Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HUY THIỆN NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HUY THIỆN NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 62440103 HÀ NỘI - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu, đồ thị,… nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, 30 tháng 05 năm 2016 Tác giả luận án Phan Huy Thiện LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn GS TS Phan Văn Hạp - người Thầy hết lòng tận tụy hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu cho tác giả suốt trình thực hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành luận án Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô bạn đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Khoa Vật lý Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận án Cuối tác giả cảm ơn người thân gia đình tạo điều kiện động viên cho tác giả hoàn thành luận án Tác giả luận án Phan Huy Thiện MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ .3 CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH MỞ ĐẦU .5 CHƯƠNG ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN .12 1.1 Đạo hàm trung bình tích phân 12 1.1.1 Định nghĩa 13 1.1.2 Tính chất đạo hàm trung bình tích phân 13 1.2 Một số khái niệm bổ trợ 15 1.2.1 Nghiệm xấp xỉ .16 1.2.2 Phương pháp cân sai số 17 1.3 Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ phương trình Wigner 18 CHƯƠNG II TÍNH TỐN THƠNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÕ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN 21 2.1 Khái niệm mở đầu .21 2.2 Dạng tổng quát phương trình khuếch tán 22 2.2.1 Phương trình khuếch tán .23 2.2.2 Phương trình vi phân cho neutron nhiệt giải phương trình cho dạng hình học đơn giản .24 2.3 Phép gần theo độ tuổi khuếch tán .28 2.4 Các điều kiện tới hạn 30 2.5 Độ tuổi neutron 32 2.6 Phép gần khuếch tán đa nhóm 33 2.7 Các nghiên cứu tính tốn lị phản ứng từ trước đến 35 2.7.1 Những phương pháp tính tốn lị phản ứng hạt nhân tính tốn vài thập kỷ vừa qua 35 2.7.2 Phương pháp nodal 36 2.7.3 Phương pháp nodal biến phân 37 2.8 Phát triển phương pháp IAD 38 2.9 Kết luận so sánh 52 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN NHIỄU XẠ SĨNG TRONG MƠI TRƯỜNG ĐÀN HỒI……………………… 55 3.1 Đặt toán nhiễu xạ 55 3.1.1 Đặt vấn đề 55 3.1.2 Đưa tốn hệ phương trình tích phân kỳ dị 61 3.2 Giải gần hệ phương trình .64 3.3 Kết luận so sánh 67 KẾT LUẬN .70 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 Tiếng Việt 73 Tiếng Nga 74 Tiếng Anh 76 DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Hình 1.1 Hàm F có điểm góc x0 14 Hình 1.2 Hàm F khơng liên tục x0 14 Hình 1.3 Miền giải với biên 1 ,  16 Hình 2.1 Giá trị thơng lượng neutron trường hợp chiều với Hình 2.2 Lị hình cầu 47 Hình 2.3 Thơng lượng neutron hình cầu cho nhóm nhanh nhóm nhiệt 51 Hình 2.4 So sánh thơng lượng neutron theo phương pháp MC phương pháp keff khác 46 Monte Carlo SN phương pháp S N luận án [130] .53 Hình 3.1 Mặt phẳng đàn hồi  r ,  bị cắt góc hình nêm .58 Hình 3.2 Đồ thị nhiễu xạ hàm u  x  66 Hình 3.3 So sánh với kết [95] .67 CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH Phương pháp IAD Gọi phương pháp rời rạc hóa tốn biên có sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân phương pháp đạo hàm trung bình tích phân, gọi tắt phương pháp IAD (Integrally Averaged Derivative) Phương pháp áp dụng cho chương II chương III Dựa định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa tốn vi phân miền (cả biên) có kỳ dị yếu biên tham gia phương trình có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (khơng có đạo hàm theo nghĩa thơng thường tồn miền) mơ hình thống nhất, sau sử dụng phương pháp xấp xỉ thơng thường để tìm nghiệm (kể việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa) Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu gọi chung phương pháp IAD Phương pháp