Logic mệnh đề trong một số bài toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hoàng Phương Thúy LOGIC MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hoàng Phương Thúy LOGIC MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em nhận quan tâm, động viên, khích lệ thầy cô tổ Đại số nói riêng thầy cô khoa Toán trường đại học Sư phạm Hà Nội nói chung, với hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tận tình giúp đỡ em năm học vừa qua tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo ThS Dương Thị Luyến tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Hoàng Phương Thúy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn cô giáo ThS Dương Thị Luyến với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu tham khảo kế thừa thành nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Tôi xin cam đoan nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Hoàng Phương Thúy Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu 1 Logic mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2 Các phép toán logic mệnh đề 1.2.1 Phép phủ định 1.2.2 Phép hội 1.2.3 Phép tuyển 1.2.4 Phép kéo theo 1.2.5 Phép tương đương 1.3 Công thức logic mệnh đề 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Sự tương đương logic hai công thức 1.3.3 Những đẳng thức 1.4 Phép biến đổi công thức 11 1.5 Các mệnh đề liên hợp 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy 1.5.1 Các mệnh đề liên hợp 12 1.5.2 Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ 13 1.6 1.7 Luật logic mệnh đề 13 1.6.1 Định nghĩa 13 1.6.2 Một số luật quan trọng logic mệnh đề 14 1.6.3 Liên hệ đẳng thức luật 16 Hệ logic qui tắc suy luận 17 1.7.1 Định nghĩa 18 1.7.2 Luật qui tắc suy luận 18 1.7.3 Một số qui tắc suy luận thường vận dụng suy luận toán học 19 1.8 Logic vị từ 22 1.8.1 Vị từ (hay hàm mệnh đề) 22 1.8.2 Các phép toán logic vị từ - 24 1.8.3 Lượng từ 27 1.8.4 Qui tắc suy luận logic vị từ 28 Suy luận chứng minh 2.1 2.2 29 Suy luận 29 2.1.1 Khái niệm 29 2.1.2 Hai kiểu suy luận 29 Chứng minh 30 2.2.1 Khái niệm 30 2.2.2 Kết cấu chứng minh 31 2.2.3 Các phương pháp chứng minh toán học 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Các yếu tố logic số vấn đề Toán học phổ thông 35 3.1 Yếu tố logic định nghĩa Toán học 35 3.2 Yếu tố logic định lí Toán học 36 3.3 Yếu tố logic đẳng thức bất đẳng thức 36 3.4 Yếu tố logic phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình 37 3.5 Các yếu tố logic số toán chứng minh phổ thông 39 3.6 Những sai lầm thường gặp chứng minh 45 3.6.1 Sai lầm suy luận không hợp logic 46 3.6.2 Dựa vào tiền đề sai tiền đề chưa chứng minh, dựa vào điều không với giả thiết 48 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Lời mở đầu Logic mệnh đề với qui tắc suy luận logic có vai trò quan trọng Toán học nói chung môn Toán phổ thông nói riêng Việc sử dụng logic mệnh đề qui tắc suy luận logic giúp người học không nắm vững kiến thức, hiểu rõ chất vấn đề mà rèn luyện khả tư Toán học Vận dụng logic mệnh đề người học dễ dàng suy luận, chứng minh, giải toán cách đắn, xác hạn chế việc mắc sai lầm giải Vai trò logic mệnh đề đánh giá cao phát triển tư cho người, hoạt động nhận thức khoa học hoạt động nhận thức khác đời sống Do em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Logic mệnh đề số toán phổ thông" Khóa luận gồm ba chương Chương "Logic mệnh đề" trình bày số khái niệm, công thức, luật qui tắc suy luận logic mệnh đề Chương "Suy luận chứng minh" trình bày số khái niệm, tìm hiểu chứng minh kết cấu chứng minh, phương