BTL qua trinh ngau nhien ung dung de tai 15 : Tìm hiểu chung về phổ, phổ công suất, ước lượng phổ và áp dụng trong xử lý tín hiệu

BTL qua trinh ngau nhien ung dung de tai 15 : Tìm hiểu chung về phổ, phổ công suất, ước lượng phổ và áp dụng trong xử lý tín hiệu. Như những phần xem xét trước đây ta xét, một tín hiệu là một hàm của thời gian; người ta chứng minh được rằng một hàm bất kì luôn biểu diễn được thành tổng các hàm sin. Hàm sin là một hàm tuần hoàn, có chu kỳ và tần số. Khi khai triển một hàm thành một chuỗi các hàm sin thì tập hợp các tần số của các thành phần gọi là phổ của hàm đó. Như vậy, có thể khái quát phổ là cách biểu diễn tín hiệu trên miền tần số. Theo lý thuyết tín hiệu, khái niệm phổ gắn liền với phép biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier là một công cụ toán được định nghĩa là một cặp biến đổi thuận – ngược có dạng như sau (xét trong trường hợp tín hiệu liên tục):

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN Q TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Đề Tài: Tìm hiểu chung phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ áp dụng xử lý tín hiệu Hà Nội, 12/2016 Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ2 Mục Lục ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ3 Đề Cương – Phân Công Công Việc STT Nội Dung Người thực Tìm hiểu chung Phổ  Khái nhiệm –phân loại phổ  Đặc điểm tính chất phổ Nguyễn Hồng Anh Phổ Cơng Suất  Khái niệm – đặc điểm – tính chất  Hệ thống tuyến tính Lê Văn Hùng Ước lượng phổ  Ước lượng  Phổ chu kỳ Lê Thăng Long Bài Tập Tơ Đình Tùng Áp Dụng Matlap Nguyễn Duy Thành Lời nói đầu ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ4 Chúng ta sống giới tương tự (analog) Mọi thông tin nhận xử lý thông qua giác quan liên tục theo thời gian Đối với hệ thống số, tín hiệu đầu vào liên tục, đầu phải liên tục theo thời gian Vì lại vậy? Vì có hệ thống số ta có giá trị sử dụng thực tế Tuy đầu vào tương tự việc xử lý hệ thống lại phải thực dạng số (digital) Có nhiều nguyên nhân dẫn đến việc phải sử dụng DSP (digital signal processing) yêu cầu tốt độ xử lý, khả chống nhiễu, kích thức độ bền thiết bị số so với tương tự Từ đầu vào tương tự, ta phải tiến hành biến đổi thành tín hiệu số trước thực DSP Việc biến đổi gọi rời rạc hóa tín hiệu, hay lấy mẫu(sampling) Hiểu cách đơn giản việc ta đo giá trị tín hiệu sau khoảng thời gian ghi lại khoảng thời gian gọi chu kỳ lấy mẫu Từ chu kỳ lấy mẫu ta tính tần số lấy mẫu Mặt khác hạn chế công nghệ, người sử dụng phần hạn chế trục tần số đề truyền tin Nghĩa thực tế băng tần số hữu hạn vô hạn, phải chia sẻ người, hệ thống truyền tin chiếm mảnh xác định băng tần Vì bên cạnh việc biểu diễn thơng thường tin hiệu hàm thời gian lại nảy sinh nhu cầu xem xem tín hiệu truyền tồn trục tần số nào, tức phải biểu diễn tín hiệu miền tần số Bởi cần nghiên cứu phổ tín hiệu để biết đặc trưng tín hiệu miền tần số để xử lý tín hiệu I Phổ xử lý tín hiệu Khái niệm Như phần xem xét trước ta xét, tín hiệu hàm thời gian; người ta chứng minh hàm ln biểu diễn thành tổng hàm sin Hàm