Tính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ TUYẾT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ TUYẾT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Giới thiệu hệ chuyển mạch 1.1 Một ví dụ đơn giản hệ chuyển mạch 1.2 Sơ lược ổn định hệ không chuyển mạch 1.3 Khái niệm hệ chuyển mạch 1.4 Tính ổn định khả ổn định hệ chuyển mạch 1.4.1 Tính ổn định đảm bảo chuyển mạch tùy 1.4.2 Tính ổn định thời gian chững Tính ổn định hệ chuyển mạch tùy ý 2.1 Một số khái niệm 2.2 Hệ chuyển mạch phi tuyến 2.2.1 Hàm Lyapunov chung 2.2.2 Định lý Lyapunov 2.3 Hệ chuyển mạch tuyến tính 2.3.1 Hệ nới lỏng 2.3.2 Hàm Lyapunov phổ dụng 2.3.3 Tiêu chuẩn đại số ý 1 10 12 chuyển mạch 15 15 18 18 19 24 25 31 36 Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hoàn 45 3.1 Lý thuyết Floquet 45 i 3.2 Một số kết ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn 3.3 Ví dụ 47 52 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 ii Danh mục ký hiệu R Trường số thực C Trường số phức Z Tập số nguyên R+ Tập số thực dương R+ Tập số thực không âm Z+ Tập số nguyên dương Z+ Tập số nguyên không âm Rn Tập vectơ thực n chiều Rn×m Tập ma trận thực n × m chiều In Ma trận đơn vị n × n chiều xT Vectơ chuyển vị vectơ x AT Ma trận chuyển vị ma trận A P > 0(P ≥ 0) P ma trận Hermit xác định (nửa xác định) dương P < 0(P ≤ 0) P ma trận Hermit xác định (nửa xác định) âm λ(A) Giá trị riêng A ρ(A) Bán kính phổ tập ma trận A |x| Chuẩn vectơ x ||A|| Chuẩn ma trận A cảm sinh từ chuẩn vectơ µ|.| Độ đo ma trận cảm sinh chuẩn |.| iii S Phần tử nhỏ tập S sup S Số nhỏ lớn phần tử S inf S Số lớn nhỏ phần tử S S1\S2 Tập {s ∈ S1 : s ∈ / S2 } Ω◦ Phần tập Ω Br Hình cầu tâm gốc tọa độ, bán kính r Hr Mặt cầu tâm gốc tọa độ, bán kính r lim f (s) Giới hạn trái hàm f (.) t lim f (s) Giới hạn phải hàm f (.) t Ck Tập hàm có đạo hàm cấp k liên tục MFΓ Hàm Minkovski miền Γ T Tập thời gian Ts Tập {t ∈ T : t ≥ s} σ Tín hiệu chuyển mạch hệ chuyển mạch S[a,b) Tập quỹ đạo chuyển mạch hoàn toàn xác định [a, b) S[t0 ,+∞) Tập tín hiệu chuyển mạch hoàn toàn xác định [t0 , +∞) s↑t s↓t φ(t; t0, x0, σ) Nghiệm hệ chuyển mạch Φ(t1, t2, σ) Ma trận chuyển trạng thái hệ chuyển mạch tuyến tính iv LỜI NĨI ĐẦU Trong thập niên gần đây, hệ chuyển mạch nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa Động lực thúc đẩy việc nghiên cứu hệ chuyển mạch xuất phát từ ý nghĩa thực tế kỹ thuật Có ba tốn tính ổn định hệ chuyển mạch : (i) tìm điều kiện ổn định hệ chuyển mạch tùy ý; (ii) xác định lớp hẹp quan trọng quy luật chuyển mạch ổn định hóa; (iii) xây dựng luật chuyển mạch ổn định Đã có nhiều hướng nghiên cứu liên quan đến hệ chuyển mạch phương pháp đại số Lie, phương pháp hàm Lyapunov bội, phương pháp đại số tuyến tính, bất