PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI 1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới VD: Tìm GTLN của: A = x + 2 x Giải: Điều kiện: x 2 Đặt 2 x = y 0 Ta có y 2 = 2 – x A = 2 - y 2 + y = - (y- 1 2 ) 2 + 9 9 4 4 MaxA = 9 1 1 7 2 4 2 4 4 y x x 2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới VD: Tìm GTLN, GTNN của A = x 2 + y 2 Biết rằng x 2 (x 2 + 2y 2 – 3) + (y 2 – 2) 2 = 1 (1) Giải: Từ (1) suy ra (x 2 + y 2 ) 2 – 4 (x 2 + y 2 ) + 3 = - x 2 0 Do đó A 2 – 4A + 3 0 (A – 1)(A – 3) 0 1 A 3 Min A = 1 x = 0, khi đó y = 1 MaxA = 3 x = 0, khi đó y = 3 3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0 VD1: Tìm GTLN, GTNN của: A = 2 2 1 1 x x x x Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm a = 2 2 1 1 x x x x (1) Do x 2 + x + 1 0 nên (1) ax 2 + ax + a = x 2 – x – 1 (a – 1)x 2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2) Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 Trường hợp 2: Nếu a 1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là 0, tức là: (a +1) 2 – 4(a – 1) 2 0 (a + 1 + 2a – 2) (a + 1 – 2a +2) 0 (3a – 1) (a – 3) 0 1 3 3 a (a 1) Với a = 1 3 hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là : ( 1) 1 2( 1) 2(1 ) a a x a a Với a = 1 3 thì x = 1 Với a = 3 thì x = -1 Gộp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có: MinA = 1 3 khi và chỉ khi x = 1 MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 Nhận xét: a) Phương pháp giải như trên còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm số. Đoạn 1 ;3 3 là tập giá trị của hàm số A = 2 2 1 1 x x x x b) Cách khác tìm GTLN của A: A = 2 2 2 2 2 3 3 3 2 4 2 2( 1) 3 3 1 1 x x x x x x x x x MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 c) Cách khác tìm GTNN của A: A = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 2( 2 1) 1 2( 1) 1 3 3 3 3( 1) 3( 1) 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x MinA = 1 3 khi và chỉ khi x = 1 VD2: Tìm GTLN và GTNN của: A = 2 2 2 4 5 1 x x x Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phươg trình sau đây có nghiệm a = 2 2 2 4 5 1 x x x (1) Do x 2 + 1 > 0 nên (1) x 2 (a – 2) – 4x + a – 5 = 0 (2) Trường hợp 1: Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = - 3 4 Trường hợp 2: Nếu a 2 thì phương trình (2) có nghiệm ' = 4 – (a – 2)(a – 5) 0 2 7 6 0 1 6 2 a a a a Với a = 1 thì x = -2 Với a = 6 thì x = 1 2 Kết hợp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có: MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2 MaxA = 6 khi và chỉ khi x = 1 2 VD3: Tìm GTLN và GTNN của: B = 2x 2 + 4xy + 5y 2 biết rằng x 2 + y 2 = a ( a là hằng số, a 1) Giải: Vì a 1 nên ta có: B a = 2 2 2 2 2 2 2 4 5 2 4 5 x xy y x xy y a x y Trường hợp 1: Nếu y = 0 thì B a = 2 Trường hợp 2: Nếu y 0 ta đặt t = x y thì B a = 2 2 2 4 5 1 t t t Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t trên có nghiệm là 1 6 b a nên 6 a b a ( vì a 1) Từ đó suy ra MaxB = 6a khi và chỉ khi 1 2 2 x y x y Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị 5 2 5 5 2 5 , ; , 5 5 5 5 a a a a MinB = a khi và chỉ khi 2 2 2 4 x mx n x x 2 2 x x y y Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị 2 5 5 2 5 5 , ; , 5 5 5 5 a a a a VD4: Tìm GTLN và GTNN của: c = 3 7 2 1 2 2 x x Giải: Điều kiện: 0 1 x Đặt z = x thì z 2 + y 2 = 1 (1) Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7 Điều kiện: 0 1,0 1,0 7 z y d Thay 9y 2 = (d – 4z) 2 vào (1), ta được: 25z 2 – 8dz + d 2 – 9 = 0 Để phương trình này có nghiệm z thì 0 d 2 25 d 5 Maxd = 5 Maxc = 6 và đạt được khi z = 4 25 d = 2 4 16 5 25 x z (thoả mãn 0 1 x ) d = 4 3 2 12 z y yz Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính được z = 3 1 9 , , 20 5 400 y x (thoả mãn 0 1 x ) Lúc đó Mind = 9 6 2 25 5 Minc = 41 4,1 10 VD5: Cho biểu thức A = 2 2 2 4 x mx n x x Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng 1 3 , GTLN bằng 3 Giải: Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có: a = 2 2 2 4 x mx n x x x 2 + mx + n = ax 2 + 2ax + 4a (a – 1)x 2 + (2a – m) + (4a – n) = 0 (1) Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN của A nên ta chỉ xét a 1. Điều kiện để (1) có nghiệm là: 2 ( , ) 0 , 0 2 0 2 0 f x y g x y y x y x 2 2 12 4 4 4 0 a m n a n m (2) Nghiệm của bất phương trình (2) là a 1 a a 2 Trong đó a 1 , a 2 là các nghiệm của phương trình: 2 2 12 4 4 4 0 a m n a n m (3) Theo đề bài, ta phải có 1 2 1 , 3 3 a a Theo hệ thức Vi- et đối với phương trình (3) : 1 2 2 2 2 1 2 1 44 4 3 4 10 3 3 12 1 4 4 12 4 .3 3 12 12 n mm n a a n m n m n m n m a a Thay n = 6 + m vào 4n – m 2 = 12 ta được: 4n – m 2 – 12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2 Với m = 6 thì n = 12, khi đó 2 2 6 12 2 4 x x A x x có GTNN là 1 3 và GTLN là 3 Với m = -2 thì n = 4, khi đó 2 2 6 12 2 4 x x A x x có GTNN là 1 3 và GTLN là 3 Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: 1 2 3 4 M x x x x Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của: 2 1 x A x Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 2 4 5 1 x x B x Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 2 2 2 2 2 2 x x C x x Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 2 2 2 1 x x D x Bài 6. Tìm GTNN của: 2 5 3 1 x E x Bài 7. Tìm GTNN của: 2 1 F x x x với x > 0 . PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI 1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới VD: Tìm GTLN của: A = x + 2 x Giải:. 3 3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0 VD1: Tìm GTLN, GTNN của: A = 2 2 1 1 x x x x Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau. x = -1 Gộp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có: MinA = 1 3 khi và chỉ khi x = 1 MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 Nhận xét: a) Phương pháp giải như trên còn gọi là phương pháp miền giá trị