Vận dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)

Vận dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Ăngghen nói : " Biện pháp của hiện thực thế giới thực tế đã phản ánh được trong những khái niệm và công thức toán học" Bất cứ ở nơi đâu học sinh cũng nhận thấy có những quy luật của phương pháp biện chứng đó, cho nên học sinh nhận rõ được điều này thì sẽ phát triển được sự suy luận theo phương pháp biện chứng Toán học dạy ta cách rút kết luận từ những tiên đề có sẵn, cách làm cho kết luận có chứng cứ Dùng ngôn ngữ toán học là luyện tập diễn đạt tư tưởng một cách khoa học, vì ngôn ngữ toán học bắt ta đem lại kết quả nhận thức diễn đạt được thật tinh tế logic- chính xác

Do vai trò quan trọng của toán học trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Bác Phạm Văn Đồng đã từng nói "Dù các bạn ở ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho bạn" Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực, phẩm chất trí tuệ

và có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và lao động

Các em học sinh đã làm quen với Bất đẳng thức từ năm lớp 7, đến lớp 10 vấn đề này được đề cập kỹ hơn Tầm quan trọng của sự hiểu biết và kỹ năng vận dụng Bất đẳng thức đã quá rõ ràng Ta có thể vận dụng Bất đẳng thức vào các bài toán khác như giải

và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức toán học và nhiều ứng dụng toán học khác

Mặc dầu quan trọng nhưng Bất đẳng thức là một chủ đề khó đối với đa số học sinh, nhưng cũng là mảng kiến thức dễ đâm chồi, nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của tính sáng tạo, đòi hỏi sự kiên trì, ham học hỏi Rèn luyện về Bất đẳng thức giúp học sinh tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán Hơn nữa luyện tập chứng minh Bất đẳng thức còn góp phần phát triển tư duy lôgíc và bồi dưỡng trí thông minh, đọc vấn đề một cách nhanh nhạy cho học sinh

Trong chương trình toán THPT có rất nhiều phương pháp chứng minh một Bất đẳng thức Nhưng có một phương pháp quan trọng là sử dụng Bất đẳng thức Côsi Đây là một mảng Bất đẳng thức mà các đề thi hay khai thác và vận dụng để giải quyết các bài toán khác

Qua một thời gian nghiên cứu ,giảng dạy và vận dụng Bất đẳng thức Côsi tôi đã rút ra một số kinh nghiệm, sáng kiến để giảng dạy mảng kiến thức này Tôi mạnh dạn đưa ra để các bạn đồng nghiệp cùng bàn bạc, đánh giá

Mặc dầu đã có rất nhiều đề tài khai thác mảng kiến thức này, nhưng tôi tin rằng với đề tài này học sinh sẽ có cái nhìn tổng thể hơn về các dạng, các phương pháp vận dụng Bất đẳng thức Côsi, bởi các bài tập, ví dụ đưa ra từ dễ đến khó, các bài tập bám sát vào các kỳ thi Đại học, Cao đẳng , học sinh giỏi , sự bố trí bài tập hợp lý ngay sau lý thuyết với nhiều bài tập hay nên sẽ có tác dụng tốt đến các em học sinh

Học sinh có thể giải được nhiều bài toán thông qua việc vận dụng các bài toán

cơ bản đã được phân dạng trong đề tài

Thế nhưng Bất đẳng thức là một trong những phần khó nhất của chương trình toán nói chung Bởi thế muốn dạy và học tốt phần này đòi hỏi các thầy, cô và các em học sinh phải đầu tư thời gian, dày công tập luyện, nghiên cứu vấn đề có hệ thống, ghi nhớ các phương pháp chứng minh cơ bản dần dần hình thành kỹ năng sáng tạo

Thông qua đề tài này tôi thấy thực sự có ích khi có một cách nhìn đầy đủ hơn

về phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Côsi trong chương trình toán THPT

Học sinh dễ hiểu, dễ áp dụng, có định hướng rõ ràng khi giải toán

Đề tài có tên là:

" BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ CÁC KỸ NĂNG VẬN DỤNG"

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI.

A Bất đẳng thức Côsi

Bất đẳng thức Côsi được nhà toán học người Pháp Augustin Louis Caushy đưa

ra Nó được phát biểu như sau:

Cho a1,a2 ,a n là các số không âm thì: n

n

n a a a n

a a

a

2 1 2

1     Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: a1a2  a n

Chúng ta thường sử dụng cho bộ 2 số hoặc 3 số, cụ thể:

Cho a 0 , b0 , c0 ta luôn có:

ab2 ab Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b

abc3 abc3 Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b=c.

Cần nhấn mạnh

Điều kiện để sử dụng Bất đẳng thức Côsi là các số không âm

Và dấu bằng xẩy ra khi nào ?(điều này rất quan trọng để sử dụng Bất đẳng thức).

