BÀI tập TỔNG hợp qúa trình ngẫu nhiên ứng dụng

BÀI TẬP TỔNG HỢP QTNN Đề tài 1: BÀI 8.2: Cho kiện A,B,C với P(A)=P(B)=P(C)=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(ABC)=0.25 Chứng minh vector liên quan đến biễn ngẫu nhiên không độc lập tổng thể độc lập đơi Bài Giải Ta có: P(A)P(B)=0,5*0,5=0,25=P(AB) P(B)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(BC) P(A)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(AC)  A,B,C độc lập đôi P(A)P(B)P(C)=0,5*0,5*0,5=0.0125≠P(ABC)   A,B,C không độc lập ĐCCM BÀI 8.3:Cho x,y,z biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn,đôi độc lập.Chứng minh chúng độc lập Bài Giải x,y,z tuân theo luật phân phối chuẩn   Công thức tổng quát: (Áp dụng định lý Goodman) f(x) = Với X = Ma trận hiệp phương sai f(x,y,z): ⅀= = |⅀|= Ta có: (X-�) ==  =  f(x,y,z) = = = f(x)f(y)f(z)  x,y,z độc lập(ĐPCM) Bài 8.32 : Cho vector ngẫu nhiên x y không tương quan với trung bình khơng � x = �y = � Chứng minh : 1/ Nếu z = x + jy : fz(z) = f(x,y) = = 2/ Φz(Ω) = exp{-(�2u2 + �2v2)} = exp{- |Ω|2 } với Ω = u + jv Áp dụng công thức 8-62 Bài giải : Theo công thức 8-62 ta có : Nếu vector X Y có Cxx=Cyy ; Cxy= -Cyx; Và Z=X+jY : Czz = 2(Cxx - jCxy) fz(Z) = exp{-ZCzz-1Z+} Φz(Ω) = exp{- ΩCzzΩ+} 1/ Ta có µx=µy=0 ; z=x+jy ; => Czz = 2(Cxx – jCxy) =2Cxx = 2�x2 =2�2 (Vì x y không tương quan nên Cxy=0 ; Cxx= x ) Ta có : Z.Z+ =(x+jy)(x-jy) = x2+y2 fz(Z) = exp{-ZCzz-1Z+} = => ĐCCM 2/ Ω = u+jv => Ω.Ω+ = (u+jv)(u-jv) = u2+v2 exp{- ΩCzzΩ+} = exp{ - 2�2.(u2+v2)} = exp{- (�2u2+�2v2)} = exp{- |Ω|2 }  ( Do |Ω|2 = u2+v2 ) ĐCCM Bài 10.8 : Quá trình x(t) WSS phân phối chuẩn với E{x(t)}=0 R(τ)=4e-2|τ| a) b) Tìm P(x(t))≤3 Tìm E{[x(t+1)-x(t+1)]2} Bài giải a/ Ta có FX(�)=G(  P{x(t)≤3} = FX(3)=G( µ(t)=E{�(t)}=0 ; �2(t)=E{[�(t)]2}=Rxx(t,t)=4e0=4 => �(t)=2 ;  P{x(t)≤3} = FX(3)=G( =G(=G( b/ Ta có : E{[x(t+1)-x(t+1)]2}=E{x2(t+1)-2x(t+1).x(t-1) + x2(t-1)]} = E{[x(t+1)]2} – 2.E{x(t+1).x(t-1)} + E{[x(t-1)]2} = Rxx(t+1,t+1) – 2Rxx(t+1,t-1) +Rxx(t-1,t-1) =4e0 – 2.4e-2.2 +4e0= 4-8e-8+4 = 8-8e-8 Bài 10.12 : Chứng minh 1/ Nếu �(t) trình ngẫu nhiên với zero-mean hàm Rxx(t1,t2)=f(t1)f(t2)w(t1t2) Chứng minh y(t)= trình WSS với Ryy (t1,t2)=w(τ) 2/ Nếu �(t) trình nhiễu trắng với Rxx(t1,t2)=q(t1)δ(t1-t2) Chứng minh z(t)= trình WSS nhiễu trắng với Rzz(t1,t2)=δ(τ) Bài giải : 1/ Ta có �(t) q trình ngẫu nhiên với zero-mean => E{�(t)}=µ(t)=0 ; y(t) = => E{y(t)} =E{ = ( f(t) hàm biến t nên thời điểm t f(t) có giá trị xác định ) Ta có : Ryy (t1,t2)= E{y(t1).y(t2)}=E{ = = = =w(t1-t2) = w(τ) với τ=t1-t2 Czz(t1,t2) 2/ Để z(t) trình WSS nhiễu trắng với Rzz(t1,t2)=δ(τ) ta cần chứng minh : Ta có : E{z(t)}=E{ = = (1) ( q(t) hàm biến t nên thời điểm t q(t) có giá trị xác định ) Rzz(t1,t2)== = = δ(t1-t2) =δ(τ) (2) Vì : q(t1)δ(t1-t2)= δ(t1-t2) t1≠t2 δ(t1-t2)=0 => q(t1)δ(t1-t2)= δ(t1-t2)=0 t1=t2 q(t1)=q(t2) => q(t1)δ(t1-t2)= δ(t1-t2) Từ (1) (2) => z(t) q trình WSS Ta có : với t1 ≠t2 Czz(t1 ,t2) = Rzz(t1,t2) –z(t1)µz(t2 ) = Rzz(t1,t2) (do