Một số bài toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2011 Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Cách cho dãy số 1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.4 Giới hạn dãy số 1.2 Sơ lược phương pháp sai phân 11 1.3 Số học 14 1.3.1 Đồng dư thức 14 1.3.2 Một số định lý số học 15 Chương Tính chất số học dãy số 17 2.1 Tính chia hết 17 2.2 Tính chất số nguyên 36 2.3 Tính phương 46 2.4 Bài tập 57 60 Chương Giới hạn dãy số 3.1 Giới hạn tổng 60 3.2 Dãy hội tụ dãy số 65 3.3 Dãy số xác định phương trình 73 3.4 Bài tập 81 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 Lời nói đầu Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế thường xuất toán dãy số Để giải tốn dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số hoc tính chất giải tích dãy số Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng tốn tìm giới hạn dãy số Các tốn dãy số thường tốn hay khó, tác giả luận văn sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề Luận văn với đề tài “Một số tốn dãy số” có mục đích trình bày cách hệ thống, chi tiết tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn trình bày với chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại kiến thức dãy số, số học, phương pháp sai phân dùng để giải tốn chương sau Chương Tính chất số học dãy số Chương trình bày số vấn đề tính chất số học dãy số tính chia hết, tính nguyên, tính phương nêu phương pháp giải tốn, phân tích tốn cụ thể Chương Giới hạn dãy số Chương đề cập đến số toán giới hạn dãy số như: Giới hạn tổng, dãy hội tụ dãy số, dãy số xác định phương trình với phương pháp giải cụ thể cho dạng tốn Luận văn hồn thành với quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn khoa học TS Phạm Văn Quốc, thày tận tình bảo cách tập nghiên cứu khoa học, cách làm trình bày luận văn đồng thời thày có nhiều ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thày Nhân dịp tác giả xin cảm ơn khoa Tốn – Cơ – Tin học, phịng Sau đại học, phịng Cơng tác trị sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt hai năm học trình làm luận văn, cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Trung Ngạn giúp đỡ cho tác giả công tác học tập thời gian qua, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Thành Giáp Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u :N∗ −→ R n −→ u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển: u1 , u2 , , un , Trong un = u(n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = 1, 2, 3, , m với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Dãy số (un ) gọi là: • Dãy đơn điệu tăng un+1 > un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu không giảm un+1 ≥ un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu giảm un+1 < un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu không tăng un+1 ≤ un với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi là: • Dãy số bị chặn tồn số M cho un < M , với N = 1, 2, • Dãy số bị chặn tồn số m cho un > m, với N = 1, 2, • Dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Dãy số (un ) gọi tuần hoàn với chu kỳ k un+k = un , với n ∈ N Dãy số (un ) gọi dãy dừng tồn số N0 cho un = C với n ≥ N0 (C