đẳng thức ma trận tuyến tính Trong nhiều vấn đề quan trọng hệ chuyển mạch giải cịn nhiều vấn đề cịn tốn mở Bản luận văn tập trung trình bày điều kiện để hệ chuyển mạch ổn định chuyển mạch tùy ý việc sử dụng lý thuyết Floquet để nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hoàn Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Giới thiệu số khái niệm hệ chuyển mạch Chương 2: Trình bày điều kiện để hệ chuyển mạch phi tuyến tuyến tính ổn định chuyển mạch tùy ý Chương 3: Nghiên cứu điều kiện để hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn ổn định việc áp dụng lý thuyết Floquet Trong trình làm luận văn, em nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian bảo, hướng dẫn em viết luận văn Trong trình học tập, em thầy khoa Tốn v Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội truyền dạy kiến thức quý giá, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cơ, nhà giáo hết lịng khoa học nghiệp giáo dục Mặc dù cố gắng trình độ cịn hạn chế thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi có thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Phạm Thị Tuyết vi Chương Giới thiệu hệ chuyển mạch 1.1 Một ví dụ đơn giản hệ chuyển mạch Trong R2 , cho hệ phương trình:   A x(t) x ≥ 0, d x(t) =  A2x(t) x2 ≤ 0, dt x = (x1, x2) ∈ R2   −0.01 −0.5 , A1 =  −0.01  A2 =  −0.01 0.5 −2   −0.01 Ma trận A1 A2 có giá trị riêng −0.01 ± i nên hệ ổn định tiệm cận Tuy nhiên, tính ổn định hệ lai ghép không phụ thuộc vào hệ mà phụ thuộc nhiều vào chế độ chuyển mạch chúng Nghiệm hệ thứ thứ hai là: Chương Giới thiệu hệ chuyển mạch   x = e−0.01t(A cos t + B sin t)  x2 = 2e−0.01t(A sin t − B cos t)   x = e−0.01t(A cos t + B sin t)  x2 = e−0.01t(A sin t − B cos t) Khi quỹ đạo chúng là: x22 + = e−0.02t(A2 + B 2) x21 + 4x22 = e−0.02t(A2 + B ) Bức tranh pha hệ ellip đồng dạng thu hẹp dần Khi t đủ lớn ellip co gốc tọa độ Từ ta suy tranh pha hệ chuyển mạch x21 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch chuyển mạch tùy ý = V (x), ˆi kí hiệu cho tín hiệu chuyển mạch ˆi(t) ≡ i Do V liên tục Lipchitz nên ta có: V (x + τ Ai x) − V (x) τ V (x) τ →0+ ,x=0 V (φ(τ ; 0, x, ˆi)) − V (x) = lim sup τ V (x) τ →0+ ,x=0 µV (Ai) = lim sup ≤ ∀i ∈ M Khi chuẩn V cảm sinh độ đo tập ma trận thỏa mãn µV (A) ≤ (2.26) Từ suy ν(A) ≤ Tiếp theo, ta xét trường hợp hệ chuyển mạch ổn định biên Khi giá trị độ đo nhỏ không Thật vậy, giá trị độ đo nhỏ âm từ hệ thức (2.24) suy hệ ổn định mũ Điều dẫn đến mâu thuẫn Do đó, độ đo tập ma trận (2.26) độ đo cận biên Cuối cùng, ta xét trường hợp hệ chuyển mạch không ổn định biên Khi đó, giá trị độ đo nhỏ khơng âm Giả sử dương Khi đó, tồn số thực dương ǫ với ǫ < ν(A) cho ν|.