Tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ CHIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Kiến thức tơpơ giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian véctơ tôpô 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 1.2.2 Một số định lí tương giao ánh xạ đa trị 1.2.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị điểm bất động Bài toán quan hệ biến phân 2.1 Phát biểu toán số ví dụ 2.2 Sự tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân 2.2.1 Định lí 2.2.2 Tiêu chuẩn dựa tương giao 2.2.3 Tiêu chuẩn dựa điểm bất động Tính chất tơpơ tập nghiệm tốn quan 3.1 Tính lồi tập nghiệm 3.2 Tính bị chặn tập nghiệm 3.3 Tính đóng tập nghiệm 3.4 Tính ổn định tập nghiệm 3.5 Các trường hợp đặc biệt 3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân 3.5.2 Bài toán tựa cân KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo hệ 5 10 10 14 14 24 24 28 28 30 35 biến phân 39 40 42 43 45 52 53 55 58 59 Mở đầu Lý thuyết tối ưu hình thành từ ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth từ năm 1881 Pareto từ năm 1886 Cho tới năm cuối kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành ngành toán học quan trọng nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học, kĩ thuật kinh tế thực tế Trong xu phát triển chung lý thuyết tối ưu áp dụng lý thuyết cân vào giải lĩnh vực khác sống, lớp toán mới, toán "Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 GS Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu toán tổng quát theo nghĩa số lớp tốn quen thuộc suy từ toán toán tối ưu tuyến tính, tốn tối ưu phi tuyến, toán cân bằng, toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, toán bao hàm thức tựa biến phân, toán bất đẳng thức biến phân, Bài toán quan hệ biến phân phát biểu sau: Tìm a¯ ∈ A cho (1) a¯ điểm bất động ánh xạ S1 , tức a¯ ∈ S1 (¯a); (2) Quan hệ R(¯a, b, y) với b ∈ S2 (¯a) y ∈ T (¯a, b), A, B, Y tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R(a, b, y) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y Các vấn đề nghiên cứu toán quan hệ biến phân tồn nghiệm toán, cấu trúc tập nghiệm tốn (tính đóng, tính lồi, tính ổn định, tính liên thơng, ) Luận văn có mục đích trình bày tốn quan hệ biến phân tính ổn định tập nghiệm toán quan hệ biến phân Luận văn chia thành ba chương Chương Kiến thức sở Chương giới thiệu sở lý thuyết cho hai chương sau, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, trình bày số khái niệm, tính chất tính liên tục ánh xạ đa trị Chương Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân dựa tính chất tương giao KKM định lí điểm bất động Chương Tính chất tơpơ tập nghiệm Chương trình bày số tính chất tơpơ tập nghiệm tính lồi, tính bị chặn, tính đóng tính ổn định nghiệm tốn quan hệ biến phân có tham số Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh cụ thể chi tiết hơn) tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tốn quan hệ biến phân đề cập báo [4, 5] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, tơi xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình học tập tơi Trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Trần Thị Chiên Chương Kiến thức sở Trong chương này, ta trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 1.1.1 Kiến thức tơpơ giải tích hàm Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R gọi metric X tiên đề sau thỏa mãn: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Tập X với metric d trang bị X gọi không gian metric, kí hiệu (X, d) hay thường viết X Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Định nghĩa 1.1.2 Cho X hai không gian metric, điểm x ∈ X A tập X Khoảng cách từ điểm x đến tập A xác