sin hàm tuần hồn, có chu kỳ tần số ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ5 Khi khai triển hàm thành chuỗi hàm sin tập hợp tần số thành phần gọi phổ hàm Như vậy, khái quát phổ cách biểu diễn tín hiệu miền tần số Theo lý thuyết tín hiệu, khái niệm phổ gắn liền với phép biến đổi Fourier Biến đổi Fourier cơng cụ tốn định nghĩa cặp biến đổi thuận – ngược có dạng sau (xét trường hợp tín hiệu liên tục): Trong x(t) S(gọi cặp biến đổi Fourier - biến đổi biểu diễn tín hiệu ngẫu nhiên x(t) miền biến số độc lập t thành việc biểu diễn tín hiệu miền tần số ngược lại Ký hiệu x(t)S( Phổ chia làm hai loại là: phổ cơng suất phổ tín hiệu Trong - Phổ cơng suất hay gọi mật độ phổ công suất phổ hàm tự tương quan tín hiệu; hàm tự tương quan thể mối quan hệ tín hiệu qua thời gian thành phần coi gần tất định Cặp biến đổi Fourier với trình ổn định theo nghĩa rộng – WSS với hàm tự tương quan - Phổ tín hiệu (phổ trình ngẫu nhiên) phổ xác định tín hiệu Do tín hiệu hàm biến thiên theo thời gian nên phổ tín hiệu thành phần biến thiên Cặp biến đổi Fourier với trình ngẫu nhiên Có thể thấy với phổ tín hiệu hay phổ công suất S( thu từ biến đổi Fourier trường hợp tổng quát hàm phức, nên ta biển diễn dạng: S( ==P() + jQ( ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ6 Trong đó: có tên gọi tương ứng phổ biên độ, phổ pha, phổ thực phổ ảo Môt số tính chất phổ Xét biến đổi Fourier hai tín hiệu x(t) y(t) ta thu phổ S(và V( Khi ta có số tính chất sau  Nếu x(t) tín hiệu thực P( ),|S()| hàm chẵn theo , Q(),() hàm lẽ theo  Trong đó: có tên gọi tương ứng phổ biên độ, phổ pha, phổ thực phổ ảo  Tính chất tuyến tính Nếu ta có x(t) qua biến đổi Fourier xác định S(ω) y(t) qua biển đổi Fourier xác định V(ω) ta có cơng thức: a x(t) + by(t) aS( + bV( với a, b số  Tính chất đối xứng x(t) S() x(t) 2()  Tính chất dịch chuyển miền thời gian x(t - t0) S( x(t + t0) S(  Tính chất dịch chuyển miền tần số x(t) x(t) x(t) x(t)  Tích phân theo miền thời gian  Vi phân theo miền thời gian  Vi phân miền tần số ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ7  Điều kiện tồn biến đổi Fourier Ta thấy biến đổi Fourier tồn S() hội tụ Vậy ta phát biểu điều kiện hội tụ chuỗi sau:  Định lý Parseval Khi x(t) = y(t) ta có Định lý Parseval cho ta liên hệ lượng xác định miền thời gian miền tần số Chú ý :Trên trình bày tính chất phổ tín hiệu ( biến đổi Fourier tín hiệu x(t)) với Phổ cơng suất (biến đổi Fourier hàm tự tương quan) tích chất bảo tồn( thay x(t) thành hàm tự tương quan).Trong phàn trình bày tìm hieeut phổ cơng suất xét q trình ổn định theo nghĩa rộng- WSS II Phổ công suất Khái niệm Phổ cơng suất q trình ngẫu nhiên x(t) (thực phức) phép biến đổi Fourier S() hàm tự tương quan Hàm tự tương quan thể mối quan hệ tín hiệu qua thời gian nên phổ công suất coi gần tất định Với tín hiệu ổn định, phép biến đổi Fourier sử dụng để miêu tả hàm phép chồng lũy thừa Xét trình WSS x(t) (thực phức) với hàm tự tương quan ; Khi phổ cơng suất trình là: (1) ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ8 Từ công thức đảo ngược Fourier, suy