bài tập ôn tập Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng LanNTH

Bài tập ôn tập Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng - PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan

BÀI TẬP QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG (IT3061)

a Xác định xem các biến ngẫu nhiên X và Y có độc lập hay không?

b Tìm luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Z = X+Y và W = XY

c Tìm các đặc trưng thống kê của Z và W (kì vọng, phương sai, momen cấp k)

Giải:

a Lấy tổng hàng và tổng cột tương ứng, ta thu được luật phân phối của biến X và biến Y:

Để X, Y độc lập thì với mọi cặp (xi, yj): P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj)

Ta thấy ngay P(X=1, Y=2) = 0, nhưng P(X=1).P(Y=2) = 0.25 * 0.35, rõ ràng khác 0

Suy ra 2 biến ngẫu nhiên X, Y không độc lập

b Z = X+Y, do đó Z thuộc tập {3, 4, 5, 6, 7, 8}

P(Z=3) = P(X=1,Y=2) = 0 P(Z=6) = P(X=1,Y=5) + P(X=3,Y=3) = 0.1

P(Z=4) = P(X=1,Y=3) + P(X=2,Y=2) = 0.35 P(Z=7) = P(X=2,Y=5) = 0.25

P(Z=5) = P(X=2,Y=3) + P(X=3,Y=2) = 0.25 P(Z=8) = P(X=3,Y=5) = 0.05

Bảng phân phối xác suất của Z:

1

12

Giải:

+ X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời nên có hàm mật độ đồng thời:

( ) =− − 7

5Gọi ( ) là hàm mật độ của W, ta có:

35

5 (Bài 3 tờ BT) Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn đồng thời với các tham số:

2

a Tìm các tham số phân phối chuẩn của các biến ngẫu nhiên: Z = X+Y, W = X – Y

b Tìm luật phân phối đồng thời của Z và W

+ Với W = X – Y, tương tự ~ ( ; ) với = 10, = 3

b Tìm luật phân phối đồng thời của Z và W

7 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối như dưới, tính: ( ≥ 0.5), (0.5 < ≤ 2.5)

0 ℎGiải:

Dễ dàng tính được hàm phân phối của X: ( ) = ∫ ( ) = 1 − > 0

0 < 0Hàm phân phối của Y: ( ) = ∫ ( ) = 0 < < 1

0 ℎ

11 (Bài 5 tờ BT) Cho m đồng xu Xác suất để đồng xu thứ j là mặt ngửa là pj Chọn ngẫu nhiên 1 đồng

xu, tung n lần và mặt ngửa xuất hiện k lần Chứng minh rằng, xác suất để đồng xu được chọn là đồng

xu thứ r là:

a Xác suất phần mềm xảy ra lỗi?

b Nếu phần mềm xảy ra lỗi, thì khả năng lỗi thuộc về chương trình con nào là cao nhất?

13 (Bài 6 tờ BT) Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Student t(n) Chứng minh rằng:

− 2 Giải:

Ta có theo định nghĩa phân phối Student: = , với:

+ Y là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai 1: ~ (0; 1) + Z là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chi-square n bậc tự do: ~ ( )

Giải:

( = 1) = ( = 0) = ( ) = (do XA chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1) Tương tự:

12

Chứng minh tương tự với các trường hợp còn lại, ta có kết quả tương tự Từ đó rút ra: với mọi XA, XB

Tương tự: XB, XC độc lập; XA, XC độc lập Các biến này độc lập từng đôi

16 Cho X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời: ( , )~ ( , , , , )

a Tính hiệp phương sai Nếu X,Y không tương quan thì chúng có độc lập ko? Giải thích?

b Biến ngẫu nhiên = + Tính các đặc trưng thống kê của Z

Do vậy, nếu như hai biến X, Y không tương quan (tức là = 0) thì X, Y độc lập

b <Xem slide 33 chương 3>

17 Cho các biến ngẫu nhiên X, Y, Z tuân theo phân phối chuẩn và đôi một độc lập

= 1

(2 )