số, gọi số dừng) 1.1.2 Cách cho dãy số Dãy số cho cơng thức số hạng tổng qt: Ví dụ xét dãy số (un ) cho √ 1+ un = √ n √ 1− −√ n Dãy số cho phương pháp truy hồi: Dãy số (un ) xác định   u1 = 1, u2 = 50  un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, n = 2, 3, 4, Dãy số cho phương pháp mơ tả: Ví dụ xét dãy số (un ) cho bởi: a1 = 19, a2 = 98 Với số nguyên n ≥ 1, xác định an+2 số dư phép chia an + an+1 cho 100 1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.1.1 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số cộng với công sai d (d khác 0) un = un−1 + d với n = 2, 3, Tính chất: un = u1 + (n − 1)d uk = uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, Nếu cấp số cộng có hữu hạn phần tử u1 , u2 , , un u1 +un = uk +un−k với k = 2, 3, , n − Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.2 n n (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d] 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.1.2 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số nhân với công bội q (q khác khác 1) un = un−1 q với n = 2, 3, Tính chất: un = u1 q n−1 với n = 2, 3, u2k = uk−1 · uk+1 với k = 2, 3, Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.3 u1 (q n − 1) q−1 Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.1.3 Dãy u1 , u2 , xác định sau:   u1 = 1, u2 =  un = un−1 + un−2 , với n = 2, 3, gọi dãy Fibonacci Bằng phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát dãy là: √ 1+ un = √ 1.1.4 n √ 1− −√ n Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực a hữu hạn với số dương ε (có thể bé tùy ý), tồn số n0 ∈ N (n0 phụ thuộc vào ε vào dãy số (un ) xét), cho với số n ∈ N, n ≥ n0 ta ln có |un − a| < ε Khi kí hiệu lim un = a n→+∞ lim un = a cịn nói dãy số (un ) hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì Định lý 1.1.5 Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ Định lý 1.1.7 Nếu (un ) → a (vn ) ⊂ (un ), (vn ) = C (vn ) → a Định lý 1.1.8 (định lý kẹp giới hạn) Nếu với n ≥ n0 ta có un ≤ xn ≤ lim un = lim = a lim xn = a Định lý 1.1.9 (định lý Lagrange) Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.1.10 (định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số (un ) có giới hạn u1 + u2 + · · · + un có giới hạn hữu hạn a dãy trung bình cộng n từ cách xác định dãy (xn ) dễ thấy ≤ xn ≤ với n ∈ N∗ Do với k ∈ {1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k ) dãy hội tụ Với k ∈ {1; 2; 3; 4}, đặt lim x4n+k = ak ta có ≤ ak ≤ Hơn n→+∞ hàm số g liên tục R nên từ (1) suy g(ak ) = ak (2) Xét hàm số h(x) = g(x) − x [0; 2] Ta có h (x) = 2−(f (x)+x) · (ln 2)2 − < với x ∈ [0; 2] (do f (x)+x > với x ∈ [0; 2]) Suy ra, hàm số h giảm [0; 2] Vì có nhiều điểm x ∈ [0; 2] cho h(x) = hay g(x) = x Mà g(1) = nên từ (2) ta ak = với k ∈ {1; 2; 3; 4} Từ đây, dãy (xn ) hợp bốn dãy (x4n+k ) nên dãy (xn ) hội tụ lim xn = n→+∞ Bài tập 3.2.7 Cho dãy số thực (xn ) xác định bởi:    x1 = 2007   xn+1 = √ xn với n ≥ x2n − 3+ 1/ Chứng minh dãy (xn ) bị chặn 2/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Hiển nhiên xn > xn+1 = √ 3+ √ √ xn = 3+ x2n − 1+ √ √ < + với n ≥ x2n − Vậy xn ≤ 2007 với n, suy dãy (xn ) bị chặn Hàm f (x) = √ 3+ √ x x2 − = 71 √ 3+ 