Để học sinh dễ nhớ cần nói rõ thế nào là Trung bình cộng và trung bình nhân

và ta thấy Bất đẳng thức Côsi đều có dạng chung là "Trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân".

B Các kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Côsi

1 Sử dụng trực tiếp Bất đẳng thức Côsi

Mục đích của các bài tập này là làm cho học sinh nhận dạng làm quen, và tạo hứng thú đầu tiên với Bất đẳng thức Côsi.

Bài 1 Chứng minh rằng:   0 ,  0 :   2

a

b b

a b

a (1)

Phân tích: Học sinh có thể làm bài này bằng phương pháp biến đổi tương đương

nhưng ta có thể giải quyết đơn giản bằng Bất đẳng thức Côsi.

Giải

Do a > 0 và b>0 nên 0, 0

a

b b

a

vì vậy áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

2 1

2





a

b b

a a

b b

a a

b b

a a

b

b

a

Dấu "=" xẩy ra khi a b a b

a

b b

a   2  2  

Các bài tập tương tự vận dụng trực tiếp:

Ta tiếp tục cho học sinh phát triển và áp dụng Bất đẳng thức Côsi.

Bài 2 Chứng minh rằng:  ,  0 (  )(11)  4

b a b a b

a (2)

Phân tích: Học sinh có thể làm bài này bằng nhiều cách như:

+ Phân tích vế trái ra sau đó áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho

a

b b

a

, + Quy đồng rồi đưa về ab2 4ab(ab)2 0.

.

Tuy nhiên để học sinh thấy hứng thú và tạo nên một lớp bài toán về sử dụng Bất đẳng thức Côsi ta có cách giải sau:

Giải

Vì a0,b0 nên 10,10

b

a áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

2

2

a b ab

ü + ³

ý

þ Dấu "=" xẩy ra khi ab

Học sinh dễ dàng chứng minh được Bất đẳng thức sau:

 , ,  0 (   )(1 1 1)  9

c b a c b a c

b

Tổng quát:

0 , , , 2

2 1 2

1 )(1 1 1 )

a a

a a a

a

n





 Dấu "=" xẩy ra khi a1 a2  a n

Đến đây giáo viên cần chú ý cho học sinh là từ hai Bất đẳng thức (2) và (3) bằng

cách biến đổi tương đương ta có các Bất đẳng thức phụ khá hữu ích

b a b

a  

4 1

1

4 1

b a

ab) 2 ab

2

4

1 1

b a b

) 1 1 1 ( 9

1 1

c b a c b



Các Bất đẳng thức phụ trên thường được sử dụng xem như là một bổ đề để chứng minh các bài toán khó một cách đơn giản

1) Cho a,b,c là các số dương thõa mãn :abc1 Chứng minh rằng:

2

1 2

1 2

1

2 2









Giải:

Theo (3) ta luôn có :

2

1 2

1 2

1

2 2









a

2

1 2

1 2

1

2 2









a

Do 3 số a,b,c dương và abc1 Nên ta có (abc)2 1: Từ đó suy ra: 9

2

1 2

1 2

1

2 2









Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi:

3

1





b c

2) Cho x,y,z là các số dương thõa mãn :1  1 14

z y

CMR: 2x1yz  x 2 1yz  x y12z 1 (ĐH khối A năm 2005)

Giải:

Từ (2d) với  b a, 0 ta có: (1 1)

4

1 1

b a b

 Dấu "= " xẩy ra khi và chỉ khi a=b.

Áp dụng kết quả trên ta có:

z y x z

y x

z y x z

y

1 16

1 8

1 1 1 4

1 2

1 4

1 1

2

1 4

1 2

















































z x y z

x y

z x y z

y

1 16

1 8

1 1

1 4

1 2

1 4

1 1

2

1 4

1

2





















 



























y x z y

x z

y x z z

y

1 16

1 8

1 1 1 4

1 2

1 4

1 1

2

1 4

1 2

1



























































Vậy: 2x1yz  x 2 1yz  x y12z  















z y x

1 1 1 4

1

= 1 (Đpcm)

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : x = y = z =

4 3

3) Cho x,y,z là các số dương thõa mãn :x2  y2  z23

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy11 zy11 xz11 (ĐH KHTN 2000)

Giải:

Ta có:

6

9 3

9 3

9

9 ) 1 1

1 )(

1

1 1

1 1

1 (

2 2







































z y x zx

yz xy A

zx yz

xy xz

zy xy

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 3/2 khi x=y=z=1 Các bài tập tương tự dùng để củng cố:

1 Cho a,b,c 0

i) (ab)(bc)(ca)  8abc

ii) (ab)(ab 1 )  4ab

iii) (abc)(a2 b2 c2)9abc

iv) (  1 )(  1 )(  1 )  8

a

c c

b b

a

a

b c b

a c c

a b a

c b b

c a c

b

a

6

3 3 3 3 3 3











 vi) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2)6abc

2 Cho x,y,z là các số dương thõa mãn :x yz1

CMR: 

 1

x

 1

y

y

4

3

1



z z

2 Kỹ thuật dùng hoán vị vòng

Đây là một kỹ thuật thường gặp khi sử dụng Bất đẳng thức Côsi

Bài 3: Chứng minh a,b,c 0thì

c b a ab

c ac

b bc

a    1  1  1

Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy không

có kết quả Nếu ta linh hoạt áp dụng cho hai bộ số sẽ có kết quả tức thì

Giải

Vì a,b,c>0 nên , , 0

ab

c ac

b bc

a

áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

) 1 1 1 ( 2 ) (

2 1 2

2

1 2

2

1 2

2

c b a ab

c ac

b bc a

b bc

a ab

c bc

a ab

c bc

a

ab

c

a ab

c ac

b ab

c ac

b ab

c

ac

b

c ac

b bc

a ac

b bc

a ac

b

bc

a

































































c b a ab

c ac

b bc

a    1  1  1 (Đpcm)

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ta có thể áp dụng phương pháp Hoán vị vòng quanh cho một số bài tập sau:

Cho a,b,c 0

b

ac a

bc c

ab     2) a2 b2 c2 abcabc

3) 3a2b4c ab3 bc 5 ca 4) a2b2 b2c2 c2a2 abc(abc) Học sinh có thể làm các bài tập năng cao sau:

1) Cho a,b,c>0 CMR : a4 + b4 + c4≥ abc(a + b + c)

x x x

è ø è ø è ø ( ĐH khèi D-2004) 3) Cho x,y,z là các số dương thõa mãn xyz=1 CMR

1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3

+ + + + + + + + ³ ( ĐH khèi D-2005)

4) a,b,c 0:

a

b c a

c b c

b a c b a

2 2

2

2 2 2 2 2















3 Phương pháp cân bằng tổng.

Sách giáo khoa có nhận xét: " Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau"

Ta phát triển nhận xét này:

Để chứng minh tổng S = S 1 +S 2 + +S nm, ta biến đổi S = A 1 +A 2 + +A n là các

số không âm mà có tích A 1 A 2 A n =c không đổi ,sau đó ta áp dụng Bất đẳng thức Côsi.

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) =

1

1





x

x với x >1

Giải

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số x -1 >0 và 0

1

1 



1

1 2

1

1 1 1

1 1 2

1

1









































x

x x

x x

x x

x

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2

Bài 5 Với mọi số thực x > -1 CMR:  1 1

1





x x

Phân tích: Áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy không có

kết quả Nếu ta linh hoạt áp dụng cân bằng tổng bằng cách phân tích 2x thành (x+1)+ (x+1)-2 rối áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số sẽ có kết quả tức thì

Bài 6 Với mọi số thực x 0 CMR:  3 1

27

2 





x x

Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi nên

ta phân tích x thành 3 số hạng có dạng

3

3



x

Giải

) 3 (

27 3

3 3

3 3

3

3  















x

x x

x

4 ) 3 (

27 3

3 3

3 3

3

3 

















x

x x

x

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 4 số ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xẩy ra khi x = 0

Ta có thể áp dụng phương pháp cân bằng tổng cho các ví dụ sau:

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2

2







x x

P với x > 0

2) CMR: với x>-3 thì:  3 1

9 3

2

2 





x x

3) CMR: với a>b>0 thì: a + ( )( 1)2 3



b b a b

4) Cho x,y là hai số thực dương thõa mãn: 23 1

y

x tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x + y

Hướng dẫn: Từ biểu thức 2 3 1

y

x ta có: y =

2

6 3 2

3







x x

2

6 2 2

6



















x

x x

x y

4 Phương pháp cân bằng tích.

Sách giáo khoa có nhận xét: " Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau"

Ta phát triển nhận xét này:

Để chứng minh một biểu thức có dạng P= P 1 P 2 P n M ta phân tích

P=B 1 B 2 B n là các số không âm mà tổng B 1 +B 2 + +B n =c là một số không đổi Sau đó

ta áp dụng Bất đẳng thức Côsi

Bài 7: Cho hai số dương a,b thõa mãn: a+b=1 CMR:

27

4

2 

ab

Phân tích: Ta phân tích biểu thức ab 2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng

đó có mối liên hệ đến a+b=1.