ra: (2) Đặc điểm, tính chất Xét q trình ngẫu nhiên WSS x(t) với hàm tự tương quan R ta có:  Nếu x(t) q trình ngẫu nhiên thực, thực chẵn suy thực chẵn Trong trường hợp =2 R() = =  Phổ công suất chéo trình x(t) y(t) biến đổi Fourier hàm tự tương quan chéo Nhận xét: hàm phức, chắn hai trình x(t) Y(t) thực Phổ cơng suất chéo có quan hệ: =  Ta có = + , biến đổi Fourier hai vế biểu thức ta có (3) Trong gọi phổ hiệp phương sai x(t) kết phép biến đổi Fourier từ hàm tự hiệp phương sai C() Trong trương hợp có chứa xung vị trí để thuận tiện biểu diễn phổ q trình x(t) Ví dụ: Tìm phổ xung Poisson có dạng Với hàm tự tương quan Từ suy rằng:  Từ hàm dương S() ta tìm thấy q trình x(t) với phổ cơng suất S() ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ9  Nếu S(-ω) = S(ω), tìm q trình thực với phổ cơng suất S(ω)  Tích phân phổ: Trong tốn học, tính chất phổ q trình x(t) thể điều kiện tích phân phổ định nghĩa tích phân S(ω) Từ tính xác định S(ω) , suy hàm không giảm ω; Ta có xác định hàm tự tương quan R(τ) x(t) tích phân Riemann – Stieltjes: Cách tiếp cận tránh việc sử dụng hàm kì dị thể phổ R(τ) chí S(ω) chứa xung, S(ω) chứa điều kiện β iδ(ω – ωi), F(ω) khơng liên tục ωi không liên tục bước nhảy βi Phổ hiệp phương sai tích hợp (ω) tích phổ hiệp phương sai Từ biểu thức (3) suy  Phổ vecto Quá trình ngẫu nhiên X(t) = [x i(t)] WSS thành phần xi(t) WSS đồng thời Trong trường hợp này, ma trận tự tương quan phụ thuộc vào τ = t1 – t2 Từ điều suy rằng: Phổ công suất trình vecto WSS X(t) ma trận vng có dạng: , thành phần biến đổi Fourier phần tử ma trận tự tương quan Tương tự xác định ma trận kết luận từ (4) Với ma trận m×r với thành phần biến đổi Fourier phần tử ma trân đáp ứng xung Vì Đây mở rộng hệ hế thống tuyến tính (được trình bày dưới) với hệ thống nhiều đầu cuối  Định lý WIENER – KHINCHIN Từ biểu thức biến đổi ngược phép biến đổi Fourier ta có ( biểu thức số (2) ) ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ10 Điều cho thấy phổ cơng suất q trình đại lượng dương Chúng ta chứng minh S(ω) ≥ ω Chứng minh:Xét hệ thống với hàm hệ thống (phép biến đổi) có dạng Và áp dụng x(t) để đầu vào Xuất phát từ công thức suy phổ công suất Syy(ω) kết đầu y(t) Do (5) Vì miền S(ω) khoảng thời gian dương Điều S(ω) ≥ nơi Chúng ta S(ω)> tìm q trình x(t) cho Sxx(ω) = S(ω) Từ điều suy hàm S(ω) phổ công suất đại lượng dương Chúng ta dùng (5) để làm rõ phổ công suất S(ω) q trình x(t) cơng suất trung bình trình y(t) khác thu cách lọc x(t) Đặt , kết luận δ đủ nhỏ điều định vị công suất phổ x(t) trục tần số Hệ thống tuyến tính Xét q trình WSS x(t) kích thích (đầu vào) hệ thống tuyến tính có đáp ứng xung h(t) đáp ứng ( đầu ra) hệ thống y(t) ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 10 Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ11 Ta biểu diễn hàm tự tương quan đầu R yy( τ) phổ công suất Syy(ω) phản hồi ( đầu ra) Ta có Với hàm tự tương quan Rxx(τ) phổ công suất Sxx (ω) đầu vào x(t) 3.1 Định Lý Rxy(τ) = Rxx(τ)*h*(- τ) Ryy(τ) = Rxy(τ)*h(τ) (7) Sxy = Sxx(ω) H*(ω) Syy(ω) = Sxy(ω)H(ω) (8) Chứng minh: