SKKN phuong phap moi giai bai toan so sanh mot so voi nghiem cua tam thuc bac hai xep bac b thanh pho Ha noi

Đối với chương trình toán Trung học phổ thông thì các bài tập có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một số lượng lớn trải dài từ lớp 10 đến lớp 12.Tr[r]

A.ĐẶT VẤN ĐỀ I.MỞ ĐẦU

Đối với chương trình đại số lớp 10 nhằm giảm tải nên học sinh học “dấu nhị thức bậc nhất” “dấu tam thức bậc hai”, khơng học “định lí đảo dấu tam thức bậc hai” nên lên lớp 12 học giải tích lớp 12, việc giải tốn tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng K cho trước thường gây lúng túng khó khăn cho học sinh làm Nhiệm vụ người giáo viên giúp học sinh biết liên hệ , phân tích tổng hợp để biết cách quy toán chưa biết cách giải toán quen thuộc biết cách giải

Để góp phần giúp học sinh thực tốt việc giải toán liên quan đến toán “so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai” có phương pháp giải toán theo tinh thần đổi sách giáo khoa chọn đề tài với nội dung “ Phương pháp để giải toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai “

II.VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU 1.Cơ sở thực tiễn đề tài

Trong chương trình toán THPT toán liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai chiếm vị trí quan trọng Chẳng hạn tốn “Tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng cho trước” , ”Tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có nghiệm khoảng cho trước” ,…rất hay gặp kiểm tra, thi tốt nghiệp thi Đại học_Cao đẳng.Trong theo chương trình sách giáo khoa học sinh học kiến thức dấu tam thức bậc hai không học định lí đảo dấu tam thức bậc hai Như thực tiễn đặt phải có cách nhìn nhận tiếp cận để đưa việc giải toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai toán xét dấu tam thức bậc hai mà học sinh biết cách giải

Năm học 2008-2009 năm sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình sử dụng.Thơng qua việc trực tiếp giảng dạy dự đồng nghiệp, nhận thấy kiến thức giải tích lớp 12 học sinh cịn hạn chế , em lúng túng gặp khó khăn giải tốn tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng cho trước (mà dấu đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu tam thức f( x ) ax2 bx c

   , a ≠0 )

Điều khiến tơi phải suy nghĩ tìm tịi phương pháp giải phù hợp dễ hiểu trình độ kiến thức học sinh

2.Mục đích đề tài

Đối với chương trình tốn Trung học phổ thơng tập có liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai chiếm số lượng lớn trải dài từ lớp 10 đến lớp 12.Trong phương pháp sử dụng “định lí đảo dấu tam thức bậc hai” công cụ mạnh để giải tốn giảm tải nên khơng đưa vào sách giáo khoa.Điều khiến cho không học sinh mà nhiều giáo viên cảm thấy lúng túng khó khăn gặp tốn vậy, họ chưa có cơng cụ hữu hiệu để giải cách chung cho tập có liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai Đề tài viết với mục đích nhằm giúp cho học sinh giáo viên có cách nhìn nhận mới, phương pháp giải vấn đề liên quan đến toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai mà khơng cần dùng “định lí đảo dấu tam thức bậc hai” Đây vấn đề đông đảo học sinh , giáo viên quan tâm mong muốn giải

3.Lịch sử đề tài

Năm học 2008-2009 năm học học sinh học sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình Nhằm thực giảm tải nên chương trình đại số 10 cắt bỏ phần kiến thức “định lí đảo dấu tam thức bậc hai” Ở năm học trước sử dụng sách giáo khoa chương trình cũ có phần kiến thức“định lí đảo dấu tam thức bậc hai” nên giáo viên học sinh có cơng cụ hữu ích để giải tốn có liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai nên người nghĩ tới cần phải tìm phương pháp thay phương pháp sử dụng “định lí đảo dấu tam thức bậc hai” vốn mạnh giải tập.Do bắt đầu sang năm học 2008-2009 sử dụng sách giáo khoa theo chương trình nhiều giáo viên học sinh cố gắng tìm tịi để tìm phương pháp thay phương pháp sử dụng “định lí đảo dấu tam thức bậc hai” chưa có đưa phương pháp chung , dễ hiểu gần gũi với người học Chính sau nhiều thời gian nghiên cứu thử nghiệm xin mạnh dạn đưa phương pháp giải góp phần hữu ích giúp cho việc dạy học toán tốt

