Sáng kiến kinh nghiệm trung học phổ thông này quý thầy cô sẽ có nguồn tài liệu tham khảo hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học
1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình giáo dục quốc dân, mơn Tốn giữ vai trò quan trọng Mơn Tốn coi mơn học công cụ, cung cấp tri thức để người học học tập mơn học khác Trong phạm vi mơn học mình, mơn Tốn trang bị tri thức toán học, tri thức phương pháp coi cách thức học tập, nghiên cứu toán học, nghiên cứu vật tượng, nghiên cứu giới quan Thơng qua học tốn, người học hình thành, rèn luyện phát triển tư Thực tế, có nhiều người dùng trực tiếp kiến thức tốn học vào thực tiễn sống, không phủ nhận rằng, người học tốn tốt thường có tư tốt Vì vậy, người ta dùng kiểm tra tốn nhiều hình thức khác nhau, dùng thành tích học tập mơn Tốn thước đo nhiều kì thi, kì tuyển dụng Có thực tế nghiên cứu rằng, mơn Tốn có vai trò quan trọng phát triển tư người học Trong khi, giới ngày coi trọng “tư duy”; học tập tư đem lại giá trị bền vững Tư coi giá trị, phương tiện mục tiêu giáo dục đại Trên giới có hai khuynh hướng giáo dục toán học: Thứ nhất, coi tốn học cơng cụ để tiếp thu tri thức, nghiên cứu khoa học khác Theo khuynh hướng này, mơn Tốn dạy cho học sinh số lượng kiến thức vừa đủ để học kiến thức phổ thông, không coi trọng dạy nguồn gốc phương pháp nghiên cứu toán học Thứ hai, coi toán học mà đối tượng phương pháp nghiên cứu điển hình để kích thích hứng thú, khơi dậy niềm say mê khám phá, qua truyền đạt phương pháp học tập, nghiên cứu, rèn luyện phát triển tư người học Do đó, dạy học mơn Tốn, người ta cố gắng thơng qua dạy tri thức toán học để dạy cách phát giải vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhân cách Ở Việt Nam, khuynh hướng thứ hai coi trọng Các nhà nghiên cứu nhà giáo dục cho rằng, lại sau năm tháng vất vả học tốn khơng phải cơng thức, quy tắc, … mà cách suy nghĩ, cách giải vấn đề, khả toán học hoá tình sống Vì vậy, nhiệm vụ quan trọng dạy học môn Tốn trường phổ thơng rèn luyện phát triển tư cho học sinh [ 4] Hình học khơng gian nói chung hình học giải tích nói riêng phân mơn quan trọng Tốn học phổ thơng Trong kì thi học sinh giỏi hay thi THPTQG hình học chiếm vị trí khơng nhỏ, việc học sinh trang bị kiến thức hình học khơng gian chắn giúp em có nhìn tổng thể mơn hình học nói chung hiểu rõ liên hệ hình học khơng gian túy hình học giải tích.Tứ diện vng loại tứ diện đặc biệt, đề thi học sinh giỏi hay THPTQG tập tứ diện vuông xuất nhiều Trong khoảng thời gian vật chất định, làm để chọn đưa đáp án xác, cách suy nghĩ, cách giải vấn đề số kinh nghiệm sáng kiến giúp học sinh giải phần khó khăn gặp tốn liên quan đến tứ diện vng Chính vậy, lựa chọn đề tài “ Khai thác tính chất tứ diện vng, giúp học sinh THPT giải lớp tốn.” