Bổ đề Farkas và ứng dụng trong thị trường tài chính

Bổ đề Farkas đã hơn 100 tuổi. Đây là kết quả căn bản đối với hệ bất phương trình tuyến tính và là công cụ quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Trên cơ sở ý tưởng của A. Dax và K. Svanberg [5], [10], chúng tôi giới thiệu cách chứng minh Bổ đề Farkas chỉ sử dụng công cụ của đại số tuyến tính sơ cấp mà không dùng tính chất của lý thuyết tập hợp hay tính chất của số thực và số hữu tỉ. Mục đích của bài báo này là giới thiệu áp dụng của Bổ đề Farkas để chứng minh một nguyên lý quan trọng trong thị trường tài chính: Thị trường tài chính là đầy đủ khi và chỉ khi tồn tại đúng một độ đo xác suất rủi ro trung tính.

Nguyễn Chí Long Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH NGUYỄN CHÍ LONG* TÓM TẮT Bổ đề Farkas 100 tuổi Đây kết hệ bất phương trình tuyến tính cơng cụ quan trọng lý thuyết tối ưu Trên sở ý tưởng A Dax K Svanberg [5], [10], giới thiệu cách chứng minh Bổ đề Farkas sử dụng cơng cụ đại số tuyến tính sơ cấp mà khơng dùng tính chất lý thuyết tập hợp hay tính chất số thực số hữu tỉ Mục đích báo giới thiệu áp dụng Bổ đề Farkas để chứng minh nguyên lý quan trọng thị trường tài chính: Thị trường tài đầy đủ tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính ABSTRACT Farkas lemma and its applications in financial market Farkas lemma has existed over a hundred years old It is a fundamental result for the system of linear inequalities and an important tool in optimization theory Based on A Dax and K.Svanberg’s ideas [5], [10], we present the proof of the Farkas lemma by only uses the tools of elementary linear algebra, but neither any properties of the set theory nor any of the real and rational numbers The article is about presenting the applications of Farkas lemma to prove an important principle in financial market: “The financial market is complete if and only if there exists exactly one neutral risk probability measure.” Bổ đề Farkas Cho ma trận m hàng, n cột A b véctơ m chiều, có hệ (1) (2) sau có nghiệm: Ax=b ; T x  (1) T b y Vì ta tìm số thực bé t > cho t ||A gˆ ||2 nhỏ tùy ý, nên có t > cho t ||A gˆ ||2 < || gˆ ||2 (4), lấy x = xˆ - t gˆ f( xˆ - t gˆ ) – f( xˆ ) = t(- || gˆ ||2 + t ||A gˆ ||2) < Do đó, xˆ khơng thể nghiệm (P) 2) Nếu vectơ cột A độc lập tuyến tính phương trình Ax = b có nghiệm xˆ ngược lại; theo Mệnh đề I.1 2) 3) Giả sử xˆ thỏa điều kiện a, b, c Với cách đặt gˆ (5) : T xˆ  0; gˆ  xˆ gˆ = (6) Từ (4) ta có: f(x) - f( xˆ ) = xT gˆ - xˆ T gˆ + || A(x - xˆ )||2 = xT gˆ + || A(x - xˆ )||2  xT gˆ  với x  Vậy xˆ nghiệm (P+) Bây ta cần chứng minh điều kiện (a), (b), (c) khiếm khuyết xˆ khơng thể nghiệm (P+) i) Nếu điều kiện (a) khiếm khuyết xˆ khơng nằm miền chấp nhận + (P ) nên nghiệm (P+) 43 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ ii) Giả sử xˆ  gˆ không thỏa mãn điều kiện gˆ  0, nghĩa số  cho gˆ  < 0, có t > với t ||Ae||2 < - gˆ  e = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) với số vị trí thứ  Ta có: xˆ + te  từ (4) f( xˆ + te) - f( xˆ ) = t ( gˆ  + t ||Ae||2) < Điều chứng tỏ xˆ nghiệm (P+) iii) Giả sử xˆ  0, gˆ  khơng có điều kiện xˆ T gˆ = 0, nghĩa có số  cho xˆ  > gˆ  > Suy có t với < t < xˆ  t ||Ae||2 < gˆ  Ta có: xˆ - te  theo (4) f( xˆ - te) - f( xˆ ) = t (- gˆ  + t ||Ae||2) < Chứng tỏ xˆ nghiệm (P+) 4) Xét J tập