Công cụ giải quyết một số bài toán về dãy số của thầy Phí Văn Dương

SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN Ngày 11/3/2010, trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 môn toán có câu số 2(5 điểm/20 điểm; Đề có 5 câu): “Cho dãy số thực ( ) a n xác định bởi : 1 5a = và 1 1 1 1 2 2.3 n n n n n n a a − − − − = + + với mọi n 2≥ . 1/ Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( ) a n . 2/ Chứng minh rằng ( ) a n là dãy số giảm.” Căn cứ vào dạng công thức dãy đã cho và câu hỏi 1/ cũng có thể nghĩ ngay đến là sử dụng phương pháp sai phân. Cụ thể là: +) Dễ chứng tỏ 0 *a n N n > ∀ ∈ +) Từ giả thiết ta có: 1 1 1 1 2 2.3 n n n n n n a a − − − − − = + 2;n n N∀ ≥ ∈ . Áp dụng phương pháp sai phân ( Lấy tổng hai vế của đẳng thức trên, 2;n n N∀ ≥ ∈ ) ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2.3 n n k k k k k k k k a a − − − − = = − = + ∑ ∑ . Hay ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 3 3 1 n n n n a a − − − = − + − 2 3 2 3 n n n n n n n n a a ⇔ = + ⇔ = + . Như vậy là dùng phương pháp sai phân ta đã tìm được số hạng tổng quát của dãy số. ( Việc chứng minh dãy giảm là đơn giản: Điều cần chứng minh tương đương với: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 n n n n n n n n n n n n + + + + + + + < + ⇔ + < + 1 1 2 2 1 1 (*) 3 3 n n n n + +         ⇔ + < +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         Ta có: 1< 1 2 1 3 n +   +  ÷   < 2 1 3 n   +  ÷   suy ra: 1 1 2 2 2 1 1 1 3 3 3 n n n n n n + +             + < + < +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷             . Bất đẳng thức (*) được chứng minh). Ngày 21/3/2010 trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Hải Dương cũng có bài toán sử dụng phương pháp sai phân : “ Cho dãy số { } n u thỏa mãn: 1 2 1 1 ( 1;2;3; ) 2010 n n n u n u u u + =   =  = +   Xét dãy số 1 1 2 2 3 ( 1;2;3; ) n n n u u u v n u u u − = + + + = . Chứng minh dãy số { } n v có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó”. Nhìn vào câu hỏi cũng có thể nghĩ đến phải dùng phương pháp sai phân cho dãy số { } n u . Cụ thể là: +) Dễ chứng minh dãy số tăng. +) Từ giả thiết suy ra: 2 1 2010 n n n u u u + − = ( n = 1, 2 …) ⇔ 1 1 1 2010 n n n n n n u u u u u u + + + − = ⇔ 1 1 1 1 2010 n n n n u u u u + +   = −  ÷   với n = 1, 2, … Áp dụng phương pháp sai phân, ta có: 1 1 1 1 1 1 2010 n n k k k k k k u u u u = = + +   = −  ÷   ∑ ∑ ⇔ 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2010 2010 1 k k k k u u u u u u u u u + + +     + + + = − = −  ÷  ÷     (1) Mặt khác: 1 = u 1 < u 2 < … < u n < u n + 1 … Nếu {u n } bị chặn trên => tồn tại giới hạn hữu hạn a = lim n u ; a>1 Vì u n+1 = 2 2010 n n u u + , chuyển qua giới hạn, ta có: a a a += 2010 2 => a = 0 trái với a>1 Suy ra dãy không bị chặn trên; vì {u n } dăy tăng, nên ta có lim n u = +∞ Kết hợp với (1) => 1 1 2 2 3 lim 2010 n n u u u u u u −   + + + =  ÷   