4.Phạm vi sử dụng đề tài

5.Quá trình thực nghiên cứu

Năm học 2008-2009 năm sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình sử dụng Thơng qua việc trực tiếp giảng dạy dự đồng nghiệp, tơi nhận thấy kiến thức giải tích lớp 12 học sinh hạn chế, em lúng túng gặp khó khăn giải tốn tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng cho trước (mà dấu đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu tam thức f( x ) = ax2

+bx+c , a ≠0 )

Điều khiến tơi phải suy nghĩ tìm tịi phương pháp giải phù hợp dễ hiểu trình độ kiến thức học sinh

Từ vấn đề đặt trên, mạnh dạn áp dụng, khai thác toán cố gáng đưa toán phức tạp toán đơn giản mà học sinh biết cách giải tiết học tập tự chọn môn học thu số kết mong muốn

6 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu sở lý luận lý thuyết dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai đại số 10

- Đề xuất phương pháp giải nhằm giải toán liên quan đến so sánh nghiệm tam thức bậc hai mà khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT.

Vấn đề cần giải phương pháp giải toán liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai mà không sử dụng phương pháp ”Định lí đảo dấu tam thức bậc hai”

II.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lí Viet

Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 ( a 0) (*) có hai nghiệm

1,x x

S = x1+x2=−ba ,

p = x1.x2 ¿c a

Nhận xét :

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x1,x2 ( x1≤ x2 ) Đặt S = − b

a P = c

a Khi :

+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1<0<x2⇔ P <0

+ Phương trình có hai nghiệm dương 0<x1≤ x2

Δ≥0

⇔ S > P >0 +Phương trình có hai nghiệm âm x1≤ x2<0

Δ≥0

⇔ S < P >

a >

∀x∈R ,ax2+bx+c>0 ⇔ Δ<¿

0 ,

   

x R ax bx c ⇔ a < 0

Δ<¿ III.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

1.DẠNG 1:

Tìm điều kiện để phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<α<x2

Cách giải :

Ta đặt t=x − α Khi tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) )có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1<0<t2

đã biết cách giải

Thí dụ 1 : Bài 58b (SGK Giải Tích 12 nâng cao,trang 56) Cho hàm số y=2x −1

x+1 (H).

Với giá trị m, đường thẳng ( dm ) qua điểm A(-2;2) có hệ

số góc m cắt đồ thị hàm số cho hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị?

Lời giải:

TXĐ :D=R\{ −1 }

Phương trình đường thẳng ( dm ) qua điểm A(-2;2) có hệ số góc m là : y=m(x+2)+2

Hoành độ giao điểm đường thẳng ( dm ) đồ thị (H) nghiệm

phương trình :

mx+2m+2=2x −1

x+1 ( x ≠ −1 )

⇔ (mx+2m+2)(x+1)=2x −1

⇔ mx2

+3 mx+2m+3=0 (1)

Hai nhánh (H) nằm hai bên đường tiệm cận đứng x=−1 nên

đường thẳng ( dm ) cắt hai nhánh (H) phương trình (1) có

2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1<−1<x2

t −1¿2+3m(t −m 1)+2m+3=0

¿

⇔ mt2+mt+3=0 (2)

Bài toán cho trở thành tìm m để phương trình ( 2) có nghiệm t1, t2

thỏa mãn t1<0<t2 hay 3m<0 ⇔ m<0

Vậy với m<0 đường thẳng ( dm ) qua điểm A(-2;2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số cho hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị

2.DẠNG 2:

Tìm điều kiện để phương trình ax2+bx+c=0 (a0)có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn  x1x2 hoặc x1x2

Cách giải :

Ta đặt t=x − α Khi tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0t1t2 hoặc (t1t2 0) biết cách giải

Thí dụ 2 Bài 63c (SGK Giải Tích 12 nâng cao, trang 57) Cho hàm số y= x+2

2x+1 (H)

Tìm giá trị m cho đường thẳng y=mx+m−1 cắt đường cong

(H) hai điểm thuộc nhánh (H).