pháp chứng minh toán học thường dùng Chương "Các yếu tố logic số toán phổ thông" vận dụng logic mệnh đề để phân tích số định nghĩa, định lí, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, phân tích suy luận, số toán chứng minh phổ thông, đưa số sai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy lầm thường gặp chứng minh Tác giả luận văn xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng tới ThS Dương Thị Luyến tận tình hướng dẫn, bảo tác giả trình nghiên cứu, đọc tài liệu, góp ý chi tiết cách trình bày số kết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô giáo tổ Đại số tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập thực khóa luận Mặc dù cố gắng nhiều hạn chế lực, khả tự nghiên cứu thân nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Vậy kính mong quý thầy cô bạn xem xét, góp ý để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Hoàng Phương Thúy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Chương Logic mệnh đề 1.1 Mệnh đề Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề khái niệm nguyên thủy không định nghĩa Những câu phản ánh hay sai thực tế khách quan coi mệnh đề Ví dụ: "Số 30 chia hết cho 4" mệnh đề sai "Tam giác có góc nhọn tam giác nhọn" mệnh đề Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán nói chung câu không nhằm phản ánh tính sai thực tế khách quan không coi mệnh đề Ví dụ: Các câu sau không mệnh đề: "Số 15 có phải hợp số không?" "Hãy xác định trung bình cộng 7." "Số tự nhiên n số nguyên tố." "Căn phòng đẹp quá!" Ta thừa nhận rằng: Mỗi mệnh đề sai, mệnh đề không mà không sai, mệnh đề Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Phân tích: Ta thấy định lí mệnh đề phổ dụng có cấu trúc sau: Với phép tịnh tiến x, x biến điểm thẳng hàng thành điểm phân biệt ảnh x điểm thẳng hàng thứ tự Gọi P (x) Q(x) hàm mệnh đề P (x): "x biến điểm thẳng hàng thành điểm phân biệt" Q(x): "3 ảnh điểm phân biệt qua x điểm thẳng hàng thứ tự" Định lí có dạng: ∀x ∈ X, (P (x) ⇒ Q (x)) Trong X tập tất phép tịnh tiến Phân tích chứng minh định lí ta thấy chứng minh gồm bước suy luận sau: Suy luận Luận Luận chứng Suy luận A1 Định lí: "Nếu phép tịnh tiến biến điểm M, N thành M , N M N = M N " A2 Phép tịnh tiến biến A, B, C thành A , B , C A B = AB A3 A C = AC B C = BC 40 p ⇒ q, p q Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Suy luận A4 A, B, C thẳng hàng B nằm A C hay B thuộc đoạn AC p ⇒ q, p q A5 điểm thuộc đoạn thẳng chia đoạn thẳng thành đoạn thẳng nhỏ A6 AB + BC = AC A B = AB p, q p∧q Suy luận A3 A C = AC B C = BC A6 AB + BC = AC A7 A B + B C = A C Suy luận A8 Nếu đoạn thẳng nối điểm có đoạn thẳng p ⇒ q, p q tổng đoạn điểm thẳng hàng A7 A B + B C = A C A9 điểm A , B , C thẳng hàng B nằm A C Suy luận A4 ⇒ A6 p ⇒ p1 A6 ⇒ A7 p1 ⇒ p2 A7 ⇒ A9 p2 ⇒ p3 A4 ⇒ A9 p ⇒ p3 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Ví dụ 3.5.2 Chứng minh rằng: ∀n ∈ N∗ : n3 − n chia hết cho (SGK Đại số giải tích Cơ lớp 11, trang 81) Chứng minh 3.5.2 ∀n ∈ N∗ P (n): "n3 − n 3" Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp Với n = ta có n3 − n = − = tức P (1) Giả sử P (k) tức k − k Ta phải chứng minh P (k + 1) hay phải chứng minh: M = (k + 1)3 − (k + 1) Ta có: M = k + 3k + 3k + − k − = k + 3k + 2k = k − k + k + k Vậy ∀n ∈ N∗ : n3 − n chia hết cho Phân tích Bài toán viết dạng mệnh đề phổ dụng: ∀ P (n), đó: P (n): "n3 − n 3" n>0 Thông thường để chứng minh mệnh đề có dạng sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp Phương pháp chứng minh qui nạp tiến hành theo bước Cụ thể toán bước