Giải:

Ta có :

2 2 4

a

ab  Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là:

2

, 2 ,b b

a

Suy ra:

27

4 2

2 4 27

1 2

2

3

1 3

2 2 2

2

3     a b b   a b b 

b b a b b

Dấu "=" xẩy ra khi:

3

2 , 3

a

Ta có thể áp dụng phương pháp cân bằng tích cho các ví dụ sau:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1) y = 4x3 - 3x2 với 0 ≤ x ≤ 4/3

2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4

3) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 ≤ x ≤ 4

4) y = x (1 - x2) với 0 ≤ x ≤ 1

5) y = 2x- +3 5 2- x

5 Phương pháp chọn điểm rơi Côsi và thêm hạng tử

Đây là một phương pháp quan trọng thường áp dụng để biến đổi bài toán theo định hướng sử dụng Bất đẳng thức Côsi, với phán đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi nào và từ đó ta thêm bớt các hạng tử thích hợp để khéo léo sử dụng Bất đẳng thức Côsi

Bài 8: Chứng minh a,b,c0 ta luôn có: a b c

a

c c

b b

a2  2  2   

Phân tích: Nếu ta áp dụng các phương pháp trên thì không giải quyết được kết quả.

Bây giờ ta đánh giá dấu "=" xẩy ra khi nào? Dễ nhận thấy là khi a=b=c

(Điểm rơi a=b=c) Khi đó a

b

a 2

nên ta thêm b vào phần tử đại diện

b

a2

.

Giải:

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho các số dương a

a

c c c

b b b

a

, , , , ,

2 2 2

ta có:

Dấu "=" xẩy ra khi: a=b=c

Theo phân tích ở trên thì sẽ có câu hỏi là tại sao lại thêm hạng tử b cho

b

a2

?

Giả sử cần thêm cho

b

a2

số hạng m Sử dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

b

a2

+ m  m

b

a2

2 Vậy m cần chọn sao cho:

1 m

b

a2

có thể triệt tiêu được b (Hay mất mẫu vì do vế trái của Bất đẳng thức không có mẫu)

2 Khi dấu "=" xẩy ra khi a=b=c=m.

Nên chỉ có thể chọn b=m.

Để nắm rõ ta làm tiếp bài tập sau.

Bài 9: Cho 3 số a,b,c0 CMR:

2

2 2

a b

c c a

b c b











Phân tích: Điểm rơi a=b=c

Ta thêm cho

c b

a



2

một số m thõa mãn :

1 Rút gọn được mẫu số (b+c) sau khi áp dụng Bất đẳng thức Côsi

( m

c b

a m

c b

a









2 2

2 Dấu đẳng thức Côsi xẩy ra được nghĩa là

c b

a



2

=m và a=b=c Suy ra

m = 

c

b

Và để tính  thì



c b m c b



2

Khi thay a=b=c thì  4

Giải:

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho các số dương

4 , , 4 , , 4 ,

2 2

b a

c a c a c

b c b c b









2

2

4

4

2

a

b c

c

a b

b c c a a b

ü +

ï +

+ +

Dấu "=" xẩy ra khi a=b=c

Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lý thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể.

Bài 10: Chứng minh rằng với a,b,c dương ta luôn có: 3 3 3 a2 b2 c2

a

c c

b b

Phân tích: Điểm rơi a=b=c

Ta thấy rằng với hạng tử

b

a3

có thể có hai hướng:

Cách 1: Ta sẽ thêm cho hạng tử

b

a3

một lượng ab 

b

a3

+ab 2a2

Tương tự

c

b3

+bc ; a

c3

+ca 2c2

Chứng minh a2 b2 c2 abbcca và cộng các Bất đẳng thức ta có ĐPCM Cách 2: a3 a3 b2 3 ;b2 b3 b3 c2 3 ;b2 c3 c3 a2 3c2

b + b + ³ c + c + ³ a + a + ³

Cộng lại theo vế ta có ĐPCM

Bài 11 Chứng minh rằng với a,b,c>0 ta có:

a

c a

b b

a a

c c

b b

a22  22  22   

Giải:

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

22 22 22

a

c c

b b

a   ≥ 3,

b

a b

a

2 1

2

2



c

b c

b

2 1

2

2



a

c a

c

2 1

2

2



 Cộng lại theo vế ta có ĐPCM

Bài 12 Chứng minh rằng với x,y,z là các số dương thõa mãn xyz=1 ta có:

x3  y3 z3 x y z

Phân tích: Điểm rơi x=y=z=1

Vì vậy ta thêm vào x 3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng Bất đẳng thức Côsi:

Hướng dẫn: x 3+ 1 +1≥ 3x; y3+ 1 +1 ≥ 3y; z3+ 1 +1≥ 3z;

2(x + y +z ) ≥ 2.33 xyz 6

Sau đây là một số bài tập nâng cao:

Bài 13: Cho a,b,c là 3 số dương thõa mãn abc =1

CMR:

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

Phân tích: Điểm rơi a=b=c=1