Nhân liên hợp (6) với x(t + τ) dùng giá trị kỳ vọng, có Từ E{x(t+ τ)x*(t-α)} = Rxx(τ + α), ta có : Căn vào điều tương tự, có Phương trình (7) dạng (8) định lý nhân chập 3.2 Hệ Quả Kết hợp hai phương trình (7) (8), có Ryy(τ) = Rxx(τ)*h(τ)*h*(-τ) = Rxx(τ)*ρ(τ) Syy(ω) = Sxx(ω)H(ω)H*(ω) = Sxx(ω)| H(ω)|2 Trong Chú ý: x(t) nhiễu trắng với cơng suất trung bình q, Rxx(τ) =q δ(τ) Sxx (ω) = q Syy(ω) = q|H(ω)|2 Ryy(τ) = qρ(τ) Từ hệ công thức đảo ngược Fourier, suy Phương trình mơ tả tính chất lọc hệ thống đầu vào q trình ngẫu nhiên Nó H(ω) = với | ω| > ω Sxx(ω) = với |ω| < ω0, E{y2(t)} = ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 11 Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ12 Chú ý : kết giữ nguyên hàm tương quan thay hiệp phương sai tương ứng, tất phổ thay phổ hiệp phương sai tương ứng Điêu từ thực tế đáp ứng để x(t) – ηx y(t) – ηy 3.3 Một số hệ tuyến tính  (Trung bình động) Tích phân Là trung bình q trình x(t) khoảng thời gian (t – T, t + T ) Rõ ràng, y(t) đầu hệ thống với đầu vào x(t), đáp ứng xung xung hình chữ nhật hình Tương ứng ρ(τ) tam giác Trong trường hợp này, Do tích phân triệt tiêu thành phần tần số cao đầu vào Đó lọc tần thấp đơn giản Vì ρ(τ) tam giác, từ định lý ta có Chúng ta sử dụng kết để xác định phương sai tích phân Rõ ràng, ηT = y(0); Do ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 12 Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ13  Lọc qua cao tần: Quá trình z(t) = x(t)- y(t) đầu hệ thống với đầu vào x(t) hàm hệ thống Hàm gần khoảng thời gian 1/T, tiến tới đủ lớn Trong đó, lọc qua cao tần ngăn chặn tần thấp đầu vào  Đạo hàm Đạo hàm x’(t) q trình x(t) xem đầu hệ thống tuyến tính với đầu vào x(t) hàm hệ thống jω Theo định lý, suy Do Đạo hàm cấp n x(t) là đầu hệ thống với đầu vào x(t) hàm hệ thống Do  Phương trình vi phân Y’(t) + cy(t) = x(t) với t Xác định hệ thống tuyến tính với đầu vào x(t), đầu y(t), hàm hệ thống 1/(jω + c) Chúng ta giả định x(t) nhiễu trắng với Rxx(τ =qδ(τ) Áp dụng hệ có Chú ý E{y2(t)} = Ryy(0) = q/2c Tương tự, Y’’(t) + by’(t) +cy(t) = x(t) Sxx(ω) = q Thì ta có: Để tìm Ryy(τ), xem xét trường hợp: ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 13 Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ14 - b < 4c - b2 = 4c - b2 > 4c Trong tất trường hợp, E{y2(t)} = q/2bc  Biến đổi Hibert Một hệ thống với hàm hệ thống (hình dưới) Được gọi lọc góc vng ( lọc thơng tắt) Đáp ứng xung tương ứng 1/πt (Papoulis, 1997) Vì H(ω) lọc pha với = -90 o giai đoạn chuyển; Do đáp ứng đáp ứng sin ωt Đáp ứng lọc vng góc q trình thực x(t) kí hiệu gọi chuyển đổi Hilbert x(t) Vì Từ định lý hệ tuyến tính suy Quá trình phức tạp : - gọi tín hiệu tích phân kết hợp với x(t) Rõ ràng, z(t) đáp ứng hệ thống ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 14 Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ15 1+ j(- j sgn ω) = 2U(ω) Với đầu vào x(t) Do [áp dụng hệ hệt uyến tính] III Ước lượng phổ Ước lượng phổ Chúng ta cần ước lượng phổ công suất trình thực x(t) quan sát phân đoạn Phổ khơng phải trung bình số hàm x(t) khơng thể