hay lim 2010 n v = Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 năm 2010 của tỉnh Nghệ An cũng có bài: Cho dãy số { } n x thỏa mãn 1 1 2 3 1 2 2 ( ; 2) 2 3 ( 1) ( 1) n n x n N n x x x n x x n n − =   ∈ ≥ + + + + −  =  −  . Tính lim n u , với 3 ( 1) n n u n x = + . Cũng có thể dùng phương pháp sai phân vào đây: Đặt n n v nx= ; khi đó giả thiết đã cho có dạng: 1 2 1 2 1 2 ( 1) (*) n n v n v v v v − =    − = + + +   Từ (*) suy ra ( ) 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 n n n n v n v v − − − = − − + Hay 2 2 1 ( 1) ( 1) n n n v n v − − = − 1 ( 1) ( 1) n n n v n v − ⇔ + = − . Nếu để nguyên như vậy sẽ khó tìm được v n . Ta có thể làm như sau: 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n v n v n nv n n v − − + = − ⇔ + = − (**) Đây là ý đơn giản nhưng quan trọng để ta có thể sai phân, cụ thể là (**) suy ra dãy { } ( 1) n n nv+ là dãy số không đổi. Từ đó 1 ( 1) 2.1. 4 n n nv v+ = = . Hay 4 ( 1) n v n n = + ( n ∀ ). Suy ra 3 2 3 2 ( 1) 4( 1) ( 1) n n n n n u n x v n n + + = + = = . Đến đây thì thật đơn giản, lim 4 n u = . Vấn đề sai phân và ứng dụng của sai phân giải toán dãy số cũng như giải toán nói chung đã được nhiều người quan tâm, cho dù mức độ cũng như dạng loại cũng có phần khác nhau. Người viết bài này đã để tâm sưu tầm, tìm tòi và nghiên cứu khá sâu về sai phân, nay – qua quan sát các đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp Tỉnh, cấp Quốc gia vừa diễn ra trong thời gian qua, thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân, nên xin được trao đổi tại đây; Mong góp phần nhỏ bé vào việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi của tỉnh nhà. LỜI NÓI ĐẦU: Một trong các dạng toán hay và khó trong chương trình phổ thông trung học là toán về dãy số , trong đó Sai phân và ứng dụng của sai phân là phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy số khác. Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn đề này, nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp vấn đề này thường hay được đề cập đến. Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương pháp sai phân nhưng không phân tích chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng. Xuất phát từ mục đích để giảng dạy cho các học sinh giỏi và trao đổi với đồng nghiệp về lĩnh vực nói trên, nhưng phải phù hợp với học sinh phổ thông(khá, giỏi) tôi đã nghiên cứu kỹ lưỡng dạng và cách giải của từng loại bài, trình bày lại thông qua các Ví dụ, rồi khái quát thành phương pháp cho dễ vận dụng sau này. Các dạng của sai phân còn được thể hiện sinh động hơn qua các ví dụ cụ thể lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, quốc gia và quốc tế. Qua thực tế giảng dạy của bản thân cho học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, tôi xin mạnh dạn trao đổi cùng các đồng nghiệp, với hy vọng là đóng góp một chút vào công cuộc đầy khó khăn nhưng cũng rất vinh dự này. Vì là suy nghĩ của một người chắc không tránh khỏi thiếu sót, mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp và những người có cùng mối quan tâm. Nội dung của bài viết này có 5 phần: 1) Sai phân cấp I. 2) Sai phân cấp I suy rộng(một số dạng cơ bản). 