Nodal Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân lõi lò phản ứng hạt nhân Phương pháp Monte Một phương pháp giải phương trình khuếch tán tính tốn lị Carlo thường dùng theo phép thử xác suất MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thế giới tượng vật lý vi mô vĩ mơ quanh ta mơ tả, giải thích thông qua định luật vật lý, hiệu ứng giúp cho người khám phá chất tượng tự nhiên Các đại lượng vật lý tự nhiên có mối liên hệ qua lại lẫn mà cơng cụ tốn học đại cho phép mô tả tượng vật lý thông qua phương trình Như nói Phương trình tốn lý hay Phương trình vật lý tốn cần thiết phải đặt giúp cho nhà khoa học tư logic khái quát hoá hình ảnh chất sâu sắc tượng vật lý, tìm mối liên hệ qua lại chúng để giải thích đánh giá chất tượng tự nhiên giới vi mô vĩ mơ [15] Rất nhiều tốn vật lý, học, kỹ thuật thường mơ hình hóa dạng phương trình vật lý tốn (vi phân thường hay vi phân đạo hàm riêng) miền có biên (tĩnh) có điều kiện ban đầu (động) hay biên hỗn hợp (phụ thuộc không gian lẫn thời gian) [7] Một vấn đề quan tâm tốn học tính tốn tìm nghiệm gần toán biên [26] Vấn đề xét đầy đủ cho lớp tốn biên có hệ số, nghiệm, hay biên trơn Các toán thường gặp với điều kiện phức tạp thường không thỏa mãn điều kiện lý tưởng, cần nhấn mạnh lớp tốn rộng Bởi phải ý đến tốn có hệ số, nghiệm, biên khơng trơn [28] Lớp tốn thường nảy sinh nhiều thực tiễn, chẳng hạn nghiên cứu trình khuếch tán (khuếch tán vật chất tốn mơi trường, khuếch tán neutron lị phản ứng hạt nhân), tốn truyền nhiệt, thủy động học, phương trình trạng thái mẫu hạt nhân v.v…Có nhiều cách tìm nghiệm xấp xỉ loại toán [10] Bản luận án tìm cách từ khái niệm đạo hàm IAD [3, 8] phối hợp với số phương pháp biết phép biến đổi toán tử, phương pháp phần tử biên, hay phương pháp rời rạc hóa tốn biên [9] v.v… để vượt qua tính khơng trơn tốn mục đích tìm cách đến nhanh xác thơng số đại lượng vật lý cần tìm sát với thực tế (ví dụ tính thơng lượng neutron lò phản ứng hạt nhân [20, 58, 77], hay tốn nhiễu xạ sóng mơi trường đàn hồi bị hổng góc  chưa nghiên cứu hồn chỉnh) Chúng tơi muốn nhấn mạnh đến phép tính lị phản ứng hạt nhân để đảm bảo điều kiện an tồn lị phản ứng hạt nhân [20, 77] Khi xảy điều kiện khơng an tồn cố (sự cố nhà máy điện nguyên tử Chernobyl, Ukraina, cố nhà máy điện hạt nhân Fukushima – Nhật bản), nhiệm vụ người tính tốn lị cần có phương pháp tính nhanh cho kết xác để đốn biết cố, điều khiển lò khắc phục cố miền có thơng lượng cao để hệ số nhân hiệu dụng trở ngưỡng an toàn cho phép Với tốn có phương trình điều kiện biên liên tục, đủ trơn có nhiều phương pháp giải nhiều nhà toán học, vật lý lý thuyết vật lý thực nghiệm khảo sát, đề xuất [138] Đối với toán học vật lý có biên phức tạp chứa đựng điểm đứt gãy phương pháp thơng thường khó cho lời giải đảm bảo độ xác chí khơng thể áp dụng Phương pháp sai phân phương pháp có tính vạn [19, 25] lúc cho kết khả quan vùng kỳ dị hay đứt gãy nghiệm đồng thời đòi hỏi việc phân vùng chia lưới thay đổi Điều gây trở ngại cho việc sử dụng thuật tốn máy tính Trong luận văn tập trung vào số tốn vật lý phương trình Wigner (danh mục cơng trình khoa học tác giả công bố liên quan đến luận án) đặc trưng cho loại phương trình Elliptic, giải phương trình khuếch tán neutron lò phản ứng hạt nhân (còn gọi phương trình Boltzman) với nhiều nhóm lượng để tìm đặc trưng neutron, có đại lượng thông lượng neutron, hệ số tới hạn, hệ số nhân hiệu dụng v.v… Cuối cùng, sở tốn nhiễu xạ sóng mơi trường đàn hồi, sau phân hạch, thiết diện tán xạ …v.v Vẽ thơng lượng neutron cho nhóm nhanh nhóm nhiệt (xem đồ thị hình 2.3) nhanh phương pháp truyền thống phương pháp Nodal phương pháp Monte Carlo… Kết thu chứng tỏ phương pháp IAD cho cách tính thống khơng phụ thuộc hình dạng bước lưới, khơng phụ thuộc nhiên liệu, chất làm chậm vv…của lõi lò 3) Việc giải tốn nhiễu xạ sóng mơi trường đàn hồi phương pháp IAD (danh mục công trình khoa học tác giả cơng bố liên