Lời giải :

TXĐ D=R\{ −21 }

Hoành độ giao điểm đường thẳng cho đường cong (H) nghiệm phương trình :

mx+m −1=¿ x+2

2x+1

⇔ (mx+m−1)(2x+1)=x+2

⇔ 2mx23(m1)x m  0 (1)

Hai nhánh (H) nằm hai bên đường tiệm cận đứng x=−1 nên

đường thẳng cho cắt đường cong (H) hai điểm thuộc nhánh phương trình (1) có nghiệm x1,x2 thỏa mãn

1

2 x x



 

hoặc

1

( )

2

Đặt t=x+1

2 hay x=t −

2 phương trình (1) trở thành :

2

1

2 ( ) 3( 1)( )

2

m t  m t m 

⇔

2

2 ( 3)

2

mt  m t 

(2)

Bài tốn cho trở thành tìm m để phương trình ( 2) có nghiệm t1, t2

thỏa mãn 0t1t2 hoặc t1t2 0

Tức  0 (m 3)212m0 m3

⇔ ⇔ ⇔

P > -m > 0 m0 Vậy m   ( ; 3) ( 3;0)  là giá trị cần tìm

3.DẠNG DẠNG 3.1

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) khoảng( ; ).

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2

+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1x2

Ta đặt t=x − α Khi tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1t2 0 Với a>0  0

S 

P 0

Thí dụ 3. Cho hàm số

3

2

2 (3 )

3

y x  x   m x m 

Xác định m để hàm số đồng biến khoảng (3;)

Lời giải : TXĐ D=R

Ta có y' 2 x2 4x m  3

Dấu y’ phụ thuộc vào dấu f x( ) 2 x2 4x 3 m

Hàm số cho đồng biến khoảng (3;) ⇔ f x( ) 0 ,  x (3;).

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 '

⇔ 2>0 ⇔ m1 (a) 2m -2 0

Trường hợp 2:

Phương trình 2x2 4x 3 m0 (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1x23

Đặt t= x-3 hay x=t+3 Phương trình (1) trở thành : 2(t3)2 4(t3) 3  m0

⇔ 2t2 8t 9 m 0

    (2) với a=2 >0

Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1t2 0

 ' 0 2m 0 m1

⇔ S < ⇔ - < ⇔ ⇔ 1m9 (b) P  9-m0 m9

DẠNG 3.2

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) khoảng ( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2

+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1x2

Ta đặt t=x − α Khi tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1t2 0

a<0

 0 S 

P 0

Thí dụ 4: Cho hàm số

3 2

2

2 ( 1)

3

y x  mx  m  m x m 

Xác định giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng (2;).

Lời giải : TXĐ D=R

Ta có y'2x24mx m 22m1

Để hàm số nghịch biến khoảng (2;)thì y' 0 ,  x (2;)

Đặt f(x)= 2x24mx m 22m1 ta tìm m để f(x) 0, x (2;)

Ta có '=2m24m2>0 m.

Phương trình 2x24mx m 22m10 (1) có hai nghiệm x1,x2phân biệt

thỏa mãn x1x2 2 hay x1 2x2 0

⇔ 2t24(m 2)t m 210m 0 (2) với a=-2<0

Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt thỏa mãn t1t20  ' 0 2m24m2>0 m m2

S  ⇔ 2(m 2) 0 ⇔

P 0 2(m210m 7) 0 m 5 2 ; m 5

⇔ m 5 2

4.DẠNG 4 DẠNG 4.1

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) khoảng( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn  x1x2

Ta đặt t=x − α Khi tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt thỏa mãn

1

0 t t .

a>0  0

S > P 0 Thí dụ 5 :

Tìm tất giá trị m để hàm số

3

1

( 1) (3 1)

y x  m x  m x

đồng biến khoảng ( ;1).