| (A − ǫIn ) > Suy hệ chuyển mạch A − ǫIn không ổn định không ổn định biên Điều mâu thuẫn với ̺(A − ǫIn ) = −ǫ < Do ν(A) = Mặt khác, ν(A) = tồn độ đo cực biên kéo theo tính bị chặn tập R(A) hệ ổn định ổn định biên Suy hệ chuyển mạch khơng ổn định biên khơng có độ đo cực biên Tóm lại, tính ổn định biên kéo theo tồn độ đo cực 43 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch chuyển mạch tùy ý biên giá trị khơng tính khơng ổn định biên kéo theo giá trị độ đo nhỏ không khơng có độ đo cực biên Vì phép chuẩn hóa khơng làm thay đổi tồn độ đo cực biên nên từ suy mệnh đề thứ hai định lí Chú ý: Với ma trận thực, tốc độ phân kì lớn phần thực lớn giá trị riêng giá trị độ đo nhỏ (xem [10]) Định lý (2.3.13) mở rộng cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính Từ Định lý (2.3.13) ta mơ tả cách đầy đủ tính ổn định theo độ đo tập ma trận Hệ 2.3.14 Với hệ chuyển mạch tuyến tính liên tục, ta có phát biểu sau: (1) Hệ ổn định giá trị độ đo nhỏ âm (2) Hệ ổn định biên giá trị độ đo nhỏ khơng có độ đo cực biên (3) Hệ không ổn định biên giá trị độ đo nhỏ khơng khơng có độ đo cực biên (4) Hệ khơng ổn định giá trị độ đo nhỏ dương 44 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn 3.1 Lý thuyết Floquet Trong mục ta nhắc lại cách ngắn gọn lý thuyết Floquet Xét hệ tuyến tính biến thiên theo thời gian:   x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ t0 , (3.1)  x(t0) = x0 , x(t) ∈ Rn , ma trận A(t) ∈ Rn×n liên tục khúc, bị chặn tuần hồn với chu kì T Cho Φ(t, t0) ma trận chuyển trạng thái hệ (3.1) Khi ta có: (1) Φ(t + T, t0 + T ) = Φ(t, t0) (2) Tồn ma trận không suy biến P (t, t0 ) thỏa mãn: 45 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn P (t + T, t0) = P (t, t0 ) tồn ma trận Q cho: Φ(t, t0) = P (t, t0 ) exp[(Q(t − t0)] (3) Phép biến đổi Lyapunov z(t) = P −1 (t, t0)x(t) biến đổi hệ (3.1) thành hệ tuyến tính bất biến theo thời gian   z(t) ˙ = Qz(t), t ≥ t0 ,  z(t0 ) = x0 Như vậy, theo lý thuyết Floquet, hệ tuyến tính tuần hồn biến thiên theo thời gian đưa hệ tuyến tính bất biến theo thời gian qua phép biến đổi Lyapunov Đặt: R = Φ(t0 + T, t0) Ma trận Q xác định sau: Q= ln R T (3.2) Các giá trị riêng λk , k = 1, , n ma trận Q gọi số mũ đặc trưng giá trị riêng µk , k = 1, , n ma trận R gọi nhân tử đặc trưng Mối liên hệ số mũ đặc trưng nhân tử đặc trưng: µk = eλk T , k = 1, , n Ta có kết sau: Hệ (3.1) ổn định mũ Q ma trận Hurwitz, tức tất giá trị riêng Q có phần thực âm Một cách tương đương, hệ (3.1) ổn định mũ R ma trận 46 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hoàn Schur, tức tất giá trị riêng R có mođun nhỏ Chú ý rằng, ma trận Q xác định khơng thiết phải ma trận thực Vì A(t) tuần hồn với chu kì T nên tuần hồn với chu kì 2T , Q xác định (3.2) phức ta xác định ma trận thực Q sau: Q= 3.2 1 ln(Φ(t0 + 