sau: • Bước Chứng minh P (1) Suy luận Luận Luận chứng Suy luận A1 n = A2 M = n3 − n A3 A4 M (1) hay P (1) 42 p, q, r p∧q∧r Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy • Bước Giả sử P (k) đúng, ta chứng minh P (k + 1) Suy luận Luận Luận chứng Suy luận A2 M = n3 − n p, q p∧q A5 n = k + A6 M (k + 1) = k − k + 3(k + k) Suy luận A6 M (k + 1) = k − k + 3(k + k) A7 M (k) = k − k p, q, r p∧q∧r A8 Tổng số chia hết cho chia hết cho Tích với số tự nhiên chia hết cho A9 M (k + 1) • Bước Kết luận Sử dụng qui tắc suy luận P (1) , ∀k ∈ N∗ (P (k) ⇒ P (k + 1)) ∀n ∈ N∗ , P (n) Cách Ngoài ra, ta nhận thấy toán giải phương pháp chứng minh xét tất trường hợp Vì P (n) hàm mệnh đề xác định tập vô hạn phần tử N∗ Nhưng tập qui tập hữu hạn X = {a1 , a2 , a3 } Trong đó: a1 , a2 , a3 tập số chia dư 1, 2, Để chứng minh mệnh đề ∀n ∈ N∗ , P (n) ta chứng minh mệnh đề P (a1 ), P (a2 ), P (a3 ) Sau vận dụng qui tắc suy luận P (a1 ) , P (a2 ) , P (a3 ) tổng quát để đưa kết luận ∀n ∈ N∗ , P (n) 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Lời giải Ta xét trường hợp sau: + Trường hợp 1: n = 3k với k ∈ N∗ Khi đó: n3 − n = (3k)3 − 3k = k − k (∀k ∈ N∗ ) P (n) trường hợp + Trường hợp 2: n = 3k + với k ∈ N Khi đó: n3 − n = (3k + 1)3 − (3k + 1) = 9k + 3k (∀k ∈ N) P (n) trường hợp + Trường hợp 3: n = 3k + với k ∈ N Khi đó: n3 − n = (3k + 2)3 − (3k + 2) = 9k + 6k + 3k + (∀k ∈ N) P (n) trường hợp Vậy ∀n ∈ N∗ : n3 − n chia hết cho Nhận xét: Mỗi lời giải gồm hữu hạn bước suy luận Trong bước suy luận ngầm vận dụng số qui tắc suy luận tổng quát Vì vậy, suy luận suy luận hợp logic kết luận ta thu kết luận hợp logic Trong trình trình bày lời giải, ta bỏ nhiều tiên đề bước suy luận coi tiên đề người biết, qui tắc suy luận tổng quát ngầm vận dụng Một toán áp dụng nhiều qui tắc suy luận tổng quát khác để đưa kết luận, từ dẫn đến có nhiều cách giải khác ví dụ 3.1.2 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Trong nhiều toán lồng ghép nhiều qui tắc suy luận khác nhau, sử dụng kết hợp nhiều phương pháp chứng minh để thu kết cuối Như ví dụ 3.1.2 trên, cách 2, ta sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp để hỗ trợ cho phương pháp chứng minh xét tất trường hợp, cụ thể sau chia trương hợp ta sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp để đưa kết luận P (n) trường hợp Như vậy, để dễ dàng việc đưa lời giải xác cho toán chứng ta cần nắm vững yếu tố logic, qui tắc suy luận phương pháp chứng minh, vận dụng chúng cách linh hoạt sáng tạo Bất toán nào, dù đơn giản hay phức tạp lời giải ẩn chứa yếu tố logic, qui tắc suy luận vận dụng Để giải toán ta cần xác định sử dụng hợp lí yếu tố logic 3.6 Những sai lầm thường gặp chứng minh Những sai lầm logic chứng minh thường biểu hai khía cạnh: suy luận không hợp logic suy luận dựa vào tiên đề sai, tiên đề chưa chứng minh dựa vào điều không với giả thiết Trong phần này, ta đưa phân tích số ví dụ minh họa sai lầm logic chứng minh theo hai khía cạnh 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.6.1 Hoàng Phương Thúy Sai lầm suy luận không hợp logic Ví dụ 3.6.1 Cho hàm số: y = x3 + (m + 3) x2 + − m (m tham số) Xác định m để hàm số có điểm cực đại x = −1 (Trích SGK Đại số Giải tích Cơ lớp 12, trang 44 ) Lời giải sai: Hàm x = −1 khi: số có điểm cực đại   y (−1) =  3(−1)2 + (m + 3) (−1) = ⇔  y (−1) <  (−1) + (m + 3) <   −2m − = ⇔ ⇔m=−  2m < Nhận định sai lầm: Lời giải sai đãthừa nhận mệnh đề:  y (−1) = " "Hàm số có điểm cực đại x = −1  y (−1) < Mệnh đề rút từ suy luận không hợp logic theo sơ P ⇒ Q, Q đồ: P   y (x ) = 0 x0 Trong đó, mệnh đề P ⇒ Q định lí "Nếu  y (x ) < 0 điểm cực đại" Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề mệnh đề đảo Q ⇒ P chưa Lời giải có nhầm lẫn với suy luận logic sau: P ⇒ Q, P P ⇔ Q, Q Q P Nguyên nhân sâu xa sai lầm chưa hiểu rõ không phân biệt điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ, nhầm lẫn P ⇒ Q, Q ⇒ P , P ⇔ Q dẫn đến đưa suy 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy luận không hợp logic Lời giải đúng: Ta có: y = 3x2 + (m + 3) x y = 6x + (m + 3) Giả sử hàm số đạt cực đại x = −1 Khi ta có: y (−1) = ⇔ m = − Thử lại: với m = − y (−1) = −6 < Vậy với m = − hàm số đạt cực đại x = −1 Ngoài ví dụ có nhiều sai lầm khác giải tập suy luận không hợp logic như: • Nhầm lẫn phương trình hệ (P ⇒ Q) phương trình tương đương (P ⇔ Q) dẫn đến suy luận không hợp logic 3x2 + 2x + x2 − 3x − = Ví dụ: Cho phương trình sau: (1) : x+1 x+1 2 (2) : 3x + 2x + = x − 3x − Ta thấy phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) Tuy nhiên, dễ xảy sai lầm coi phương trình phương trình tương đương Sau giải phương trình (2) kết luận nghiệm (1) nghiệm (2), dẫn đến thừa nghiệm x = −1 • Sử dụng suy luận nghe có lí Ví dụ: + Áp dụng tính chất "2 đường thẳng không cắt chúng song song với nhau" từ hình học phẳng vào hình học không gian + Dựa vào định lí "2 đường thẳng vuông góc với đường 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy thẳng thứ chúng song song với nhau" hình học phẳng để suy định lí sai "2 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ chúng song song với nhau" hình học không gian + Nhận thấy số nguyên tố 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 số lẻ nên đưa kết luận số nguyên tố số lẻ P ⇒ Q, P Q Ví dụ: Có tính chất: số chia hết cho số chia • Suy luận theo sơ đồ không hợp logic sau: hết cho Nên đưa kết luận sai là: số tự nhiên x không chia hết cho x không chia hết cho 3.6.2 Dựa vào tiền đề sai tiền đề chưa chứng minh, dựa vào điều không với giả thiết Ví dụ 3.6.2 Chứng minh định lí sau: "Nếu n số tự nhiên n2 chia hết cho n chia hết cho " (Trích SGK Đại số Nâng cao lớp 10, trang 12) Lời giải sai: Vì n số tự nhiên n2 chia hết ta đặt n2 = 5k với k số tự nhiên n2 5k k Khi đó: n = = = 5 n n n Vậy định lí chứng minh Nhận định sai lầm: Lời giải có sai lầm n2 Sai lầm thứ nhất: mệnh đề "n = " sai trường hợp n = n 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy k k Sai lầm thứ hai: mệnh đề "5 5" sai trường hợp không n n số tự nhiên Sai lầm thứ ba: Sử dụng mệnh đề sai để suy luận, chứng minh toán Lời giải đúng: Giả sử n2 chia hết cho n không chia hết cho Vì n không chia hết n = 5k + r với k ∈ N, r ∈ {1, 2, 3, 4} Với r = ta có: n2 = (5k + 1)2 = 25k + 10k + = 5k + 2k + (trái với giả thiết n2 chia hết cho 5) Tương tự trường hợp r = 2, r = 3, r = ta chứng minh điều trái với giả thiết Do giả sử sai Vậy định lí chứng minh Ví dụ 3.6.3 Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB (M A = M B) Dựng phía AB hình vuông AM CD BM EF Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông AM CD BM EF Chứng minh A, E, N thẳng hàng 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Lời giải sai 1: ∆AM E ∆CM B có AM = CM ; AM E = CM B; M E = M B ⇒ ∆AM E = ∆CM B (c.g.c) ⇒ M AE = M CB ∆M AE vuông M ∆N CE vuông N ⇒ M AE + M EA = 900 = N CE + N EC = M CB + N EC ⇒ M EA = N EC Mà C, E, M thẳng hàng nên A, N, E thẳng hàng Lời giải sai 2: AM CD BM EF hình vuông ⇒ M D⊥AC, BE⊥M F Mà DM F = DM C + F M C = 450 + 450 = 900 ⇒ M D⊥M F Do BE⊥AC Lại có CM ⊥AB (gt) ⇒ E trực tâm ∆ABC ⇒ AE⊥BC Mà