định d(x, A) = inf d(x, a) a∈A Định nghĩa 1.1.3 (Khoảng cách Hausdorff) Cho X Y hai không gian metric, điểm x ∈ X A, B tập X , Y Khoảng cách Hausdorff từ tập A đến tập B xác định dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b) , a∈A b∈B b∈B a∈A hay dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) a∈A b∈B Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian metric X Một dãy {xn } gọi dãy (∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) d (xn , xm ) < ε Nhận xét 1.1.1 Một dãy hội tụ dãy bản, xn → x theo bất đẳng thức tam giác ta có d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → (n, m → ∞) Nhưng ngược lại dãy không gian không thiết hội tụ Chẳng hạn xét khoảng (0, 1) không gian metric với d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ (0, 1) dãy , dãy bản, n không hội tụ không gian Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X dãy hội tụ (tới phần tử X ) gọi không gian đủ Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ P : X → X gọi ánh xạ Lipschitz ∃k > : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y) • k = 1: f gọi ánh xạ khơng giãn • < k < 1: f gọi ánh xạ co Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ không gian metric đủ (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa tồn x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức P x¯ = x¯ 1.1.2 Không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.7 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Khi cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Định nghĩa 1.1.8 Cho hai tôpô τ1 τ2 Ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh τ1 ) τ1 ⊂ τ2 , nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2 Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, τ ) khơng gian tơpơ • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A U có tập mở chứa A Khi A = {x} U lân cận điểm x Định nghĩa 1.1.11 Một họ V = V : V lân cận điểm x ∈ X gọi sở lân cận điểm x với lân cận U điểm x, tồn lân cận V ∈ V cho x ∈ V ⊂ U Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta gọi: (i) x điểm A tồn lân cận x nằm A (ii) x điểm A tồn lân cận x nằm X\A (iii) x điểm biên A x đồng thời không điểm khơng điểm ngồi A Hay nói cách khác x điểm biên A lân cận x giao khác rỗng với A X\A Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A, tập o mở lớn Kí hiệu A intA Định nghĩa 1.1.14 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng nằm A, tập đóng nhỏ Kí hiệu A¯ clA Định nghĩa 1.1.15 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.16 Không gian tô pô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.17 Giả sử F trường R C Các phần tử F gọi số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trường F tập hợp V khơng rỗng mà hai phép cộng véctơ phép nhân với số hướng định nghĩa cho tính chất sau thỏa mãn: Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép cộng véctơ có phần tử trung hịa: Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi véctơ không: v + = v; Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với v ∈ V, tồn w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vơ hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phần tử đơn vị trường F có tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với v ∈ V : 1.v = v.1 Định nghĩa 1.1.18 Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó) Định nghĩa 1.1.19 Cho X không gian véctơ, x1 , x2 , , xk ∈ X số k λ1 , λ2 , , λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, , k k λj = Khi đó, x = j=1 gọi tổ hợp lồi véctơ x1 , x2 , , xk ∈ X λj xj , j=1 Định nghĩa 1.1.20 Giả sử S ⊂ X Bao lồi S, kí hiệu convS tập hợp tổ hợp lồi điểm S Định nghĩa 1.1.21 Cho