2T, t0)) = ln R2 2T 2T Một số kết ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn Trong mục này, ta xét hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn có dạng:    A1x(t), t0 + lT ≤ t < t1 + lT,      A x(t), t + lT ≤ t < t + lT, 2 (3.3) x(t) ˙ =   l = 0, 1, 2, , t ≥ t0 ,      Aσ x(t), tσ−1 + lT ≤ t < tσ + lT, x(t0) = x0, với tσ = t0 + T , x(t) ∈ Rn A1, A2, , Aσ ∈ Rn×n ma trận Đặt: ∆tk = tk − tk−1 , k = 1, , σ Có thể thấy rằng, hệ x(t) ˙ = Ak x(t) kích hoạt khoảng thời gian ∆tk Sau ta đưa số kết tính ổn định hệ (3.3) Định lý 3.2.1 Hệ (3.3) ổn định mũ ma trận σ exp (Ak ∆tk ) = exp (Aσ ∆tσ ) exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1) R= k=1 (3.4) 47 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hoàn ma trận Schur Một cách tương đương, hệ (3.3) ổn định mũ σ Q = ln exp (Ak ∆tk ) (3.5) T k=1 ma trận Hurwitz Chứng minh Với k = 1, 2, , σ, ta xác định pk (t) sau:   1, t l = 0, 1, 2, , k−1 + lT ≤ t < tk + lT, pk (t) =  0, trường hợp khác Đặt A(t) = A1p1 (t) + A2 p2(t) + · · · + Aσ pσ (t) Khi hệ (3.3) viết sau: x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ t0 , x(t0) = x0 Rõ ràng A(t) liên tục khúc, bị chặn tuần hồn với chu kì T Do đó, giả thiết định lí Floquet thỏa mãn Với t0 ≤ t < t1 , x(t) ˙ = A1 x(t) Khi đó: x(t) = exp [A1(t − t0 )]x(t0) = exp [A1(t − t0 )]x0 Tương tự, với t1 ≤ t < t2 , x(t) ˙ = A2x(t) ta có: x(t) = exp [A2(t − t1 )]x(t1) = exp [A2(t − t1 )] exp [A1(t1 − t0 )]x0 = exp [A2(t − t1 )] exp (A1∆t1)x0 Một cách tương tự, với tσ−1 ≤ t < tσ , x(t) ˙ = Aσ x(t), ta có: x(t) = exp [Aσ (t − tσ−1 )]x(tσ−1) = exp [Aσ (t − tσ−1 )] exp [Aσ−1(tσ−1 − tσ−2 )] · · · exp [A1(t1 − t0 )]x0 48 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn = exp [Aσ (t − tσ−1 )] exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1)x0 Từ suy ra: R = Φ(t0 + T, t0) = exp (Aσ ∆tσ ) exp (Aσ−1∆tσ−1) · · · exp (A1∆t1) 1 ln Φ(t0+T, t0)] = ln[exp (Aσ ∆tσ ) exp (Aσ−1∆tσ−1 ) exp (A1∆t1 ) T T Từ định lí Floquet ta suy định lý chứng minh Q= Hệ 3.2.2 Giả sử hệ (3.3) thỏa mãn điều kiện Ak Al = Al Ak , k = 1, σ; l = 1, , σ Khi hệ (3.3) ổn định mũ Q= T σ Ak ∆tk (3.6) k=1 ma trận Hurwitz Hơn nữa, ∆t1 = ∆t2 = = ∆tσ = T /σ hệ (3.3) ổn định mũ ma trận Q= σ σ Ak (3.7) k=1 ma trận Hurwitz Chứng minh Khi Ak Al giao hoán với k = 1, σ, l = 1, , σ từ (3.4) ta suy ra: σ Ak ∆tk R = exp k=1 Do ma trận Q (3.5) trở thành (3.6) Hơn nữa, ∆tk = T /σ với k = 1, σ, ma trận Q có dạng (3.7) 49 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn Cho trước ma trận A1 , A2, , Aσ ∆t1 , ∆t2, , ∆tσ ứng với hệ đó, ma trận R Q tính cách dễ dàng Do việc kiểm tra xem hệ chuyển mạch có ổn định hay khơng khơng phức tạp Tuy nhiên, cho trước tập ma trận A1 , A2, , Aσ khơng dễ dàng để xác