Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ VĂN HƯỞNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ VĂN HƯỞNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chun ngành: Giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Đào Thị Liên Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục MỞ ĐẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Hệ phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1. Hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính. 28 2.2. Hệ phương trình chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính và những ví dụ chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính . . 37 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . 46 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài tốn, chẳng hạn mơ tả hệ thống chuyển mạch của mạng điện, hệ thống mạng viễn thơng, đòi hỏi phải giải và xét tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân thường dạng: ˙x = f σ (x) (0.1) trong đó σ : R → {1, 2, , N} , N ∈ N, là tín hiệu chuyển mạch, x là tín hiệu trong R n , n ∈ N, cũng như hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính dạng: E σ ˙x = A σ x (0.2) trong đó E p , A p ∈ R n×n , là ma trận hằng với mỗi tham số p ∈ {1, 2, , N}, detE p = 0, σ là tín hiệu chuyển mạch. Khi mỗi ma trận E p là khả nghịch thì hệ (0.2) đưa về hệ chuyển mạch vi phân thường (0.1)(hoặc gọi tắt hệ chuyển mạch). Bài tốn về ổn định của hệ chuyển mạch đã nhận được rất nhiều sự chú ý của các nhà khoa học trong hai thập niên qua và nó đang là vấn đề mang tính thời sự. Có những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch mặc dù tất cả các hệ con ổn định nhưng hệ chuyển mạch vẫn khơng ổn định, cũng có những ví dụ chỉ ra rằng trong hệ chuyển mạch tất cả các hệ con ổn định thì hệ chuyển mạch ổn định nhưng tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch. Hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận với sự chuyển mạch tùy ý nếu và chỉ nếu các hệ con có chung một hàm Lyapunov thích hợp. Năm 1892 A. M. Lyapunov (1857-1918) nhà tốn học người Nga đã giải quyết bài tốn ổn định bằng hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 thứ hai của Lyapunov). Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận văn là phương pháp hàm Lyapunov. Vấn đề đặt ra là ta cần phát triển đầy đủ các điều kiện đảm bảo sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số trên cơ sở tồn tại hàm Lyapunov thích hợp. Nội dung chính của bản luận văn này là dựa trên kết quả trong bài báo “ On stability of linear switched differential algebraic equations” của tác giả D. Liberzon and S. Trenn, trong đó đã nêu được các điều kiện đủ về sự ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số và vai trò của hàm Lyapunov thích hợp đối với hệ chuyển mạch vi phân đại số. Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Các kiến thức cơ sở Nội dung chương này là trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân đại số, các kiến thức mở đầu về hệ chuyển mạch. Chương 2. Trình bày tóm tắt các kết quả về chuyển mạch vi phân đại số hệ số hằng, đưa ra một số ví dụ minh họa cho bài tốn ổn định và khơng ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số, nghiên cứu tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Ngun. Qua đây tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phòng Quản lý Sau Đại học nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Đào Thị Liên, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn. Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, tháng 8 năm 2013 Tác giả Tạ Văn Hưởng Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1. Hệ phương trình vi phân thường 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE)là hệ phương trình dạng dy i dt = f j (t, y 1 , y 2 , , y n ), (j = 1, 2, , m) (1.1) trong đó t là biến độc lập; y 1 , y 2 , , y n là các hàm cần tìm; f j là các hàm xác định trong bán trụ T = I t + × D y , I t + = {t 0 < t < ∞} và D y là miền mở thuộc R 2 ; m có thể khác hoặc bằng n. Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng            dy 1 dt = a 11 (t)y 1 + a 12 (t)y 2 + + a 1n (t)y n + f 1 (t) dy 2 dt = a 21 (t)y 1 + a 22 (t)y 2 + + a 2n (t)y n + f 2 (t) dy n dt = a n1 (t)y 1 + a n2 (t)y 2 + + a nn (t)y n + f n (t) (1.2) trong đó t là biến độc lập; y 1 (t), , y n (t) là các hàm cần tìm, các hàm a ij và f i (t) lần lượt gọi là các hệ số và hệ số tự do và chúng được giả thiết là liên tục trên khoảng I = (a, b) nào đó. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Dùng kí hiệu ma trận có thể viết hệ (1.2) dưới dạng thu gọn dY dt = A(t)Y + F (t (1.3) trong đó A(t) = (a ij (t)) là ma trận cấp n × n, F (t) = (f 1 (t), , f n (t)) T là vector cột. Nếu F(t) ≡ 0 ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, nếu F (t) = 0 ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính khơng thuần nhất. Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) của hệ dY dt = F (t, Y ) (1.4) trong đó Y = colon(y 1 , y 2 , , y n ) F (t, Y ) = colon (f 1 (t, Y ), , f n (t, Y )) dY dt = colon( dy 1 dt , , dy n dt ) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞(hay ổn định Lya- punov) nếu với mọi ε > 0 và t 0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(ε, t 0 ) > 0 sao cho 1. Tất cả các nghiệm Y = Y (t) của hệ (1.4)(bao gồm cả nghiệm Z(t)) thỏa mãn điều kiện Y (t 0 ) − Z(t 0 ) < δ (1.5) xác định trong khoảng [t 0 , +∞) tức là Y (t) ∈ D y khi t ∈ [t 0 , +∞) 2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn Y (t) − Z(t) < ε khi t 0 ≤ t < ∞. (1.6) Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu 1. Ổn định Lyapunov. 2. Với mọi t 0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm Y (t), (t 0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t 0 ) − Z(t 0 ) < δ thì lim t→∞ Y (t) − Z(t) = 0 (1.7) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 1.1.2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) trong đó ma trận A(t) và vector F (t) liên tục trên khoảng (a,∞). Giả sử X(t) = [x ij (t)] (det X = 0) (1.8) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng dY dt = A(t)Y (1.9) tức là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.9)      X (1) (t) = colon (x 11 (t), , x n1 (t)) X (n) (t) = colon (x 1n (t), , x nn (t)) Nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa tại t = t 0 , tức là X(t 0 ) = I n , thì Y (t) = X(t)Y (t 0 ) (1.10) Định nghĩa 1.1.5. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định(hoặc khơng ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y (t) của nó ổn định (hoặc khơng ổn định) Lyapunov khi t → +∞. Định nghĩa 1.1.6. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t → +∞. Định lý 1.1.7. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự do bất kì F (t) là nghiệm tầm thường Y 0 ≡ 0 (t 0 < t < ∞, t 0 ∈ (a, ∞)) của hệ thuần nhất tương ứng (1.9) ổn định. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 Định lý 1.1.8. Hệ phương trình vi phân tuyến (1.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường Y 0 ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.9) ổn định tiệm cận khi t → +∞. Xét hệ vi phân tuyến tính (1.9), trong đó A(t) liên tục trong khoảng(a, ∞). Định lý 1.1.9. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) ổn định Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm Y = Y (t) (t 0 ≤ t < ∞) của hệ đó bị chặn trên nửa trục t 0 ≤ t < ∞. Định lý 1.1.10. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y (t) dần tới khơng khi t → +∞, tức là lim t→∞ Y (t) = 0 (1.11) Định lý 1.1.11. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) với ma trận hằng ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λ i = λ i (A) của đều có phần thực khơng dương Reλ i (A) ≤ 0 (i = 1, 2, , n) Định lý 1.1.12. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.9) với ma trận hằng ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λ i = λ i (A) của A đều có phần thực âm, tức là Reλ i (A) < 0 (i = 1, 2, , n) 1.2. Hệ phương trình vi phân đại số 1.2.1.Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.2.1. Cho P ∈ L(R n ). P được gọi là một phép chiếu nếu P 2 = P . Nhận xét 1.2.2. 1. Cho P là phép chiếu. Khi đó ta có KerP ⊕ ImP = R n . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tuyến tính và những ví dụ chuyển động Với hệ chuyển mạch vi phân thường (ODE) ta đã biết những ví dụ về hệ chuyển mạch khơng ổn định Vì vậy những ví dụ này là cũng khơng ổn định đối với hệ chuyển mạch vi phân đại số (Vì hệ chuyển mạch vi phân thường là trường hợp đặc biệt của hệ chuyển mạch vi phân đại số) Sau đây chúng ta đưa ra những ví dụ của hệ chuyển mạch vi phân đại số Với tất cả các ví dụ chúng... phần: hệ phương trình vi phân thường (ODE) cho bởi y = Jy và phần hệ phương trình vi phân đại ˙ số (DAE) cho bởi N z = z và trong đó hệ phương trình vi phân đại số chỉ ˙ có nghiệm z = 0 Do đó nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số chính quy được cho bởi hệ phương trình vi phân thường (ODE),y = Jy kết hợp với phép chuyển ˙ y đổi x = T 0 2.2 Hệ phương trình chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính và... chỉ số ổn định Lyapunov http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 28 Chương 2 Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính 2.1 Hàm Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân đại số (DAE) Ex = Ax ˙ (2.1) trong đó (E, A) ∈ Rn×n × Rn×n là chính quy, tức det(Es − A) = 0 Mỗi nghiệm của hệ phương trình (2.1) là một hàm khả vi x : R → Rn thỏa mãn phương trình (2.1) Định. .. hạn của cặp ma trận (A, B) có phần thực âm Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 1.2.3 Sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau A(t)x (t) + B(t)x(t) = 0 (1.24) trong đó x : I → Rn , A, B ∈ L(Rn ), det A = 0 Rõ ràng, hệ (1.24) có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 1.2.3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Giả sử hệ. .. 1.1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Định nghĩa 1.2.16 Phương trình vi phân đại số tuyến tính (DAEs) là phương trình có dạng A(t)x (t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ (−∞; +∞) (1.12) trong đó A(t) B(t) ∈ C(I, L(Rn )), q(t) liên tục trên I , detA(t) = 0 với ∀t ∈ I Trường hợp A, B ∈ L (Rn ) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số với hệ số hằng Định nghĩa 1.2.17 Phương trình vi phân đại số tuyến. .. là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại hàm Lyapunov V : Rn → R≥0 của hệ phương trình (2.1) Nhận xét 2.6.[8] Định nghĩa về hàm Lyapunov ở trên có vẻ khơng thỏa đáng vì nó khơng nói rõ làm thế nào để định nghĩa này có thể khái qt hóa thành hệ chuyển mạch vi phân đại số hoặc hệ phương trình vi phân đại số phi tuyến Có thể nói rằng định nghĩa 2.3 chỉ đủ để xác định hàm V Đối với hệ chuyển mạch vi phân. .. phương trình vi phân đại số (2.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu x(t) → 0 khi t → ∞ với mọi nghiệm x của hệ phương trình (2.1) Chú ý rằng sự hút về nghiệm 0 kéo theo sự hút và sự ổn định theo nghĩa Lyapunov đối với mọi nghiệm của (2.1), [14] Định lý sau chứng minh mối quan hệ sự ổn định tiệm cận của (2.1) với sự tồn tai của hàm Lyapunov Định lý 2.5.[8] Hệ phương trình vi phân đại số DAE (2.1) với cặp... cứu tính ổn định của nghiệm của hệ (1.27) Để ngắn gọn, ta sẽ nói hệ (1.26) là ổn định thay vào nói nghiệm z(t) = 0 của hệ là ổn định Giả sử (1.26) có nghiệm 0 Khi đó ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.3.14 Hệ( 1.26) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số β > 0, α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.26) với x(t0 ) = x0 thoả mãn x(t) ≤ βe−α(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 (1.28) Khi đó β được gọi là hệ số ổn định. .. t0 ≥ 0, x(t0 ) − xeq ≤ c Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 thậm chí nếu tất cả fq , q ∈ P là ổn định thì hệ chuyển mạch có thể khơng ổn định 3 Khi các hệ con ổn định nhưng hệ vẫn khơng ổn định và sự ổn định con tùy thuộc vào tín hiệu chuyển mạch ban đầu Dưới đây là hình 1.2 minh họa khi tín hiệu thay đổi thì hệ là khơng ổn định với tín hiệu chuyển mạch 1 với x1 x2 ≤ 0 ban... T2 ) Do đó hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính được hiệu chỉnh bởi một hệ phương trình vi phân vơ hướng cơ sở y = −y , cụ thể tất cả phương trình ˙ (DAEs) là ổn định tiệm cận Hơn nữa dễ dàng thấy rằng V : R2 → R≥0 x → xT x được giới hạn trong khơng gian tương thích tương ứng là một hàm Lyapunov đối với cả hệ con Mặc dù vậy hệ chuyển mạch cũng khơng ổn định dưới sự chuyển mạch (đảo mạch) tùy ý . hằng, đưa ra một số ví dụ minh họa cho bài tốn ổn định và khơng ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số, nghiên cứu tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính. Số hóa bởi trung. equations” của tác giả D. Liberzon and S. Trenn, trong đó đã nêu được các điều kiện đủ về sự ổn định cho hệ chuyển mạch vi phân đại số, tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số và vai trò của. vi phân đại số tuyến tính. 28 2.2. Hệ phương trình chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính và những ví dụ chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Sự ổn định của hệ chuyển