1+ x2 − √ nghịch biến [ 3; +∞) nên chứng minh dãy (x2n ) (x2n+1 ) đơn điệu Theo 1/ dãy bị chặn nên có lim x2n = a, lim x2n+1 = b Từ xn+1 = √ xn qua giới hạn, ta có x2n − 3+  √ b   a= 3+ √   b2 −   ⇒a+ √    √   b = + √ a a2 − a a2 − =b+ √ b b2 − (*) √ √ > với x ≥ x2 − (x2 − 1) x2 − nên g(x) đồng biến Nên từ (∗) suy a = b hay Xét g(x) = x + √ x có g (x) = − lim x2n = lim x2n+1 ⇒ lim xn = a = b Lúc a nghiệm phương trình √ √ √ √ √ x + 15 + 15 ⇒ lim xn = ⇔x= x= 3+ √ 2 x2 − Bài tập 3.2.8 Cho dãy số (xn ) thỏa mãn:   x1 = √a, a >  xn+1 = a − √a + xn với n ∈ N∗ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn √ Lời giải Bằng quy nạp ta chứng minh ≤ xn ≤ a với n ∈ N∗ √ √ Xét hàm f (x) = a − a + x, với x ∈ [0; a], có xn+1 = f (xn ) f (x) = − a− √ √ < 0, với x ∈ [0; a] √ a+x a+x Suy f (x) hàm nghịch biến Do dãy (xn ) tách thành hai dãy (x2n ) (x2n+1 ), 72 dãy tăng dãy giảm, mặt khác lại có dãy (xn ) bị chặn nên tồn lim x2n = α, lim x2n+1 = β, α, β nghiệm phương trình a− f (f (x)) = x ⇔ a− Xét hàm F (x) = √ a− a+ a− a+ √ a + x = x √ a + x − x, với x ∈ [0; a] Ta có F (x) = a− a+ a− √ a− a+x a+ √ a+x a− √ √ −1 a+x a+x √ Với x ∈ [0; a], ta có a− √ a+x· √ a− √ a+x≥ √ · a= = a− > 0, 12 > 0, Thay vai trò x a− a+ a− a+ √ a− a− a− √ √ √ a· − √ a> √ · a= √ √ − · 2> 2− a− √ · 2> a+ √ a+ a + x chứng minh tương tự ta có a+x· a+ a− √ a + x > 0, Suy F (x) < −0, < nên F (x) hàm nghịch biến, lại có F (0) > 0, √ F ( a) < nên phương trình F (x) = có nghiệm Do α = β Suy lim x2n = lim x2n+1 = lim xn Suy lim xn = T với T thỏa mãn f (f (T )) = T 3.3 Dãy số xác định phương trình Dãy số có mối quan hệ chặt chẽ với phương trình điều thấy rõ qua hai nội dung phương trình sai phân tuyến tính giải phương 73 trình đặc trưng, giới hạn dãy số thường giải từ phương trình Đây nội dung quan trọng phần dãy số Với dạng tốn tìm giới hạn dãy số có liên quan đến phương trình ta thường xét tính đơn điệu hàm số, áp dụng định lý Lagrange định lý giới hạn kẹp Bài tập 3.3.1 Giả sử xn ∈ (0; 1) nghiệm phương trình 1 + + ··· + = x x−1 x−n Chứng minh dãy (xn ) hội tụ Tìm giới hạn Nhận xét xn xác định hàm số fn (x) = 1 + + ··· + x x−1 x−n liên tục đơn điệu (0; 1) Tuy nhiên, ta xác định giá trị cụ thể xn Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ xn , ta khơng cần đến điều Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Với tính bị chặn hiển nhiên < xn < Với tính đơn điệu, ta ý chút đến mối liên hệ fn (x) fn+1 (x): fn+1 (x) = fn (x) + x−n−1 Đây chìa khóa để chứng minh tính đơn điệu xn Lời giải xn xác định hàm số fn (x) = 1 + + ··· + x x−1 x−n liên tục đơn điệu (0; 1) Để chứng minh dãy hội tụ, ta chứng minh dãy (xn ) bị chặn đơn điệu Hiển nhiên dãy bị chặn < xn < Bây giờ, ta chứng minh dãy (xn ) đơn điệu Ta thấy < xn < nên fn+1 (xn ) = fn (xn ) + 1 = < xn − n − xn − n − 74 Trong fn+1 (0+ ) > Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0; xn ) có nghiệm phương trình fn+1 (x) = Nghiệm xn+1 Suy xn+1 < xn Tức dãy số (xn ) giảm, dãy số bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh dãy số có giới hạn Ta dễ dàng chứng minh kết sau: 1 + + · · · + > ln n n 1 (Có thể chứng minh cách đánh giá ln + < ) n n Thật vậy, giả