định ∆t1, ∆t2, , ∆tσ cho R Schur Q Hurwitz Dưới hai trường hợp cận biên, tín hiệu chuyển mạch chậm nhanh, đề cập đến Trong trường hợp, ta rằng, tính ổn định mũ đạt giả thuyết nhẹ Định lý 3.2.3 Xét hệ (3.3) giả thiết ma trận A1 , A2, , Aσ Hurwitz Khi đó, tồn T > đủ lớn khoảng thời gian ∆t1 , ∆t2, , ∆tσ cho hệ (3.3) ổn định mũ Chứng minh Với k = 1, , σ, giả sử giá trị riêng ma trận Ak λk1 , λk2, , λkn xác định: αk = maxi=1, nRe {λki } Khi đó, với k = 1, , σ, tồn đa thức βk (∆tk ) cho: || exp (Ak ∆tk )|| ≤ βk (∆tk ) exp (αk ∆tk ) Với số nguyên r ≥ 0, xét: ||R||r = || exp (Aσ ∆tσ ) exp (Aσ−1∆tσ−1 ) · · · exp (A1∆t1 )||r ≤ || exp (Aσ ∆tσ )||r || exp (Aσ−1∆tσ−1)||r · · · || exp (A1∆t1)||r Từ suy ra: ||R||r ≤ [β1(∆t1)β2 (∆t2) · · · βσ (∆tσ )]r exp [(α1∆t1 + α2 ∆t2 + · · · + ασ ∆tσ )r] Theo giả thiết, tồn ma trận ma trận A1, A2, , Aσ Hurwitz nên số α1 , α2, , ασ có số âm Do 50 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hoàn tồn số T đủ lớn khoảng thời gian ∆t1, ∆t2, , ∆tσ cho: [β1(∆t1)β2(∆t2) · · · βσ (∆tσ )] exp (α1 ∆t1 + α2 ∆t2 + · · · + ασ ∆tσ ) < Khi đó: lim Rr = r→∞ Từ suy R Schur Áp dụng Định lí (3.2.1) suy hệ ổn định mũ Định lý 3.2.4 Xét hệ (3.3) giả sử A1η1 + A2η2 + · · · + Aσ ησ ma trận Hurwitz với η1 ≥ 0, η2 ≥ 0, , ησ ≥ cho η1 + η2 + · · · + ησ = Khi đó, tồn số T > đủ nhỏ khoảng thời gian ∆t1, ∆t2, , ∆tσ cho hệ (3.3) ổn định mũ Chứng minh Cho ∆t1 = η1T, ∆t2 = η2T, , ∆tσ = ησ T Khi với T đủ nhỏ ma trận Q= ln [exp (Aσ ∆tσ ) exp (Aσ−1∆tσ−1 ) · · · exp (A1∆t1 )] T biểu diễn sau: Q= ln [I + A1 ∆t1 + A2 ∆t2 + · · · + Aσ ∆tσ ] + O(T ) T = (A1η1 + A2 η2 + · · · + Aσ ησ ) + O(T ), O(T ) = lim T →0 T Từ giả thiết A1 η1 + A2η2 + · · · + Aσ ησ ma trận Hurwitz giá trị riêng ma trận phụ thuộc liên tục vào phần tử nên suy tồn số T > đủ nhỏ cho Q Hurwitz Áp dụng Định lý (3.2.1) suy hệ ổn định mũ 51 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn 3.3 Ví dụ Ví dụ 3.3.1 Xét hệ (3.3) với σ =     −6 −2 −5   , A2 =  A1 =  −25 Giả sử ∆t1 = ∆t2 = T /2 Các giá trị riêng A1 −1 ± i2, giá trị riêng A2 −3 ± i4 Mặc dù, A1 A2 ma trận Hurwitz A1 + A2 không ma trận Hurwitz Từ Định lý (3.2.3), với T đủ lớn, hệ ổn định mũ Môđun giá trị riêng R hàm T đồ thị thể nét gạch nét gạch chấm hình 3.1 Từ hình vẽ suy hệ không ổn định T = lại ổn định mũ T = Hình 3.2 quỹ đạo cho trường hợp Ví dụ minh họa cho trường hợp với quy luật chuyển mạch đó, hệ chuyển mạch không ổn định tất hệ ổn định tiệm cận minh họa cho Định lí (3.2.1) (3.2.3) Ví dụ 3.3.2 Xét hệ (3.3) với σ =     −3.5 2 −5   , A2 =  A1 =  1 Giả sử ∆t1 = ∆t2 = T /2 Các giá trị riêng A1 ± i2, giá trị riêng A2 0.5 −4 Mặc dù, A1 A2 không ma trận Hurwitz A1 + A2 lại ma trận Hurwitz Do từ Định lí (3.2.4), với T đủ nhỏ, hệ ổn định mũ Môđun