Lời giải : TX Đ D=R

Ta có y'x2 2(m1)x 3m1

Đặt f x( )x2 2(m1)x 3m1 Khi để hàm số cho đồng biến

khoảng ( ;1) f(x) 0 ,    x ( ;1)

Xét trường hợp :

Trường hợp 1:

a0 a=1>0

 ' 0 m25m0 Trường hợp 2:

Phương trình x2 2(m1)x 3m 1 0 (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn

1x x

Ta đặt t x 1 hay x= t+1 Khi phương trình (1) trở thành (t1)2 2(m1)(t1) 3 m 1

⇔

2

t  mt m (2)

Để phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t1 t2 a>0 a=1>0 m0;m 5

 ' 0 ⇔ m2 5m0 ⇔ m0 ⇔ vô nghiệm

S > m0 m0 P  -5m 

Vậy kết hợp hai trường hợp ta 5m0thì hàm số cho dồng

DẠNG 4.2

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c 0 (a0) khoảng( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a0

 0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2

+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn  x1x2

Ta đặt t=x − α Khi tốn dẫn đến tìm điều kiện để tam thức

g(t)=0 ( với g(t)=f(t+α) ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t1 t2 a0

 0

S > P 0

Chú ý : Ta chuyển dạng 4.2 dạng 4.1 cách đặt p(x)=-f(x) Vì f x( )ax2bx c 0 (a0) khoảng ( ; ) nên p(x)0 khoảng

V.ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Trước cho học sinh áp dụng phương pháp giải kết học sinh hai lớp 12B1 lớp 12B2 đạt làm tốn liên quan đến tìm điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng K sau

LỚP Sỹ số Điểm

0

Điểm 3,4 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 Điểm 5 Tỷ lệ %

12B1 54 11 24 36 66,67

12B2 54 26 10 39 72,22

Sau cho học sinh áp dụng phương pháp giải kết học sinh hai lớp 12B1 lớp 12B2 đạt làm toán liên quan đến tìm điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng K sau

LỚP Sỹ số Điểm

0

Điểm 3,4 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 Điểm 5 Tỷ lệ %

12B1 54 17 22 11 50 92,6

12B2 54 19 20 13 52 96,3

So sánh kết hai lần khảo sát thấy tỷ lệ học sinh làm sau áp dụng đề tài tăng nhiều đáng kể , số điểm (9;10) tăng lên rõ rệt Đặc biệt nhờ có cách tiếp cận làm học sinh cảm thấy hứng thú môn học , em không cịn thấy khó khăn hay lúng túng gặp tốn có liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai

VI.LỢI ÍCH CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI TỐN THPT

Đề tài nêu bật lên phương pháp giải tốn theo tinh thần chương trình sách giáo khoa , góp phần đổi phương pháp dạy học , phát huy tính chủ động , tích cực giáo viên học sinh.Giúp học sinh biết cách đưa toán phức tạp toán đơn giản biết cách giải

C KẾT LUẬN

Thông qua đề tài , muốn chia sẻ số kinh nghiệm nhỏ chun mơn đại số giải tích tốn Trung học phổ thơng , cụ thể phương pháp giải toán liên quan đến “so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai “ theo tinh thần đổi sách giáo khoa.Do thời gian trình độ có hạn , dù cố gắng song cịn thiếu sót mong nhận trao đổi , chia sẻ thầy cô giáo, đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện , góp phần thúc đẩy cơng việc dạy học mơn tốn Trung học phổ thơng

Hà Nội, ngày 20, tháng4, năm2009 Người viết

TÀI LIỆU THAM KHẢO