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm mạnh dạn đề xuất việc khai thác số tính chất tứ diện vng nhằm giải số tốn hình học nói chung hình học giải tích khơng gian nói riêng Với mục đích giúp học sinh giải nhanh chóng số tốn hình học khơng gian nhờ sử dụng tính chất tứ diện vuông 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến nghiên cứu tính chất tứ diện vng, từ vận dụng chúng vào giải tốn hình học nói chung hình học giải tích nói riêng có liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sáng kiến dựa phương pháp xây dựng sở lý thuyết, hệ thống lại kiến thức có liên quan, xây dựng hệ thống tập vận dụng kiến thức cũ tổ chức thực Thực tiễn dạy học việc dự giờ, trao đổi chuyên mơn với đồng nghiệp giúp cá nhân tơi hồn thiện sở lý luận tổ chức triển khai áp dụng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình SGK lớp 11 hình học nâng cao, học sinh học đầy đủ định nghĩa tính chất quan hệ vng góc Bên cạnh sách giáo khoa cung cấp hệ thống tập logic có nhiều ứng dụng, từ thực tế giảng dạy, biết khai thác tiềm cuả sách giáo khoa tập với vai trò cơng cụ giúp học sinh giải tốn khác, nói cách khác tốn xem toán gốc mà q trình giải tốn học sinh thường qui toán gốc để việc giải toán thuận lợi, có lời giải đẹp, ngắn gọn, đem lại cho học sinh nhiều hứng thú 2.2 Thực trạng vấn đề Hình học khơng gian mơn học khó khơng học sinh Để học tốt môn thân học sinh phải có óc tưởng tượng, tư logic, khả suy diễn tốt.Việc vận dụng tính chất hình học khơng gian túy vào giải tốn hình học giải tích đòi hỏi học sinh phải có tảng kiến thức chắn hình học khơng gian, bên cạnh học sinh phải biết liên hệ, suy diễn, qui lạ quen, biết tương tự hóa khái quát hóa kiến thức liên quan học vận dụng chúng vào giải tốn hình học giải tích cách thục hiệu Hiện việc dạy học theo chủ đề đòi hỏi giáo viên có phải có nhìn bao qt chủ đề môn học, phải thấy liên hệ đơn vị kiến thức chủ đề, đồng thời thấy liên hệ chủ đề với chủ đề khác Hơn kì thi THPTQG, hình thức thi trắc nghiệm, với khoảng thời gian ngắn- để hoàn thành tốt thi bắt buộc học sinh phải có cách giải ngắn gọn, lựa chọn chuẩn xác nhanh chóng Thực tiễn cho thấy, số tốn hình học có liên quan đến tứ diện vng khéo léo sử dụng linh hoạt tính chất học giúp học sinh nhanh chóng đến việc lựa chọn đáp án 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Trang bị cho học sinh đầy đủ tính chất tứ diện vng Xuất phát từ tốn sách giáo khoa Bài toán Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc 1)Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn 2)Chứng minh hình chiếu H điểm O mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác (ABC) 3)Chứng minh 1 1 = + + 2 OH OA OB OC [ 3] Ta bổ sung thêm số tính chất sau 4)Nếu H trực tâm tam giác ABC OH vng góc với mp(ABC) 5) S∆2ABC = S∆2OBC + S∆2OAC + S∆2OAB ( Định lí PitaGo khơng gian) 6) Giả sử mặt bên OAB, OBC, OCA tạo với (ABC) góc α , β , δ Chứng minh cos α + cos β + cos δ = [ 1] 7)Gọi X, Y, Z góc tạo OA, OB, OC với mặt phẳng đáy sin X + sin Y + sin Z = 8)Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC R= OA2 + OB + OC 2 9) Thể tích tứ diện VOABC = OA.OB.OC 2.3.2.Xây dựng hệ thống tốn vận dụng tính chất tứ diện vng Bài tốn gốc Tứ diện vng OABC có OA, OB,OC đơi vng góc, M trực tâm tam giác ABC OM vng góc với mp(ABC) Bài tập vận dụng 1.Trong khơng gian Oxyz, cho M(1;2;5) Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC x y z x y z A x + y + z − 30 = B x + y + z − = C + + = D + + = Hướng