giá trị riêng R hàm T đồ thị thể nét gạch nét gạch chấm hình 3.3 Từ hình vẽ suy hệ ổn định mũ T = không ổn định T = Hình 3.4 quỹ đạo cho trường hợp 52 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn Tóm lại, việc áp dụng lí thuyết Floquet, ta suy điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn ổn định mũ Ta rằng, hệ ổn định tiệm cận tồn quy luật chuyển mạch chậm để hệ ổn định mũ trung bình hệ ổn định tồn quy luật chuyển mạch nhanh để hệ ổn định mũ 53 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn 54 Kết luận Bản luận văn trình bày vấn đề sau: - Một số khái niệm hệ chuyển mạch: Khái niệm hệ chuyển mạch, dãy thời điểm chuyển mạch, dãy số chuyển mạch, tín hiệu chuyển mạch, nghiệm hệ chuyển mạch, tính ổn định khả ổn định hệ chuyển mạch - Tính ổn định hệ chuyển mạch phi tuyến hệ chuyển mạch tuyến tính chuyển mạch tùy ý Trong đó, trình bày điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch phi tuyến ổn định qua việc sử dụng hàm Lyapunov chung; mối liên hệ tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính, hệ bao hàm thức vi phân tuyến tính hệ bất định tuyến tính đa hộp; trình bày tiêu chuẩn đại số để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định - Tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn dựa vào lí thuyết Floquet cho hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hồn Hướng nghiên cứu luận văn: Nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch cho phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn 55 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] B Ingalls, E D Sontag, Y Wang (2003), An infinite - time relaxation theorem for differential inclusion, Pro Am Math SOC, 131(2), 99 - 487 [3] Cevat Gokcek (2004), Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory, Math Prob Engineering, (2004), - 10 [4] Z P Jiang, Y A Wang (2002), Conserve Lyapunov theorem for discrete-time systems with disturbances, Syst Control Lett, 45 (1), 49 - 59 [5] Y Lin, E D Sontag, Y Wang (1996), A smooth converse Lyapunov theorem for robust stability, SIAMJ Control optim, 34 (1), 60 - 124 [6] P Peleties and R A DeCarlo (1991), Asymptotic stability of mswitched systems using Lyapunov-like functions, Proc IEEE New Jersey, 14 (3), 1679 - 1684 [7] J W Polderman (2004), Stability of switched systems, Univ Twente [8] Zhendong Sun, Shuzhi Sam Ge (2011), Stability theory of switched dynamical systems, Springer - Verlag London [9] M Vidyasagar (1993), Nonlinear systems analysis, 2nd ed Eagle wood Cliffs: Prentice Hall 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Z Zahreddine (2003), Matrix measure and application on stability of matrices and interval dynamical system, Int J Math Math Sci, 2, 75 - 85 57