quan đến luận án) cho kết nhanh thời gian tính so với phương pháp sai phân hữu hạn 4) Với tốn có biên phức tạp chiều điều kiện ban đầu biến đổi theo thời gian, việc dùng phương pháp IAD có bổ sung chương trình chuyển mốc thời gian thay đổi không gian (t,D) Kết cho phép mở rộng phương pháp IAD cho toán biên hỗn hợp biên phức tạp 5) Đã chứng minh việc kết hợp phương pháp IAD với phương pháp nâng cao độ xác Richarson số phương pháp quen thuộc khác (như nâng cao độ xác cho nghiệm gần phương trình tốn tử phi tuyến giải phương pháp đưa thêm tham số liên tục) [14] cho kết thu khả quan kết tốn "đứt gãy" học mơi trường đàn hồi dẻo phương pháp tích phân kỳ dị J J Golecki [98] Phương pháp IAD trình bày luận án cho phép tiếp tục nghiên cứu toán vật lý lý thuyết vật lý toán, vật lý hạt nhân lò phản ứng hạt nhân Đà Lạt, nhà máy điện hạt nhân dự kiến tiến hành xây dựng Ninh Thuận, hay toán nhiễu xạ sóng biển Đơng Việt Nam, mà tiến hành thời gian tới 71 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Xоанг - Ан - Туан, Фан - зуи - Тхиен, Фан - ван - Xап (1990), "Повышение точности приближного решение уравнения методом непрерывного параметра", XIX Симпозиум вмк по физике ВВЭР, Шиофок, Центральный Институт Физических Исследований Венгерской Академии Наук., Ctp.193201 Phan Van Hap, Phan Huy Thien (1994), “The AD method for the approximate solution of the Wigner equation”, Demonstratio Mathematica XXVII(2), pp.283286 Phan Huy Thien, Phan Van Hap (2016), "The Problem of Wave Diffraction in Elastic Medium is Solved using the Integral Averaged Differential Method", International Journal of Science and Research (IJSR), 5(3), pp.656 – 659.(ISSN 2319-7064), (IF:6.391) Phan Huy Thien (2016), "Solving Neutron Transport Equation in the Reactor using the Intergral Average Derivative Method", International Journal of Science and Research (IJSR), 5(3), pp.678 – 681 (ISSN 2319-7064), (IF:6.391) Phan Huy Thien (2016), "IAD Method Applied to Reactor Physics Problems", International Journal of Science and Research (IJSR), 5(3), pp.1221 – 1225 (ISSN 2319-7064), (IF:6.391) Phan Huy Thien (2015) “AD method for solving the neutron transport equation in nuclear reactor”, VNU Journal of Mathematics – Physics 31(1S), pp.153-160 (ISSN 0866-8612) Phan Huy Thien (2015), “AD Method applied to reactor physics problem”, UTEHY Journal of science and technology 6, pp.57-62 (ISSN 2354-0575) Phan Van Hap, Phan Huy Thien (2015), “Solving the neutron two-group diffusion equation in spherical nuclear reactors by AD method”, UTEHY Journal of Science and Technology 6, pp.63-67 (ISSN 2354-0575) 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1998), Vật lý thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng (2002), Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, Nhà xuất Đại học Quốc gia [3] Lê Đình Định (1993), Đạo hàm trung bình tích phân phương pháp phối hợp để giải số toán biên, Luận án Tiến sĩ Toán Lý, Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội [4] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia [5] Nguyễn Xuân Hãn (2005), Lý thuyết trường lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia [6] Phan Văn Hạp (1978), Phương trình tích phân cách giải gần đúng, Nhà Xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội [7] Phan Văn Hạp (2009), Phương pháp tốn ứng dụng mơi trường, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [8] Phan Văn Hạp, Lê Đình Định, (1992), “Đạo hàm trung bình với phương trình có hệ số gián đoạn”, Tạp chí Khoa học ĐHTH, Hà Nội, 1, tr 1-9 [9] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính thuật toán, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [10] Phan Văn Hạp (2000), Các phương pháp giải gần , Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội [11] Phan Văn Hạp, Nguyễn Quý Hỷ, Hồ Thuần, Nguyễn Công Thúy (1979), Cơ sở phương pháp