ước lượng trực tiếp trung bình thời gian Tuy nhiên thông biến đổi Fourier hàm tự tương quan Nó xác định điều kiện ước lượng R(t) Chúng ta thu ước lượng: Tích phân xác định với trường hợp Ước lượng không độ lệch, phương sai tăng tăng lớn khoảng lấy tích phân giảm thay vào chung ta thu Ước lượng có độ lệch, nhiên phương sai nhỏ phương sai biến đổi tỷ lệ thuận với phổ lượng phân đoạn ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 15 Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ16 Phổ chu kỳ 2.1 Định nghĩa - Định Lý Phổ chu kỳ trình x(t) theo định nghĩa trình Tích phân biến đổi Fourier đoạn biết Chúng ta thể điều kiện ước lượng R(t)  Định Lý  Độ lệch: Từ (11)) (13) suy Từ Chúng ta kết luận ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 16 Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ17 Nếu T đủ lớn, ta thiết lập S(y) liên tục S(ω) Do cho T lớn, S(ω) (14) cho điểm S T(ω) tiệm cận ước lượng không độ lệch S(ω) 2.2 Cửa sổ liệu Nếu S(ω) gần không đổi khoảng thời gian theo thứ tự 1/T, phổ chu kỳ ước lượng độ lệch S(ω) Để làm giảm độ lêch, ta thay vào (12) trình x(t) kết c(t)x(t) Điều làm biến đổi phổ chu kỳ Hế số c(t) gọi cửa sổ liệu Biến đổi Fourier - C(ω), ta kết luận 2.3 Phương Sai  Định lý Với T lớn: Tại điểm S(ω) Chú ý: cửa sổ liệu hữu ích làm mịn S T(ω) trung bình tồn bộ; Giả sử có quyền truy cập đến N mẫu độc lập x(t, ξ i) x(t), ta chia mẫu đơn dài thành N phần tử độc lập bản, khoảng thời gian 2T, tạo phổ chu kỳ S T(t, ξi) mẫu trung bình chúng Như biết ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 17 Phổ - Phổ Cơng suất – Ước lượng phổ18 Nếu N đủ lơn, phương sai ST(ω) nhỏ Tuy nhiên độ lệch quan trọng Sử dụng cửa sổ liệu đáng mong muốn trường hợp IV Bài Tập Bài 1: Chứng minh phổ cơng suất q trình SSS Trong biến đổi Fourier hàm mật độ bậc Bài làm Hàm tự tương quan trình SSS xác định Suy ra: Bai2: chứng minh a b Bài làm a - Ta có: (1) Nhân liên hợp (1) với y(t-τ) dùng giá trị kỳ vọng ta có: ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ cơng suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 18 Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ19 (2) - Nhân liên hợp (1) với x(t+τ) dùng giá trị kỳ vọng ta có (3) Từ (3) ta có Áp dụng vài (2) ta thu  điều phải chứng minh b Ta có Áp dụng tính chất dịch chuyển theo miền tần số phổ với dạng Khi ta có :  điều phải chứng minh ĐỀ 5: Tìm hiểu phổ, phổ công suất, ước lượng phổ xử lý tín hiệu 19 ... tương quan tín hiệu; hàm tự tương quan thể mối quan hệ tín hiệu qua thời gian thành phần coi gần tất định Cặp biến đổi Fourier với trình ổn định theo nghĩa rộng – WSS với hàm tự tương quan -... trình ngẫu nhiên x(t) (thực phức) phép biến đổi Fourier S() hàm tự tương quan Hàm tự tương quan thể mối quan hệ tín hiệu qua thời gian nên phổ công suất coi gần tất định Với tín hiệu ổn định, phép... tín hiệu Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ3 Đề Cương – Phân Công Công Việc STT Nội Dung Người thực Tìm hiểu chung Phổ  Khái nhiệm –phân loại phổ  Đặc điểm tính chất phổ Nguyễn Hồng Anh Phổ Cơng