MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái Bài toán so sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai
Trang 1MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC
NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái
Bài toán so sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai hay gặp
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hiện nay và cũng gây không ít khó khăn cho các thí sinh Hơn nữa từ khi áp dụng chương trình phân ban THPT, trong chương trình Đại số 10 không còn giới thiệu nội dung định lí đảo về đấu của tam thức bậc hai Do vậy, học sinh càng khó khăn hơn trong việc giải các bài toán này Trong bài viết này chúng tôi trao đổi với các bạn một kỹ thuật nhỏ để giải quyết tốt các bài toán liên quan đến bài toán trên
Giả sử cho tam thức bậc hai 2
( )
f x = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt
1, 2 ( 1 2)
x x x < x Đặt S x1 x2 b ; P x x1. 2 c
−
= + = = = So sánh một số α với các
nghiệm của tam thức bậc hai
Ta xét các bài toán sau:
1 Bài toán 1.Tam thức bậc hai 2
( )
f x = ax + bx + c có hai nghiệm thoả mãn
x < < α x
Cách giải: Điều kiện của bài toán tương đương với x1− < < − α 0 x2 α
Đặt x − = α y , sau đó biến đổi 2
( )
f x = ax + bx + c về tam thức bậc hai ẩn là y
Vậy để bài toán thoả mãn điều kiện đã cho thì tam thức bậc hai ( ) f y phải có hai
nghiệm trái dấu
* Thí dụ 1 Tìm m để phương trình 2 2
(2 m − 1) x + ( m − 1) x + + = m 2 0 có hai nghiệm x x sao cho 1, 2 x1< < 1 x2
f x = m − x + m − x + + m ,
từ giả thiết x1< < ⇔ − < < − 1 x2 x1 1 0 x2 1
Đặt x − = ⇒ = + 1 y x y 1
f y = m − y + + m − y + + + m
(2 m 1) y ( m 4 m 3) y m 3 m
Để bài toán được thoả mãn thì tam thức bậc hai ( ) f y có hai nghiệm phân biệt
(2 m 1)( m 3 ) m 0
0
2
m
< <
* Thí dụ 2 Cho hàm số 2 1
(1) 1
x y x
−
= + Với giá trị nào của m , đường thẳng d đi qua A(-2; 2) và có hệ số góc m m cắt đồ
thị hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh
Lời giải Phương trình của đường thẳng d : m y = m x ( + + 2) 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1): m
Trang 2
2
1
x
m x x
+
Để d cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh thì phương trình m
trên phải có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1< − < 1 x2
Đặt x + = 1 y , phương trình trên trở thành my2+ my + = 3 0 , pt này phải có hai nghiệm trái dấu ⇔ 3 m < ⇔ < 0 m 0.
( )
f x = ax + bx + c có hai nghiệm thoả mãn
1 2
x x
α < <
Cách giải: Điều kiện α < < x1 x2 ⇔ < − < − 0 x1 α x2 α Đặt x − = α y , dẫn đến
một tam thức bậc hai ẩn y là ( ) f y có hai nghiệm dương phân biệt
* Thí dụ 3 Tìm m để phương trình x2 − 3 x + 2 m − = 1 0 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 1 < < x1 x2
Lời giải Điều kiện 1 < < x1 x2 ⇔ < − < − 0 x1 1 x2 1 Đặt x − = 1 y , phương trình
đã cho trở thành 2
y − + y m − = Để bài toán thỏa mãn thì phương trình mới phải có hai nghiệm phân biệt đều dương
1 0
m
∆ = − + >
= − >
* Thí dụ 4 Cho hàm số
2
1 (1) 1
y
x
− + +
=
− ( m là tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt và có hoành độ lớn
hơn 1
Lời giải Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
⇔ phương trình f x ( ) = mx2− + + = x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x x đều 1, 2 lớn hơn 1, tức là 1 < < x1 x2 Tương tự thí dụ 3, đặt x − = 1 y , ta được phương trình my2+ (2 m − 1) y + 2 m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt đều dương
2
0
0
0
1 2
0
1 0
2 0
2
m
m
m S
m
m P
≠
( )
f x = ax + bx + c có hai nghiệm thoả mãn
1 2
x < < x α
Cách giải: Tương tự như bài toán 2
Trang 3* Thí dụ 5 Cho hàm số
2
(1) 1
y
x
=
− ( m là tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 3; + ∞ )
Lời giải TXĐ: R \ {1}
Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( 3; + ∞ )
2
Xét g x ( ) = 2 x2− 4 x + − 3 m có ∆ = ' 2 m − 2
Nếu ∆ ≤ ⇔ ≤ ' 0 m 1 , thì g x ( ) ≥ ∀ 0 x , suy ra y ' ≥ ∀ ≠ 0 x 1 , vậy hàm số (1) đồng biến trên toàn MXĐ, suy ra nó đồng biến trên khoảng (3; + ∞ )
Nếu ∆ > ⇔ > ' 0 m 1 thì y ' ≥ ∀ > ⇔ 0 x 3 g x ( ) ≥ ∀ > 0 x 3 khi và chỉ khi ( ) g x
có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1< ≤ x2 3
⇔ g y ( ) = 2 y2+ 8 y + − 9 m ( với y = − x 3 ) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 0
1
1
9 9
0 2
m
m
m m
P
>
>
⇔ = − < ⇔ ≤ ⇔ < ≤
−
Đáp số: m ≤ 9
* Thí dụ 6 Cho hàm số 1 3 2
3
y = x − x + mx − ( m là tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1)
Lời giải
TXĐ: R
Hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1) khi và chỉ khi
2
y = x − x + ≥ m ∀ < x
Xét g x ( ) = x2 − 4 x + m có ∆ = − ' 4 m
Nếu ∆ ≤ ⇔ ≥ ' 0 m 4 thì y ' ≥ ∀ 0 x Do vậy, hàm số (1) đồng biến trên toàn R, vậy nó đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1)
Nếu ∆ > ⇔ < ' 0 m 4 thì ' y ≥ ∀ < 0 x 1 khi và chỉ khi ( ) g x có hai nghiệm phân
biệt x x thỏa mãn 1, 2 1 ≤ < x1 x2
⇔ g y ( ) = ( y + 1)2− 4( y + + 1) m
= y2− 2 y + − m 3 có hai nghiệm phân biệt không âm
4
4
3
m
m
m
<
⇔ = − ≥ = > ⇔ ≥ ⇔ ≤ <
Trang 4* Bài tập tự luyện
Bài 1 Tìm m để phương trình ( m + 4) x2 + ( m2− m x ) + 2 m = 0 có hai nghiệm
1, 2
x x thỏa mãn x1< − < 1 x2
Bài 2 Tìm m để phương trình ( m + 1) x2 − (2 m − 1) x + = m 0 có hai nghiệm
1, 2
x x thỏa mãn − ≤ < 2 x1 x2
Bài 3 Cho hàm số 2
x y x
+
= + có đồ thị ( C )
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng dm: y = mx + − m 1 cắt ( C ) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của ( C)
Bài 4 Cho hàm số
2
2
y
x
=
− có đồ thị ( C)
Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2
3
y = − x + m − x + m + x −
( m là tham số) Tìm m để hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; 3)