Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS ĐÀO HỮU HỒ Hà Nội, Năm 2014 LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên đó, thơng tin đầy đủ nhất, quan trọng mà ta mong muốn có ta xác định xem quy luật phân phối biến ngẫu nhiên phân phối Chính từ thập niên 50 - 60 - 70 kỷ trước toán đặc trưng phân phối xác suất phát triển mạnh mẽ Tuyển tập kết theo hướng ba nhà khoa học lớn giới: Linnik Yu.V, Kagan A.M Rao C.R tổng kết lại "Characterization Problems in Mathematical Statistics" xuất năm 1972 Một tính chất S gọi tính chất đặc trưng cho họ phân phối F = {F (x, θ), θ ∈ O} X ≈ F ∈ F ta có tính chất S ngược lại, có tính chất S ta suy X có phân phối thuộc họ F Trong chuyên khảo nhiều tính chất đặc trưng cho họ phân phối xác suất quen thuộc Song kết chủ yếu tập trung vào biến ngẫu nhiên chiều Trên thực tế phân phối nhiều chiều quen thuộc phân phối chuẩn phân phối đa thức Vì xây dựng phân phối nhiều chiều khác tính chất đặc trưng chúng tốn mở, thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học giới Luân văn ” Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều ” theo hướng nghiên cứu họ phân phối mũ Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số kết cần dùng Chương giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối tổng, phân phối đuôi, phân phối i X , tính trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương luận văn giới thiệu số dạng khác phân phối mũ hai chiều, theo quan điểm dựa phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa đặc tính vật lý, tính trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy Chương 3: Đặc trưng phân phối mũ hai chiều Chương trình bày kết qủa đặc trưng phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel Các kết trình bày chương chương luận văn dựa luân án tiến sỹ tác giả Muraleedharan Nair K.R thuộc trường Đại học Khoa học Kỹ thuật Cochin - Ấn độ ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS ĐÀO HỮU HỒ người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học khóa 2011 - 2013 Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ để hồn thành nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2013 iii Mục lục Lời nói đầu i Lời cảm ơn iii Một số kết cần dùng 1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục 1.1.1 Vectơ ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm mật độ đồng thời vectơ ngẫu nhiên 1.1.3 Hàm phân phối đồng thời vectơ ngẫu nhiên 1.1.4 Phân phối biên duyên 1.1.5 Phân phối có điều kiện 1.2 Một số khái niệm liên quan đến phân phối mũ chiều 1.3 Phân phối tổng Phân phối mũ hai chiều 2.1 Phân phối mũ hai chiều Gumbel 2.2 Phân phối Freund 12 2.3 Phân phối Marshall Olkin 13 2.4 Phân phối Moran 15 2.5 Phân phối Downton 15 2.6 Phân phối Paulson 17 iv 2.7 Phân phối Block Basu 18 2.8 Mơ hình Raftery 22 2.9 Mơ hình tổng qt Sarkar 23 Đặc trưng phân phối mũ hai chiều 3.1 26 Phân phối Gumbel sửa đổi 26 3.1.1 Phân phối biên duyên phân phối có điều kiện 27 3.1.2 Tính trí nhớ địa phương 28 3.1.3 Các mômen 28 3.1.4 Các mômen bị chặt cụt 30 3.1.5 Các mômen riêng 30 3.1.6 Phân phối biến cực đại cực tiểu 31 3.2 Bài toán đặc trưng 32 3.3 Các đặc trưng dựa mômen bị chặt cụt (xem [26]) 32 3.3.1 Các tính chất mômem bị chặt cụt 38 3.4 Các đặc trưng dựa phức hợp hình học 45 3.5 Đặc trưng phân bố có điều kiện 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 v Chương Một số kết cần dùng 1.1 1.1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục Vectơ ngẫu nhiên Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) Xi , i = 1, 2, , n biến ngẫu nhiên chiều, X gọi vectơ ngẫu nhiên n chiều 1.1.2 Hàm mật độ đồng thời vectơ ngẫu nhiên Hàm mật độ đồng thời vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , , Xn ) hàm f : Rn → R thỏa hai điều kiện: (i) f (x1 , x2 , xn ) ≥ (ii) f (x1 , x2 , xn ) dx1 dx2 dxn = Rn 1.1.3 Hàm phân phối đồng thời vectơ ngẫu nhiên Định nghĩa: Hàm F (x1 , x2 , xn ) = P {X1 < x1 , X2 < x2 , , Xn < xn } = x1 x2 = xn f (t1 , t2 , , tn )dt1 dt2 dtn −∞ −∞ −∞ gọi hàm phân phối đồng thời (X1 , X2 , , Xn ) với f (x1 , x2 , , xn ) hàm mật độ đồng thời (X1 , X2 , , Xn ) Tính chất: (1) Liên tục bên trái biến (2) Không giảm biến số (3) lim x →+∞ xn →+∞ F (x1 , , xn ) = F (x1 , , xn ) → có xi → −∞ ∂ nF (4) Ta có f (x1 , , xn ) = ∂x1 , , ∂xn (5) Xác suất để biến ngẫu nhiên (X, Y ) nhận giá trị hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = x1 , x = x2 (x1 < x2 ); y = y1 , y = y2 (y1 < y2 ) là: P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) = F (x2 , y2 ) + F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) 1.1.4 Phân phối biên duyên Giả sử X = (X1 , X2 , Xn ) vectơ ngẫu nhiên liên tục n chiều có hàm mật độ đồng thời f (x1 , x2 , xn ) Ta gọi hàm: xj1 Fj1 jm (xj1 , xj2 , , xjm ) = xjm +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ f (x1 , , xn )dx1 dxn −∞ hàm phân phối biên duyên m chiều vectơ X Nói cách khác, ta lấy nhóm m(m < n) biến bất kỳ, chẳng hạn xj1 , xj2 , , xjm (1 ≤ j1 < j2 < < jm ≤ n) cho (n − m) biến cịn lại dần tới +∞ Khi F (x1 , x2 , xn ) dần tới hàm phân phối theo biến xj1 , xj2 , , xjm Hàm phân phối biên duyên m chiều vectơ X Đó hàm phân phối vectơ m chiều (Xj1 , Xj2 , , Xjm ) Khi m = 1, đặt j1 = i ta có hàm phân phối biên duyên vectơ ngẫu nhiên X hay hàm phân phối Xi : xi +∞ Fi (xi ) = +∞ −∞ −∞ f (x1 , , xn )dx1 dxn = F (+∞, , xi , , +∞) −∞ Trường hợp hai chiều: Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X1 , X2 ) có hàm mật độ f (x1 , x2 ), ta có phân phối biên dun phân phối thành phần thứ X1 phân phối thành phần thứ hai X2 : x1 +∞ F1 (x1 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (x1 , +∞) −∞ −∞ x2 +∞ F2 (x2 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (+∞, x2 ) −∞ −∞ Tương ứng với hàm phân phối biên duyên, có hàm mật độ biên duyên Trong trường hợp hai chiều hai mật độ biên duyên là: +∞ f1 (x1 ) = f (x1 , x2 )dx2 −∞ +∞ f2 (x2 ) = f (x1 , x2 )dx1 −∞ 1.1.5 Phân phối có điều kiện Trong luận văn dừng lại phân phối hai chiều, để đơn giản nhắc lại định nghĩa phân phối có điều kiện trường hợp hai chiều Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ f (x, y) Hàm mật độ có điều kiện X Y định nghĩa bởi: f (x|y) = f (x, y) f2 (y)