dẫn Cách Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) Phương trình mp(ABC) x y z + + =1 a b c + + = 1(1) Mặt khác M trực tâm tam giác a b c uuuu r uuur 5c AM BC = b = (2) ABC nên uuuur uuur suy BM AC = a = 5c Thay (2) vào (1) ta c = 6; a = 30; b = 15 x y z Vậy phương trình mp(ABC) + + = hay x + y + z − 30 = (chọn A) 30 15 Do M thuộc mp (ABC) nên Cách Sử dụng tính chất: M trực tâm tam giác ABC OM ⊥ ( ABC ) hay uuuu r (ABC) mp qua M nhận OM làm véc tơ pháp tuyến Ptmp (ABC) 1( x − 2) + 2( y − 2) + 5( z − 5) = ⇔ x + y + z − 30 = Rõ ràng, việc sử dụng tính chất liên quan giúp tốn nhanh chóng giải Bài tốn tương tự Trong khơng gian Oxyz, cho M(1;4;3) Phương trình mặt phẳng (P) di qua điểm M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC A x − y − 3z + 12 = B x + y + 3z + 26 = C x − y − 3z + 24 = D x + y + 3z − 26 = Rõ ràng tập giả thiết có khác tập trên, từ giả thiết trục Ox sang tia Ox giúp học sinh nhanh chóng lựa chọn đáp án - Kiểm tra tính chất (P) qua M ta loại đáp án A, B.( C, D) - Mặt khác, mp x − y − 3z + 24 = không cắt tia Ox nên chọn D Bài tốn tương tự Trong khơng gian Oxyz, cho M(2;1;5) Mặt phẳng (P) qua điểm M cắt trục Ox, Oy, Oz điểmA, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ điểm I( 1;2;3) đến mp (P) A 17 30 30 B 13 30 30 C 19 30 30 D 11 30 30 Bài toán gốc Tứ diện vng OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, H trực tâm tam giác ABC OH vng góc với mp(ABC) 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Bài tập vận dụng 2.1 Trong không gian Oxyz, cho M(1;2;3) Phương trình mặt phẳng (P) di qua điểm M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức T= 1 + + đạt giá trị nhỏ 2 OA OB OC Hướng dẫn Cách - Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) Với a,b,c số dương - Phương trình mp(P) x y z + + =1 a b c + + = 1(1) a b c 1 1 1 Ta có T = + + = + + OA OB OC a b c Do M thuộc mp (ABC) nên Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có 1 1 3 1 2 + + ÷ ≤ + + ÷ ( + + ) hay a + b + c ≥ 14 a b c a b c a + b + c =1 a = 14 1 14 = = ⇔ Dấu xảy b = a b c 1 1 14 a + b + c = 14 c = phương trình mp(P): x + y + 3z − 14 = Cách Gọi H trực tâm tam giác ABC ta có OH ⊥ ( ABC ) 1 1 + + = Do T đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn 2 OA OB OC OH uuuu r nhất.Khi OH = OM mp(ABC) qua M, nhận véc tơ OM làm véc tơ pháp tuyến Phương trình mp(ABC) 1( x − 1) + 2( y − 2) + 3( z − 3) = hay x + y + 3z − 14 = Nhận xét: - Việc học sinh giải toán theo cách chứng tỏ hs biết áp dụng áp dụng kiến thức bất đẳng thức để giải tốn, thời gian ngắn cách làm chưa hiệu quả, cách thứ giúp hs nhanh chóng đến đáp số nhiều - Với cách giải 1, hs hồn tồn giải tốn sau Bài tốn tương tự Trong khơng gian Oxyz, cho M(1;2;3) Phương trình mặt phẳng (P) di qua điểm M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức T= + + đạt giá trị nhỏ 2 OA OB OC (HD: cách tách sau 2 3 2 3 + + ÷ = 1 + + ÷ ≤ + + ÷ ( + + ) ) b c a b c a b c a Bài tập vận dụng 2.2 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( α ) qua M( 1;2;1) cắt tia Ox, Oy, Oz A,B,C cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội Tính