Một số bài toán về tính bền vững của hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu : Luận án TS. Toán học: 62 46 01 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC THUẬN MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2012 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm luận án Tiến sĩ cấp nhà nước họp …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………… Vào hồi ……… giờ…… ngày……… tháng……… năm……… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà nội LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình Tác giả luận án Đỗ Đức Thuận i LỜI CẢM ƠN Dìu dắt đường tốn học, ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính mình, GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn Thầy Sơn hướng dẫn tận tình mà cịn truyền cho tơi nhiều kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học sống Tơi xin gửi đến Thầy lịng biết ơn sâu sắc Tơi bày tỏ lịng biết ơn đến GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy có dẫn quý báu chuyên môn nghiên cứu khoa học Được làm việc với Thầy giúp tơi mở rộng vốn kiến thức thu số kết đóng góp vào luận án Tôi xin gửi tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Vũ Hồng Linh Thầy Cơ giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN lòng biết ơn sâu sắc, người dạy dỗ bảo tận tình tơi, giúp đỡ nhiều để tơi đến đường tốn học Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy Cô Hội đồng phản biện Thầy Cơ Viện Tốn học, người đọc cho nhận xét, góp ý quý giá để luận án tốt ii Tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim, Thầy Cô giáo Khoa Toán - Tin ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, người ln ủng hộ nhiệt tình, tạo điều kiện thuận lợi sẵn sàng giúp đỡ tơi thời gian Luận án hồn thành động viên, chia sẻ, giúp đỡ lớn lao Bố, Mẹ, người thân bạn bè Tôi xin gửi lời cảm ơn dành quà cho tất cả! Hà Nội, ngày 24 tháng năm 2011 Tác giả iii Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Lời nói đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 1.1 Toán tử đa trị tuyến tính 14 1.2 Tính điều khiển hệ tuyến tính hữu hạn chiều 21 1.3 Tính điều khiển hệ có ràng buộc điều khiển 23 1.4 Sự ổn định mũ hệ động lực thang thời gian 26 HỆ CÓ RÀNG BUỘC VỚI MIỀN THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN BỊ NHIỄU 29 2.1 Khoảng cách nón 30 2.2 Bán kính điều khiển 36 2.3 Ví dụ 47 HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU CẤU TRÚC 50 3.1 Bán kính điều khiển nhiễu cấu trúc 51 3.2 Bán kính điều khiển đa nhiễu cấu trúc 60 3.3 Ví dụ 64 iv 3.4 Thuật tốn tính tốn 71 BÁN KÍNH TỒN ÁNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA NĨ 75 4.1 Bán kính tồn ánh 76 4.2 Bán kính ổn định hóa 83 4.3 Bán kính ổn định hệ động lực ẩn thang thời gian 88 4.4 Các bán kính điều khiển hệ descriptor 95 Kết luận 115 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO v 120 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT K Trường C R Kn×m Tập tất ma trận cấp n × m K gr F Đồ thị F ker F Không gian nhân F Im F Không gian ảnh F dom F Miền xác định F σ(A) Tập phổ A σ ˆ (A) Tập giá trị kì dị A σmin [A] Giá trị kì dị nhỏ A A∗ Liên hợp A A† Nghịch đảo Moore-Penrose A M⊥ Phần bù trực giao tập M P, Q Các nón P, Q Các phép chiếu T Thang thời gian f∆ Delta đạo hàm f S Miền ổn định mũ thang thời gian vi MỞ ĐẦU Trong thực tiễn, có nhiều vấn đề kỹ thuật, học, vật lý, sinh học, kinh tế mô tả hệ động lực Hệ động lực có thêm biến điều khiển gọi hệ điều khiển Lý thuyết điều khiển phát triển từ khoảng 150 năm trước điều khiển học cần mơ tả cách tốn học Các tính chất định tính hệ điều khiển quan tâm nhiều tính điều khiển được, tính ổn định tính ổn định hóa Nói cách đơn giản, hệ gọi điều khiển tồn điều khiển để chuyển hệ từ trạng thái ban đầu cho trước sang trạng thái mong muốn cuối Hệ gọi ổn định tiệm cận quỹ đạo chuyển dần trạng thái dừng thời gian tiến vô hệ gọi ổn định hóa tồn điều khiển ngược (điều khiển phụ thuộc vào biến trạng thái) để biến thành hệ ổn định tiệm cận Hiện nay, vấn đề quan tâm tính chất hệ động lực chịu ảnh hưởng nhiễu Phần lớn tính chất "tốt" hệ động lực đối tượng tốn học nói chung bảo toàn tham số cấu trúc hệ đối tượng chịu nhiễu bé Ví dụ: tính điều khiển hệ điều khiển tuyến tính lý thuyết điều khiển; tính ổn định tiệm cận nghiệm phương trình vi phân; tính đặt chỉnh (well-posedness) hệ phương trình tuyến tính, tính hội tụ thuật tốn giải tích số; tính