X không gian véctơ Một tập C ⊆ X gọi nón với λ ≥ 0, x ∈ C λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập C nón lồi có tính chất sau: (i) λC ∈ C với λ ≥ 0, (ii) C + C ⊆ C Định nghĩa 1.1.22 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tơpơ đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y ; cụ thể với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ∈ Ux , y ∈ Uy x + y ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x; cụ thể với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α | < ε, x ∈ U α x ∈ V Một khơng gian véctơ X có tơpơ tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tơpơ (hay khơng gian tơpơ tuyến tính) Định nghĩa 1.1.23 Một không gian véctơ tôpô X gọi không gian véctơ tôpô lồi địa phương X có sở lân cận (của gốc) gồm tập lồi Định nghĩa 1.1.24 Cho X không gian tôpô lồi địa phương tập C ⊆ X Ta nói véctơ d phương lùi xa C x + λd ∈ C với x ∈ C, λ > Tập tất phương lùi xa C gọi nón lùi xa C kí hiệu o+ (C) Vậy, o+ (C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với x ∈ C, λ > Định nghĩa 1.1.25 Cho tập I khác rỗng gọi định hướng xác định quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn tính chất sau: (i)) Với m, n, p ∈ I cho: m ≥ n, n ≥ p m ≥ p; (ii) Nếu m ∈ I m ≥ m; (2) S2 có giá trị nghịch đảo mở; (3) T inner-liên tục theo biến thứ nhất; (4) R đóng theo biến thứ thứ ba Chứng minh Giả sử {aν } lưới nghiệm toán (VR) hội tụ tới a ∈ X Ta giới hạn nghiệm tốn (VR) Lấy phần tử b ∈ B Từ điều kiện (2), tập A\S2−1 (b) đóng từ điều kiện (1), tập K đóng Tiếp theo chứng minh PR (b) đóng Thật vậy, giả sử {aν } lưới tất phần tử PR (b) hội tụ tới a ∈ A Lấy phần tử y ∈ T (a, b), theo điều kiện (3) có y ν ∈ T (aν , b) hội tụ tới y Do đó, R(aν , b, y ν ) thỏa mãn Theo (4), ta có R(a, b, y) thỏa mãn Suy ra, a ∈ PR (b), nên PR (b) đóng Vì vậy, P (b) đóng với b ∈ B theo cơng thức (3.2) ta có tập nghiệm Σ đóng 3.4 Tính ổn định tập nghiệm Trong suốt mục ta coi Λ, A, B Y không gian tôpô Với λ ∈ Λ, ta giả sử Aλ ⊆ A, B λ ⊆ B, Y λ ⊆ Y tập khác rỗng; S1λ : Aλ ⇒ Aλ , S2λ : Aλ ⇒ B λ , T λ : Aλ × B λ ⇒ Y λ ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng; Rλ (a, b, y) quan hệ liên kết phần tử a ∈ Aλ , b ∈ B λ y ∈ Y λ Bài toán quan hệ biến phân với thông số Aλ , B λ , Y λ , S1λ , S2λ , T λ Rλ kí hiệu (V R)λ Các kí hiệu Σλ , K λ , Γλ định nghĩa phần trước Phần ta trình bày tính inner-liên tục outer-liên tục tính inner-mở outer-mở tập nghiệm Σλ ánh xạ đa trị biến λ theo [4] Ta cố định giá trị λ0 ∈ Λ gọn ta kí hiệu toán (VR)λ0 toán (VR), chẳng hạn, K λ0 kí hiệu K Định lý 3.4.1 Ánh xạ đa trị Σλ outer-mở λ0 , nghĩa lim supoλ→λ0 Σλ ⊆ Σ ánh xạ K λ outer-mở λ0 lim supoλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ Đặc biệt, khẳng định điều kiện sau thỏa mãn: (1) lim supλ→λ0 Aλ ⊆ A (2) Với x ∈ A, x ∈ S1 (x) x ∈ S1λv với lưới λv hội tụ tới λ0 ; (3) Với x ∈ K, 45 (31 ) lim inf λ→λ0 S2λ (x) ⊇ S2 (x); (32 ) lim inf λ→λ0 ,b ∈S2λ (x),b →b T λ (x, b ) ⊇ T (x, b); (33 ) R(x, b, y) lưới λν hội tụ tới λ0 , bν ∈ S2λν (x) hội tụ tới b y ν ∈ T λν (x, bν ) hội tụ đến y cho Rλν (x, bν , y ν ) với ν Chứng minh Giả sử K λ outer-mở λ0 lim supoλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ Theo khẳng định (1) Mệnh đề (1.2.3) ta có Σλ = K λ ∩ Γλ outer-mở λ0 Bây giờ, giả sử có điều kiện (1)-(3), ta ánh xạ đa trị λ → K λ outer-mở λ0 Thật vậy, lấy lim supoλ→λ0 K λ Khi theo định nghĩa có lưới λν hội tụ tới λ0 lân cận V x với V ⊆ Aλν z ∈ S1λν (z) với z ∈ V Từ điều kiện (1), ta có x ∈ A từ điều kiện (2) ta có x ∈ S1 (x), nên x ∈ K Vì vậy, lim supoλ→λ0 K λ ⊆ K, hay K λ outer-mở Tiếp theo, giả sử x ∈ K ∩ lim supoλ→λ0 K λ , có lưới λν hội tụ tới λ0 