khoảng cách từ gốc O đến ( α ) A 21 B 21 21 C 21 D 21 Hướng dẫn: -Phương trình ( α ) có dạng x y z + + = ( với a, b, c số dương) a b c - M thuộc ( α ) nên + + = (1) a b c - OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q =2 nên b = 2a; c = 4a (2) 9 nên b = ; c = α -Khoảng cách từ gốc O đến ( ) tính theo công thức: 1 1 1 = + + = 2+ 2+ 2 2 OH OA OB OC a b c 21 - Thay số tính khoảng cách h = (chọn đáp án C) - Từ (1) (2) suy a = Bài toán vận dụng 2.3 Sử sụng tốn gốc 2, ta giải nhanh chóng số tốn hình học khơng gian túy liên quan đến khoảng cách Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, góc ∠BAD = 600 , SO vng góc với (ABCD) SO =a Khoảng cách d từ O đến mặt (SBC) là: A a 57 19 B a 57 18 C a 45 D a 52 16 Hướng dẫn: -Từ giả thiết suy tam giác ABD, BCD tam giác cạnh a nên: OA = OC = a a ; OB = OD = 2 -Tứ diện OSBC tứ diện vuông O, nên 1 1 = + + Chọn A 2 d OS OB OC Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng có BA = BC = a, cạnh bên AA’bằng a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng AM B’C Hướng dẫn: -Gọi N trung điểm BB’ suy B ' C PMN nên B ' C P( AMN ) Do d ( B ' C ; AM ) = d ( B ' C ;( AMN )) = d ( B ';( AMN )) = d ( B;( AMN )) -Tứ diện B.AMN có BA; BM; BN ba cạnh đơi vng góc nên d ( B ;( AMN )) = 1 1 4 + + = 2+ 2+ = 2 BA BN BM a a a a Vậy d ( B;( AMN )) = a 7 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính theo a khoảng cách d hai đường thẳng A’B B’D Hướng dẫn : - Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng A’D’; BC, AD - Ta có A’MDP BNDP hình bình hành nên A ' P PMD BP P ND - Hai mặt phẳng (MDNB’) (A’PB) song song với nên - d ( A ' B; B ' D) = d (( A ' PB);( MDNB ')) = d ( D;( A ' PB)) = d ( A;( A ' PB ) Hình chóp A.A’PB cóAA’, AP, AB đơi vng góc nên 1 1 1 = + + = + + = suy 2 2 d AA ' AP AB a a a a Bài tốn gốc 3: Tứ diện vng OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R= OA2 + OB + OC 2 Bài tập vận dụng 3.1 Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đơi vng góc với tạo thành tứ diện S.ABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó: A a B a C a 14 D a 14 Bài tập vận dụng 3.2 Trong không gian Oxyz cho A(−1;0;0); B(0;0; 2); C (0; −3;0) , bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A 14 B 14 C 14 D 14 Nhận xét - Nếu không nhận thấy điểm A,B,C thuộc trục tọa độ, để giải toán hs thường giải hệ phương trình ba ẩn có từ việc sử dụng giả thiết IO = IA = IB = IC ( với I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) Rõ ràng lời giải dài ! - Nếu tinh ý nhận ba điểm A, B, C thuộc trục tọa độ hay tứ diện OABC vuông O cần áp dụng kết R = OA2 + OB + OC với OA = 1; OB = 2; OC = R = 14 Bài toán vận dụng 3.3 Cho tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c SA ⊥ SB, SA ⊥ SC , SB ⊥ SC Gọi R , V theo thứ tự bán kính mặt cầu ngoại tiếp thể tích tứ diện SABC Chứng minh rằng: R ≥ 972V 2 Hướng dẫn A a N I c S C b M B Ta có V = abc (1); Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC M , N trung điểm BC , SA Khi R = IS = SN + SM = 1 SA + ( SB + SC ) = a + b2 + c2 4 27a 2b 2c (2) 972V Từ (2) (1) suy R ≥ (Đpcm) Áp dụng Cauchy ta có: R ≥ Bài tốn