1 2

−1 2

−1 2

b Xây dựng ma trận tương quan của biến ngẫu nhiên này

c Tìm mối quan hệ giữa ma trận hiệp phương sai và ma trận tương quan

14

34

Ma trận hiệp phương sai (có tính đối xứng):

Σ = [( − )( − ) ]

−34

1

143

14

54

3545

4

32

15435

4

154

Phần 2: Quá trình ngẫu nhiên

20 (Bài 19 tờ BT) Cho X1(t) và X2(t) là các quá trình Poisson độc lập với tham số , tương ứng Chứng minh rằng quá trình X(t)=X1(t)+X2(t) là quá trình Poison với tham số = +

Vậy X(t) là quá trình Poison với tham số cường độ là = +

21 Cho X(t) là quá trình Poisson với tham số = 3 Tính { (2)}, { (1)}, { (1) (7)}

{ (1) = 2, (3) = 6} = { (1) − (0) = 2, (3) − (1) = 4}

44! =

643

b Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

643.66!

23 (Bài 20 tờ BT): Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 10 người một giờ Khách có thể mua hàng với xác suất p = 0.3 và không mua hàng với xác suất q = 0.7 Tính xác suất để trong giờ đầu tiên có 9 người vào cửa hàng trong số đó có 3 người mua hàng và 6 người ko mua

Giải:

+ Gọi X(t) là số khách hàng đến cửa hàng trong khoảng thời gian t Theo giả thiết X(t) là quá trình Poisson với tham số = 10

+ Gọi X1(t) là số khách đến cửa hàng và CÓ mua hàng thì X1(t) là quá trình Poison với tham số

24 Cho quá trình Poison X(t) thoả mãn { (9)} = 6

a Tìm kì vọng và phương sai của X(8)

a Tìm momen cấp 2 của biến ngẫu nhiên X(13)

b Tìm momen cấp 2 của biến ngẫu nhiên X(t+13) – X(t+9)

b Chứng minh rằng nếu X(t) là quá trình nhiễu trắng với hàm tự tương quan có dạng ( , ) =( ) ( − ) thì quá trình ( ) = ( )

Do đó Y(t) là quá trình WSS với hàm tự tương quan ( )

b Tương tự câu a), ta có: { ( )} = ( )

= δ(t1-t2) = 0 (do t1 ≠t2 ) => Z(t) là quá trình nhiễu trắng (2)

Từ (1) và (2) suy ra Z(t) là quá trình nhiễu trắng WSS

28 (Bài 14 tờ BT) Cho X(t) là quá trình Gauss ổn định bậc 2 với các tham số: ( ) = 5, ( , ) =

30 Cho quá trình ngẫu nhiên ( ) = acos ( + ), với ~ (− ; ) ( ℎâ ℎố đề )

Tính các đặc trưng của X(t) (trung bình, hàm tự tương quan) Chứng minh X(t) là quá trình WSS Giải:

33 Xét việc tung đồng xu có xác suất sấp/ngửa là như nhau Gọi X(t) là quá trình được xác định bởi:

35 Cho quá trình Poison X(t) thoả mãn { (9)} = 6

d Tìm kì vọng và phương sai của X(8)

36 Xét quá trình Gausian X(t) ổn định theo nghĩa rộng WSS với các đặc trưng: ( ) = 2, ( , ) =

4 | | Xét biến ngẫu nhiên Z = X(7) – X(5) và giả sử X(t) là đầu vào của hệ thống không nhớ Đầu ra của hệ thống không nhớ là quá trình Y(t)

a Tính { ≤ 1}

b Giải thích quan hệ giữa Y(t) và X(t) Quá trình Y(t) có phải là quá trình phân phối chuẩn và ổn định WSS không? Giải thích?

