Luận văn thạc sĩ khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I Q U Á C H TH Ị T H U H U Y E N KHAI TR IỂN MỘT HÀM T H À N H TỎ NG VÔ H Ạ N HOẶC TÍCH VÔ H Ạ N VÀ M ỘT s ố Ứ NG D Ụ N G L U Ậ N V Ă N TH Ạ C s ĩ T O Á N HỌC C huyên ngành: Toán giải tích M ã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS B ùi K iên Cường H À N Ộ I, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Qua xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu toàn thể thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Quách Thị Thu H uyền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, luận văn: K h a i tr i ể n m ộ t h m thành tổng vô hạn tích vô hạn m ộ t số ứng dụng công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Quách Thị Thu H uyền M ục lục M đầu, Chương M ột số ứng dụng tổn g vô hạn tích vô hạn 33 21 Phương trình vi phân thường cấp 211 Các điểm kì dị phương tr ìn h vi p h â n thư ờng cấp 2 Nghiệm tro n g m ột lân cận điểm thư ờng 33 33 34 ứng dụng tổng vô hạn việc tìm nghiệm số phương trình vi phân thường 39 Nghiệm tro n g lân cận m ột điếm kì dị 39 Nghiệm quy Điếm kì dị quy 45 2.2.3 P h n g p h p Frobenius 51 2.3 Khai triển hàm qua tích vô hạn 54 2.4 Khai triển tiệm cận 2.4.1 Mở đ ầ u khai triể n tiệm cận 2.4.2 K hai triể n tiệm cận tích p h â n Laplace, Bổ đề W atson K ết luận Tài liệu tham khảo M đầu Lý chọn đề tài Trong giải tích cổ điển, bên cạnh lý thuyết tổng vô hạn hay gọi chuỗi số, đối tượng khác quan tâm nghiên cứu, tích vô hạn Cũng tương tự chuỗi, người ta quan tâm đến việc biểu diễn hàm cho tích vô hạn Nhờ việc biểu diễn hàm qua tổng vô hạn tích vô hạn, số kiểu phương trình vi phân thường tìm biểu diễn nghiệm, đặc biệt nghiệm kỳ dị chúng Nhằm tìm hiểu sâu ứng dụng lý thuyết chuỗi tổng vô hạn lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị số lớp phương trình vi phân, hướng dẫn T S B ùi kiên Cường, chọn đề tài nghiên cứu: K h a i tr i ể n m ộ t h m thành tổng vô hạn tích vô hạn m ộ t số ứng dụng để thực luận văn tốt nghiệp thạc sĩ M ục đích nghiên cứu Biểu diễn số hàm qua tích vô hạn ứng dụng tìm nghiệm kỳ dị số phương trình vi phân thường N hiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết tích vô hạn việc khai triển hàm thành tổng tích vô hạn; • Nghiên cứu ứng dụng việc khai triển hàm thành tổng vô hạn việc tìm nghiệm kỳ kị số phương trình vi phân Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu • Một số đa thức: Bernoulli, Euler, tích vô hạn, khai triển tiệm cận giải tích cổ điển; • Nghiệm số phương trình vi phân thường cấp có sử dụng hàm đặc biệt Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Những đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tổng quan biểu diễn hàm qua tổng vô hạn tích vô hạn số ứng dụng việc giải số kiểu phương trình vi phân thường cấp 2 Chương Tổng vô hạn tích vô hạn 1.1 Tổng vô hạn tích vô hạn Mục trình bày dựa theo tài liệu [4J 1.1.1 Tổng vô hạn Cho dãy số {a„}“=1, ta định nghĩa dãy {s„}“=1, gồm tổng riêng 00 sn = d ị + Ũ + ■■ ■ + an Tổng vô hạn hình thức 00 Ta nói rằng, chuỗi an gọi chuỗi n= an hội tụ tới giới hạn s dãy tổng riêng 71=1 {sn}~ ! hội tụ tới s Ta biết rằng, tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy số phát biểu rằng: Một dãy số hội tụ dãy (dãy Cauchy) Áp dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy cho dãy tổng riêng {Sn}£°=i ta có tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi sau: oo Đ ịnh lý 1.1.1 Chuỗi Y2 an hội tụ với e > tồn n= NẼG N* cho m > n > NẼ ta có Ian + an+1 + ■■■+ amI < € oo Hơn nữa, từ định lí ta suy chuỗi Y2 an hội tụ n= lim an = Tuy nhiên điều ngược lại không Chẳng hạn, chuỗi “ 1 điều hòa — phân kì lim an = lim —= n —>00 n=l n n -> o o n -> o o n 00 Ta thấy rằng, chuỗi 71=1 N IA — £ a n| < e E N 00 «71 = A ữn = A— 71 = JV + «711 < a n- Do đó, 71=1 € 71=JV+1 Sử dụng chuỗi Taylor ta có công thức khai triển thành tổng vô n=1 hạn số hàm sơ cấp đây: 00 „71 (1.1.1) «* = Ẽ £ 71=0 (1.1.2) ! z = Í az'1’ IZ I < 71=0 00 ( 1\ 71 271+1 sinz = y " V , V zeC , ^ 2n + 1)! 71=0 v ’ ’ 00 1^71„271 (1.1.3) ị (1.1.4) ™SZ = E ( ¿ Ị V* e C ' 71=0 ' _°° (_-\ 'sn 71 log(l + = J2 M < 1, n=1 00 „71 iog(i - * ) = £ - , \z\< i z) (1.1.5) (1.1.6) Ta có số kết tính hội tụ tổng vô hạn sau 00 Đ ịnh lý 1.1.2 Cho hai dãy số phức {an}“=0 {bn}^=0 Nếu Ỵ2 Ian n= 00 hội tụ {bn} bị chặn chuỗi Y2 anbn hội tụ n=0 00 00 Ta nói chuỗi Y2 an hội tụ tuyệt đối chuỗi Y2 \an\ hội 71 = 71 = tụ oo oo Đ ịnh lý 1.1.3 Nếu Y2 an chuỗi số phức chuỗi Y2 Ian 00 hội tụ chuỗi n=0 n= an hội tụ 71 = Điều ngược lại định lí không đúng, chẳng hạn xét chuỗi Ẽ ( - )" n= , chuỗi chuỗi đan dấu hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz, ^ 00 ( - 1)' nhiên chuỗi n 71 = 00 = ~ phân kì 71=1 ^ Đ ịnh lý 1.1.4 Giả sử amn € [0,oo) với (m , n ) € N X N ệ : N —> N X N ỉà song ánh Với ngầm hiểu chuỗi số thực không ăm hội tụ đến 00 không hội tụ đến số thực, ta có 00 00 71= 771= 00 771= 00 00 71= fc=l Đ ịnh lý 1.1.5 Giả sửcm n € c với (m, n) e N x N ệ : N ^ N x N ỉà song ánh Nếu ba tổng sau 00 00 00 00 00 Ia 71= 771 = 771= 71= ệ{k) I fc= l hội tụ tổng sau hội tụ tuyệt đối có tổng 00 00 00 00 00 Qệ(fc) ■ 71= 771= 771= 71= fc= l 1.1.2 Tích vô hạn Trong mục này, trình bày khái niệm toán hội tụ tích vô hạn, đặc biệt trình bày điều kiện hội tụ tuyệt đối Tích vô hạn 00 JỊ«n= ■■■ (1.1.7) 71=1 gọi hội tụ tồn m cho Vn > m , u n Ỷ 0; tích riêng pn = um+1u m + ■■-un, n> m (1.1.8) tử Thật vậy, Co = dữ{p — P2) C1, C 2, , cm_ xác định (2.2.47) chứa thừa số dạng (p —p2), ta có {ci)p=p2 — {c2)p= p2 {Ọm-Ì)p=p2 O- (2.2.56) Nhưng {cm)p=p2 số bất kì, hệ số cm (2.2.47) n = m để xác định cm fo(p + ra) = (p + m —Pi)(p + m — p2) = (p - p2){p + m - p2) hay chứa (p - p2) Dãy (cn)p=p2,n > biểu diễn qua số hạng dãy (cm)p=p2; mối liên hệ thu hoàn toàn giống (cn)p=Pl Co (w)p=Pl Do đó, {w)p=p2 (w)p=Pl không độc lập tuyến tính Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính (w)p=Pl ( \ = ( 00 / 00 \ l n z ^ £ ( c „)(, flz” + z - £ ( ^ ) n =m n=0 ' ^ ' (2.2.57) p-p