gốc Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Giả sử mặt bên OAB, OBC, OCA tạo với (ABC) góc α , β , δ Chứng minh cos α + cos β + cos δ = Bài toán vận dụng 4.1 Cho tứ diện OABC vuông O mặt bên OAB, OBC, OCA tạo với (ABC) góc α , β , δ Chứng minh cos α + cos β + cos δ ≤ Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, kết hợp toán ta có (cos α + cos β + cos δ ) ≤ ( 12 + 12 + 12 ) ( cos α + cos β + cos δ ) Từ suy kết toán 4.1 Bài toán vận dụng 4.2 Cho tứ diện OABC vuông O mặt bên OAB, OBC, OCA tạo với (ABC) góc α , β , δ Chứng minh cos α cos β cos δ T= + + ≤ 2 2 sin β + sin δ sin α + sin δ sin α + sin β Hướng dẫn Từ kết toán cos α + cos β + cos δ = ⇔ − sin α + − sin β + − sin δ = hay sin α + sin β + sin δ = Khi cos α cos β cos δ + + sin β + sin δ sin α + sin δ sin α + sin β cos α cos β cos δ cos α cos β cos δ = + + = + + − sin α − sin β − sin δ + cos α + cos β + cos δ 1 3−( + + ) 2 + cos α + cos β + cos δ 1 ∀a, b, c〉 Áp dụng bđt + + ≥ a b c a+b+c 9 = 3− = Suy T ≤ − 2 + cos α + + cos α + + cos α 4 T= Bài toán vận dụng 4.3 Cho tứ diện OABC vuông O mặt bên OAB, OBC, OCA tạo với (ABC) góc α , β , δ Chứng minh S = tan α + tan β + tan δ + = tan α tan β tan δ HD − cos α − cos β − cos δ + + +2 cos α cos β cos δ Đặt X = cos α ; Y = cos β ; Z = cos δ X + Y + Z = 1− X 1− Y 1− Z (1 − X )YZ + (1 − Y ) XZ + (1 − Z ) XY + XYZ S= + + +2 == X Y Z XYZ − XYZ + XY + YZ + ZX XY (1 − Z ) + Z (Y + X ) ( XY + Z )(1 − Z ) = = = XYZ XYZ XYZ ( XY + − X − Y )(1 − Z ) (1 − X )(1 − Y )(1 − Z ) − X − Y − Z = = = = tan α tan β tan δ XYZ XYZ X Y Z S = tan α + tan β + tan δ + = Bài toán vận dụng 4.4 Cho tứ diện OABC vuông O mặt bên OAB, OBC, OCA tạo với (ABC) góc α , β , δ Chứng minh M = tan α + tan β + tan δ + cot α + cot β + cot δ ≥ 15 [ 2] Hướng dẫn Ta có M = tan α + tan β + tan δ + cot α + cot β + cot δ − cos α − cos β − cos δ + + + cot α + cot β + cot δ 2 cos α cos β cos δ 2 Đặt X = cos α ; Y = cos β ; Z = cos δ X + Y + Z = X,Y,Z số dương 1− X 1− Y 1− Z X Y Z + + + + + Suy M= X Y Z 1− X 1− Y 1− Z Y + Z X + Z X +Y X Y Z = + + + + + X Y Z Y +Z X +Z Y +X M= Dễ có = Y + Z X + Z X +Y X Y Z X Y Z + + = + + + + + ≥6 X Y Z Y X X Z Z Y Và X Y Z 1 + + = ( X + Y + Z )( + + ) Y +Z X +Z Y + X Y +Z X +Z Y + X 1 1 = ( X + Z + Y + Z + X + Y )( + + )≥ Y +Z X +Z Y + X 15 Do M ≥ + = 2 = 3+ Bài tốn gốc Tứ diện vng OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi α ; β ; γ góc OA,OB,OC với mp (ABC) ta có sin α + sin β + sin γ = Bài tốn vận dụng Xét tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc.Gọi Gọi α ; β ; γ góc OA,OB,OC với mp (ABC) giá trị nhỏ biểu thức M = ( + cot α ) ( + cot β ) ( + cot γ ) là: A Số khác B 48 C 48 D.125 Hướng dẫn: - Sử dụng kết toán 5: sin α + sin β + sin γ = - Biến đổi M: Sử dụng công thức + cot α = 2 Ta có: M = ( + cot α ) ( + cot β ) ( + cot γ ) sin α 1 M = + − 1÷ + − 1÷ + − 1÷ sin α sin β sin γ M = + ÷ + ÷ + ÷ sin α sin β sin γ Đặt X = s in 2α ; Y = sin β ; Z = sin γ Ta có X + Y + Z = 10 1 ≥ 27 Và: M = + ÷ + ÷ + ÷.Do X + Y + Z = nên X Y Z XYZ 1 1 1 M = + + + ÷+ + + ÷+ X Y Z XY YZ ZX XYZ 1 M ≥ + 4.3 + 2.3 + ≥ + 4.3.3 + 2.3.9 + 