tập hợp số {1; 2; …; n} gọi |J| số phần tử J; AJ ma trận m hàng, |J| cột {a j}jJ; aj cột thứ j ma trận A xj vectơ |J| chiều có thành phần {xj} jJ (cùng thứ tự số véctơ cột AJ) Ta định nghĩa miền Rn sau: n T X J = {x  R : x = (x1, x2, …, xn) với xj = j  J} X J = {x  XJ : với xj > j  J} Xét toán tối ưu (PJ) ( PJ ), thu hẹp (P) XJ X J : ||A ˆ - b||2 với ràng buộc x  XJ x ( PJ ): f(x); f(x) = ||A xˆ - b||2 với ràng buộc x  X J (PJ): f(x); f(x) = Nếu J =  X J = XJ = {O} lúc xˆ = nghiệm (PJ) ( PJ ) Nếu J   (PJ) có nghiệm véctơ cột AJ độc lập tuyến tính (do kết Mệnh đề I.2) Định nghĩa: 1) Tập số J {1, 2, …, n} gọi tập chọn (PJ) có nghiệm xˆ xˆ  X J 44 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ Trong trường hợp xˆ gọi điểm chọn tương ứng với J 2) Trong trường hợp (PJ) khơng có nghiệm hay (PJ) có nghiệm xˆ xˆ  X J , J gọi tập hợp số khơng đáng quan tâm, trường hợp khơng có điểm chọn tương ứng với J 3) Điểm chọn xˆ gọi điểm chọn tốt (đối với tối ưu + (P )) f( xˆ ) < f(x) với điểm chọn x Trước tiên ta chứng minh bổ đề phụ sau: Bổ đề phụ 1) Giả sử J tập số chọn xˆ điểm chọn tương ứng với J xˆ nghiệm ( PJ ) 2) Giả sử J tập số không đáng quan tâm, với điểm ~ cho trước x  X J , ln có tập số thực J, ghi J , với ~ ~ J  J (và J  J), điểm ~ x  X J~ cho f( ~ x )  f(x) 3) Nếu xˆ điểm chọn tốt J tập hợp số tập chọn hay tập khơng đáng quan tâm, ta ln có : f( xˆ )  f(x), x  X J Chứng minh bổ đề phụ: 1) Nếu J tập số chọn xˆ điểm chọn tương ứng với J f( xˆ )  f(x), x  XJ Suy f( xˆ )  f(x), x  X J (vì X J  XJ) Do xˆ nghiệm ( PJ ) 2) Giả sử J tập hợp không đáng quan tâm, ta xét hai trường hợp khác ma trận AJ, trường hợp véctơ cột AJ phụ thuộc tuyến tính véctơ cột AJ độc lập tuyến tính i) Khi véctơ cột AJ phụ thuộc tuyến tính: có d  XJ với thành phần âm, cho Ad = Với x  X J cho trước, đặt : = minj {xj /(-dj) : dj < 0}  > 0; Ta có: x + td  X J t  [0,  ) ~ x + d  X J~ với J  J (do xj + dj = với số j) Mặt khác, f(x + td) = 1 || Ax – b + tAd ||2 = || Ax – b ||2 = f(x), t 2 45 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ ~ Do đó, lấy ~x = x + d f( ~x ) = f(x) ~x  X J~ với J  J ii) Khi véctơ cột AJ độc lập tuyến tính: Theo định nghĩa tập số không đáng quan tâm Mệnh đề I.2, tồn nghiệm xˆ (PJ) có số j cho thành phần thứ j, xˆ j xˆ  Với x  X J cho trước, đặt :  : = j {xj / (xj - xˆ j) : xj > xˆ j }   (0, 1] Ta có: x + t ( xˆ - x)  X J , t  [0, ) ~ x +  ( xˆ - x)  X J~ với J  J (do xj +  ( xˆ j - xj) = với số j) Mặt khác, cố định x xˆ hàm theo biến t f(x + t ( xˆ - x)) đạt cực tiểu t = Do đó, f(x + t ( xˆ - x)) < f(x), t  (0,1] Đặc biệt f(x +  ( xˆ - x)) < f(x) ~ Vậy lấy ~x = x +  ( xˆ - x) f( ~x ) < f(x) ~x  X J~ , với J  J 3) i) Gọi J tập số chọn x  X J , theo bổ đề phụ 1, có điểm chọn xˆ  X J tương ứng với J f( xˆ )  f(x), x  X J ii) Gọi J tập hợp số không đáng quan tâm x  X J : ~ Theo bổ đề phụ 2, có ~x  X J~ ( J  J) cho f( ~x )  f(x) ~ Chú ý | J |  | J | - 1, nên số thành phần dương ~x số thành phần dương x ~ Nếu J tập chọn, biết f( xˆ )  f( ~x )  f(x) ~ Nếu J tập khơng đáng quan tâm ta lặp lại lý luận trên, thay khởi đầu với x  X J , ta khởi đầu với ~x  X J~ Vì số thành phần dương véctơ biến tối đa n, nên có nhiều n bước lặp để có tập hợp số chọn (chú ý J =  tập hợp số chọn) có tập hợp số chọn, sử dụng kết Bổ đề phụ 3i) ta kết cần chứng minh Chứng minh