3) Sai phân cấp II. 4) Sai phân cấp II suy rộng ( một số dạng cơ bản). 5) Một số bài toán ứng dụng sai phân ( muốn cung cấp thêm các ví dụ, mang tính thực tiễn giảng dạy). Dưới đây là nội dung bài viết: I) Sai phân cấp I: Cho dãy { } n U : U 1 cho trước , 1n n U aU b + = + ( với a,b cho trước) hãy xác định số hạng tổng quát n U của dãy số. Ta gọi đó là phương trình sai phân cấp I ( tức là để tìm một số hạng của dãy cần biết một số hạng ngay trước nó). Đây là bài toán cơ bản có cách giải đơn giản: +) Nếu a=1 thì dãy số là cấp số cộng công sai b nên 1 ( 1) n U U n b= + − +) Nếu a ≠ 1 ta có 1 ( ); 1 n n b U c a U c c a + + = + = − khi đó dãy là cấp số nhân , công bội a nên 1 1 ( ) 1 1 n n b b U a U a a − = + − − − Tuy nhiên nếu ta làm như sau thì sẽ thấy dẫn tới phương pháp sai phân: +) Nếu a =1: có 1 1 1 1 1 1 ( ) n n k k k k k k U U b U U b − − + + = = − = ⇒ − = ∑ ∑ hay 1 ( 1) n U U n b= + − +) Nếu a ≠ 1 ta có: 1 1 1 1 n n n n n n n U U b U aU b a a a + + + + = + ⇒ = + . Đặt 1 1 n n n n n n U b V V V a a + + = ⇒ − = Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) (1 ) ( 1) n n k k k n k k b b V V a a a a − − + + − = = − = = − − ∑ ∑ ; từ đó tìm được 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( (1 ) ) ( 1) n n n n k n k U b b U U a a a a a a a a − + − = = + = − + − ∑ . Thử lại thoả mãn. Phương pháp này gọi là Sai phân cấp I: Tức là tách một số hạng của dãy thành hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy mới, cũng có thể thay dấu bằng bởi các dấu lớn, nhỏ hơn mà ta sẽ thấy qua các ví dụ dưới đây, phương pháp này có ứng dụng rất lớn. Ví dụ 1: a) Chứng minh rằng : n U <2 *n N ∀ ∈ với 1 1 ( 1) n n k U k k = = + ∑ b) Chứng minh rằng : n U < 1 18 *n N ∀ ∈ với 1 1 ( 1)( 2)( 3) n n k U k k k k = = + + + ∑ Giải: a) Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) 2( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k = = − = + − < − + + + + + + Do đó 1 1 1 1 1 1 2( ) 2(1 ) 2 ( 1) 1 1 n n n n k k U U k k k k n = = = < − = − ⇒ < + + + ∑ ∑ b) Ta có 1 1 1 1 ( ) ( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)k k k k k k k k k k = − + + + + + + + + Tương tự như trên lấy tổng với k từ 1 đến n ta có n U = 1 1 1 1 ( ) 3 1.2.3 ( 1)( 2)( 3) 18 n U n n n − ⇒ < + + + Ví dụ 2:(Olympic Toán quốc tế 1970) Cho 0 1 1 n a a a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ; và dãy số { } 1 1 1 : (1 ) n k n n k k k a b b a a − = = − ∑ Chứng minh rằng 0 2 * n b n N≤ < ∀ ∈ Giải : Tacó: 1 1 1 1 ( )( ) 1 1 (1 ) k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a − − − − − + − − = = 1 1 ( )2 1 1 2( ) k k k k k k k a a a a a a a − − − ≤ = − . Từ đó suy ra 