27 = 125 XYZ ( XYZ ) XYZ Dấu xảy ra, nên chọn đáp án C Bài toán gốc Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc.Chứng minh a) S∆2ABC = S∆2OBC + S∆2OAC + S∆2OAB (Định lí PitaGo khơng gian) b) S∆2OAB = S∆HAB S ∆ABC ; S∆2OAC = S∆HAC S∆ABC ; S∆2OBC = S∆HBC S∆ABC c) S∆OBC + S∆OAC + S∆OAB 9h ≥ Sử dụng kết 6a, ta chứng minh toán sau Với S1 = S∆OBC ; S2 = S ∆OAC ; S3 = S ∆OAB ; S = S ∆ABC Bài toán vận dụng 6.1 Tứ diện vng OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Chứng minh rằng: S32 S12 S 22 + + ≤ 2 2 2 S + S1 S + S S + S3 Với S1 = S∆OBC ; S2 = S ∆OAC ; S3 = S ∆OAB ; S = S ∆ABC M= Hướng dẫn Với S1 = S∆OBC ; S2 = S ∆OAC ; S3 = S ∆OAB ; S = S ∆ABC Ta có: S = S12 + S22 + S32 Và M = S32 S12 S 22 + + S + S12 S + S 22 S + S32 S2 S2 S2 + − + − S + S12 S + S 22 S + S32 1 = 3− S2( + + ) 2 S + S1 S + S S + S32 M = 1− 1 1 = − 4S ( + + ) 2 S + S1 S + S2 S + S32 1 1 = − ( S + S12 + S + S 22 + S + S32 ).( + + ) 2 S + S1 S + S S + S32 1 1 Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z ) + + ÷ ≥ với ∀x, y, z > x y z Khi : M ≤ − = Bài toán vận dụng 6.2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, tìm giá trị lớn biểu thức sau 11 P= S3 S1 S2 + + S + S1 S + S S + 2S3 Hướng dẫn Ta có P = S3 S1 S2 + + S + S1 S + S S + 2S3 S3 S1 2S2 +1− +1− S + S1 S + 2S S + 2S3 1 = S( + + ) S + S1 S + 2S S + S3 suy − P = − 1 1 Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z ) + + ÷ ≥ với ∀x, y, z > x y z 1 9 S + 2S + S + 2S + S + 2S ≥ 3S + 2( S + S + S ) ≥ 3S + 3S 3 9S = 3S + 3S + suy P ≤ − 3 Do − P ≥ Dấu xảy S1 = S = S3 = S Bài tốn gốc Nếu tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc thể tích tứ diện VOABC = OA.OB.OC Bài toán vận dụng 7.1 Cho hình tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc; SA = 3a,SB = 2a,SC = a Tính thể tích khối tứ diện S.ABC A a3 B 2a C a D 6a Bài toán vận dụng 7.2 x a y b z c Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi ( P ) : + + = ( a, b, c > ) mặt phẳng qua điểm H ( 1;1; ) cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho khối tứ diện OABC tích nhỏ Tính S = a + 2b + c A S = 15 B S = C S = 10 D S = Hướng dẫn Đáp án A Ta có: A ( a;0;0 ) , B ( 0; B;0 ) , C ( 0;0;c ) VOABC = abc ( Với a, b, c số dương) a b c Có H ∈ ( P ) ⇒ + + = ( 1) Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương 1 , , ta có: a b c 12 1 2 a+b+c÷ 1 ÷ ≥ ÷ a b c ( ) Dấu xảy Từ (1) (2) suy abc ≥ 1 1 hay V ≥ ; V = ⇔ = = = ⇒ a = b = 3, c = 27 81 81 a b c 1 1 = = + + = a b c a b c Vậy a + 2b + c = 15 Một số tốn tương tự Bài 1.Trong khơng gian Oxyz cho điểm M ( 1;3; −2 ) Hỏi có mặt phẳng (P) qua M cắt trục x 'Ox; y 'Oy; z 'Oz ba điểm phân biệt A, B, C cho OA = OB = OC ≠ A B C D Đáp án D Hướng dẫn: Giả sử A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) , ta có: OA = a ;OB = b ;OC = c OA = OB = OC ≠ ⇔ a = b = c ≠ x y z a a a M ∈ ( ABC ) ⇒ − a = ⇔ a = ⇒ ( P ) : x + y + z − = TH1: a = b = c ⇒ ( P ) : + + = ⇔ x + y + z − a = x y z =1⇔ x + y − z −a = a a −a M ∈ ( ABC ) ⇒ − a = ⇔ a = ⇒ ( P ) : x + y − z − = TH2: a = b = −c ⇔ ( P ) : + + x y z + =1⇔ x − y + z −a = a −a a M ∈ ( ABC ) ⇒ −4 − a = ⇔ a = −4 ⇒ ( P ) : x − y + z + = TH3: a = −b = c ⇔ ( P ) : + x y z + =1⇔ x − y− z −a = a −a − a M ∈ ( ABC ) ⇒ − a = ⇔ a = ⇒ ( P ) : x − y − z = TH4: −a = b = c ⇔ ( P ) : + Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét: Trong toán học sinh thường gặp số sai lầm sau: -Khi OA =OB =OC học sinh thường suy a = b =c nên lựa chọn đáp án C( mặt phẳng) - Một số học sinh ý thức OA = OB = OC ⇔ a = b = c bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho a = b = c có khả sau: Khả 1: a = b = c Khả 2: a = b = −c Khả 3: a = −b = c Khả 4: −a = b = c Khả 5: −a = −b = −c Khả 6: −a = −b = c Khả 7: −a = b = −c Khả 8: a = −b = −c 13 (Và nghĩ có mặt phẳng thỏa mãn) Nguyên nhân sai lầm học sinh nhầm lẫn phân chia trường hợp, thực chất trường hợp 5,6,7,8 quy trường hợp 1, 2, 3, Bài 2.Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 1; 2;3) Hỏi có mặt phẳng (P) qua M cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz điểm A, B, C cho OA = 2OB = 3OC > A B C D Đáp án C Bài 3.Trong không gian Oxyz, cho M(1;2;5) Số mặt phẳng (α ) qua M cắt trục Ox, Oy, Oz A,B,C cho OA= OB =OC( A,B,C không trùng với gốc tọa độ O) A B.3 C.4 D.1 Bài 4.Trong không gian Oxyz, cho M(2;0;0) N(1;1;1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua M,N cắt tia Oy, Oz B,C(với B,C khơng trùng với gốc O) Tính giá trị nhỏ biểu thức T = OB3 + OC A T = 64 B.T = 32 C T= 16 D T = 128 Hướng dẫn: x y b z c Phương trình mp (P) có dạng ( P ) : + + = ( b, c > ) b c Do N ∈ ( P ) ⇒ + = ( 1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (1) ta có 1 = + ≥ ⇒ bc ≥ ⇒ bc ≥ 16 b c bc Do T = OB3 + OC = b3 + c ≥ bc(b + c) ≥ 2bc bc ≥ 2.16.4 = 128 Chọn D Bài toán vận dụng 7.3 Tính thể tích khối tứ diện SABC có AB = SC = a, AC = SB = b, AS = BC = c (gọi tứ diện gần đều) Hướng dẫn: Có nhiều cách để giải tốn này, nhiên với ý tưởng đưa khối tứ diện vng, hướng dẫn học sinh sau: Qua đỉnh tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi cắt tạo thành tam giác MNP Nhận thấy tứ diện S.MNP tứ diện vuông VS ABC = VS MNP Ta có: VS ABC = VS MNP = SM SN SP 24 14 SM + SP = MP = 4a2 SP = 2(a2 + b2 − c2) 2 2 2 Mà SM + SN = MN = 4c ⇒ SM = 2(a + c − b ) SP + SN = NP = 4b2 SN = 2(b2 + c2 − a2) Nên VS ABC = = 8( a + b − c )(a + c − b )(b + c − a ) 24 (a + b − c )(a + c − b )(b + c − a ) 12 Khi gặp toán liên quan đến tứ diện gần đều, học sinh sử dụng công thức xem “cơng thức tính nhanh” áp dụng Bài tập áp dụng Bài Khối chóp S.ABC có SA = BC= 5a ; SB =AC =6a; SC= AB = 7a Thể tích khối chóp A 35 a B 35 a C 95a D 105a Bài Tứ diện ABCD có AB = CD= 4; BD =AC = 5; BC =AD = Khoảng cách từ điểm A đến (BCD) A 42 B 42 14 C 42 D 42 14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong trình giảng dạy tốn, cá nhân tơi ln có ý thức trang bị đầy đủ cho học sinh kiến thức tảng Trên sở khai thác ứng dụng tứ diện vuông, sáng kiến đưa hệ thống toán (gồm toán gốc, toán vận dụng, số tốn tương tự) có liên quan đến chủ đề Sáng kiến kinh nghiệm góp phần vào việc giúp học sinh giải số toán liên quan cách nhanh chóng thuận tiện, cơng cụ hữu ích q trình học, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPTQG học sinh làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp giáo viên trình giảng dạy Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trong thực tiễn giảng dạy tơi đúc kết nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp học sinh mà trực tiếp giảng dạy Khi giải tốn có nhiều đường để đến đáp số, việc lựa chọn đường ngắn nhất, khoa học đẹp đích hướng đến người làm tốn Hiện với phương thức thi trắc nghiệm mục đích rõ ràng hết Với sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn giúp học sinh giải lớp toán liên quan (hoặc đưa về) tốn tứ diện vuông khoảng thời gian ngắn (thi trắc nghiệm), giúp em nhanh chóng 15 lựa chọn đáp án gặp dạng toán Mặt khác sáng kiến kinh nghiệm đưa hệ thống tập liên quan đến tứ diện vuông phần giúp giáo viên học sinh q trình ơn luyện 3.2 Kiến nghị Với sáng kiến kinh nghiệm đánh giá xếp loại cao hội đồng khoa học nghành, mong phổ biến rộng rãi để đồng nghiệp tham khảo phục vụ tốt cho công tác giảng dạy Với mong muốn này, muốn nghiên cứu đề tài tứ diện vuông tiếp tục bổ sung để tơi tiếp tục học tập, nghiên cứu hồn thiện sáng kiến Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2018 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ĐƠN VỊ người khác Lê Thị Tuyết Nhung TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 [1] Tốn nâng cao hình học 11, Phan Huy Khải, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, 1999 [2] Hình học khơng gian, Tổng chủ biên: Lê Hồnh Phò, Nxb Đại học sư phạm, 2006 [3] Hình học nâng cao 11, Nxb Giáo dục, 2008 [4] Phát triển tư thơng qua dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, Chu Cẩm Thơ, Nxb Đại học sư phạm, 2016 [5] Một số đề thi thử THPTQG năm 2017; 2018 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 17 Họ tên tác giả: Lê Thị Tuyết Nhung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Sầm Sơn TT Tên đề tài SKKN Dạy học thông qua việc xây dựng chuỗi tốn góp phần nâng cao hoạt động nhận thức cho học sinh Góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn thơng qua việc phát sửa chữa sai lầm cho học sinh Góp phần phát triển tư logic cho học sinh Phát triển tư sáng tạo cho học sinh phương pháp lượng giác hóa tốn đại số Rèn luyện lực giải toán cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông Cấp đánh giá Kết Năm học xếp loại đánh giá xếp loại Hội đồng Loại C 2005-2006 khoa học nghành Hội đồng khoa học nghành Loại C 2007-2008 Hội đồng khoa học nghành Hội đồng khoa học nghành Loại C 2009-2010 Loại B 2011-2012 Hội đồng khoa học nghành Loại B 2014-1015 18 ...sáng kiến giúp học sinh giải phần khó khăn gặp tốn liên quan đến tứ diện vng Chính vậy, tơi lựa chọn đề tài “ Khai thác tính chất tứ diện vuông, giúp học sinh THPT giải lớp tốn.” 1.2 Mục... đề xuất việc khai thác số tính chất tứ diện vng nhằm giải số tốn hình học nói chung hình học giải tích khơng gian nói riêng Với mục đích giúp học sinh giải nhanh chóng số tốn hình học khơng gian... cơng cụ giúp học sinh giải tốn khác, nói cách khác toán xem tốn gốc mà q trình giải toán học sinh thường qui toán gốc để việc giải tốn thuận lợi, có lời giải đẹp, ngắn gọn, đem lại cho học sinh