mệnh đề I4: Bài toán tối ưu (P+) ln có nghiệm 46 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ Lấy xˆ điểm chọn tốt x  0; có tập số J cho xˆ  X J Cả hai trường hợp J tập chọn tập khơng đáng quan tâm theo Bổ đề phụ 3: f( xˆ )  f(x) Do đó, xˆ nghiệm (P+) Ghi 1: Từ Bổ đề Farkas ta kiểm chứng dễ dàng hệ (1) vơ nghiệm tồn y  Rm cho y A = y b > (7) Áp dụng Bổ đề Farkas thị trường tài 2.1 Một số khái niệm, định nghĩa Xét mơ hình tài chu kỳ với thời gian giao dịch T = {0,1} Thời điểm t = thời điểm tại, bắt đầu giao dịch thời điểm t = thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch Thị trường tài gồm N+1 tài sản tảng để đầu tư, tài khoản tín dụng ngân hàng (hay trái phiếu khơng rủi ro) Bt , t = 0,1; với lãi suất cố định chu kỳ r N chứng khoán S , i = 1, 2, …, N; t = 0, i t Đối với tài khoản tín dụng Bt, giả thiết B0 = đơn vị tiền tệ gửi vào ngân hàng thời điểm t = có B1 = + r đơn vị tiền tệ t = Giá N chứng khoán thời điểm t = 0, S 01 , S 02 , …, S 0N xác định, giá chứng khoán thời điểm t = lại phụ thuộc vào k trạng thái tài (hay kịch bản) i, i = 1, …,  thuộc  : = {1, 2, …,  } Giả sử xuất kịch i   có xác suất P(i) > 0, i = 1, …, Gọi F = P( ) tập hợp tất tập  F trường thông tin lớn thị trường tài xét Lúc S1i , i = 1, …, N biến ngẫu nhiên xác định (, F, P) S1i () giá chứng khoán thứ i thời điểm t = kịch    xuất * Một phương án đầu tư (viết tắt PA) cặp (x, ) x tổng số tiền đầu tư ban đầu  danh mục chứng khoán đầu tư, véctơ gồm N thành phần : = (1, …, N) với i số đơn vị cổ phiếu chứng khoán thứ i mua thời điểm t = Số tiền lại sau mua N chứng khoán 0:=x- N i  S i i 1 gửi vào tài khoản tín dụng 47 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ * Quá trình giá PA (x, ) cặp (V0 (x, ); V1 (x, )) V0 (x, ) = x V1 (x, ) biến ngẫu nhiên N V1 (x, ) = 0B1 + i i  S i 1 * Quá trình lời G (x, ) PA (x, ) biến ngẫu nhiên G(x, ) = 0r + N i   S i , với  S i : = S1i - S0i i 1 * Trong trường hợp hàng hóa thị trường phải chiết khấu trình giá chứng khoán chiết khấu S1i ; lúc q trình giá chiết khấu PA (x, ) Sˆ0i = S0i Sˆ1i = B1 Vˆ0 (x, ) = x Vˆ1 (x, ) =  + N  i Sˆ1i , trình lời chiết khấu i 1 Gˆ (x, ) = N  i  Sˆ i , với  Sˆ i = Sˆ1i - Sˆ0i i 1 * Từ khái niệm ta có: V1 (x, ) = V0 (x, ) + G (x, ) Vˆt = Vt ; (t = 0;1) Vˆ1 (x, ) = Vˆ0 (x, ) + Gˆ (x, ) B1 * Thị trường tài khơng có hội chênh lệch thị giá, hay nói vắn tắt, thị trường khơng có lợi, hay thị trường lành mạnh, thị trường không tồn PA (x, ) thỏa mãn điều kiện sau: (1) x = V0(x, ) = (2) V1(x, )  (hoặc Gˆ (x, )  0)     : V1(x, )() > (hoặc Gˆ (x, )() > 0) * Một độ đo xác suất Q  gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính (hay độ đo xác suất trung hòa rủi ro) (1) Q() > 0,    (Mỗi kịch xảy với xác suất dương) (3) (2) EQ [ Sˆ i ] = (Kỳ vọng số gia chứng khoán chiết khấu lấy theo độ đo Q 0) * Một sản phẩm phái sinh (hay quyền phái sinh) quyền tài (a contigent claim) sản phẩm có dạng h(S 1), h: R  R hàm số cho h(S1) biến ngẫu nhiên (, F, P) Chẳng hạn h(S1): = 48 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ max (S1 – K; 0); S1 giá chứng khoán thời điểm đáo hạn t = K giá thực thi hợp đồng quyền chọn mua (hợp đồng mà người mua có quyền, khơng bắt buộc, mua chứng khốn với giá thực thi K thời điểm t = giá chứng khốn S1 cao K, khơng thực giá chứng khoán S1 thấp K) loại quyền phái sinh, có