d Trong trường hợp X(t) là quá trình Gauss ổn định có trung bình bằng 0, hãy cho biết quan hệ giữa ( ) và ( ) Nhận xét về hàm tương quan chéo trong trường hợp này so với hàm tương quan chéo tính được ở câu c

b Đối với hệ thống không nhớ, đầu ra Y(t) của hệ thống chỉ phụ thuộc vào các giá trị hiện tại của đầu vào X(t) Do đó Y(t) là quá trình ổn định WSS, nhưng không phải là quá trình Gaussian <xem slide 38 chap4>

c Hàm tương quan chéo: ( , ) = { ( ) ( )} =?? (vì ko biết Y(t) nó như nào nên tính làm sao đc nhỉ ??)

d Khi X(t) là quá trình Gaussian ổn định có trung bình bằng 0, thì ta có quan hệ giữa ( ) và

Thật vậy: <xem chứng minh slide 39-42 chap4>

Nhận xét: Hàm tương quan chéo trong trường hợp này tỉ lệ với hàm tự tương quan của quá trình đầu vào X(t)

Phần 3: Ước lượng

37 Tìm ước lượng ngẫu nhiên X phân bố đều trong khoảng −1 ≤ ≤ 1, ước lượng ( ) = ( ) tốt nhất đối với X theo tiêu chí LMS Biết tín hiệu quan sát được Y = X + N, với N là nhiễu phân phối đều trong khoảng −a ≤ N ≤ a, N độc lập với X, cho E[X] = E[Y] = E[Z] = 0

Hãy chứng tỏ tìm được ước lượng:

+ 1Tìm sai số MSE của kết quả ước lượng này

38 Xét xem quan sát x[n], phát sinh từ một mô hình mức tín hiệu DC, s[n] = s[n,θ] = θ:

Độ chính xác của mô hình sẽ đạt được với giá trị biến ngẫu nhiên có trung bình bằng 0

39 Xét một tín hiệu cố định A, nhúng vào một nhiễu Gausian trắng (WGN-White Gausian Noise) w[n]: x[n] = A + w[n] (n = 0,1, ,N-1) với = là tham số cần ước lượng từ dữ liệu quan sát được Hàm ước lượng:

Theo giới hạn Cramer-Rao Lower Bound (CRLB):

Từ (1) và (2) rút ra KL: Vậy là một mẫu ước lượng MVU cho A

(như đã chứng minh bài 42)

41 Tìm ước lượng hợp lí nhất (ML) của các tham số theo phân phối Gausian ( ; )

Hệ thống tuyến tính: là hệ thống thoả mãn hai tính chất: tính cộng và tính tỉ lệ, nghĩa là với y1(t), y2(t) là đáp ứng của hệ thống với các ngõ vào x1(t), x2(t) thì đáp ứng của hệ thống với ngõ vào k1x1(t) + k2x2(t) là k1y1(t) + k2y2(t)

Hệ thống bất biến theo thời gian: là hệ thống mà trong đó, nếu đầu vào được làm trễ đi một khoảng thời gian T, thì dạng tín hiệu đầu ra vẫn như cũ, và cũng bị trễ đi một khoảng thời gian T

Quan hệ giữa đầu vào x(t) và đầu ra y(t) được xác định bởi:

Trong đó: h(t) là đáp ứng xung của hệ thống (impulse response), biểu thức h(t) * x(t) gọi là tích chập giữa đáp ứng xung và đầu vào <more detail slide 44 chap4>

Câu 2: Thế nào là ước lượng tuyến tính theo phương pháp MVU với mô hình tín hiệu quan sát là

= + , trong đó x là vector n thành phần, là vector tham số m thành phần, H là ma trận quan sát đã biết, w là vector nhiễu Gausian n thành phần So sánh phương pháp MVU với phương pháp LSE đối với ước lượng tuyến tính

Trả lời:

+ Ước lượng tuyến tính theo pp MVU với mô hình quan sát trên là <slide 29-30 chap5>

+ So sánh: bộ ước lượng phương sai cực tiểu MVU đối với mô hình tuyến tính có kết quả:

Trùng với bộ ước lượng tuyến tính bình phương cực tiểu LSE

+ Phổ công suất với quá trình WSS (chỉ nghiên cứu đối với quá trình ổn định):