khả nghịch ma trận vuông đại số tuyến tính; tính qui metric ánh xạ giải tích Sự bảo tồn tính chất định tính ảnh hưởng nhiễu gọi bền vững Các nhà toán học mong muốn tìm định lượng nhằm đánh giá khả bảo tồn tính chất định tính hệ thống ảnh hưởng nhiễu, gọi bán kính bảo tồn Đối với tính ổn định tiệm cận hệ tuyến tính, xuất phát từ hai báo đăng tạp chí Systems & Control Letters [45, 46], tác giả D Hinrichsen A.J Pritchard phát triển hướng nghiên cứu hướng nghiên cứu ổn định vững hệ động lực dựa biểu diễn hệ không gian trạng thái sử dụng khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học tính hiệu ứng dụng kĩ thuật (xem [7, 13, 25, 26, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 68, 74, 76, 84, 97]) Dưới dạng đơn giản nhất, bán kính ổn định có cấu trúc hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận x˙ = Ax định nghĩa số γ lớn cho hệ chịu nhiễu x˙ = (A + D∆E)x ổn định tiệm cận ∆ < γ, ∆ ma trận nhiễu, D E ma trận cấu trúc nhiễu · chuẩn ma trận cho trước Một cách tương đương, bán kính ổn định định nghĩa rK (A; D, E) = inf{ ∆ : ∆ ∈ Kl×q , A + D∆E khơng ổn định tiệm cận} Khi K = C ta có định nghĩa bán kính ổn định phức rC (A; D, E) K = R ta có định nghĩa bán kính ổn định thực rR (A; D, E) Từ định nghĩa ta thấy rC (A; D, E) ≤ rR (A; D, E) Cơng thức bán kính ổn định phức D Hinrichsen A.J Pritchard [46] đưa năm 1986 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems with perturbed control sets", Vietnam J Math., 36(2), pp 239-251 Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems under structured perturbations", Vietnam J Math., 36(4), pp 473-479 Nguyen Khoa Son, Do Duc Thuan (2010), "Structured distance to uncontrollability under multi-perturbations: an approach using multi-valued linear operators", Systems & Control Letters, 59, pp 476-483 (SCI) Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan (2010), "The structured controllability radii of higher order descriptor systems", Vietnam J Math., 38(3), pp 373-380 Nguyen Khoa Son, Do Duc Thuan (2011), "On the radius of surjectivity for rectangular matrices and its applications to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", J Nonlinear and Convex Anal., 12(3), pp 441-453 (SCIE) 118 Nguyen Khoa Son, Do Duc Thuan (2012), "The structured distance to non-surjectivity and its applications to calculating the controllability radius of descriptor systems", J Math Anal Appl., 388, pp 272-281 (SCI) Nguyen Huu Du, Do Duc Thuan and Nguyen Chi Liem (2011), "Stability radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales", Systems & Control Letters, 60, pp 596-603 (SCI) 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Hữu Anh Ngọc (2000), Một số tốn tính ổn định vững hệ động lực, Luận án tiến sĩ, Viện Tốn học [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập mơn lý thuyết điều khiển toán học, Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Dương Đặng Xuân Thành (2009), Tính ổn định bền vững số tính chất hệ động lực tuyến tính, Luận án tiến sĩ, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh [4] P.K Anh, D.S Hoang (2006), "Stability of class of singular difference equations", Int J Difference Eq., 1(2), pp 181-193 [5] B.T Anh, D.C Khanh and D.D.X Thanh (2009), "Eising-like formulae for structured controllability radii", Systems & Control Letters, submitted 120 [6] B.T Anh, N.K Son, D.D.X Thanh (2008), "Stability radii of delay difference systems under affine parameter perturbations in infinite dimensional spaces", Appl Math Comp., 202, pp 562-570 [7] B.T Anh, N.K Son, D.D.X Thanh (2009), "Stability radii of positive linear time-delay systems under fractional perturbations", Systems & Control Letters, 58, pp 155-159 [8] B.T Anh, N.K Son (2010), "Robust stability of positive linear systems in Banach spaces", J Difference Eq Appl., 16, pp 1447-1461 [9] A Berman and R.J Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences, Acad Press, New York [10] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic equations on time scales: An Introduction with Applications, Birkhăauser, Boston [11] M Bohner and A Peterson (2003), Advances in dynamic equations on time scales, Birkhăauser, Boston [12] S Boyd and V Balakrishnan (1990), "A regularity result for the singular values of a transfer matrix and a quadratically convergence algorithm for computing its L∞ -norm", Systems & Control