lân cận V x cho V ⊆ Aλν quan hệ Rλν (z, b, y) với z ∈ V, b ∈ S2λν (x) y ∈ T λν (z, b) Lấy b ∈ S2 (x) y ∈ T (a, b), theo điều kiện (31 ) (32 ) tìm bν ∈ S2λν (x) y ν ∈ T λν (x, bν ) tương ứng hội tụ đến b y Khi đó, Rλν (x, bν , y ν ) đúng, theo (33 ), R(x, b, y) nên x ∈ Γ Vì thế, K ∩lim supoλ→λ0 Γλ ⊆ Γ, theo khẳng định (1) Mệnh đề (1.2.3) ta có Σλ = K λ ∩ Γλ outer-mở Định lý 3.4.2 Ánh xạ Σλ outer-liên tục λ0 , nghĩa lim supλ→λ0 Σλ ⊆ Σ, K λ outer-liên tục λ0 lim supλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ Đặc biệt, khẳng định điều kiện sau thỏa mãn: (1) lim supλ→λ0 Aλ ⊆ A; (2) Với x ∈ A, x ∈ S1 (x) có lưới λν hội tụ tới λ0 xν ∈ S1λν (xν ) hội tụ tới x; (3) Với x ∈ K, (31 ) lim inf λ→λ0 ,xλ ∈Aλ ,xλ →x S2λ (xλ ) ⊇ S2 (x); (32 ) lim inf λ→λ0 ,xλ ∈Aλ ,xλ →x,bλ ∈S2λ (xλ ),bλ →b T λ (xλ , bλ ) ⊇ T (x, b); (33 ) R(x, b, y) quan hệ Rλν (xν , bν , y ν ) với xν ∈ Aλν ,bν ∈ S2λν (xν ) y ν ∈ T λν (xν , bν ) tương ứng hội tụ tới x, b y, λν hội tụ tới λ0 46 Chứng minh Giả sử K λ outer-liên tục λ0 lim supλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ, theo khẳng định (1) Mệnh đề (1.2.3) ta có K λ ∩ Γλ outer-liên tục λ0 , hay Σλ outer-liên tục λ0 Tương tự Định lí (3.4.1), từ điều kiện (1) (2) Định lí (3.4.2) ta có ánh xạ đa trị λ → K λ outer-liên tục λ0 Bây ta lim supλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ Giả sử x ∈ lim supλ→λ0 Γλ ∩ K nên tồn lưới λν hội tụ tới λ0 xν ∈ Γλν hội tụ tới x Ta rằng, x ∈ Γ, lấy phần tử b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b) Từ điều kiện (31 ), (32 ) ta tìm lưới bν ∈ S2λν y ν ∈ T λν (xν , bν ) tương ứng hội tụ tới b y Từ đó, Rλν (xν , bν , y ν ) với ν Theo điều kiện (33 ), suy R(x, b, y) thỏa mãn, nên x ∈ Γ Vì vậy, lim supλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ theo Mệnh đề (1.2.3) ta có Σλ = K λ ∩ Γλ outer-liên tục Định lý 3.4.3 Ánh xạ đa trị Σλ inner-mở λ0 , nghĩa lim infoλ→λ0 Σλ ⊇ Σ, ánh xạ K λ inner-mở λ0 lim infoλ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K Đặc biệt, khẳng định điều kiện sau thỏa mãn: (1) lim infoλ→λ0 Aλ ⊇ A (2) Với x ∈ A, lim infoλ→λ0 ,x ∈Aλ ,x →x S1λ (x ) ⊇ S1 (x) (3) Với x ∈ K, (31 ) S2λ (x ) nửa liên tục với giá trị compact theo biến (λ, x ) (λ0 , x) (32 ) T λ (x , b ) nửa liên tục với giá trị compact theo biến (λ, x , b ) (λ0 , x, b) với b ∈ S2 (x) (33 ) R(x, b, y) không Rλν (xν , bν , y ν ) với lưới xν ∈ Aλν hội tụ tới x, bν ∈ S2λν (xν ) hội tụ tới b y ν ∈ T λν (xν , bν ) hội tụ tới y với λν hội tụ tới λ0 Chứng minh Giả sử ánh xạ K λ inner-mở λ0 lim infoλ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K Theo khẳng định (2) Mệnh đề (1.2.3) ta có K λ ∩ Γλ inner-mở hay Σλ inner-mở Bây giờ, giả sử có điều kiện (1)-(3), ta ánh xạ λ → K λ inner-mở λ0 Lấy phần tử x ∈ K, tức x ∈ A x ∈ S1 (x) Theo điều kiện (1), tồn lân cận U1 λ0 V1 x cho V1 ⊆ Aλ với λ ∈ U1 , λ = λ0 Từ điều kiện 2), tồn lân cận U2 λ0 , W2 V2 x cho V2 ⊆ S1λ (x ) 47 với λ ∈ U2 , λ = λ0 , x ∈ W2 ∩ Aλ Đặt U = U1 ∩ U2 V = V1 ∩ V2 ∩ W2 ta suy với λ ∈ U, λ = λ0 có x ∈ V, x ∈ Aλ ∩ S1λ (x ) Vì vậy, V ⊆ K λ với λ ∈ U, λ = λ0 , hay K λ inner-mở / lim infoλ→λ0 Γλ Bây ta lim infoλ→λ0 Γλ ⊇ Γ∩K Lấy x ∈ K∩Γ Giả sử x ∈ c λ0 , tức x ∈ lim infoλ→λ0 Γλ Áp dụng khẳng định (3) Bổ đề (1.2.1), lim supλ→λ0 (Γλ )c Lấy xν ∈ (Γλν )c hội tụ tới x λν dần tới λ0 Với ν xν ∈ / Aλν xν ∈ Aλν Rλν (xν , bν , y ν ) không với vài bν ∈ S2λν (xν ) y ν ∈ T λν (xν , bν ) Nếu trường hợp thứ xảy cho lưới λν , từ điều kiện (1) khẳng định (2) Mệnh đề (1.2.1) ta có x ∈ / A x ∈ / Γ ν Trong trường hợp thứ hai, từ điều kiện (31 ) (32 ) giả sử b xν tương ứng hội tụ tới b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b) Theo điều