z(t1)=µz(t2 )=0) = δ(t1-t2) = (do t1 ≠t2 ) => ĐCCM Đề tài : Bài 7.10: Bài 7.11: Bài 7.12: Bài 3: Đề tài 5: Chương – Ví dụ Cho biết Hãy xét xem biến X Y có độc lập thống kê không ? Bài giải Xét :  Hàm mật độ biên X Đặt Vậy  | Hàm mật độ biên Y  Tích hàm mật độ biên : = X Y biến độc lập thống kê Chương 3-Ví dụ Biết phân bố chuẩn đồng thời biến ngẫu nhiên: Xác định hàm mật độ biên? Bài giải Đặt t= => Áp dụng tích phân * Tương tự: Đề tài 6: Bài tập 10.10 Cho trình x(t) trình ổn định theo nghĩa rộng , chứng Giải: • X(t) q trình ổn định theo nghĩa rộng có   • , ta có: (đpcm) Bài tập 10.11 - Tìm E[y(t)] , E[y2(t)] Ryy() y’’(t) + 4y’(t) + 13y(t) = 26 + v(t) ; R() = 10() Tìm p[ y(t) ≤ 3] v(t) chuẩn Giải : Ta có y’’(t) + 4y’(t) + 13y(t)=x(t) t Q trình y(t) đáp ứng hệ thống với x(t) =26+v(t) H(s) , h(t)= e-2tsin3t U(t) Từ x=26 => y= xH(0)=2 Quá trình trung bình y(t) = y(t) - y đáp ứng từ v(t) Vậy E{y2(t)} = q = Với b=4 ,c=13 Ryy() = (cos 3r - sin3| |) + Nếu V chuẩn y(t) phân phối chuẩn với mean hàm Ryy(0) - = , p { y(t) ≤ 3} = G( ) = G (3.24) Đề tài 7: Không nộp tập cho cô Đề tài 8: Không nộp tập cho cô Đề tài 9: 18) Cho biết số gọi đến tổng đài trình Poisson với tốc độ trung bình gọi đơn vị thời gian.Hãy tính a) b) P{X(1)=2} P{X(1)=2, X(3)=6} P{X(1)=2\X(3)=6} P{X(3)=6\X(1)=2} Lời giải Gọi X(t) số gọi đến tổng đài khoảng thời gian t, theo giả thuyết X(t) trình Poisson với tham số λ=2 a) P{ X(1)=2 }= P{ X(1)=2,X(3)=6 }=P{ X(1)=2,X(3)-X(1)=4}= =e -6 b) P{X(1)=2\X(3)=6}== = 19) Cho {X1(t),t ≥ 0} {X (t),t ≥ 0} trình Poisson độc lập với cường độ λ1 λ2 tương ứng Chứng minh {X (t) = X1(t) + X (t), t ≥ 0} trình Poisson với cường độ λ = λ1 + λ2 Lời Giải P[X1+X2=k]= = = = P[X(t)=k]= Vậy λ = λ1 + λ2 20) Khách tới cửa hàng theo trình Poisson với cường độ 10 người Khách mua hàng với xác suất p=0,3 khơng mua hàng với xác suất q=0,7.Tính xác suất để có người vào mua hàng với xác suất người mua hàng người không mua hàng Lời Giải Gọi X(t)là số khách hàng tới cửa hàng khoảng thời gian t theo giả thuyết X(t) trình Poisson tham số λ=10 Gọi X1(t) {X (t), số khách hàng tới cửa hàng có mua hàng khơng mua hàng khoảng thời gian t X1(t) trình Poisson với tham số λ1 = 10.0,3=3 X2(t) trình Poisson với tham số λ2 = 10.0,7=7 Xác suất để người vào cửa hàng có người mua hàng người khơng mua hàng là: P{X1(1)=3,X2(1)=6}= =e-10 Đề tài 10,11: Không phải làm BT Đề tài 12: Bài 8.8 (Chapter E-Book – Papoulis) Chứng Minh Rằng : {Y| X1} = { { Y| X1 ,X2} | X1} mà { Y| X1 ,X2} = a1 X1 + a2 X2 ước lượng trung bình bình phương tuyến tính biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X1, X2 Giải: Ước lượng biến ngẫu nhiên Y xác đinh sau: Ŷ = a1 X1 + a2 X2 Với a1 ,a2 glà tham số cần tìm để đạt ước lượng tốt Khi giá trị ước lượng trung bình bình phương: P = E{|Y – Ŷ |2} = E {|Y – (a1 X1 + a2 X2)|2} Nguyên tắc: Tìm ước lượng Y cho P nhỏ Nguyên tắc trực giao: P nhỏ vector sai số ε = Y – Ŷ trực giao với Vector thu thập Xi, tức là: E {[Y – (a1 X1 + a2 X2) ]Xi} = với