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 2( ) 2 2 n n k k k n b a a a a a = − +   ≤ − = − < ≤ ÷   ÷   ∑ (Vì 0 1a ≥ ) (Đpcm). Ví dụ 4:(Olympic Toán Trung Quốc 1964) Cho dãy số { } 2 1 : 0; ( *) n n n n n a a a a a n N + > ≤ − ∀ ∈ . Chứng minh rằng 1 ( *) n a n N n < ∀ ∈ . Giải: Từ giả thiết ta có : 2 2 1 0 0 1 n n n n n n a a a a a a + ≤ − ⇒ − > ⇒ < < và 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 k k k k k k k k a a a a a a a a + + ≤ − ⇒ ≥ = + − − hay 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 n k k k k k k n a a a a a = + + − ≥ > ⇒ − > − ∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n a a a n + + > + > + ⇒ < + hay 1 n a n < (Đpcm) Ví dụ 4:(Olympic Toán Việt Nam 1998) Chứng minh rằng không tồn tại dãy { } n x thoả mãn cả hai điều kiện: 1 1 0,666 & , * ( 1) ( 1) n m n x x x m n N m m n n ≤ − ≥ + ∀ ∈ + + Giải: Giả sử có dãy số thoả mãn cả hai điều kiện đã nêu ,n∀ sắp xếp lại thứ tự của x 1 ,x 2 , ,x n : là 1 2 n i i i x x x≤ ≤ ≤ Theo giả thiết có: ( ) 1 1 1 1 1 1,2, , 1 1 ( 1) k k i i k k k k x x k n i i i i + + + − ≥ + ∀ = − + + Khi đó ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2(1 ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 6 n n i i i n n x x i i i i i i n = − ≥ − − ≥ − − − + + + + ∑ = 4 2 3 1n − + suy ra : 1 4 2 2.0,666 3 1 n i i x x n ≥ + ≥ − + , cho n → +∞ ta được 2.0,666 ≥ 4 3 ( vô lý) Vậy điều giả sử là sai, hay ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 5: (Olympic Toán quốc tế 1968) Tính tổng:S = 1 0 2 2 k k k n ∞ + =   +     ∑ ; n là số nguyên dương cho trước( kí hiệu [ ] x là phần nguyên của x). Giải: +) Dễ chứng minh [ ] [ ] 1 1 2 2 2 2 x x x x x x x R + +         = + ⇒ − = ∀ ∈                 +)Thay x= 2 k n ta có : 1 1 2 2 2 2 k k k k n n n + +   +     = −             Do đó S = 1 0 2 2 k k k n ∞ + =   +     ∑ = 1 0 1 1 ( ) 2 2 2 2 m k k m k n n n n n + + =         − = − =                 ∑ ( Vì luôn có m đủ lớn để 1 2 0 2 m m n n +   > ⇒ =     ) Ví dụ 6: (Olympic Toán quốc tế 1994) Cho dãy số { } 2 0 1 : 1994; ( ) 1 n n n n a a a a n N a + = = ∈ + . Chứng minh rằng khi 0 998n ≤ ≤ thì [ ] 1994 n a n= − Giải: +)Dễ chứng minh 1 0 ( ) n n a a n N + < < ∈ bằng quy nạp +) Có 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k a a a a a a a a + − = − = = − + + + suy ra: 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 ( ) 1994 1994 1 1 n n n n k k n n k k k k k a a a a n a n a n a a − − − + = = = − = − = − ⇒ = − + ⇒ > − + + ∑ ∑ ∑ Ta chỉ cần chứng minh 1 0 1 1 1 n k k a − = < + ∑ Thật vậy : 1 1 0 0 1 1 1 1 998 1 1 1 1 1 997 n n k k k n n n a a a − − == = − − < = ≤ = + + + + ∑ ∑ (vì 1 : 0 998 1994 ( 1) 997 n n n a n − ∀ ≤ ≤ ⇒ > − − ≥ ) Vậy [ ] 1994 n a n= − . Ví dụ 7:(Olympic Toán Bungari 1999) Cho dãy các số nguyên { } n a thoả mãn : 1 ( 1) ( 1) 2( 1)( *) n n n a n a n n N + − = + − − ∀ ∈ . Biết a 1999 chia hết cho 2000. Tìm số n nhỏ nhất sao