tên quyền mua kiểu Châu Âu Một cách tổng quát, quyền tài biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác định ( , F,P) biểu diễn thu hoạch thời điểm đáo hạn t = * Cho X quyền phái sinh Một phương án đầu tư (x, ) gọi phương án đáp ứng (a replicating strategy) hay bảo hộ (hedge) cho X V1 (x, ) = X thời điểm t = Ghi 2: Trong mơ hình tài lành mạnh, X quyền tài (x, ) phương án đáp ứng cho X x giá quyền tài X thời điểm t = * Một quyền tài X gọi đạt (attainable) hay mua bán (marketable) có phương án đầu tư (x, ) bảo hộ cho X * Thị trường tài đầy đủ quyền tài X tìm phương án (x, ) bảo hộ cho X Mơ hình tài khơng có tính chất gọi mơ hình tài khơng đầy đủ 2.2 Giá quyền tài đạt Mệnh đề II Cho X quyền tài đạt Q độ đo xác suất rủi ro trung tính xác định  giá giá x X định nghĩa giá phương án đầu tư đáp ứng xác định từ công thức 1  x = EQ  X   B1  (8) Chứng minh: Gọi (x, ) PA đầu tư đáp ứng cho X, nghĩa V1 (x, ) = X Từ định nghĩa trình giá chiết khấu, ta có: X = Vˆ1 (x, ) B1 suy 1  EQ  X  = EQ [ Vˆ1 (x, )]  B1  = EQ [x + Gˆ (x, )] 49 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _  N  = x + EQ   i Sˆ i   i 1  N =x+  i EQ [Sˆ i ] i 1 ( EQ [Sˆ i ] = ) Vậy mệnh đề II chứng minh =x Ghi 3: Mệnh đề II cho ta kết quả: độ đo xác suất rủi ro trung tính xác định  , giá trị kỳ vọng tính qua công thức (8) 2.3 Nguyên lý giá thị trường tài đầy đủ Trong [2], giới thiệu chứng minh nguyên lý: Thị trường tài lành mạnh (nghĩa khơng có lợi hay khơng có PA kinh doanh kiếm lời mà không bỏ vốn) tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính Sau áp dụng Bổ đề Farkas để chứng minh nguyên lý quan trọng khác thị trường tài Định lý Giả sử thị trường tài xét lành mạnh thị trường tài đầy đủ tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính Chứng minh: () Giả sử thị trường tài lành mạnh đầy đủ Theo nguyên lý định giá tài sản [2], tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính Để chứng minh tính nhất, giả sử có độ đo xác suất rủi ro trung tính Q1, Q2 xác định , ta cần chứng minh Q1 = Q2 Với i = 1, 2, …,  ta xét quyền tài có dạng B1  = i Xi () =  nơi khác Xi quyền tài đạt được, suy với i = 1, 2, …,  1  1  Q1 (i) = EQ  X i  = EQ  X i  = Q2(i)  B1   B1  Vậy Q1 = Q2 50 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ () Giả sử thị trường tài lành mạnh có độ đo xác suất rủi ro trung tính, ta cần chứng minh thị trường đầy đủ Để chứng minh điều ta cần kết bổ đề sau: Bổ đề Giả sử thị trường tài lành mạnh thị trường đầy đủ ma trận  hàng N+1 cột A xác định giá trị phương án đầu tư thời điểm đáo hạn t = B1 S11 (1) S1N (1) B1 S11 (2) S1N (2) A= phải có hạng  B1 S11 (K) S1N (K)         Chứng minh bổ đề 1: Ma trận A có hạng  với X  R Phương trình A H = X (9) N+1 có nghiệm H  R , H xem phương án đầu tư H = (0, 1, …, N) X quyền tài X = (V1(x, )(1),…, V1(x, )())T Điều chứng tỏ tìm phương án đáp ứng cho quyền tài X tương đương với việc giải hệ phương trình (9) phát biểu bổ đề Bổ đề Trong thị trường tài lành mạnh, quyền tài X đạt 1  EQ  X  lấy giá trị độ đo xác suất rủi ro trung tính Q  B1  Chứng minh bổ đề 2: () Giả sử quyền tài X đạt từ mệnh đề II ghi ta có: 1  EQ  X  = x (hằng số) độ đo xác suất rủi ro trung tính Q  B1  () Giả sử quyền tài X khơng đạt được, ta cần chứng minh có hai độ đo xác suất rủi ro trung tính Q1 Q2  mà 51 