 3[ ]  t L [ y (t )] = L   − L [1] + s e − 3e s + [t ] Lại có L 3[t ]  e s − 3e s + = − e− s s (1 − 3e − s ) e3 s − 3e s + − e− s  / 1/  = − +   −s −s s 1− e − 2e − 3e − s  = 1 L [1] − L  2[t ]  + L 3[t ]  , 2 1 Vậy nghiệm toán an = 3n − , n = 0,1,2, 2 2.6 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số số Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp khơng q hai có hệ số số phương trình có dạng ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a + 2b +c +d + e + fu = g , ∂x ∂x∂t ∂t ∂x ∂t u = u ( x, t ) hàm cần tìm hai biến x, t a , b, c, d , e, f , g số cho trước PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 53 Giả sử ta có hàm u = u ( x, t ) , với t ≥ biến thời gian Ta định nghĩa biến đổi Laplace hàm u = u ( x, t ) biến t hàm số U = U ( x, s) xác định ∞ hệ thức U ( x, s ) = L [u ( x, t )] = ∫ e − st u ( x, t )dt Ở x gọi biến không thay đổi Với định nghĩa trên, ta thừa nhận số tính chất sau ∂ ∞ − st ∂  ∂u  ∞ − st ∂ i) L   = ∫ e u ( x, t )dt = ∫ e u ( x, t )dt = U ( x, s )a (Điều có nghĩa ∂x ∂x ∂x  ∂x  biến đổi Laplace đạo hàm đạo hàm biến đổi) Trong công thức trên, để thuận lợi ta viết ∂ d dU U ( x , s ) = U ( x, s ) = , ∂x dx dx  ∂ 2u  d 2U L   = Theo tính chất biến đổi Laplace hàm biến ta suy  ∂x  ∂x  ∂u  L   = sL [u ( x, t )] − u ( x,0+ ) = sU ( x, s ) − u ( x,0 + )  ∂t  ∞ ∞ 0 ii ) lim ∫ e − st u ( x, t )dt = ∫ e − st u ( x0 , t )dt có lim U ( x, s) = U ( x0 , s) x→x x→x Ví dụ 2.43 Giải phương trình ∂u ∂u = ∂x ∂t Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho, ta d  ∂u   ∂u  L   = L   ⇔ U ( x, s ) = sU ( x, s) − u ( x,0+ ) dx  ∂x   ∂t  Do u ( x,0 + ) = x nên U ( x, s ) = ce sx + x + s s2 Lại có u (0, t ) = t suy U (0, s) = L [u (0, t )] = L [t ] = Cho c = U ( x, s ) = s2 x + u ( x, t ) = x + t s s2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 54 Vậy nghiệm toán u ( x, t ) = x + t Bài tập minh hoạ cho kỹ thuật việc sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên để dạng tập phong phú ta thừa nhận số kết sau  e− a s  L−1   = Erf s   L e −1 −a s  a    (a > 0) t   a =  π t3 e − a2 4t  e− a s  −4at L  e =  s π t   (a > 0) −1 Ví dụ 2.44 Giải phương trình x (a > 0) ∂u ∂u + + au = bx , với x > 0, t > 0, a , b ∂x ∂t số u (0, t ) = 0, u ( x,0+ ) = Lời giải Đặt L [u( x, t )] = U ( x, s ) , lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có bx xU x ( x, s) + sU ( x, s ) − u ( x,0 ) + aU ( x, s ) = , s + điều có nghĩa dU bx dU ( s + a ) bx x + ( s + a )U = , hay + U= dx s dx x s (s > 0) Nghiệm phương trình có dạng U ( x, s ) = bx + cx − ( s + a ) s ( s + a + 2) ( x > 0, s > − a ) Lấy biến đổi Laplace điều kiện biên u (0, t ) = , ta có U (0, s) = L [u (0, t )] = bx bx Cho c = U ( x, s ) = , từ suy u ( x, t ) = − e − ( a + 2) t ) ( a+2 s ( s + a + 2) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 55 bx Vậy nghiệm toán u ( x, t ) = − e − ( a + 2) t ) ( a+2 Ví dụ 2.45 Giải phương trình i ) u ( x,0 + ) = 1, ∂ u ∂u = , x > 0, t > thoả mãn ∂x ∂t x >0, ii ) u (0, t ) = 0, t > , iii )lim u ( x, t ) = x →∞ Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có d 2U = sU − u ( x,0 + ) = sU − dx Sử dụng giả thiết ii ) iii ) ta có U (0, s) = L [u (0, t )] = 0, lim U ( x, s ) = lim L [u ( x, t )] = L lim u ( x, t )  = x →∞ x →∞  x→∞  s Nghiệm phương trình U ( x, s ) = c1e sx + c2 e − sx + s Chuyển qua giới hạn ta có lim U ( x , s ) = , x →∞ s e sx với c1 = 0, U (0, s ) = U ( x, s) = − s s  x Sử dụng kết phần trước ta suy u ( x, t ) = Erf  2 t  =  π   x Vậy nghiệm toán u ( x, t ) = Erf  2 t ∫ ∂ 2u ∂u Ví dụ 2.46 Giải phương trình = , ∂x ∂t  = π  x/2 t x/2 t ∫ e − u du e − u du x > 0, t > thoả mãn i ) u ( x,0 + ) = , ii ) u (0, t ) = f (t ), t > , PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 56 iii )lim u ( x, t ) = x →∞ Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có d 2U − sU = dx Nghiệm