cho a n chia hết cho 2000 ( n 2≥ ) Giải: Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho (n-1)n(n+1) ta có: 1 2 (1) ( 1) ( 1) ( 1) n n a a n n n n n n + = − + − + Đặt (1) ( 1) n n a b n n = ⇒ − có dạng: 1 1 2 2 2 ( *) ( 1) 1 n n n n b b b b n N n n n n + + = − ⇔ − = − ∀ ∈ + + Do đó 2 2 2 2 2 2 1 1 2 n n b b b b b n n − = − = − ⇔ = − + Nên 2 2 2 ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 2 n a a b n n n n n n = + − − = − + − − Như vậy bằng phương pháp sai phân ta xác định được a n Theo giả thiết 2000 là ước của a 1999 =1998(2+1999( 2 1) 2 a − ) 2 2 1000 (2 ( 1)1999) 2 2 a a Z⇔ + − ⇒ ∈ Hay 2 2 2 1000 (2 2000( 1) 1 ) 1000 2 1 2 2 2 a a a     + − − − ⇔ − −  ÷  ÷     Vì thế ta có 2 1 1000 2( ) 2 a m m Z− = + ∈ 2( 1) (1000 2) ( 1) n a n m n n⇒ = − + + − Vì n(n-1) chẵn nên a n chia hết cho 2000 1 ( 1) 1000 ( 1)( 1) 1000n n n n n⇔ − + − ⇔ − +M M 2 1 ( 1) 250n k k k⇒ = + ⇒ + M . Từ đó suy ra số k nhỏ nhất là 124, hay n nhỏ nhất là 249. Ví dụ 8:(Sai phân trong trong đa thức ) Tìm tất cả các đa thức f(x) ∈ R [ ] x thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) f(x+1)- f(x) = 0 ∀ x b) f(x+1)- f(x) = x ∀ x c) f(x+1)- 3f(x) = 2x+5 ∀ x Giải: a) Cho x = 0,1,2, ,n, ta được phương trình f(x)=f(0) có vô số nghiệm mà f(x) là đa thức nên f(x)=f(0) với mọi x. Thử lại hiển nhiên đúng giả thiết. b) Đây mới là bài toán dùng sai phân: Ta sẽ đưa về bài toán a) bằng cách tìm một đa thức g(x) sao cho: g(x+1) - g(x) = x ( ∀ x) Chỉ cần chọn g(x)=ax 2 +bx ( đa thức có bậc lớn hơn bậc của x một đơn vị) Ta có 2 2 ( 1) ( 1) ( ) ( )a x b x ax bx x x+ + + − + = ∀ 1 1 2 , 2 2 ax a b x x a b⇔ + + = ∀ ⇒ = = − khi đó bài toán đã cho ( ( 1) ( 1)) ( ( ) ( )) 0f x g x f x g x x⇔ + − + − − = ∀ Theo a) ta có f(x)- g(x)=A( hằng số) hay f(x) = 2 1 1 ( ) 2 2 x A x− + ∀ Thử lại đúng. c)Tương tự câu b), nhưng tìm g(x) = ax+b (cùng bậc với 2x+5) sao cho g(x+1)-3g(x) = 2x+5 ∀ x Ta có a(x+1)+b-3(ax+b)=2x+5( ∀ x) 2 2 2 5 1, 3ax a b x x a b⇔ − + − = + ∀ ⇔ = − = − khi đó giả thiết có dạng: (f(x+1)-g(x+1)) - 3(f(x)-g(x)) = 0 ( ∀ x) Dễ chứng minh đa thức h(x) thoả mãn h(x+1) - 3h(x) = 0 ( ∀ x) là đa thức đồng nhất bằng 0 (đồng nhất hệ số). Vậy f(x) = g(x) = - x - 3 ∀ x. Ví dụ 9:(Sai phân trong phương trình hàm) Tìm các hàm số xác dịnh trên R và thoả mãn một trong các điều kiện sau: a)f(x+1) = f(x) ∀ x b)f(x+2) = f(x) + 3x - 1 ∀ x c)f(x+1) = 3f(x) + x d) f(x+1) = 3f(x) + 2 x ∀ x e) f(x+2) = f(x) + sinx ∀ x Giải: a)Dễ thấy hàm số tuần hoàn chu kỳ 1, và ( )f x = [ ) [ ] [ ) ( ) 0;1 ( ) 0;1 l x x f x x x ∀ ∈   − ∀ ∉  với l(x) bất kì xác định trên [0;1). Từ bây giờ ta gọi là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 ; Tổng quát có thể chu kỳ a ≠ 0 b)Dùng phương pháp sai phân: Tìm một hàm số g(x) sao cho g(x+2) - g(x) = 3x - 1 ∀ x Ta chọn g(x) = ax 2 + bx; ta có a(x+2) 2 + b(x+2) - (ax 2 +bx) = 3x-1( ∀ x) hay 4ax+4a+2b = 3x-1 ∀ x , nên a = 3 4 ; b = -2 Khi đó ta có giả thiết tương đương với f(x+2) - g(x+2) = f(x) - g(x) ∀ x .Vậy f(x) - g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2, ta gọi đó là h(x)( hoàn toàn xác định) hay f(x) = h(x) + 3 4 x 2 - 2x .Thử lại thoả mãn. c)Trước tiên ta tìm hàm số f(x) thoả mãn: f(x+1)=3f(x) ( ∀ x) 1 ( 1) ( ) 3 3 x x f x f x x + + ⇔ = ∀ Đặt f(x) = 3 x h(x), ta có h(x+1) = h(x) ( ∀ x) tức là h(x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ 1(đã xác định theo câu a) hay f(x)=3 x h(x) ( ∀ x) Bước hai: Ta tìm hàm số g(x) = ax+b sao cho g(x+1) - 3g(x) = x ( ∀ x) ( 1) 3( ) ( )a x b ax b x x+ + − + = ∀ hay a= - 1 2 ; b= - 1 4 Khi đó f(x+1)-g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) ( ∀ x) . Theo kết quả ở trên suy ra f(x) = 1 1 2 4 x− − +3 x h(x), ở đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 bất kỳ. d) Ta tìm hàm số g(x) = a.2 x sao cho g(x+1) - 3 g(x) = 2 x ( ∀ x) hay a.2 x+1 - 3a.2 x =2 x ∀ x suy ra a = -1 Khi đó bài toán đã cho thành: f(x+1) - g(x+1) = 3(f(x)- g(x)) ( ∀ x) Cũng theo kết quả trên thì f(x) = 3 x h(x) - 2 x ( ∀ x), trong đó h(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 tuỳ ý. e) Ta tìm hàm số g(x) = asinx + b cosx sao cho g(x+2)-g(x) = sinx ( ∀ x ) [...]... rõ ràng lợi ích của phép sai phân: tìm hàm g(n) để đưa về bài toán đã biết(với f(n)=0) Bây giờ ta sẽ giải quyết bài toán phức tạp hơn: f(n) là tổng hai hàm trong ba hàm số đã nêu là hàm đa thức, hàm mũ và hàm cosin, sin của biến n Để nắm được phương pháp chung ta chỉ cần xét một ví dụ sau: Ví dụ 5: U1 = 1  n U n +1 = 2U n + 3 + n Tìm { U n } :  Giải: Rõ ràng không thể chia hai vế của đẳng thúc đã... như trên ta chứng minh được f(x) thoả mãn yêu cầu II)Sai phân cấp I suy rộng: Ta đã giải quyết được bài toán tìm Un thoả mãn Un+1=aUn+b với a, b là các hằng số và một vài ví dụ về áp dụng sai phân cấp I Bây giờ ta sẽ giải bài toán phức tạp hơn: tìm U n thoả mãn Un+1=aUn+f(n) trong đó f(n) là một trong các hàm: đa thức của n; sinn; cosn; an Thông qua các ví dụ sau đây ta sẽ thấy ứng dụng sai phân rất... x )(∀x ∈ R ) Bài 2: Cho hàm số: f ( x ) = 2006 tại điểm x=0) 2x (∀x ∈ R ) Tính giá trị của f (2006) (0) ( đạo hàm cấp 2 1+ x Bài 3: Rút gọn : S = sin 3k α Với α là góc cho trước ; n là số tự nhiên cho trước 3k +1 k =0 n ∑ Bài 4: Cho ak = tgk tg ( k − 1) Rút gọn S = n ∑a k k =1 Bài 5: Cho dãy số dương { an } thoả điều kiện: an 2 ≤ an − an+1 (∀n ∈ N *) Chứng minh 1 n rằng an < (∀n ∈ N *) Bài 6: Tìm tất... pháp, chuyển tải đến người đọc một cách phù hợp: Thông qua các ví dụ cụ thể để làm đơn giản về mặt lý luận; còn về mặt ứng dụng, vì thời lượng bài viết có giới hạn, tôi cố gắng chọn lọc các ví dụ mang tính điển hình về phương pháp sai phân Hy vọng góp một phần nhỏ bé vào công tác giảng dạy toán phổ thông nói chung và đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng Trong lời giải các ví dụ đã nêu, phương pháp... tìm lời