tính, Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội [12] Martruc G I (1984), Các phương pháp tốn học tính tốn T I,II Bản dịch Phan Văn Hạp Lê Đình Thịnh, Nhà xuất Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội 73 [13] Nguyễn Cao Thắng (1985), Giải gần phương trình toán tử phi tuyến, Luận án Tiến sĩ Toán Lý, Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội [14] Nguyễn Cao Thắng, Phan Văn Hạp (1984), “Nâng cao độ xác cho nghiệm gần phương trình tốn tử phi tuyến giải phương pháp đưa thêm tham số liên tục”, Tuyển tập Hội nghị khoa học lần thứ VIII, T.II, Trường Đại học Thủy lợi, Hà Nội, tr 584-589 [15] Phan Huy Thiện (2007), Giáo trình phương trình tốn lý, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [16] Phan Huy Thiện (2010), Bài tập phương trình tốn lý, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [17] Phan Huy Thiện (2010), Phương trình vi phân (dùng cho sinh viên trường kỹ thuật công nghệ), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [18] Phan Huy Thiện (2011), Phương pháp toán lý, Trung tâm đào tạo Hạt nhân, Viện lượng nguyên tử Việt Nam, Hà Nội [19] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia [20] Ngơ Quang Huy (1997), Vật lý lị phản ứng hạt nhân, Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam, Trung tâm Hạt Nhân Tp Hồ Chí Minh, tr.241-253 Tiếng Nga [21] Xоанг - Ан - Туан, Фан - зуи - Тхиен, Фан - ван - Xап (1990), "Повышение точности приближного решение уравнения методом непрерывного параметра", XIX Симпозиум вмк по физике ВВЭР, Шиофок, Центральный Институт Физических Исследований Венгерской Академии Наук Ctp.193-201 [22] Бабенко К.И (1986), Основы численного анализа, Наука, Москва [23] Березин И С., Жидков Н.П (1962), Методы вычислений Том 1,2 Изд 2е, Стереотипное, Москва [24] Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел элементов, Мир, Москва 74 Л (1987), Методы граничных [25] Вазов В., Форсайт Дж (1963), Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, Москва [26] Гахов Ф Д (1961), Краевые Задачию Физматгиз Москва [27] Годунов С.К., Рябенький В.С (1977), Разностные схемы, введение в теорию Наука, , Москва [28] Демидович Б П., Марон И.А (1970), Основы вычислительной математики, Изд.4-е, исправл., Наука, Москва [29] Дробышевич В И., Дымников В П., Ривин Г С (1980), Задачи по вычислительной математике, Наука, Москва [30] Жидков Е П., Пузынин И В (1967), “Об Одном Методе Введения Параметра при Решений Краевык Задач Для Нелинейных Обыкновенных Дифференциальных Уравнений Второго Порядка”, Ж вычисл матем и матем физ., том 7, номер 5, [31] Коллац Л (1969), страницы 1086–1095 Функциональный Анализ и Вычислительная Математика, Наука, физмат Мocква [32] Колторович Л В., Акилов Г И (1977), Функциональный Анализ, Наука, Физмат Москва [33] Копченова Н.В., Марон И.А., (1972), Вычислительная математика в примерах и задачах, Наука, Москва [34] Крейн С Г (1966), Линейные Диффернциальные Уравнения в Банаховом пространстве, Наука, Москва [35] Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И (1977), Вычислительные методы Т 1, Наука, , Москва 1976, Т 2, Наука, , Москва 1977 [36] Люстерник Г И., Соболев В И (1966), Элементы Функционального Анализа, Наука, Москва [37] Марчук Г И., Шаидуров В В (1979), Повышение Точности Решений Разностных Схем, Наука, Москва [38] Самарский А А (1977), Теория разностных схем, Наука, Москва [39] Самарский А А., Гулин А В (1989), Численные методы, Наука, Москва 75 [40] Фаддеев Д К., Фаддеева В Н (1963), Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, Москва [41] Фан Ван Хап (1965), "Сборник материалов соверщания по мат методом решенея задач ядерной физики”, Дубна, 46-50 [42] Фан Ван Хап (1965), “Об одном методе приближенного решения сингулярных интегральных уравнений”, Ж вычисл матем и матем физ T.5 (2), p 171-184 [43] Фан Ван Хап (1965), Диссертация, МГУ, Москва [44] Фан Ван Хап (1976) “О некоторых