Letters, 15, pp 1-7 [13] M Bracke (2000), On stability radii of parametrized linear differential-algebraic systems, Ph.D thesis, University of Kaiserslautern [14] R Brammer (1972), "Controllability of linear autonomous systems with positive controllers", SIAM J Control Optim., 10, pp 339-353 121 [15] A Bunse-Gerstner, R Byers, V Mehrmann, and N.K Nichols (1999), "Feedback design for regularizing descriptor systems", Linear Algebra and its Applications, 299, pp 119-151 [16] J.V Burke, A.S Lewis and M.L Overton (2004), "Pseudospectral components and the distance to uncontrollability", SIAM J Matrix Anal Appl., 26, pp 350-361 [17] R Byers (1994), "The descriptor controllability radius", in: U Helmke, R Mennicken, J Saurer (Eds.), Proceedings of the Conference on the Mathematical Theory of Networks and Systems, MTNS’93, Akademie Verlag, Berlin, pp 85-88 [18] S Clark, Y Latushkin, S Montgomery-Smith, and T Randolph (2000), "Stability radius and internal versus external stability in Banach spaces: An evolution semigroup approach", SIAM J Control Optim., 38, pp 1757-1793 [19] R Cross (1998), Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New York [20] J.J DaCunha (2005), "Stability for time varying linear dynamic systems on time scales", J Comput Appl Math., 176(2), pp 381410 [21] L Dai (1989), Singular Control Systems, Springer, BerlinHeidelberg [22] R.A DeCarlo and M Wicks (1991), "Computing the distance to an uncontrollable system", IEEE Trans Automat Control, 36(1), pp 39-49 122 [23] T.S Doan, A Kalauch and S Siegmund (2009), "Exponential Stability of Linear-Time Invariant Systems on Time Scales", Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 9, pp 37-50 [24] T.S Doan, A Kalauch, S Siegmund and F Wirth (2010), "Stability radii for positive linear time-invariant systems on time scales", Systems & Control Letters, 59, pp 173-179 [25] N.H Du (1999), "Stability radii for differential-algebraic equations", Vietnam J Math., 27, pp 379-382 [26] N.H Du, V.H Linh (2005), "Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems", Systems & Control Letters, 54, pp 33-41 [27] N.H Du, V.H Linh (2006), "Stability radii for linear time-invarying differential-equations with respect to dynamic perturbations", J Differential Equations, 230, pp 579-599 [28] N.H Du (2008), "Stability radii of differential-algebraic equations with structured perturbations", Systems & Control Letters, 57, pp 546-553 [29] N.H Du, D.D Thuan and N.C Liem (2011), "Stability radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales", Systems & Control Letters, 60, pp 596-603 [30] C Eckart, G Young (1936), "The approximation of one matrix by another of lower rank", Psychometrika, 1, pp 211-218 123 [31] R Eising (1984), "Between controllable and uncontrollable", Systems & Control Letters, 5, pp 263-264 [32] A Fischer (1997), "Stability radii of infinite-dimensional positive systems", Math Control Signals Sys., 10, pp 223-236 [33] A Fischer, D Hinrichsen and N.K Son (1998), "Stability radii of Metzler operators", Vietnam J Math., 26, pp 147-163 [34] A Fisher and J M A M van Neerven (1998), "Robust stability of C0 -semigroups and application to stability of delay equations", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 226, pp 82-100 [35] P Gahinet, A.J Laub (1992), "Algebraic Riccati equations and the distance to the nearest uncontrollable pair", SIAM J Control Optim., 4, pp 765-786 [36] M Gao, M Neumann (1993), "A global minimum search algorithm for estimating the distance to uncontrollability", Linear Algebra and its Applications, 188-189, pp 305-350 [37] M Gu (2000), "New methods for estimating the distance to uncontrollability", SIAM J Matrix Anal Appl., 21, pp 989-1003 [38] M Gu, E Mengi et al (2006), "Fast methods for estimating the distance to uncontrollability", SIAM J Matrix Anal Appl., 28, pp 447-502 [39] M.L.J Hautus (1969), "Controllability and observability conditions of linear autonomous systems", Nederl Acad Wetensch Proc Ser A, 72, pp 443-448 124 [40] N.T Ha, B Rejanadit, N.V Sanh and N.H Du (2009), "Stability radii for implicit difference equations", Asia-Europian J of Mathematics, 2(1) [41] C He (1995), "Estimating the distance to uncontrollability: A fast method and a slow one", Systems & Control Letters, 26, pp 275-281 [42] C He, G.A Watson (1999), "An algorithm for computing the distance