giải là dùng phương pháp mà toán học gọi là “ thử và sai”; sau khi đã có kết quả thì chỉ cần nhớ để sử dụng Trong khuôn khổ bài viết, tôi không đi sâu phân tích cách chọn g(n),(g(x)) vì xét đến cùng là học sinh cần cách giải, cách sử dụng sai phân vào giải toán Đây là điều mà cá nhân tôi muốn sự cảm thông của quý đồng nghiệp Cuối cùng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của các bạn đến bài viết... nghiệm duy nhất vì định thức D của ẩn khác 0 Gọi ( α ; β ) là nghiệm của hệ Đặt bn = an − g ( n) Khi đó ta có phương trình sai phân abn+2 + bbn+1 + cbn = 0 Dù phương trình đặc trưng có nghiệm như thế nào thì ta cũng đã giải được ở phần trên Vậy ta luôn xác định được dãy { an } Sau đây ta sẽ tiếp tục xét thêm với mục đích chính là cung cấp thêm bài tập V) Một số ứng dụng của sai phân : Ví dụ 1: a0 =... a1 = 2005 (Ở đây ý tưởng chính là dãy tuần hoàn) Ví dụ 3:   Cho dãy số { an } :  a1 = 4 2  an +1 = 2an + 1 + 3an  Chứng minh rằng dãy số gồm toàn các số nguyên Giải: a2 = 15; an +1 > 2an & ( an +1 − 2an )2 = 1 + 3an 2 ra hay 2 2 2 2 a n +1 − 4an +1an + a n = 1 thay n bằng (n-1) ta có: a n +2 − 4an +1an +2 + a n +1 = 1 Trừ hai vế của hai đẳng thức trên ta có: ( an+2 − an )( an+2 − 4an+1 + an )... * an } :  1 2 Cho dãy { an+ 2 = ( a 2 n+1 + a) / an (∀n ∈ N *)  ( a là số cho trước ) Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên Giải: Từ giả thiết suy ra an an+2 = a 2 n+1 + a∀n suy ra an+1an−1 = a 2 n + a∀n ≥ 2 Trừ hai đẳng thức này ta có an+2 an + a2 n = an+1an−1 + a 2 n+1 hay an +2 + an an +1 + an −1 = (∀n ∈ N *; n ≥ 2) an +1 an Từ đó suy ra an +1 + an −1 = t (hằng số; ∀n ≥ 2 ) hay an... Chứng minh 1 n rằng an < (∀n ∈ N *) Bài 6: Tìm tất cả các đa thức P(x) sao cho P(x) = 1 ( P( x + 1) + P( x − 1) ) ∀x ∈ R 2 Bài 7: π 4 Tìm I(n) = ∫ tg 2 n+1 xdx ( n ∈ N *) 0 Bài 8: a1 ∈ R   Cho dãy số { an } :  1 Tính lim an n →∞ an +1 = an − 2 n  Bài 9: 1 2 k n n n n Cho dãy số { an } : ak = 2! + 3! + + ( k + 1)! (∀k ∈ N *) Tính lim a1 + a2 + + a2006 THAY CHO LỜI KẾT: Đây là những kết quả mà... sẽ tìm hai hàm số : g(n)=an+b sao cho g(n+1) -2g(n) = n và h(n) = c3 n sao cho h(n+1)-2h(n) = 3n ∀n ∈ N * Giải ra ta có a = b = -1; c = 1 Khi đó giả thiết đã cho trở thành: U n+1 − g ( n + 1) − h( n + 1) = 2(U n − g ( n ) − h( n ))∀n ∈ N * Vậy U n = (U1 + 2 − 3)2n−1 − n − 1 + 3n = 3n − n − 1 Thử lại thoả mãn Một lần nữa ta thấy lợi ích của phương pháp sai phân có thể giải được bài toán khi f(n) . góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho. phân cấp I ( tức là để tìm một số hạng của dãy cần biết một số hạng ngay trước nó). Đây là bài toán cơ bản có cách giải đơn giản: +) Nếu a=1 thì dãy số là cấp số cộng công sai b nên 1 ( 1) n U. dung của bài viết này có 5 phần: 1) Sai phân cấp I. 2) Sai phân cấp I suy rộng (một số dạng cơ bản). 3) Sai phân cấp II. 4) Sai phân cấp II suy rộng ( một số dạng cơ bản). 5) Một số bài toán ứng