Tam Thức Bậc Hai

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Phương trình bậc nhất, bậc hai - Tam thức bậc hai. Tài liệu chuyên đề dấu của tam thức bậc hai nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình

r Chương PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BAC HAI TAM THỨC BẬC HAI A LY THUYET CAN NHỚ I Phương trình bậc hai: ax?+bx+c=0 (1) Cách giải biện luận trường hợp tổng quát: + Nếua= ta phương trình bậc nhất: bx + c = Biện luận sau: a Nếu b #0 phương trình có nghiệm nhất: x = > b Nếu b=0 c =0 phương trình nghiệm Vx e R c Nếu b=0 c z0 phương trình vơ nghiệm + Nếu a # Tính A (hoặc A') (Với A = b? - 4ac; A'=b”-ac;b' -2) ~ Nếu A < phương trình vơ nghiệm -_ Nếu A = 0thì phương trình có nghiệm kép: xạ = -> - Nếu A > Othi phuong trinh cé hai nghiém phan biét: Xị -b-VA 2a a _ -b+VA 2a Chú ý - + Nếu a.c < phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt + Nếu x¿, x; hai nghiệm phương trình thi: ax” + bx+c = a(X — Xị)(X — Xa) + Nếu a +b +c =0 (1) có hai nghiệm là: x, =lvx,=~— a + Nếu a ~ b+c =0 (1) có hai nghiém la: x, =-lv x, =-— a Dinh ly Viét a Phần thuận: Nếu S=x,+xX,=-— +X c P=x,.xX, =— a phương a trình bậc hai có nghiệm x,, xX, thì: b Phan dao: Néu hai sé x,, x, thda Xị +X¿ =5 (Re =P (v6i S’ -4P 20) thi x,, x, hai nghiệm phương trinh: x? -Sx +P =0 Dauctia nghiém sé Néu phuong trinh bac hai: ax? + bx +c = O(a # 0) có hai nghiệm x;,, x¿ thì: e x, 0 Cách 4: Sử dựng định lý liên tục: “Cho hàm số y = f(x) liên tục miền D Nếu tôn a;b € D cho f(a).f(b) < phương trình f(x) = Ø ln có nghiệm x e (a;b) ” Cách 5: Dùng định lý Lagrangc: “Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b], có đạo hàm tổn (a; b) đó, tổn số œ (a;b) cho: f(a)—fŒ) =f (aXa—b) Bài tập 13 | Bai 1: Chitng minh rang: vdi ba s6 a, b, c phan biệt phương trình: xX-a + x-b + x-C = có nghiệm phân biệt Giải Phương trình cho tương đương với: (x~ aXx ~ b) + (x - b)(x - e) + (x - e)(x — a) = « 3x? - 2(a + b + e)x + ab + ca = Ta có: A = a? + bÊ +c? -(ab + be + ca) = [la ~b)? +(b =@ + (e =8) ] > Vazbze => Phương trình cho ln có hai nghiệm —(đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: (a+ c)” < ab + be - 2ac phương trình sau ln có nghiệm: ax” + bx + e = (1) (a #0) Giải Phương trình (1) có: A = bỂ - 4ac Từ giả thiết : (a + e)? < ab + be ~ 2ae + c)? - 2ab - 3bc + 4ae < © 2(a ~ b2 < + e)ˆ + 4ae + e) + bÊ + (a © (a + e)” - 9b(a > (a+e-b)? +(a+e)? 20 b? ~4ac 0>A>0 = phương trình (1) ln có nghiệm (đpcm) Bài 3: Cho a, b,c e R Chứng minh phương trình sau có nghiệm: xŸ + 2(a + b + e)x + 8(ab + be + ca) = Giải Ta có: A =a? + bŸ + c? -(ab + be + ca) Chứng minh: A >0 Thật vậy: a” + b2 > 9Va?b2 = 2|ab| > 2ab Tuongtu: b? +e? >2be; Theo bất đẳng thức Côsi, c? +a? >2ca Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: be + ca) a’ +b? +b? +0? +0? +a? > Aab+ © a? + bŸ +cŸ > ab + be + ca © aÊ + bề + c? — (ab + bc + ca) > = A >0 = phương trình cho ln có nghiệm => đpcm Bai 4: Cho hai phương trình: x” + a¡x+ bị = 14 q)} ta được: ... {P>0 S>0 Tam thức bậc hai : f(x) = ax’ + bx +c (a ¥ 0) Dấu tam thức e f(x) < Ovéi ° f(x) > với Wee Ro a 0thì f(x) = O có hai nghiệm... PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ HAI NGHIỆM THỎA MÃN MỘT ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Các điều kiện cho trước thường gặp mo eB a Hai nghiệm x;; x; thỏa mãn phương trình; bất phương trình Một biểu thức chứa hai nghiệm... a > hiển nhiên phương trình (1) ln có nghiệm (đpcm) Nếu bc< Xét biểu thức: T''= a” + (6 — a)? —-2be -12 Xem TT tam thức bậc hai ẩn a, ta có: A„ = 36- 224 - 2bc) = 4bc - < Ova be< = T dấu với hệ