to instability", SIAM J Matrix Anal Appl., 20(1), pp 101116 [43] S Hilger (1990), "Analysis on measure chains - a unified approach to continuous and discrete calculus", Results Math., 18, pp 18-56 [44] S Hilger (1988), Ein Makettenkalkă ul mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten, Ph.D thesis, Universităat Wă urzburg [45] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters, 7, pp 1-10 [46] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation", Systems & Control Letters, 8, pp 105-113 [47] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1990), "Real and Complex stability radii: A survey", In: D Hinrichsen, B Martensson eds Control of Uncertain systems, Progress in System and Control Theory, Basel, Birkhă auser, pp 119-162 125 [48] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1994), "Robust stability of linear evolution operators on Banach spaces", SIAM J Control Optim., 32(6), pp 1503-1541 [49] D Hinrichsen, B Kelb, and A Linnemann (1989), "An algorithm for the computation of the structured complex stability radius", Automatica, 25, pp 771-775 [50] D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), "Robustness of stability of time-varying linear systems", J Differential Equations, 82, pp 219-250 [51] D Hinrichsen, N.K Son (1989), "The complex stability radius of discrete-time systems and symplectic pencils", Proceedings of the 28th IEEE Conference on Decision and Control, 1-3, pp 2265-2270 [52] D Hinrichsen, N.K Son (1991), "Stability radii of linear discretetime systems and symplectic pencils", Int J Robust Nonlinear Control, 1, pp 79-97 [53] D Hinrichsen, N.K Son (1998), "Stability radii of positive discretetime systems under affine parameter perturbations", Int J Robust Nonlinear Control, 8, pp 1969-1988 [54] D Hinrichsen, N.K Son (1998), "µ-analysis and robust stability of positive linear systems", Appl Math and Comp Sci., 8(2), pp 253-268 [55] D Hinrichsen, N.K Son and P.H.A Ngoc (2003), "Stability radii of higher order positive difference systems", Systems & Control Letters, 49, pp 377-388 126 [56] R Horn and C Johnson (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, London [57] G Hu and E.J Davison (2004), "Real controllability/stabilizability radius of LTI systems", IEEE Trans Automat Control, 49(2), pp 254.257 [58] B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", J Differential Equations, 142, pp 167-187 [59] R.E Kalman (1960),"Contributions to the theory of optimal control", Bul Soc Math Mexicana, 5, pp 102-119 [60] M Karow, D Kressner (2009), "On the structured distance to uncontrollability", Systems & Control Letters, 58, pp 128-132 [61] T Kato (1976), Perturbation Theory for Linear Operator, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [62] D.C Khanh, D.D.X Thanh (2006), "Controllability radii and stabilizability radii of time-invariant linear systems", Vietnam J Math., 34, pp 495-499 [63] V I Korobov et al (1975), "Controllability of linear autonomous systems with restraints on control", Differenfsiafnye Urauneniya, 11, pp 1967-1979 [64] M.G Krein and M.A Rutman (1948), "Linear operators leaving invariant a cone in Banach space", Uspekhi Mat Nauk, 3, pp 3-95 [65] E.B Lee, L Markus (1967), Foundations of Optimal Control Theory, John Willey, New York 127 [66] A Lewis, R Henrion, A Seerger (2006), "Distance to uncontrollability for convex processes", SIAM J Control Optim., 45, pp 26-50 [67] C.F Van Loan (1976), "Generalizing the singular value decomposition", SIAM J Numer Anal., 13, pp 76-83 [68] C.F Van Loan (1985), "How near is a stable matrix to an unstable matrix", In Contemporary Mathematics, Linear Algebra and Systems Theory, American Mathematical Society, 47, pp 465-478 [69] P Losse and V Mehrmann (2008), "Controllability and observability of second order descriptor systems", SIAM J Control Optim., 47, pp 1351-1379 [70] V Mehrmann, R Nabben and E Virnik (2008), "Generalisation of the Perron-Frobenius theory to matrix pencils", Linear Algebra and its Applications, 428, pp 20-38 [71] E Mengi (2006), "On the estimation of the distance to uncontrollability for higher order systems", SIAM J Matrix Anal Appl., 30, pp 154-172 [72] P.H.A Ngoc, N.K Son (2004), "Stability radii of linear systems under multi-perturbations", Numer Funct Anal Optim., 25(3-4), pp 221-238 [73] P.H.A Ngoc, B.S Lee and N.K Son (2004), "Perron Frobenius theorem for positive polynomial matrices", Vietnam J Math., 32, pp 475-481 128 [74] P.H.A Ngoc, N.K Son (2005), "Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations", SIAM J Control Optim., 43, pp 2278-2295 [75] P.H.A Ngoc (2007), "Stability radii of positive linear VolterraStieltjes equations", J Differential Equations, 243(1), pp 101-122 [76] P.H.A Ngoc, T Naito, J.S Shin, S Murakami (2008), "On stability and robust stability of positive linear Volterra equations", SIAM J Control Optim., 47(2), pp 975-996 [77] C.C Paige (1981), "Properties of numerical algorithms relating to controllability", IEEE Trans Automat Control, AC-26, pp 130138 [78] J Pena (2005), "On the block-structured distance to nonsurjectivity of sublinear mappings", Math Programming Ser A, 103, pp 561-573 [79] V.N Phat, P.T Nam (2007), "Exponential stability and stabilization of uncertain linear time-varying systems using parameter dependent Lyapunov function", Int J Control, 80(8), pp 1333-1341 [80] C Păotzsche, S Siegmund and F Wirth (2003), "A spectral characterization of exponential stability for linear time-invariant systems on time scales", Discrete and Continuous Dynamical System, 9(5), pp 1123-1241 [81] A.J Pritchard, S Townley (1989), "Robustness of linear systems", J Differential Equations, 77(2), pp 254-286 129 [82] L Qiu, B Bernhardsson, A Rantzer, E.J Davison, P.M Young and J.C Doyle (1995), "A formula for computation of the real stability radius", Automatica, 31, pp 879-890 [83] J Renegar (1994), "Some perturbation theory for linear programming", Math Programming, 65, pp 73-91 [84] B Shafai, J Chen and M Kothandaraman (1997), "Explicit formulas for stability radii of nonnegative and Metzlerian matrices", IEEE Trans Automat Control, 42, pp 265-270 [85] N.K Son, P.H.A Ngoc (1999), "Robust stability of positive linear time delay systems under affine parameter perturbations", Acta Math Vietnam., 24, pp 353-372 [86] N.K Son, P.H.A Ngoc (2001), "Robust stability of linear functional differential equations", Adv Studies in Contemporary Math., 3, pp 43-59 [87] N.K Son (1980), "Local controllability of linear systems with restrained controls in Banach space", Acta Math Vietnam., 5, pp 78-87 [88] N.K Son and D.D Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems with perturbed control sets", Vietnam J Math., 36(2), pp 239-251 [89] N.K Son and D.D Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems under structured perturbations", Vietnam J Math., 36(4), pp 473-479 130 [90] N.K Son, D.D Thuan (2010), "Structured distance to uncontrollability under multi-perturbations: an approach using multi-valued linear operators", Systems & Control Letters, 59, pp 476-483 [91] N.K Son and D.D Thuan (2010), "The structured controllability radii of higher order descriptor systems", Vietnam J Math., 38(3), pp 373-380 [92] N.K Son, D.D Thuan (2011), "On the radius of surjectivity for rectangular matrices and its applications to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", J Nonlinear and Convex Anal., 12, no 3, pp 441-453 [93] N.K Son, D.D Thuan (2012), "The structured distance to nonsurjectivity and its applications to calculating the controllability radius of descriptor systems", J Math Anal Appl., 388, pp 272281 [94] D.D.X Thanh, D.N Vu (2008), "An algorithm for computing a generalized problem of controllability radii", Proceedings of the IEEE Inter Conference on Research Innovation and Vision for the Future in Computing and Communication Technology, ISBN 1-4244-2379-8, IEEE Xplore, pp 17-22 [95] H Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Acad Publ., Amsterdam [96] F Wirth, D Hinrichsen (1994), "On stability radii of infinitedimensional time-varying descrete-time systems", IMA J Math Control Inform., 11, pp 253-276 131 [97] F Wirth (1998), "On the calculation of real time-varying stability radii", Int J Robust Nonlinear Control, 8, pp 1043-1058 [98] Z Yun, Y Chengwu (1993), "Formulae for the distance between controllable and uncontrollable linear systems", Systems & Control Letters, 21, pp 173-180 [99] E.L Yip, R.F Sincovec (1981), "Solvability, controllability and observability of continuous descriptor systems", IEEE Trans Automat Control, AC-26, pp 702-707 [100] J Zabczyk (1992), Mathematical control theory: An introduction, Birkhăauser, Boston Basel Berlin 132