SKKN Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích trong giải toán

và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phươngpháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơnnữa học sinh chỉ cầ

và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phươngpháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơnnữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là cóthể làm được Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện và tạo hứng thútrong quá trình học bộ môn Toán và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng

dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích trong giải toán ”

Bài toán 1: (Bài 4 sgk HH12CB trang25)

Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm

C' H'

Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:

Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An (n 3), trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi đó ta có

A A A A

S A A A

Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…

An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Trang 2

Trong thực tế giảng dạy hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tínhthể tích khối đa diện, học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc xác định đường cao của

đa diện Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thểtích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lờigiải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình họckhông gian ở lớp 11 là có thể làm được Nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện và tạohứng thú trong quá trình học bộ môn Toán và hơn nữa là góp phần nâng cao chất

lượng giảng dạy, nay tôi nghiên cứu và viết đề tài: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích trong giải toán ”

C CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thànhcác khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V B h. , Khối chóp1

.

3

V  B h, Khối hộp chữ nhật V abc, …) rồi cộng các kết quả lại

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ vàkhối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường caohay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thểtích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ

DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Ví dụ 1:

D' B'

OC

S

B

D A

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểmcủa CD và I là giao điểm của AC và BM Tính tỉ

số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là

trọng tâm của tam giác BCD, do đó

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB

và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính tỉ số

thể tích của hai khối chóp được chia bởi

mp(AB’D’)

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao

điểm của SO và B’D’ Khi đó AI cắt SC tại C’

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm

H và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, Plần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khối chópH.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP

ĐS: .

.

1 32

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng ()

qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tính SM

SC để mặt phẳng () chia hình chópthành hai phần có thể tích bằng nhau

2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD làtam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a

Giải:

Ta có

.

1

4 1 ( ) 2

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH AD mà

(SAD)  (ABCD) nên SH  (ABCD)

S

D

B A

Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều

cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng

DB và DC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2

SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giaođiểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông

góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH =

4

AC

Gọi CM

là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng

M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện

Từ giả thiết ta tính được 2, 14, 3 2, 2

* Bài tập tham khảo:

Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có · · 0 · 0

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ·ABC ·BAD 90 0, AD = 2a,

BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếuvuông góc của A lên SB CMR tam giác SCD

vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến

B

2a a

S

C B

D A

H

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB =

BC = a, AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa haiđường thẳng AM và B’C

Giải:

Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’

Suy ra B’C //(AME) nên

d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))

Ta có .

.

1 2

Hơn nữa BM  (ABE)  BM AE, nên ta được AE HM

a BH

a a

a 2

M E

B'

C'

A

C B

A'

H

( ,( ))

7 14 24.

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại

A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của

A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của

BC Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)

Giải:

Theo giả thiết ta có A’H  (ABC)

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến

A ABC ABC A B C

2a

3

K

C'B'

H

AA'

Suy ra B’H = a2  3a2  2a BB '  BB H' cân tại B’ Gọi K là trung điểm

( ',( ' '))

14 14

ĐS: d A BCD( ,( )) 2ab 2

a b



Bài 4:

Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện Tínhtổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện

ĐS: 1 2 3 4

3

ABCD ACB

Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt

là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện Gọi h1,

h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện của tứ

DẠNG 4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo

công thức 1

2

S  ah, trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa giácphẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn Khi đó cóthể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện Sau đây là một số

ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Trang 14

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M, Nlần lượt là trung điểm của SB và SC Tính diện

tích tam giác AMN theo a, biết rằng

    (O là trọng tâm của tam giác ABC)

Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên

* Bài tập tham khảo:

Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC là tam giác vuông tại B có

AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 a2 b2 ) Một mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện

a) Xác định thiết diện đó

b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a)

I N

ĐS: Thiết diện AMN có diện tích 2 2 2

2

AMN

ab a b c S

c

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc

D HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tícht trong một số bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học trò các lớp kết quả như sau

Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được

Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài2013-2014

là tỉ số thể tích, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu Chính vì các

em cảm thấy hứng thú với môn học nên tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được

sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học Từ

những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về

chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn

Bên cạnh đó tôi xin đề nghị các giáo viên giảng dạy bộ môn cần phải tìm hiểu chương trình giảng dạy từ đó tìm ra các phương pháp mới nhằm tạo hứng thú học tập

cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục qua môn học

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Giải toán hình học 12, tác giả: Trần Thành Minh ( chủ biên )

- Sách giáo khoa: Hình học 12

- Tuyển tập các đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2012 – NXB Giáo

Dục

- Phương pháp giảng dạy môn Toán, tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá

Kim – NXB Giáo dục

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Trang 18

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TỈNH

MỤC LỤC

Mục lục trang 1

I - Đặt vấn đề trang 2

II - Giải quyết vấn đề ……… trang 2

A - Cơ sở lý luận ……… trang 2

B - Thực trạng của vấn đề ……… trang 3

C - Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề … trang 3

D - Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… trang 13 III - Kết luận……… trang 13

Tài liệu tham khảo……… trang 14

Đánh giá của Hội đồng khoa học cấp trường trang 14

Đánh giá của Hội đồng khoa học cấp Tỉnh trang 14

Trang 20