EN ⊥N B ⇒ A, N, E thẳng hàng Nhận định sai lầm: Sai lầm lời giải chỗ sử dụng tiên đề "∆N CE vuông N ", tiên đề chưa chứng minh Sai lầm lời giải bước suy luận "AE⊥BC Mà EN ⊥N B ⇒ A, N, E thẳng hàng" ngộ nhận điểm B, N, C thẳng hàng để đưa kết luận A, N, E thẳng hàng, tức dựa vào tiên đề chưa chứng minh để giải tập Lời giải đúng: Giả sử AM > BM N nằm nửa mặt phẳng bờ CM có chứa điểm B Gọi I giao điểm BE AC Ta có: IAM = IBM = 450 ⇒ AIB = 900 Ta lại có: IAN = CM N (cùng chắn cung CN) 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy CM N = EBN (cùng chắn cung EN) ⇒ IAN = EBN nhìn cạnh đối diện IN ⇒ ABN I nội tiếp đường tròn ⇒ AN B = AIB = 900 ⇒ AN ⊥BC Ta lại có: EN ⊥N B EN B = 900 ⇒ A, N, E thẳng hàng Kết luận: Nguyên nhân xâu xa sai lầm không nắm vững yếu tố logic, suy luận logic; không coi trọng yếu tố logic giải dẫn đến làm tắt,bỏ qua bước suy luận logic trình tư lẫn trình trình bày Vì vậy, để hạn chế sai lầm giải tập, người học cần phải trọng yếu tố logic, suy luận logic, kiểm tra tính đắn luận cứ, luận chứng bước suy luận 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy Kết luận Trong trình nghiên cứu logic mệnh đề số toán phổ thông, sâu em thấy vai trò, ý nghĩa to lớn logic mệnh đề môn Toán phổ thông phát triển tư người học Trong đề tài mình, em đạt số kết sau: + Khái quát vấn đề logic mệnh đề; phân loại kiểu suy luận chứng minh thường gặp toán phổ thông, phân tích sở logic phương pháp chứng minh thường dùng + Phân tích yếu tố logic có vấn đề Toán học như: định nghĩa, định lí, đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, + Phân tích rõ việc vận dụng yếu tố logic giải toán chứng minh toán học qua ví dụ cụ thể toán phổ thông + Chỉ sai lầm thường gặp chứng minh phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm Em thấy nghiên cứu hữu ích cho thân việc nghiên cứu Toán học trình giảng dạy sau trường Tuy nhiên, ý kiến em đưa đề tài mang tính chủ quan, thiếu kinh nghiệm nghiên cứu nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong quý thầy cô bạn sinh viên góp ý để 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Thúy khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Hoàng Phương Thúy 53 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Lý thuyết tập hợp logic, Nhà xuất Giáo dục, 2004 [2] Hoàng Chúng, Những vấn đề logic môn Toán trường phổ thông trung học sở, Nhà xuất Giáo dục, 1997 [3] Trần Diên Hiển, Nguyễn Văn Ngọc, Giáo trình Toán cao cấp 1, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2007 [4] Lại Đức Thịnh, Giáo trình Số học, Nhà xuất Giáo dục, New Jersey, 1976 [5] Vương Thông, Giáo trình tập hợp logic toán, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2001 [6] Bộ Giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Toán lớp 6, 7, 8, 9, Nhà xuất Giáo dục, 2016 [7] Bộ Giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa Toán lớp 10, 11, 12, Nhà xuất Giáo dục, 2009 54 ... đời sống Do em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Logic mệnh đề số toán phổ thông" Khóa luận gồm ba chương Chương "Logic mệnh đề" trình bày số khái niệm, công thức, luật qui tắc suy luận logic mệnh đề. .. chân lí mệnh đề Ta thường kí hiệu mệnh đề p, q, r, gọi mệnh đề đơn giản hay mệnh đề sơ cấp Khi p mệnh đề ta qui ước viết p = viết p = p mệnh đề sai 1.2 1.2.1 Các phép toán logic mệnh đề Phép... chẵn" q: "2 số nguyên tố" Khi mệnh đề hội p q mệnh đề p ∧ q: "2 số chẵn số nguyên tố" mệnh đề theo định nghĩa phép hội 1.2.3 Phép tuyển Định nghĩa 1.3 Cho mệnh đề p q, tuyển mệnh đề mệnh đề sai p