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ 1  EQ1  X   EQ2  B1  1   X   B1  Khi X khơng đạt hệ (9) khơng có nghiệm H, theo kết Bổ đề Farkas ghi có véctơ  = (1, …  K) thỏa  A =  X > Cho trước độ đo xác xuất rủi ro trung tính Q1  Đặt Q2(i) := Q1(i) + iB1 , với  > bé cho: Q2(i) > 0, i   Từ tính chất  A = 0, ta có: K  Q2 (i) = i 1 K K  Q1 (i) +    i B1 = i 1 i 1 Do đó, Q2 độ đo xác suất  1 K  Mặt khác, EQ  X  =  B1  Q i 1 K = (i) [  i 1 X (i )] B1 Q1 (i) X (i) +  B1 1 K  i X (i) i 1  = EQ  X  +   X  B1  1  1    X > 0, suy EQ  X   EQ  X   B1   B1  Vậy Bổ đề chứng minh Bây ta chứng minh chiều ngược lại định lý: lấy quyền tài X bất kỳ, ta cần chứng minh X đạt Thật vậy, giả thiết có độ đo xác suất trung tính Q thị 1  trường nên EQ  X  có giá trị nhất, theo kết Bổ đề  B1  X đạt Vậy thị trường tài đầy đủ Do đó, định lý chứng minh 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Hữu, Vương Qn Hồng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Chí Long (2010), “Nguyên lý định giá tài sản thị trường tài chính”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM, (55), tr 38 - 51 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chí Long _ 10 Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, Nxb Đại học Quốc gia TP HCM Trần Hùng Thao (2004), Nhập mơn tốn học tài chính, Nxb KHKT Hà Nội A Dax (1997), An elementary proof of Farkas’s lemma, SIAM Rev., 39(3) pp.503507 Robert J Elliott and P E Kopp (2005), Mathematics of Financial Markets, Springe Finance, Second Edition Hans Foellmer and Alexander Schied (2002), An Introduction in Discrete time, Walter de Gruyter G Pennacchi (2008), Theory of Asset Pricing, Pearson Education, Increase affect Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishing Krister Svanberg (2008), Farkas’ Lemma derived elementary linear Algebra, Technical Report TRITA-MAT-2008-0S7 THE STRUCTURE OF CONNES’ C* – ALGEBRAS … (Continued from page 23) 17 18 19 Vu L A., Shum K P (2008), “Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific co, pp 353-371 Vu L A., Hoa D Q (2009), “The topology of foliations formed by the generic Korbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathematics, 52 (2) , pp 351-360 Vu L A.; Hoa D Q (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2) , pp 249 – 259 THUẬT TOÁN TÌM CƠ SỞ CỦA GIAO VÀ TỔNG … (Tiếp theo trang 29) TÀI LIỆU THAM KHẢO Cartan, H.and Eilenberg,S (1956), Homological Algebra – Princeton University Press Cozzens, J.H (1972), “Simple principal left ideal domains”, J.Alg.23 53 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ 54 Jategaonkar, A.V (1970), Left Principal Ideal Rings, Berlin-Heidelberg-New York Kaplansky, I (1970), Commutative Rings, Allyn and Bacon, Inc (1970)  ... Giả sử thị trường tài lành mạnh có độ đo xác suất rủi ro trung tính, ta cần chứng minh thị trường đầy đủ Để chứng minh điều ta cần kết bổ đề sau: Bổ đề Giả sử thị trường tài lành mạnh thị trường. .. lý quan trọng khác thị trường tài Định lý Giả sử thị trường tài xét lành mạnh thị trường tài đầy đủ tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính Chứng minh: () Giả sử thị trường tài lành mạnh đầy đủ... V1(x, )())T Điều chứng tỏ tìm phương án đáp ứng cho quyền tài X tương đương với việc giải hệ phương trình (9) phát biểu bổ đề Bổ đề Trong thị trường tài lành mạnh, quyền tài X đạt 1  EQ 