kiện (33 ), R(x, b, y) không Suy ra, x∈ / Γ, vơ lí Vì vậy, lim infoλ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K Vậy Σλ inner-mở λ0 Bây ta xét tính inner-liên tục Định lý 3.4.4 Ánh xạ đa trị Σλ inner-liên tục λ0 , nghĩa lim inf λ→λ0 Σλ ⊇ Σ, K λ inner-mở λ0 lim inf λ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K K λ inner-liên tục λ0 lim infoλ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K Đặc biệt, khẳng định điều kiện sau thỏa mãn: (1) lim infoλ→λ0 Aλ ⊇ A (2) Với x ∈ A, lim infoλ→λ0 ,x ∈Aλ ,x →x S1λ (x ) ⊇ S1 (x) (3) Với x ∈ K, (31 ) S2λ (x) nửa liên tục với giá trị compact λ0 (32 ) T λ (x, b ) nửa liên tục với giá trị compact (λ0 , b) với b ∈ S2 (x) (33 ) R(x, b, y) không λν hội tụ tới λ0 , bν ∈ S2λν (x) y ν ∈ T λν (x, bν ) tương ứng hội tụ tới b y cho x ∈ Aλν Rλν (x, bν , y ν ) không với ν Chứng minh Tương tự định lí trước, phần đầu định lí thu từ khẳng định (3) Mệnh đề (1.2.3) Ta chứng minh phần hai định lí, giả sử có điều kiện từ (1)-(3), ta chứng minh ánh xạ λ → K λ inner-mở λ0 lim inf λ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K Ánh xạ λ → K λ inner-mở chứng minh tương tự định lí Lấy x ∈ Γ ∩ K, ta chứng lim inf λ→λ0 Γλ , tức với lưới λν hội tụ tới 48 λ0 tìm xν ∈ Γλν hội tụ tới x Giả sử phản chứng điều khơng đúng, nghĩa là, tồn lân cân V x cho V ∩ Γλν = ∅ với lưới λν hội tụ tới λ0 Theo điều kiện (1) định lí, ta giả sử V ⊆ Aλν với ν Do đó, với bν ∈ S2λν (x) y ν ∈ T λν (x, bν ) Rλν (x, bν , y ν ) không Từ điều kiện (31 ) (32 ) ta có bν y ν hội tụ tới b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b) Suy ra, R(x, b, y) không theo điều kiện (33 ) Mâu thuẫn với x ∈ Γ Do đó, lim inf λ→λ0 Γλ ⊇ Γ ∩ K Vậy, Σλ = K λ ∩ Γλ inner-liên tục Ta kết thúc phần số điều kiện đủ cho tính liên tục ánh xạ Ta nêu định nghĩa sau Γλ Định nghĩa 3.4.1 Tập Λ0 ⊆ Λ mở (tương ứng, đóng) λ0 có lân cận mở (tương ứng, lân cận đóng) U0 λ0 cho U0 ∩ Λ0 mở (tương ứng, đóng) Ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.4.1 Các khẳng định sau (1) Γλ outer-mở (tương ứng, inner-liên tục) λ0 với x ∈ / Γ (tương ứng, x ∈ Γ), tập Ux = λ ∈ Λ : Rλ (x, b, y) không với b ∈ S2λ (x) y ∈ T λ (x, b) mở (tương ứng, đóng) λ0 (2) Γλ outer-liên tục (tương ứng, inner-mở) λ0 tập U = {(λ, x) ∈ Λ × A : x ∈ / Aλ Rλ (x, b, y) không với b ∈ S2λ (x) y ∈ T λ (x, b)} mở (λ0 , x) với x ∈ / Γ (tương ứng, đóng (λ0 , x) với x ∈ Γ ) Chứng minh Chứng minh khẳng định (1) Giả sử x ∈ / Γ λ0 ∈ Ux Nếu Ux mở λ0 , tồn lân cận U λ0 chứa Ux Vì x ∈ (Γλ )c với λ ∈ U Như vậy, với lân cận V x tồn lân cận U λ0 cho (Γλ )c ∩ V = ∅ Suy x ∈ lim inf (Γλ )c Do đó, lim inf (Γλ )c ⊇ Γc Vì vậy, (Γλ )c λ→λ0 λ→λ0 inner-liên tục Theo khẳng định (1) Mệnh đề (1.2.1) Γλ outer-mở Giả sử x ∈ Γ Khi λ0 ∈ / Ux Nếu Ux đóng λ0 , có lân cận đóng U0 λ0 cho U0 ∩ Ux tập đóng Suy ra, tồn lân cận mở U ⊆ U0 λ0 cho U ∩ Ux = ∅ Chứng tỏ, x ∈ Γλ với λ ∈ U Do đó, x ∈ lim inf λ→λ0 Γλ Γλ inner-liên tục 49 Chứng minh tính outer-liên tục khẳng định (2) Giả sử x0 ∈ / Γ Khi ấy, (λ0 , x0 ) ∈ U Do đó, U tập mở (λ0 , x0 ) nên tồn lân cận mở U λ0 V x0 cho U × V ⊆ U Vì thế, x ∈ / Γλ với x ∈ V λ ∈ U Theo định nghĩa ta có x0 ∈ lim infoλ→λ0 (Γλ )c Vì vậy, lim infoλ→λ0 (Γλ )c ⊇ Γc , tức (Γλ )c inner-mở Theo khẳng định (2) Mệnh đề (1.2.1) ta có Γλ outer-liên tục Để chứng minh tính inner-mở ta giả sử x0 ∈ Γ Khi ấy, (λ0 , x0 ) ∈ / U Do U đóng (λ0 , x0 ) nên có lân cận đóng U0 λ0 V0 x0 cho U0 ×V0 ∩U đóng Ta tìm lân cận mở U ⊆ U0 λ0 V ⊆ V0 x0 cho U × V ∩ U = ∅ Suy ra, V ⊆ Γλ với λ ∈ U Vậy, Γλ inner-mở λ0 Nhận xét 3.4.1 Trong nhiều mơ hình ta giả thiết tập Aλ , B λ Y λ không phụ thuộc vào λ Nếu tập W = (λ, x, b, y) ∈ Λ × A × B × Y : Rλ (x, b, y) không