phương trình U ( x, s) = c2e − sx (Giả thiết iii ) ) Theo ii ) ta có U (0, s ) = L [ f (t )] = F ( s ) , c2 = F ( s) U ( x, s) = F ( s)e− sx t Sử dụng tính chất tích chập ta suy u ( x, t ) = ∫ Đặt σ = x / 4τ , u ( x, t ) = π 2 ∞ ∫e −σ x t Vậy nghiệm toán u ( x, t ) = π x πτ e − x / 4τ f (t − τ )dτ  x2  f t − dσ  σ   ∞ ∫ x t  x2  e −σ f  t − dσ  σ   2.7 Giải phương trình vi tích phân Ví dụ 2.47 Tìm nghiệm toán sau t   x ''(t ) + x(t ) = sin t + ∫ sin(t − τ ) x(τ )dτ   x(0) = 0, x '(0) =  (2.9) (2.10) Lời giải Đặt L [ x(t )] = X ( s) , lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.9) ta có t L [ x ''(t )] + L [ x(t )] = L [sin t ] + L  ∫ sin(t − τ ) x(τ )dτ 0 ⇔ s L [ x(t ) ] + sx(0) − x '(0) + L [ x(t ) ] =   + L [sin t ].L [ x(t )] s +1 Kết hợp với điều kiện (2.10) ta suy PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 57 s L [ x(t ) ] − + L [ x(t )] = 1 + L [ x(t ) ] s +1 s +1 +1 s2 + s + ⇔ L [ x(t )] = = = = L [t ] ( s + 1) − s s2 + − s +1 ⇔ x(t ) = t Vậy nghiệm tốn x(t ) = t Ví dụ 2.48 Tìm nghiệm tốn t  x '( t ) +  ∫0 x(t − τ )dτ = cos t   x(0) =  (2.11) (2.12) Lời giải Đặt L[ x(t )] = X ( s ) , lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.11) ta có t  L [ x '(t )] + L  ∫ x(t − τ )dτ  = L [cos t ] , 0  ⇔ sL [ x(t ) ] + x(0) + L [ x(t ) ].L [1] = s s2 + Kết hợp với điều kiện (2.12) ta s 1   s +  L [ x(t )] = s s +1  s2 ⇔ L [ x(t ) ] = ( s + 1)2 ⇔ L [ x(t )] = 1 1  − = L[sin t ] − L  (sin t − t cos t )  s + ( s + 1) 2  1 ⇔ x(t ) = sin t − (sin t − t cos t ) = (sin t + t cos t ) 2 Vậy nghiệm toán x (t ) = (sin t + t cos t ) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 58 KẾT LUẬN Với mục đích nghiên cứu đặt từ ban đầu, qua q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn “Biến đổi Laplace”, luận văn đạt số kết thể nội dung sau: Chương 1: Xây dựng lý thuyết phép biến đổi Laplace (Định nghĩa tính chất), sở đề cập đến biến đổi Laplace ngược mối liên hệ hai loại biến đổi Chương 2: Nghiên cứu số ứng dụng phép biến đổi Laplace như: - Tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược số hàm số - Sử dụng biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân với hệ số số, phương trình tích phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân, số tốn Vật lý Thơng qua ví dụ trình bày luận văn, tơi nhận thấy giải phương pháp sử dụng biến đổi Laplace tốn có số ưu điểm sau: - Khi giải phương trình hệ phương trình vi phân có bậc vi phân lớn ta phải giải phương trình bậc với X ( s ) - Giải loại phương trình khác cách dùng biến đổi Laplace lời giải thường ngắn gọn dễ hiểu - Dùng biến đổi Laplace ta giải lớp tốn có phạm vi tương đối rộng Mặc dù biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng song thời gian điều kiện thân nên chưa nghiên cứu đầy đủ phép biến đổi Tôi hy vọng luận văn tiếp tục nghiên cứu mức độ lý thuyết cao ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [2] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, Nhà xuất Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Bài tập hàm số biến số phức, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [B] TÀI LIỆU TIẾNG ANH [6] Joel L Schiff (1988), The Laplace - Transform Theory and Application, Springer - Verlag, NewYork PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ... www.pdffactory.com Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Cho f (t ) hàm số xác định nửa khoảng [0;∞ ) Nếu tích phân suy rộng ∞ ∫e... Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Tìm biến đổi Laplace số hàm số Ví dụ 2.1 Từ định nghĩa tính chất biến đổi Laplace ta có bảng kết biến đổi Laplace số hàm thông dụng sau Hàm số f (t... (t ) với t ≥ Phép biến đổi Laplace biến hàm biến thực f (t ) thành hàm biến phức ∞ F ( s ) = L [ f (t )] = ∫ e− st f (t )dt Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Laplace f (t ) = c, c ∈ ¡ Lời giải Với c