итерационных методах приближенного решения операторных уравнений и их применении”, Изв вузов Матем., № 4, 87–94 [45] Фан Ван Хап (1978), О применении обобщенных квадратурных формул к~приближенному решению операторных уравнений, Изв вузов Матем., № 9, 89–96 [46] Форсайт Дж., Моллер К (1969), Численное решение систем линейных алгебраических уравнений, Мир, Москва Tiếng Anh [47] A Barbarino and D Tomatis (2013), “AN core analysis”, Proceeding of the Joint International Conference on Supercomputing in Nuclear Applications and Monte Carlo 2013 (SNA + MC 2013), Paris [48] A Baudron and J Lautard (2007), “MINOS: a simplified PN solver for core calculation”, Nuclear Science and Engineering, 155(2), pp.250-263 [49] Abramowitz M and Stegun I A (1972), Handbook of Mathematical Functions, Dover Publish [50] Barbarino A (2010), The Spectral Element approach for the solution of neutron transport problems, Master thesis, Politecnico di Torino, November 2010 76 [51] Barbarino A and Tomatis D (2013), “The AN neutron transport by nodal diffusion”, Proceedings of the International Conference on Mathematics and Computations, M&C, Sun Valley, Idaho, USA [52] Barbarino A., Dulla S., and Ravetto P (2012), On the evaluation of ray effects in multidimensional and time-dependent transport problems, Transactions of the American Nuclear Society, 106, pp.369–371 [53] Barbarino A., Dulla S., Mund E., and Ravetto P (2014), “Assessment of the performance of the spectral element method applied to neutron transport problems”, Annals of Nuclear Energy, 65, pp.190-198 [54] Barbarino A., Dulla S., Ravetto P., and Mund E H.(2011), “The Spectral Element approach for the solution of neutron transport problems”, International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering, M&C 2011, page 15, Rio de Janeiro, Brazil [55] Barbarino A., Dulla S., Ravetto S., and Mund E H (2013), “The spectral element method for static neutron transport in An approximation”, Annals of Nuclear Energy, 53, pp.372-380 [56] Beckert C and Grundmann U (2008), “Development and verification of a nodal approach for solving the multigroup SP3 equations”, Annals of Nuclear Energy, 35 pp 75–86 [57] Behrendt, L., (1985), “A Finite Element Model for Water Wave Diffraction Including Boundary Absorption and Bottom Friction‟, Institute of Hydrodynamics and Hydraulic Engineering, Technical University of Denmark, Series Paper No 37 [58] Bell G I and Glasstone S (1970), Nuclear Reactor Theory, Van Nostrand Reinhold, New York [59] Bennewitz F., H Finnemann H and Moldaschl H (1975), “Solution of The Multidimensional Neutron Diffusion Equation by Nodal Expansion”, Proc 77 Conf Computational Methods in Nuclear Engineering, USAEC CONF750413 [60] Berkhoff, J.C.W., (1972), “Computation of Combined Refraction-Diffraction Proceedings of 13th International Conference of Coastal Engineering”, ASCE 1, pp.471-490 [61] Berkhoff, J.C.W., Booy N and Radder, A.C., (1982), “Verification of Numerical Wave Propagation Models for Simple Harmonic Linear Water Waves”, Coastal Engineering 6, pp 255-279 [62] Booij, N., (1981), Gravity Waves on Water with Non-Uniform Depth and Current, Ph.D Dissertation, Technical University of Delft, Netherlands [63] Brantley P and Larsen E (2000), “Simplified P3 approximation”, Nuclear Science and Engineering, 134(1), pp.1-21 [64] Buchan A G., Pain M D., Eaton C C., Smedley-Stevenson R P., and Goddard A J (2008), “Self adaptive spherical wavelets for angular discretizations of the boltzmann transport equations”, Nuclear Science and Engineering, 158, pp.244–263 [65] Cadini F and Zio E (2007) “A Monte Carlo method for the modelbased estimation of nuclear reactor dynamics”, Annals of Nuclear Energy, 34(10), pp.773-781 [66] Cadini F., Zio E and Pedroni N (2007) “Simulating the dynamics of the neutron flux in a nuclear reactor by locally recurrent neural