Ta thấy số hạng thứ (2.2.57) khác với Wị(z) ln z nhân tử số, hệ số công thức truy hồi hai chuỗi trùng Ta ý Co = c'(p —p2) hàm p có đạo hàm khác không trừ Cq D o đó, chuỗi thứ hai vế phải (2.2.57) n = trái với (2.2.52) 2.3 Khai triển hàm qua tích vô hạn Một hàm giải tích toàn mặt phẳng gọi hàm nguyên, chẳng hạn đa thức sin z, cos Z , e z , Nếu hàm nguyên hàm giải tích oo áp dụng định lí Liouville hàm phải số Trường hợp tổng quát, điểm 54 00 cực điểm hàm nguyên, chẳng hạn, trường hợp đa thức trường hợp kì dị thiết yếu hàm e*,sin z , Trong đại số, ta thường biểu diễn đa thức qua tích thừa số nguyên tố Tương tự, với hàm nguyên, ta biểu diễn tích thế, nhiên, tích vô hạn không điểm hàm vô hạn, chẳng hạn, sin z, cos z , Đ ịnh lý 2.3.1 Giả sử f ( z) hàm nguyên với không điểm a1, a2, không 0, lim an = 00 Giả sử tồn dẫy n —>oo chu tuyến { Cm} cho chu tuyến \f'{z)/f(z)\ < M , M ỉà số dương không phụ thuộc vào m Khi đó, f(z) khai triển dạng tích vô hạn: f{z) = / ( 0)e/,(0)//(0) " f [ Ị ị ( - — e*/a" (2.3.1) thừa số (1 —z / a n)ez/an điểm z = an gọi thừa số nguyên tố hàm nguyên f{z) Chứng m inh Đặt F ( z ) = f ' { z ) / f ( z ) , điểm z = an, f ( z) = (z - an) f ' ( an) + f " K ) H -, ĩ ' { z ) = f'(an) + { z - an)f"(an) H -, f'(an) Ỷ 0- Từ đó, F(z) = f'(z) f{z) z - ari V^K) = 1, tức là, an,n = 1, 2, cực điểm đơn F(z) với thặng dư điểm F(z) giải tích Do đó, F(z) hàm phân 55 hình Vì F( z ) thỏa mãn điều kiện (1.4.8), nên ta khai triển theo phân thức hữu tỉ: ™ = ™) + Ẻ { ; ^ ; + Ì } 71= tức fí f_M _ Ỉ M f{z) /(0 ) ^ I\z -a n Ian /Ị Chuỗi vế phải hội tụ đều, nên ta nhân phương trình với dz lấy tích phân từ tới z, thu (|2.3■lị) ■ □ V í dụ 2.3.1 Khai triển thành tích vô hạn hàm sinz Khi = không điểm sinz, ta áp dụng trực tiếp định lí 2.3.1 Xét hàm f ( z) = sin z / z có tất không điểm z = ±n7ĩ,n = 1, 2, , tất không điểm đơn Bây giờ, f ' { z ) / f ( z) = cot z —l / z ta Ví dụ 1.4.3 hàm thỏa mãn điều kiện phát biểu khai triển (2.3.1) Do đó, ta khai triển sin z / z theo tích vô hạn: s m z = ĨT j ( l z 7i1A=1 L V z ) e ^ oo Vì (2.3.2) 717T/ 00 / \ f 2J 1 - nzĩĩz 71=1 k = n (2.3.3) ^2 n =1 ri Tĩ2 hội tụ tuyệt đối, tích vô hạn hội tụ tuyệt đối Ta nhận thấy rằng, việc khai triển hàm thành tích vô hạn không hạn chế trường hợp mà không điểm hàm số không điểm đơn Giả sử an không điểm f(z) có cấp m n Khi 56 m , thặng dư tương /(* ) ứng mn Do đó, điều kiện khác thỏa mãn, ta có an cực điểm đơn hàm F( z ) thể khai triển thành tích vô hạn f ( z ) cách áp dụng (1.4.8), cụ thể ' f ( z ) = /(0 )e 00 ( / \ n 1- n=1 ^ m" e"*" \ , J (2.3.4) thừa số nguyên tố chứa an xuất m n lần Biểu diễn hàm qua tích vô hạn không hạn chế hàm nguyên Một hàm phân hình f(z) khai triển thành tích vô hạn hàm phân hình hiểu thương hai hàm nguyên Để biểu diễn hàm phân thương hai hàm nguyên, ta thực theo trình sau: đặt G(z) hàm nguyên mà toàn không điểm cực điểm f{z) Khi hàm tích f ( z) G( z) điểm kì dị miền hữu hạn, nên hàm tích hàm nguyên Đặt Gi(z) = f(z)G(z), f(z) = Gi (z)/ G(z) Ta có định lí VVeierstrass phân tích thành thừa số nguyên tố Đ ịnh lý 2.3.2 (VVeierstrass) Giả sử f ( z) điểm kì dị cốt yếu miền hữu hạn Ký hiệu không điểm cực điểm ỉà CL\ , Ũ2Ị Ị0 < 10,11 < 10,21 < ■■■ Khi f(z) khai triển thành tích vô hạn có dạng: /(z ) = / ( ) e ° w f [ { ( l - - T ) n=l L v anJ (2.3.5) G(z) hàm nguyên với G(0) = 0]gn{z) đa thức chọn phù hợp cho đa thức gn(z) làm cho tích vô hạn hội tụ tuyệt đối 57 miền hữu hạn nào, ngoại trừ cực điểm f(z), m n ỉà bậc không điểm cực điểm an;mn ỉà ăm an ỉà cực điểm Chứng m inh Trước tiên ta chứng tỏ rằng, đa thức gn{z) tìm cho tích vô hạn (2.3.5) hội tụ với z không cực điểm Theo Định l ỷ Ịl.l.iol điều tương đương với việc chứng tỏ chuỗi ¿ l n { ( l - z / a n)e9^z)} m71=1 hội tụ z không cực điểm, số hạng tổng quát chuỗi =In{í1■ e’"w} =m "{Iní1-£)+ £ ) 00 / s= \ s 7s \ a- HnJ ì +9n(z)} Nếu ta lấy fc n -l 9n{z) / \ s (2.3.6) z s= s va, kn số nguyên > xác định, ta có oo / -1 Ễ ỉ \ s s T kn ar oo Q"n s=_ n0 Qn Đặt K số nguyên dương 1^1 < K Vì an —>• oo, nên tồn N cho \an\ < 2K, Vn > N \za M < K \an\ < - Do đó, n > N I\un\I < 2|mn||^-| ni™ uK ikn 58 Bây giờ, ta chọn kn số nguyên dương nhỏ cho l'Uni < bn 00 bn chuỗi hội tụ với số hạng không âm, chẳng hạn 71=1 bn = 2~n Khi chuỗi Y^ian hội tụ mà hội tụ tuyệt đối với \z\ < K trừ cực điểm Vì vậy, với gn(z) chọn, tích vô hạn (2.3.5) hội tụ tuyệt đối Nếu ta đặt f ( z ) / F ( z ) = Gị(z) hàm nguyên mà không điểm, G\ ( z) / Gi ( z) hàm nguyên Kí hiệu G'2(z) = G\ ( z) / Gi ( z) ta có Gi(z) = CeG2^ , c số Do đó, f {z) = CeG^z) nI I ■ Khi z = 0, tích vô hạn vế phải Do /(0 ) = C f {z) = n I ^1 - — ^ điều chứng minh (2.3.5) với G(z) = Gi { z) —Ơ2(0) e I □ 2.4 Khai triển tiệm cận 2.4.1 M đầu khai triển tiệm cận Ta biết rằng, việc khai triển tiệm cận hàm theo nghĩa thông thường việc biểu diễn xấp xỉ hàm với giá trị lớn đối số (argument) hàm tham số Trong trường hợp tổng quát, khai triển tiệm cận không hạn chế trường hợp đối số tham số lớn Trong mục này, trình bày Bổ đề VVatson cho khai triển 59 tiệm cận hàm biểu diễn nhờ tích phân mà ta gọi tích phân Laplace Giả sử f ( z ) hàm giải tích vô cực, hàm f ( z ) khai triển dạng chuỗi Talor với số mũ z giảm dần: f (z ) = c0 + Ciz_1 + C2Z~2 H -, cn = /(")(oo)/n! Mức độ xấp xỉ cải tiến vô thời hạn số hạng vế phải lấy đủ lớn Trong trường hợp tổng quát, ta tìm chuỗi không thiết hội tụ A q + A\Z + A 0, điều thỏa mãn \z\ > b C S C ổ Điều chứng minh (Ị2.4.18Ị) □ Bổ đề VVatson mở rộng tới dạng tích phân chu tuyến (0 +) f ( z) = Ị e~ztíp(t)dt < argt < 2ĩĩ, Lấy tích phân đường \argZị \ < ố, ố > (2.4.19) c (hình đây) Khi t —>• oo, íp(t) = ( e bt), b thực t —> 0, ta có N M *) - ỵ2ữntK\=°(lí lAiV)^ 71 = 66 < Ai < A2 < • ■■ Dưới điều kiện đó, ta có công thức khai triển tiệm cận: (0+) Ị e~zt(fi(t)dt ~ f ( z) = í an^{ An) sin An?r • eiKlĩ Z~K ”=1 \z\ —> 00, |ar[...]... na, chỳng ta cũn cú cụng thc tng cho mt s hm: T (1.2.3) ta cng thu c cụng thc khai trin i vi hm cot : t t it B e / 2 + e ~ it! 2 I I