mở (λ0 , x, b, y) với y ∈ T (x, b), b ∈ S2 (x) ánh xạ S2λ (x) inner-liên tục (λ0 , x) T λ (x, b) inner-liên tục (λ0 , x, b) với x ∈ / Γ, b ∈ S2 (x) tập U mở (λ0 , x) với x ∈ / Γ Thật vậy, giả sử x0 ∈ / Γ Khi ấy, có b0 ∈ S2 (x0 ) y0 ∈ T (x0 , b0 ) cho R(x0 , b0 , y0 ) không Theo giả thiết tập W mở nên có lân cận mở U1 λ0 , V1 x0 , W1 b0 Z1 y0 cho U1 × V1 × W1 × Z1 ⊆ W Do ánh xạ T λ inner-liên tục nên tồn lân cận mở U2 ⊆ U1 λ0 , V2 ⊆ V1 x0 W2 ⊆ W1 b0 cho T λ (x, b) ∩ Z1 = ∅ với (λ, x, b) ∈ U1 × V1 × W1 Tương tự, ánh xạ S2λ inner-liên tục nên tồn lân cận mở U ⊆ U2 λ0 V ⊆ V2 x0 cho S2λ (x) ∩ W2 = ∅ với (λ, x) ∈ U × V Rõ ràng, với (λ, x) ∈ U × V, tồn b ∈ S2λ (x) y ∈ T λ (x, b) cho (λ, x, b, y) ∈ W, tức Rλ (x, b, y) không Chính vậy, U × V ⊆ U Vậy, U tập mở Nếu tập W đóng (λ0 , x, b, y), ánh xạ S2λ T λ outer-liên tục có giá trị compact tương ứng (λ0 , x) (λ0 , x, b) với x ∈ Γ, b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b), Y tập compact tập U tập đóng (λ0 , x) với x ∈ Γ Thật vậy, giả sử tồn x0 ∈ Γ Khi ấy, với b ∈ S2 (x0 ) y ∈ T (x0 , b) cho R(x0 , b, y) Vì tập W tập đóng nên có lân cận đóng Uby λ0 , Vby x0 , Wby b Zby y cho 50 Uby × Vby × Wby × Zby ∩ W = ∅ Theo giả thiết tập T (x0 , S2 (x0 )) tập compact nên ta chọn số hữu hạn điểm, cụ thể b1 , , bk ∈ S2 (x0 ) y1 , , yk ∈ T (x0 , S2 (x0 )) cho tập k Wbi yi lân cận đóng S2 (x0 ) W1 = i=1 tập k Zbi yi lân cận đóng T (x0 , S2 (x0 )) Z1 = i=1 k k Tập U1 = Ubi yi V1 = i=1 Vbi yi lân cận đóng λ0 , x0 i=1 (U1 × V1 × W1 × Z1 ) ∩ W = ∅ Do ánh xạ T λ outer-liên tục nên tồn lân cận U2 ⊆ U1 λ0 , V2 ⊆ V1 x0 W2 ⊆ W1 S2 (x0 ) cho T λ (x, S2 (x)) ⊆ Z1 Tương tự, ánh xạ S2λ outer-liên tục nên tồn lân cận đóng U ⊆ U2 λ0 V ⊆ V2 x0 cho S2λ (x) ⊆ W2 với λ ∈ U x ∈ V Vì thế, lân cận đóng U × V (λ0 , x0 ) khơng có điểm chung với W, tức U × V ∩ W = ∅ Điều có nghĩa U × V ∩ U = ∅ Vậy U đóng (λ0 , x0 ) Dưới ta nêu điều kiện đủ tính liên tục ánh xạ nghiệm Σλ đặt lên tập Ux , U W Hệ 3.4.1 Các khẳng định sau đúng: (1) Σλ outer-mở λ0 ánh xạ K λ outer-mở λ0 tập Ux mở λ0 với x ∈ / Γ (2) Σλ outer-liên tục λ0 ánh xạ K λ outer-liên tục λ0 tập U mở (λ0 , x) với x ∈ / Γ, điều có nghĩa ánh xạ Aλ , B λ Y λ không phụ thuộc vào λ, ánh xạ S2λ T λ inner-liên tục tương ứng (λ0 , x) (λ0 , x, b), tập W mở (λ0 , x, b, y) với x ∈ / Γ, b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b) (3) Σλ inner-mở λ0 ánh xạ K λ inner-mở λ0 tập U đóng (λ0 , x) với x ∈ Γ, điều có nghĩa Y tập compact, S2λ (x) T λ (x) outer-liên tục, có giá trị compact tương ứng (λ0 , x) (λ0 , x, b) W đóng (λ0 , x, b, y) với x ∈ Γ, b ∈ S2 (x), y ∈ T (x, b) 51 (4) Σλ inner-liên tục λ0 ánh xạ K λ inner-mở (tương ứng, inner-liên tục) λ0 tập Ux (tương ứng, U ) đóng λ0 (tương ứng, (λ0 , x)) với x ∈ Γ Chứng minh Áp dụng Bổ đề (3.4.1), Định lí (3.4.1)-(3.4.4) Nhận xét (3.4.1) Chú ý giả thiết Hệ (3.4.1) khó kiểm tra, chúng yếu điều kiện Định lí (3.4.1)-(3.4.4) Thật vậy, từ việc chứng minh hệ ta thấy giả thiết Định lí (3.4.1)-(3.4.4) kéo theo giả thiết Hệ (3.4.1) Ví dụ sau điều ngược lại khơng Ví dụ 3.4.1 Cho Aλ = B λ = Y λ = R, Λ = [0, 1] , λ0 = 0, S1λ (x) = [0, λ] , S2λ (x) = T λ (x, b) = (0, 1) {−1} (−1, 0) {1} λ = 0, λ = 0, λ = 0, λ = 0, F λ (b, y) = [0, 1] Quan hệ R xác định bởi: R(x, b, y) F λ (b, y) ⊆ R+ Khi đó, K λ = [0, λ] thỏa mãn (1)-(4) Hệ (3.4.1) tức K λ outer-mở, outer-liên tục, inner-mở inner-liên tục Tất tập Ux , U W rỗng F λ (b, y) = [0, 1] ⊆ R+ tập thỏa mãn điều kiện (1)-(4) hệ Tính tốn trực tiếp ta Σλ = [0, λ] , Σλ = K λ ∩ Γλ = [0, λ] ∩ R = [0, λ] Σλ thỏa mãn tất tính liên tục tính mở Nhưng S2λ (x) T λ (x, b) không thỏa mãn giả thiết Định lí (3.4.1)-(3.4.4) Thật vậy: Xét