networks”, Annals of Nuclear Energy, 34(6), pp.483-495 [67] Canuto C., Hussaini M Y., Quarteroni A and Zang T A (2007), Spectral Methods - Evolution to Complex Geometries and Applications to Fluid Dynamics, Scientific Computing, Springer Berlin Heidelberg [68] Canuto C., Hussaini M Y., Quarteroni A., and Zang T A (2006), Spectral Methods – Fundamentals in Single Domains, Scientific Computations, Springer Berlin Heidelberg 78 [69] Chao Y A and Y A Shatilla Y A (1995), “Conformal Mapping and Hexagonal Nodal Methods – I: Mathematical foundation”, Nucl Sci Eng., 121, pp.202–209 [70] Cho N Z (2005), “Fundamentals and recent developments of reactor physics methods‟, Nuclear Engineering and Technology, 37, pp.25–78 [71] Choi H S and Kim J K (2009), “Some outstanding problems in neutron transport computation”, Nuclear Engineering and Technology, 41(4), pp.381 – 390 [72] Ciolini R., Coppa G G M., Montagnini B and Ravetto P (2002), “Simplified PN and AN Methods in Neutron Transport”, Progress in Nuclear Energy, 40(2), pp 237–264 [73] Coppa G G M., Giusti V., Montagnini B., and Ravetto P (2011), “On the relation between spherical harmonics and simplified spherical harmonics methods”, Transport Theory and Statistical Physics, 39, pp.164–191, 2011 [74] Cullen D E (2001), “Why are the PN and SN Methods Equivalent?”, Technical report, Lawrence Livermore National Laboratory [75] Silva D.M., Lydia E J., Guida M R., Zani J H., Alves Filho H., Barros R C and Alves Filho H (2013), “Analytical methods for computational modeling of fixed-source slab-geometry discrete ordinates transport problems: Response matrix and hybrid Sn”, Progress in Nuclear Energy (New Series), Pp.1–15 [76] Dallosso A (2006), “A spatial rehomogenization method in nodal Calculations”, Annals of Nuclear Energy, 33, pp.869–877 [77] Davison B (1957), Neutron Transport Theory, Oxford, New York [78] Deville M O., Fischer P F and Mund E H (2002) High-Order Methods for Incompressible Fluid Flow, Cambridge University Press, Cambridge, 2002 [79] Downar T., Lee D., Xu Y and Kozlowski T (2004), PARCS v2.6: U.S NRC Core Neutronics Simulator School of Nuclear Engineering, Purdue University, IN, US 79 [80] Drumm C., Fan W., and Pautz S (2013), Phase-space finite elements in a least-squares solution of the transport equation, In Proceedings of the International Conference M&C 2013, Sun Valley, ID, USA, May 2013 [81] Duderstadt J J and Hamilton L J (1976), Nuclear Reactor Analysis, John Wiley & Sons, New York [82] Dulla S and Ravetto P (2004), “Analyticals techniques discrete ordinate time dependent transport problems”, Transactions of the American Nuclear Society, 90, pp.278–280 [83] Dulla S., Barbarino A., Prinja A K and Ravetto P (2014), “Evaluation of ray effects in linear transport problems”, Transport Theory and Statistical Physics, pp.213-218 [84] Dulla S., Ganapol B., and Ravetto P (2006), “Space asymptotic methods for the study of neutron propagation”, Annals of Nuclear Energy, 33, pp.932–940 [85] E.Mund (2011), Spectral element solutions for the PN neutron transport equations, Computers & Fluids, 43(1):102 – 106, 2011 ISSN 0045-7930 special issue dedicated to Prof Michel Deville [86] Fan Zhang, Wen-zhen Chen and Xin-wen Zhao (2009), “The dynamic simulation of cold start-up based on two-group point reactor model”, Annals of Nuclear Energy, 36(6), pp.784-786 [87] Feiz M and Rohach A F (1988), Development of A Legendre Polynomial Nodal Model for the Multigroup Transport Theory Approximation, Ann Nucl Energy 15, No 8, pp 389 [88] Ferziger J and Peric M (2002) Computational Methods for Fluid Dynamics Springer-Verlag Berlin [89] Fletcher J K (1977), “The Solution of the Time-Independent Multi-group Neutron Transport Equation Using Spherical Harmonics”, Ann Nucl Energy, 4, pp.401 [90] Fletcher J K (1983), “The Solution of the Multigroup Neutron