PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI Đổi biến để đưa tam thức bậc hai biến VD: Tìm GTLN của: A = x + 2 x Giải: Điều kiện: x Đặt x = y Ta có y2 = – x 9 ) + 4 1 MaxA = y x x 4 A = - y2 + y = - (y- Đổi biến để đưa bất phương trình bậc hai biến VD: Tìm GTLN, GTNN A = x2 + y Biết x2 (x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) Giải: Từ (1) suy (x2 + y2)2 – (x2 + y2) + = - x2 Do A2 – 4A + (A – 1)(A – 3) A 3 Min A = x = 0, y = MaxA = x = 0, y = 3 Đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện VD1: Tìm GTLN, GTNN của: A= x2 x 1 x2 x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình sau có nghiệm a= x2 x 1 x2 x 1 Do x2 + x + nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x – (1) (a – 1)x + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm 0, tức là: (a +1)2 – 4(a – 1)2 (a + + 2a – 2) (a + – 2a +2) (3a – 1) (a – 3) a3 (a 1) a = nghiệm (2) : (a 1) a 1 x 2(a 1) 2(1 a ) Với a = x = Với a = Với a = x = -1 Gộp hai trường hợp (1) (2), ta có: MinA = x = MaxA = x = -1 Nhận xét: a) Phương pháp giải gọi phương pháp miền giá trị hàm x2 x 1 số Đoạn ;3 tập giá trị hàm số A = x x 1 3 b) Cách khác tìm GTLN A: A= x 3x x x 2( x 1)2 3 x2 x x2 x 1 MaxA = x = -1 c) Cách khác tìm GTNN A: 3x x x2 x 1 2( x x 1) 2( x 1) x x 3( x x 1) 3( x x 1) x x MinA = x = A= VD2: Tìm GTLN GTNN của: x2 x A= x2 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phươg trình sau có nghiệm a= x2 x x2 1 (1) Do x2 + > nên (1) x2(a – 2) – 4x + a – = Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = - (2) Trường hợp 2: Nếu a phương trình (2) có nghiệm ' = – (a – 2)(a – 5) a 7a a a Với a = x = -2 Với a = x = Kết hợp hai trường hợp (1) (2), ta có: MinA = x = -2 MaxA = x = VD3: Tìm GTLN GTNN của: B = 2x2 + 4xy + 5y2 biết x2 + y2 = a ( a số, a 1) Giải: Vì a nên ta có: B x xy y 2 x xy y = a a x2 y Trường hợp 1: Nếu y = B =2 a Trường hợp 2: Nếu y ta đặt t = x B 2t 4t = y a t2 1 Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t có nghiệm 1 b nên a b 6a ( a 1) a Từ suy MaxB = 6a x y 2x y 5a 5a 5a 2 5a , , ; 5 5 Hay (x, y) nhận giá trị MinB = a x mx n x 2 x 2 y x2 2x y 5a 5a a a , , ; 5 Hay (x, y) nhận giá trị VD4: Tìm GTLN GTNN của: c= x 1 x 2 Giải: Điều kiện: x Đặt z = x z2 + y2 = (1) Ta cần tìm GTLN GTNN d = 4z + 3y với 2c = d + Điều kiện: z 1, y 1, d Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1), ta được: 25z2 – 8dz + d2 – = Để phương trình có nghiệm z d2 25 d Maxd = Maxc = đạt z= 4d 16 = x z2 (thoả mãn x ) 25 25 d = z y 12 yz Đẳng thức xảy 4z = 3y Thay vào (1) ta tính z = ,y ,x 20 400 (thoả mãn x ) Lúc Mind = 41 Minc = 4,1 25 10 VD5: Cho biểu thức A = x mx n x2 2x Tìm giá trị m, n để biểu thức A có GTNN , GTLN 3 Giải: Gọi a giá trị tuỳ ý biểu thức A Ta có: x mx n 2 a= x + mx + n = ax + 2ax + 4a x 2x (a – 1)x + (2a – m) + (4a – n) = (1) Theo điều kiện toán, giá trị a = không GTLN, không GTNN A nên ta xét a Điều kiện để (1) có nghiệm là: f ( x, y ) g x, y y x y 2 x 12a m n a 4n m (2) Nghiệm bất phương trình (2) a1 a a2 Trong a1, a2 nghiệm phương trình: 12a m n a 4n m2 Theo đề bài, ta phải có a1 , a2 Theo hệ thức Vi- et phương trình (3) : 4 m n 4nm 3 a1 a2 4 n m 10 3 12 2 4n m 12 a a 4n m 4n m 12 12 Thay n = + m vào 4n – m2 = 12 ta được: 4n – m2 – 12 = nên m = m = -2 Với m = n = 12, A x x 12 có GTNN GTLN x 2x Với m = -2 n = 4, A x x 12 có GTNN GTLN x 2x Bài tập đề nghị: Bài Tìm GTLN, GTNN của: M x 1 x x 3 x (3) Bài Tìm GTLN, GTNN của: A x x 1 Bài Tìm GTLN, GTNN của: x2 x B x2 1 Bài Tìm GTLN, GTNN của: C 2x2 2x 2x2 x Bài Tìm GTLN, GTNN của: D 2x2 2x x2 Bài Tìm GTNN của: E 3x x2 Bài Tìm GTNN của: F x x2 x với x >