sử lim xn = a > Khi dãy (xn ) giảm nên ta có 1+ n→+∞ 1 + + · · · + → +∞ n → +∞, nên tồn N n cho với n ≥ N ta có xn ≥ a với n Do + 1+ 1 1 + + ··· + > n a Khi với n ≥ N 0= 1 1 1 1 + + ··· + < + + + ··· + < − = xn xn − xn − n xn −1 −2 −n a a Điều mâu thuẫn phải có lim xn = n→+∞ Bài tập 3.3.2 (HSG QG 2007) Cho số thực a > Đặt fn (x) = a10 xn+10 + xn + · · · + x + (n = 1, 2, ) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn (x) = a ln có nghiệm xn ∈ (0; +∞) dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Lời giải Với n, đặt gn (x) = fn (x) − a, gn (x) hàm liên tục, tăng [0; +∞) Ta có gn (0) = − a < gn (1) = a10 + n + − a > nên gn (x) = có nghiệm xn (0; +∞) Để chứng minh tồn giới hạn lim xn , ta chứng minh dãy (xn ) (n = n→+∞ 75 1, 2, ) tăng bị chặn Ta có gn a =a 1− a 1− − n+10 1 1− = a10 − a a + n+1 =a 1− n+1 a −a a a a9 − −1 [(a − 1)9 − 1] > Suy xn < − , n = 1, 2, Mặt khác từ a gn (xn ) = a10 xn+10 + xnn + · · · + − a = n + · · · + xn − axn = suy xn gn (xn ) = a10 xn+11 n ⇒ gn+1 (xn ) = xn gn (xn ) + + axn − a = axn + − a < xn < − a Vì gn+1 hàm tăng = gn+1 (xn+1 ) > gn+1 (xn ) nên xn < xn+1 Vậy dãy (xn ) (n = 1, 2, ) tăng bị chặn, nên tồn lim xn n→+∞ Nhận xét Ta chứng minh lim xn = − cách chứng minh bất n→+∞ a đẳng thức 1− 1 − a[(a − 1)9 − 1] − a a n+1 < xn < − a Thật vậy, ta có a = a10 xnn+10 + xnn + · · · + xn + − 1 − a[(a − 1)9 − 1] − a a 76 n+1 Cách khác chứng minh lim xn = n→+∞ a−1 a−1 Đặt c = < ta có a a fn (c) − fn (xn ) = kcn ( với k = (a − 1)[(a − 1)9 − 1] > 0) Theo định lý Lagrange fn (c) − fn (xn ) = f (ξ)(c − xn ) với ξ ∈ (xn ; c) Nhưng f (ξ) = (n + 10)a10 ξ n+9 + nξ n−1 + · · · + > nên kcn > c − xn Từ c − kcn < xn < c suy lim xn = c n→+∞ Bài tập 3.3.3 (HSG QG 2002) Xét phương trình 1 1 + + ··· + + ··· + = x − 4x − k x−1 n x−1 n nguyên dương 1/ Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm lớn 1, kí hiệu nghiệm xn 2/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn n → +∞ Lời giải Kí hiệu fn (x) = 1 1 + + ··· + + ··· + − x − 4x − k x−1 n x−1 1/ Dễ thấy, với n ∈ N∗ , hàm số fn (x) liên tục nghịch biến khoảng (1; +∞) Hơn nữa, fn (x) → +∞ x → 1+ fn (x) → − x → +∞ Từ suy ra, với n ∈ N∗ , phương trình fn (x) = có nghiệm xn > 2/ Với n ∈ N∗ , ta có 1 1 fn (4) = − + + + ··· + + · · · + 2 −1 −1 (2k)2 − (2n)2 − 1 1 1 = − + − + − ··· + − + ···+ 3 2k − 2k + 1 + − 2n − 2n + 1 =− < = fn (xn ) 2(2n + 1) 77 Từ đó, hàm fn (x) nghịch biến (1; +∞) suy xn < (1) với n ∈ N∗ Mặt khác, với n ∈ N∗ , hàm fn (x) khả vi [xn ; 4] nên theo định lý Lagrange, với n ∈ N∗ tồn t ∈ (xn ; 4) cho fn (4) − fn (xn ) n2 − − · · · − − 2(2n + 1)(4 − xn ) 2(2n + 1) (2) < xn < Từ theo nguyên lý giới 2(2n + 1) hạn kẹp giữa, ta có điều phải chứng minh Từ (1) (2) ta được: − Bài tập 3.3.4 Cho dãy số (un ) (n = 0, 1, 2, ) xác định sau: u0 = a, un+1 = sin2 (un + 11) − 2007 với số tự nhiên n Chứng minh rằng: a/ Phương trình sin2 (x + 11) − x = 2007 có nghiệm Ký hiệu nghiệm b b/ lim un = b Lời giải a/ Từ giả thiết, ta thấy un ≥ −2007 với n ∈ N∗ Xét hàm số f (x) = sin2 (x + 11) − 2007, x ∈ R Ta thấy f (x) = sin(x + 11) cos(x + 11) = sin 2(x + 11) un+1 = f (un ) Hàm số g(x) = f (x) − x có g (x) = sin 2(x + 