Transport Equation Using Spherical Harmonics”, Nucl Sci Engr., 84, pp.33 80 [91] Fletcher J K (1986), “A Solution of the Multigroup Neutron Transport Equation Using Spherical Harmonics”, Transport Theory and Statistical Physics, 15(1&2), pp.157-161 [92] Fletcher J K (1986), “Recent Developments of the Transport Theory Code MARC/PN”, Progress in Nuclear Energy, 18(1/2), pp.75-79 [93] Forget, B., et al (2004), “A Heterogeneous Coarse Mesh Method for the 2-D NEA C5G7 MOX Benchmark Problem”, Progress in Nuclear Energy, 45(2– 4), pp.233–254 [94] Fu X and Cho N (2002), “Nonlinear analytic and semi-analytic nodal methods for multigroup neutron diffusion calculations‟, Journal of Nuclear Science and Technology, 39(10), pp.1015–1025 [95] Fu Z J , Chen W ,Chen J T and Qu W Z (2014), “Singular boundary method: three regularization approaches and exterior wave applications”, CMES, 99(5), pp.417- 443 [96] Ganapol B D (2008), Analytical Benchmarks for Nuclear Engineering Applications, Case Studies in Neutron Transport Theory, OECD-NEA, Paris [97] Garland B (2005), Reactor Physics: Multigroup Diffusion, http://www.nuceng.ca/ep4d3 [98] Golecki J J (2007), “Direct displacement method in crack theory (numerical resolution)”, Meccanica, 42(6), pp.555-566 [99] Hadad K and Piroozmand A (2007) “Application of cellular neural network (CNN) method to the nuclear reactor dynamics equations”, Annals of Nuclear Energy, 34(5), pp 406-416 [100] Han G Y (2000), “A mathematical model for the thermal-hydraulic analysis of nuclear power plants”, Int Comm Heat Mass Transfer, 27(6), pp.795-805 [101] Hayes J.G and Allen E.J (2005), “Stochastic point-kinetics equations in nuclear reactor dynamics”, Annals of Nuclear Energy, 32(6), pp.572-587 81 [102] Hébert A (2010), “Multigroup neutron transport and diffusion computations” In D G Cacuci, editor, Handbook of Nuclear Engineering, , Springer, New York, 2, pp.751–911 [103] Henry, A F (1992), “Refinements in Accuracy of Coarse-Mesh FiniteDifference Solution of the Group Diffusion Equations”, Numerical Reactor Calculations, Vienna, International Atomic Energy Agency [104] Kamal Hadad, Ahmad Pirouzmand, and Navid Ayoobian (2008), “Cellular neural networks (CNN) simulation for the TN approximation of the time dependent neutron transport equation in slab geometry”, Annals of Nuclear Energy, 35(12), pp.2313-2320 [105] Khamis I., Alsous M B., Haj Hassan H and Jouhara H (2000), “Dynamic simulator for the miniature neutron source reactor”, Progress in Nuclear Energy, 36(4), pp 379-385 [106] Kobayashi K, Oigawa H and Yamagata H (1986), “The Spherical Harmonics Method for the Multigroup Transport Equation in XY Geometry”, Ann Nucl Energy, 13(12), pp.663-669 [107] Kobayashi K (1988), “An Acceleration Method of the Iteration Calculation Using the Pade Approximation in the Spherical Harmonics Method”, Ann Nucl Energy, 15(5), pp.235-240 [108] Larsen E W and Morel J E (2010), “Advances in discrete-ordinates methodology”, In Y Azmy and E Sartori, editors, Nuclear Computational Science: A Century in Review, Springer, pp.1-81 [109] Lawrence R D (1986), “Progress in Nodal Methods for the Solution of the Neutron Diffusion and Transport Equations‟, Progress in Nuclear Energy, 17(3), pp.271-279 [110] Lewis E E (2010), “Second-order neutron transport methods”, In Y Azmy and E Sartori, editors, Nuclear Computational Science: A Century in Review, Springer, pp 85-105 82 [111] Lewis E E and Miller W F (1984), Computational Methods of Neutron Transport, John Wiley & Sons, New York [112] Morel J E., Wareing T A., Lowrie R B and Parsons D K (2003), “Analysis of ray-effect mitigation techniques”, Nuclear Science and Engineering, 144, pp.1-22 [113] Morse P M and Feshbach H (1953), Methods of Theoretical Physics McGraw-Hill, New York [114] Mosher, S W, et al (2003), “Monte Carlo Adaption of a Heterogeneous Course