ánh xạ đa trị S2λ (x), ánh xạ không ánh xạ nửa liên tục −1 , S2λ0 (x) = (0, 1) Khi với lân cận mở U = (−δ, δ) tồn λ ∈ U, λ = cho S2λ (x) = {−1} ⊂ V Vì 0, lấy lân cận mở ánh xạ S2λ (x) không thỏa mãn Định lí (3.4.4) Tiếp tục lim inf λ→λ0 S2λ (x) = {−1} S2 (x) nên ánh xạ S2λ (x) không thỏa mãn Định lí (3.4.1) Tương tự khơng thỏa mãn Định lí (3.4.2), Định lí (3.4.3) ánh xạ T λ (x) không thỏa mãn tất Định lí (3.4.1)-(3.4.4) 3.5 Các trường hợp đặc biệt Trong mục ta áp dụng kết Mục (3.4) cho hai mơ hình quan hệ biến phân toán bao hàm thức biến phân toán tựa cân 52 Để thu cải thiện kết có mơ hình ta tập trung vào tính outer-liên tục inner-liên tục 3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân Ta phát biểu lại tốn (VIP) trình bày Chương 2, Mục (2.1) Cho A, B, Y Z tập khác rỗng Giả sử ánh xạ đa trị S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T : A × B ⇒ Y, F : A × B × Y ⇒ Z G : A × A × Y ⇒ Z Xét tốn (VIP) Tìm x¯ ∈ A cho (1) x¯ ∈ S1 (¯ x); (2) F (¯ x, b, y) ⊆ G(¯ x, x¯, y) với b ∈ S2 (¯ x) y ∈ T (¯ x, b) Giả sử liệu (VIP) phụ thuộc vào tham số λ ∈ Λ A, B, Y Λ không gian tôpô Mục 3.4 Hệ sau kết trực tiếp từ Định lí (3.4.2) Hệ 3.5.1 Giả sử Aλ = A, B λ = B Y λ = Y ánh xạ không phụ thuộc vào λ điều kiện sau đúng: (1) K λ outer-liên tục λ0 ; (2) S2λ (x) inner-liên tục (λ0 , x0 ) với x0 ∈ K; (3) T λ (x, b) inner-liên tục (λ0 , x0 , b0 ) với x0 ∈ K b0 ∈ S2 (x0 ); (4) F (x, b, y) ⊆ G(x, x, y) tồn lưới λν hội tụ tới λ0 , xν ∈ A, bν ∈ S2λν (xν ) y ν ∈ T λν (xν , bν ) tương ứng hội tụ tới x, b y cho F λν (xν , bν , y ν ) ⊆ Gλν (xν , xν , y ν ) Khi đó, tập nghiệm Σλ tốn (V IP ) outer-liên tục λ0 Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.2) Tiếp tục với không gianA, B Y không bị nhiễu Hệ sau dựa trực tiếp từ Định lí (3.4.4) Hệ 3.5.2 Giả sử điều kiện sau đúng: (1) K λ inner-liên tục λ0 ; (2) S2λ (x) nửa liên tục có giá trị compact (λ0 , x0 ) với x0 ∈ K; 53 (3) T λ (x, b) nửa liên tục có giá trị compact (λ0 , x0 , b0 ) với x0 ∈ K b0 ∈ S2 (x0 ); (4) F (x, b, y) G(x, x, y) tồn lưới λν hội tụ tới λ0 , xν ∈ A, bν ∈ S2λν (xν ) y ν ∈ T λν (xν , bν ) tương ứng hội tụ tới x, b y cho F λν (xν , bν , y ν ) Gλν (xν , xν , y ν ) Khi đó, tập nghiệm Σλ tốn (VIP) inner-liên tục λ0 Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.4) Cùng với tốn (VIP) ta xét tốn bổ trợ (VIP∗ ) sau: Tìm x¯ ∈ A cho (1) x¯ ∈ S1 (¯ x); (2) F (¯ x, b, y) ⊆ intG(¯ x, x¯, y) với b ∈ S2 (¯ x) y ∈ T (¯ x, b) Trong hệ tiếp theo, tính ổn định tốn bổ trợ kéo theo tính ổn định tốn (VIP) Hệ 3.5.3 Giả sử tốn (VIP∗ ) có tập nghiệm Σλ∗ điều kiện sau đúng: (1) K λ inner-liên tục λ0 ; (2) S2λ (x) usc có giá trị compact (λ0 , x0 ) với x0 ∈ K; (3) T λ (x, b) usc có giá trị compact (λ0 , x0 , b0 ) với x0 ∈ K b0 ∈ S2 (x0 ); (4) Σλ ⊆ clΣλ∗ với λ; (5) Với x ∈ K, F (x, b, y) G(x, x, y), tồn lưới λν hội tụ tới λ0 , bν ∈ S2λν (xν ) y ν ∈ T λν (xν , bν ) tương ứng hội tụ tới x, b y cho F λν (xν , bν , y ν ) Gλν (xν , xν , y ν ) Khi đó, Σλ∗ Σ inner-liên tục λ0 Chứng minh Theo Nhận xét (3.4.1), từ điều kiện (2), (3) (5), với x ∈ K tập Ux tốn (VIP∗ ) đóng λ0 Từ khẳng định (4) Hệ (3.4.1) ánh xạ nghiệm Σλ∗ inner-liên tục Lại điều kiện (4) ánh xạ nghiệm Σλ inner-liên tục Nhận xét 3.5.1 Giả thiết (4) Hệ (3.5.3) bảo đảm K λ lồi điều kiện sau đúng: 54 (a) Với x1 ∈ Σλ∗ , x2 ∈ Σλ b ∈ S2λ ((1 − t)x1 + tx2 ) với t ∈ (0, 1] , F λ (x1 , b, y) ⊆ intG(x1 , x1 , y) với y ∈ T λ (x1 , b), F λ (x2 , b, y ) ⊆ G(x2 , x2 , y ) với y ∈ T λ (x2 , b); (b) Với b ∈ B, ánh xạ F λ (., b, ) Gλ − tựa lồi theo T λ (., b), nghĩa với x1 , x2 ∈ K λ , y1 ∈ T λ (x1 , b) y2 ∈ T λ (x2 , b), bao hàm thức F λ (x1 , b, y1 ) ⊆ intGλ (x1 , x1 , y1 ), F λ (x2 , b, y2 ) ⊆ Gλ (x2 , x2 , y2 ), kéo theo F λ (xt , b, yt ) ⊆ intGλ (xt , xt , yt ), với xt = (1 − t)x + tx yt ∈ T λ (xt , b) với t ∈ [0, 1) Thật vậy, x1 ∈ Σλ∗ x2 ∈ Σλ khoảng [x1 , x2 ) ⊆ Σλ∗ Σλ ⊆ intΣλ∗ Nguyên nhân đưa vào toán (VIP∗ ) số giả thiết liên tục, tính inner-mở ánh xạ Σλ∗ dễ nhận tính inner-mở ánh xạ Σλ Điều thấy rõ ràng trường hợp G ánh xạ nón lồi đóng C với phần khác rỗng F λ (x, b, y) ∈ intC ánh xạ đơn trị liên tục Khi đó, từ bao hàm F λ0 (x0 , b0 , y0 ) ∈ intC tìm lân cận U λ0 V (x0 , b0 , y0 ) cho F λ (x, b, y) ∈ intC với λ ∈ U (x, b, y) ∈ V Tuy nhiên điều không trường hợp tổng quát cho bao hàm thức F λ0 (x0 , b0 , y0 ) ∈ C 3.5.2 Bài toán tựa cân Cho Λ X hai không gian tôpô C tập đóng khơng gian véctơ tơpơ Z có phần khác rỗng Giả sử S, G : X ⇒ X F : X × X ⇒ Z ánh xạ đa trị Chúng ta xét toán (QEP) phát biểu Ví dụ (2.1.6) Hệ 3.5.4 Giả sử điều kiện sau đúng: (1) S λ (x) inner-liên tục clS λ (x) outer-liên tục biến (λ, x) ()λ0 , x0 ) với x0 ∈ K; (2) Gλ (x) inner-liên tục (λ0 , x0 ) với x0 ∈ K; (3) F λ (x, b) inner-liên tục (λ0 , x0 , b0 ) với x0 ∈ K b0 ∈ Y 55 Khi đó, tập nghiệm Σλ toán (QEP ) outer-liên tục λ0 Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.2) Hệ 3.5.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (1) K λ inner liên tục λ0 (2) S2λ (x) outer-liên tục với giá trị compact (λ0 , x0 ) với x0 ∈ K (3) Gλ (x) usc với giá trị compact (λ0 , x0 ) với x0 ∈ K (4) F (b, y) ⊆ Z\ − intC λν hội tụ tới λ0 , xν ∈ A, bν ∈ S λν (xν ) y ν ∈ G(xν ) tương ứng hội tụ tới x, b y cho F λν (bν , y ν ) ⊆ Z\ − intC Khi tập nghiệm Σλ tốn (QEP) inner-liên tục λ0 Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.4) Tiếp tục ta xét tốn (QEP ) trình bày Ví dụ (2.1.6) Hệ 3.5.6 Giả sử toán (QEP ) có (1) S λ (x) outer-liên tục có giá trị compact {λ0 } × A; (2) Tập W mở (λ0 , x, b) với x ∈ Γ b ∈ S(x): W = {(λ, x, b) ∈ Λ × A × A : F (λ, x, b) ∈ / Z\ − intC (λ, x)} Khi đó, Σλ outer-liên tục λ0 Cuối ta xét đến toán bổ trợ toán (QEP ) toán (QEP∗ ) phát biểu Ví dụ (2.1.6) Tương tự trường hợp bao hàm thức biến phân, tính ổn định toán bổ trợ kéo theo tính ổn định tốn (QEP ) điều kiện phù hợp Hệ 3.5.7 Giả sử tốn (QEP∗ ) có nghiệm điều kiện sau đúng: (1) K λ inner-liên tục λ0 ; (2) S λ (x) nửa liên tục có giá tri compact (λ0 , x0 ) với x0 ∈ A; (3) Tập (λ, x, b) ∈ Λ × A × A : F λ (x, b) ∈ Z − clC λ (x) x, b ∈ A; (4) Σλ ⊆ clΣλ∗ với λ 56 mở (λ0 , x, b) với Khi đó, ánh xạ đa trị Σλ∗ Σλ inner-liên tục λ0 Chứng minh Với x ∈ Γ b ∈ S(x), xét tập U = (λ, x, b) ∈ Λ × A × A : F λ (x, b) ∈ / Z\ − clC λ (x) Từ điều kiện (2) (3) tập Ux đóng Vì theo khẳng định (4) Hệ (3.4.3), ánh xạ nghiệm λ → Σλ∗ inner-liên tục λ0 Vì điều kiện (4) nên ánh xạ nghiệm λ → Σλ inner-liên tục 57 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Trình bày số kiến thức giải tích hàm, khái niệm ánh xạ đa trị, phép toán ánh xạ đa trị tính liên tục ánh xạ đa trị - Phát biểu toán quan hệ biến phân số mơ hình tốn cụ thể, tồn nghiệm toán quan hệ biến phân dựa lý thuyết tương giao KKM số định lí điểm bất động - Trình bày chứng minh số tính chất tơpơ tập nghiệm tính lồi, tính bị chặn, tính đóng tính ổn định Ngồi ra, trình bày số toán cụ thể toán quan hệ biến phân có tham số Bài tốn quan hệ biến phân nhiều kết phong phú nhiều câu hỏi mở chưa trình bày luận văn Vì vậy, theo chúng tơi, tốn quan hệ biến phân đề tài nhiều điều thú vị khai thác 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New York [4] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035 [5] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76 [6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation I: Basic Theory, Springer, 331 59