i = 1, Hay E {Y Xi } – E {(a1 X1 + a2 X2) Xi} = với i = 1, Hay E {Y Xi } = E {(a1 X1 + a2 X2) Xi} với i = 1, Khi Xi cố định giá trị X1 : Ta có : E {Y X1 | X1 } = E {[(a1 X1 + a2 X2) X1 ]|X1} Hay : E {Y | X1 } = E {(a1 X1 + a2 X2) |X1 } Mặt khác : { Y| X1 ,X2} = a1 X1 + a2 X2 Thay vào ta có: {Y| X1} = { { Y| X1 ,X2} | X1} (đpcm) Bài 8.18 (Chapter E-Book – Papoulis) Chứng Minh Rằng : Nếu a0+a1x1+a2x2 ước lượng tuyến tính MS khơng biến ngẫu nhiên s với điều kiện x1 x2 : Ê{s-ns/x1-n1,x2-n2}= a1(x1-n1)+a2(x2-n2) Chứng Minh: Ta có Ŷ= Ê{s/x1,x2}= a0+a1x1+a2x2 Ta có ước lượng tuyến tính MS ko biến ngẫu nhiên s với điều kiện x1-n1và x2-n2 là: Ê{s/x1-n1,x2-n2}= a0 +a1(x1-n1)+a2(x2-n2) (1) Đưa trường hợp khơng ta có : a0+a1n1+a2n2 = ns =Ê(s) Từ Ê{ ns/x1-n1,x2-n2}=E{ a0 +a1(x1-n1)+a2(x2-n2)}= a0 (2) Lấy (1) trừ cho ( 2) vế theo vế ta có : Ê{s-ns/x1-n1,x2-n2}= a1(x1-n1)+a2(x2-n2) (đpcm) Đề tài 13: Ví dụ 1: Ước lượng tuyến tính LMS Bài tốn: Tìm ước lượng ngẫu nhiên X phân bố khoảng , ước lượng tốt X theo tiêu chí LMS Biết tín hiệu quan sát Y = X + N, với N nhiễu phân phối khoảng , N độc lập với X, cho E[X] = E[Y] = E[Z] = Hãy chứng tỏ tìm ước lượng Tìm sai số MSE kết ước lượng Giải: Ta có: , Suy ra: Có: Như vậy: Có: Vậy sai số MSE: Ví dụ Xét xem quan sát x[n], phát sinh từ mơ hình mức tín hiệu DC, s[n] = s[n,θ] = θ: x[n] = θ + ω[n] Tìm ước lượng tuyến tính, bình phương cực tiểu(Linear LSE) Với ϴ tham số chưa biết ước tính Theo cơng thức ta có hàm tiêu phụ thuộc tham số sau: J(ϴ) = = Áp dụng lỹ thuật đạo hàm hàm tiêu đặt ta có: == === � -2 � � Vậy ước lượng tuyến tính bình phương cực tiểu là: Sai số ước lượng bình phương cực tiểu: Jmin= Độ xác mơ hình đạt với giá trị biến ngẫu nhiên có trung bình Đề tài 14: Đề tài 15: Bài tập ví dụ : Tìm ước lượng hớp lý tham số theo phân phối Gausian với tham số trung bình µ phương sai σ2 Ta có hàm hợp lý : L(X;θ) = ln= ln() Theo nguyên lý Maximum Likelihood : = = = (1) = = + = (2) Từ (1) : [] = Suy : µ = suy : µML(X) = Từ (2) + = Suy σ2(X) = Bài tập ví dụ : Tìm ước lượng hợp lý tham số theo phân phối Gamma với tham số α β Ta có hàm hợp lý : L(X;θ) = ln = nαlnβ – nln[Γ(α)] + (α-1) Hệ pt hợp lý : = n (lnβ - lnΓ(α)) |θ=θ (1) = n - = |θ=θ (2) Từ (2) = = x Thay β = vào (1) n (lnα –lnx -ln[Γ(α)]) + |θ=θ = (3) Nhận thấy : ln[Γ(α)] =R(α) =ln(α) - Thay vào (3) n(lnα – lnx –lnα + + = n( - lnx) = - α= (R hàm digamma) ... thời biến ngẫu nhiên: Xác định hàm mật độ biên? Bài giải Đặt t= => Áp dụng tích phân * Tương tự: Đề tài 6: Bài tập 10.10 Cho trình x(t) trình ổn định theo nghĩa rộng , chứng Giải: • X(t) q trình. .. 4-8e-8+4 = 8-8e-8 Bài 10.12 : Chứng minh 1/ Nếu �(t) trình ngẫu nhiên với zero-mean hàm Rxx(t1,t2)=f(t1)f(t2)w(t1t2) Chứng minh y(t)= trình WSS với Ryy (t1,t2)=w(τ) 2/ Nếu �(t) trình nhiễu trắng... tài 3: Không nộp tập cho cô Bài 7.17 Bài 7.18 Đề tài 4: Không nộp tập cho cô Bài 2: Bài 3: Đề tài 5: Chương – Ví dụ Cho biết Hãy xét xem biến X Y có độc lập thống kê khơng ? Bài giải Xét : 