Mesh Transport Method”, Trans Am Nucl Soc., 89, pp 310-314 [115] Mund E (2011), A primer on transfinite interpolation in multi-dimensional cartesian geometry, Private communication, September 2011 [116] Ougouag, A M (1981), A Coarse-Mesh Nodal Method for Multigroup Multidimensional Neutron Diffusion Computations, M.Sc Thesis, University of Illinois [117] Pardo F., Lopez P and Cabello D (2008), “DT-CNN emulator: 3D heat equation solver with applications on the nondestructive soil inspection”, 11th International Workshop on Cellular Neural Networks and their Applications, Santiago de Compostela, Spain, pp.1-5 [118] Prinja A K and Larsen E W (2010), “General principles of neutron transport”, In D G Cacuci, editor, Handbook of Nuclear Engineering, Springer, New York, 1, pp.427–542 [119] Quarteroni A (2009), “Numerical Models for Differential Problems”, MS&A Springer, pp.1-6 [120] Ciolini R., Coppa G G M., Montagnini B., and Ravetto P., (2002), “Simplified PN and AN methods in neutron transport”, Progress in Nuclear Energy, ISSN 0149-1970, 40(2), pp.237 – 264 [121] Rahnema, F and E M Nichita (1997), “Leakage Corrected Spatial (Assembly) Homogenization Technique”, Ann Nucl Energy, 24(6), pp.477488 83 [122] Rivière B (2008), “Discontinuous Galerkin Methods for Solving Elliptic and Parabolic Equations: theory and implementation”, Society for Industrial and Applied Mathemathics, Philadelphia, pp.1-8 [123] Scheben F (2011), Iterative Methods for Criticality Computations in Neutron Transport Theory, PhD thesis, Department of Mathematics, University of Bath, UK, 2011 [124] Shober R A , Sims R N and A F Henry A F (1977), “Two Nodal Methods for Solving Time-Dependent Group Diffusion Equations”, Nucl Sci Eng., 64, pp.582-587 [125] Smith, K S (1981), “Assembly homogenization techniques for light water reactors”, Prog Nucl Energy, 17, pp.303-308 [126] Stewart G W (2001), Matrix Algorithms, Vol.II, Eigensystems SIAM Philadelphia [127] Taylor J B (2007), The Development of a Three-Dimensional Nuclear Reactor Kinetics Methodology Based on the Method of Characteristics, Ph.D Thesis in Nuclear Engineering, Pennsylvania State University, 2007 [128] Tewfik Hamidouchea, Anis Bousbia-Salah, El Khider SiAhmed, Mohamed Yazid Mokeddem, and Franscesco D‟Auria (2009) “Application of coupled code technique to a safety analysis of a standard MTR research reactor”, Nuclear Engineering and Design, 239(10), pp.2104-2118 [129] Wagner J, Haghighat A., Petrovic B, and Hanshaw H (1995), “Benchmarking of synthesized 3D SN transport methods for pressure vessel fluence calculations with Monte Carlo”, International Conference on Mathematics and Computations, Reactor Physics and Environmental Analysis, pp.1214–1222 [130] Wagner M R (1979), “A Nodal Discrete-Ordinates:Method for the Numerical Solution of the Multidimensional transport equation”, Proc Conf Computational Methods in Nuclear Engineering, ANS, Williamsburg, VA, pp.1-9 84 [131] Wagner M R and Koebke K (1983), “Progress in Nodal Reactor Analysis”, Proceedings of A Topical Meeting on Advances in Reactor Calculations, ANS, Salt Lake City, Utah, pp.1-8 [132] Warsa J S., Wareing T A., Morel J E et all (2001), Krylov subspace iterations for deterministic k-eigenvalue calculations Technical report, Los Alamos National Laboratory [133] Warsa J., Densmore J., Prinja A and Morel J (2010), „Manufactured solutions in the thick diffusion limit”, Nuclear Science and Engineering, 166(1), pp.36–47 [134] Zhe Dong, Xiaojin Huang, Junting Feng, and Liangju Zhang (2009) “Dynamic model for control system design and simulation of a low temperature nuclear reactor”, Nuclear Engineering and Design, 239(10), pp.2141-2151 [135] Zimin V G and Baturin D M (2002), “Polynomial nodal method for solving neutron diffusion equations in hexagonal-z geometry”, Annals of Nuclear Energy, 29, pp.1105-1117 85