11) − ≤ 0, g(−2007) = sin2 (−2006) > 0, lim g(x) = −∞ lim = +∞ Vậy hàm số x→+∞ x→−∞ g(x) nghịch biến có nghiệm [−2007; +∞), gọi nghiệm b, phương trình sin2 (x + 11) − x = 2007 có nghiệm b 78 b/ Kí hiệu α = |g (t)| Khi α ∈ [0; 1] max [−2007;−2006] Ta thấy −2007 ≤ un ≤ −2006 phương trình | sin 2(x + 11)| = vô nghiệm [−2007; −2006] nên ≤ α < Theo định lý Lagrange, ứng với n ∈ N∗ , tồn cn ∈ (−2007; −2006) cho |un+1 − b| = |g(un ) − g(b)| = |g (cn )||un − b| ≤ α|un − b| Từ theo phương pháp quy nạp toán học, ta |un+1 − b| ≤ αn |u1 − b| Suy lim |un+1 − b| = ⇒ lim un = b n→+∞ n→+∞ Bài tập 3.3.5 Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình x2n+1 = x + có nghiệm thực Gọi nghiệm xn Tính lim xn n→+∞ Lời giải Nếu x < −1 x 2n+1 < x < x + Nếu −1 ≤ x ≤ x2n+1 − x = (−x)(1 − x2n ) < ⇒ x2n+1 < x + Nếu < x ≤ x2n+1 ≤ x < x + Vậy x nghiệm phương trình x2n+1 = x + ta phải có x > Đặt fn (x) = x2n+1 − x − Ta có fn (x) = (2n + 1)x2n − > [1; +∞) Suy fn tăng nửa khoảng Vì fn (1) = −1 < fn (2) = 22n+1 − > 79 nên phương trình fn (x) = có nghiệm (1; 2) Theo lý luận trên, nghiệm Xét fn+1 (x) = x2n+3 − x − Ta có fn+1 (1) = −1 < − xn − = x2n+3 − x2n+1 > fn+1 (xn ) = x2n+3 n n n Từ ta suy < xn+1 < xn Dãy (xn ) giảm bị chặn 1, suy dãy có giới hạn hữu hạn a, a ≥ Ta chứng minh a = Thật giả sử a > Khi xn ≥ a với n ta tìm n đủ lớn cho: x2n+1 ≥ a2n+1 > n Trong đó, ta có xn + < x1 + < Mâu thuẫn fn (xn ) = Bài tập 3.3.6 Cho phương trình x + 2x2 + · · · + nxn = với n nguyên dương a/ Chứng minh với n nguyên dương, khoảng (0; +∞), phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu xn b/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Lời giải a/ Xét hàm số fn (x) = x + 2x2 + · · · + nxn − liên tục R có fn (x) = + 22 x + · · · + n2 xn−1 > với x ∈ (0; +∞) nên hàm số fn (x) tăng (0; +∞) Mà fn (0) = − , fn (1) > nên phương trình fn (x) = có nghiệm khoảng (0; +∞) b/ Ta có 3fn fn 1 n−1 = + · + · · · + n· − 3 1 n = + 2· + · · · + n· − 3 3 Trừ vế theo vế ta 2fn 1 n 3 n 2n + = + + · · · + n−1 − n − = 1− n − n − = − < 3 3 2 3 · 3n 80 Do xn > với n ∈ Z+ Áp dụng định lý Lagrange, tồn yn ∈ ; xn cho: 2n + = fn (xn ) − fn n 4·3 = |fn (yn )| xn − 1 > xn − 3 f (yn ) > với yn > Mặt khác 2n + = ⇒ lim xn = n n→+∞ · n→+∞ lim Qua toán trên, thấy công cụ để khảo sát dãy số cho dãy phương trình định lý giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý hội tụ dãy số đơn điệu bị chặn, định lý Lagrange) mối liên hệ mang tính truy hồi phương trình 3.4 Bài tập Bài tập 3.4.1 Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình x2n+1 = x + có nghiệm thực Gọi nghiệm xn Tính lim xn n→+∞ Bài tập 3.4.2 Cho dãy số (xn ) xác định sau: x1 = xn , xn+1 = với n ∈ N∗ 2(2n + 1)xn + Tính n lim n→+∞ xi i=1 Bài tập 3.4.3 (đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực (xn ) xác định bởi: x1 = a, xn+1 = ln(3 + cos xn + sin xn ) − 2008 với n = 1, 2, 3, 81 Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Bài tập 3.4.4 Cho dãy {xn }+∞ n=1 thỏa mãn: x1 = 1; x2 = x3 = 9; x4 = xn+4 = √ xn xn+1 xn+2 xn+3 với n ≥ Chứng minh tồn lim xn tính giới hạn Bài tập 3.4.5 Cho phương trình với n tham số nguyên dương: x + 2(x − 1)2 + 3(x − 1)3 + · · · + n(x − 1)n − =0 (1) a/ Chứng minh phương trình có nghiệm lớn với n nguyên dương kí hiệu xn b/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Bài tập 3.4.6 Cho dãy số (un ) xác định sau:   u1 =  un+1 = + u1 u2 · · · un với n = 1, 2, 3, Tìm n lim n→+∞ i=1 ui Bài tập 3.4.7 Cho dãy số (un ) thỏa mãn:   u1 = 2009  un+1 = un (√un + 1)2 với n = 1, 2, 3, Tìm n √ lim n→+∞ i=1 ui + Bài tập 3.4.8 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:   x1 = 2,  x n+1 = xn − + x2n + 8xn − 82 (n = 1, 2, ) n Với số nguyên dương n đặt yn = x2 i=1 i+1 −4 Tìm lim yn Bài tập 3.4.9 Cho dãy số (un ) xác định bởi:   u1 =  un+1 = un + un n = 1, 2, 1996 Tìm lim n→+∞ u1 u2 un + + ··· + u2 u3 un+1 Bài tập 3.4.10 Cho dãy số (un ) xác định bởi:   u0 =  un+1 = un + 2008 −un + 2010 n = 0, 1, 2, a/ Chứng minh dãy số (u0 ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n b/ Đặt Tn = k=0 Tn Tính lim n→+∞ n + 2009 uk − 2008 83 Kết luận Dãy số lĩnh vực rộng khó, tốn dãy số đa dạng Trong luận văn đề cập đến tính chất số học dãy số giới hạn dãy số Luận văn trình bày hệ thống tốn tính chất số học dãy số tính chia hết, tính nguyên, tính phương Trong toán vận dụng kiến thức tổng hợp số học, dãy số, phương pháp sai phân, dạng tốn nêu phương pháp giải cụ thể, có đề xuất số dạng toán tổng quát, số tốn tổng qt đặc biệt hóa để có nhiều tốn khác Luận văn trình bày số dạng tốn giới hạn dãy số giới hạn tổng, dãy hội tụ dãy số, dãy số xác định phương trình Các tốn dạng có phương pháp giải cụ thể vận dụng kiến thức dãy số, định lý giới hạn Luận văn chọn lọc tốn điển hình cho dạng tốn, đặc biệt có nhiều tốn đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế năm gần qua thấy vai trị quan trọng toán dãy số đề thi Trong luận văn này, tác giả sáng tạo số tốn góp phần làm phong phú thêm toán dãy số, tạo sở cho tác giả biết nghiên cứu, sáng tạo công tác sau Tuy nhiên, thời gian lực thân hạn chế nên luận văn khơng tránh thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thày cô giáo, bạn đồng nghiệp, em học sinh để tài liệu dãy số hoàn thiện 84 Tài liệu tham khảo [1 ] Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Nguyên (dịch) (1996), Các đề thi vơ địch Tốn 19 nước – có Việt Nam, NXB Giáo dục [2 ] Phan Huy Khải (2007), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt toán dãy sồ , NXB Giáo dục [3 ] Phan Huy Khải (1997), 10.000 toán sơ cấp dãy số giới hạn, NXB Hà Nội [4 ] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) (2006), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng, Các giảng số học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [5 ] Nguyễn Văn Mậu, Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010 [6 ] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam [7 ] Nguyễn Sinh Tiến, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị (2003), Tuyển tập dự tuyển Olympic Toán học quốc tế 1991 – 2001, NXB Giáo dục [8 ] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [9 ] Các toán chọn lọc 45 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ (2009), NXB Giáo dục [10 ] Tủ sách toán học tuổi trẻ Các thi Olympic tốn Trung học phổ thơng Việt Nam (1990 – 2006) (2007), NXB Giáo dục 85