SKKN rèn luyện kỹ năng phân loại và giải toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TỐN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC STT 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.1.1 2.3.1.2 2.3.1.3 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 2.3.2.3 2.3.2.4 2.3.4 2.4 Tên đề mục Trang Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng đề tài Giải pháp thực Hệ thống kiến thức liên quan Định nghĩa nguyên hàm, tích phân Tính chất nguyên hàm, tích phân Phương pháp đổi biến số phương pháp nguyên hàm, tích phân phần Các phương pháp Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân 10 Phương pháp đổi biến số 12 Phương pháp nguyên hàm, tích phân phần 18 Bài tập tương tự 21 Kết nghiên cứu 21 Kết luận kiến nghị 22 Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình mơn Tốn cấp THPT tốn tìm ngun hàm, tích phân nội dung khó đa số học sinh Đứng trước toán em chủ yếu làm quen với cách tìm ngun hàm, tích phân số hàm sô thường gặp bảng nguyên hàm hai phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích phân phần… Nhưng với cách đổi hình thức thi trắc nghiệm đề thi thường xuất tốn tìm ngun hàm hay tích phân có chứa hàm ẩn nên làm cho học sinh gặp khó khăn việc định hướng tìm lời giải Các em thường lúng túng việc áp dụng lý thuyết học, chí đa số em bỏ qua câu kể với em có học lực khá, giỏi suy nghĩ câu hỏi có tính chất vận dụng cao Vì lí trình giảng dạy học sinh nhiều năm lớp 12 q trình ơn tập tiến tới kỳ thi THPTQG tới mạnh dạn đưa cách giải khó khăn học sinh đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TỐN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đứng trước vấn đề trình giảng dạy bồi dưỡng kiến thức cho học sinh , tơi ln trăn trở tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề từ dễ đến khó Nhưng biết khơng có chìa khố vạn “mở khố” tốn Trong việc giảng dạy tốn học nói chung q trình ơn thi THPTQG nói riêng, việc làm cho học sinh giải vấn đề đặt tốn cách sáng tạo, hồn chỉnh cần thiết Trong viết này, dựa kinh nghiệm số năm giảng dạy lớp 12, luyện thi THPTQG bồi dưỡng kiến thức cho em giành số điểm cao , xin nêu lên hướng giải tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TỐN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”, nhằm làm cho học sinh nâng cao khả tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh,giúp em tự tin để bước vào kì thi THPTQG tới 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn chương trình mơn Tốn cấp THPT - Một số tập vận dụng thấpvà vận dụng cao nằm đề thi khảo sát chất lượng THPTQG trường THPT đề thi THPTQG năm gần Bộ GD & ĐT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU * Phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lý luận chung - Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm * Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối THPT năm học qua NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Tốn học mơn học quan trọng khó, kiến thức rộng, khơng học sinh ngại học mơn - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học môn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn Tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn ngun hàm tích phân chứa hàm ẩn Khi gặp tốn ngun hàm tích phân có chứa hàm ẩn có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với tốn hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khn khổ kiến thức SGK khiến học sinh khó khăn tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi nay, tốn tìm ngun hàm tích phân nói chung tốn tìm ngun hamg tích phân có chứa hàm ẩn nói riêng đặt yêu cầu cao học sinh Để giải tốn, học sinh khơng nắm lý thuyết mà phải biết kết hợp thành thạo cách giải tổng quát mà em học Tạo nên liên kết chặt chẽ mặt kiến thức kiến thức cấp học giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động việc tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục tâm lý lo sợ gặp toán khó mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải thành thạo số tốn ngun hàm tích phân chứa hàm ẩn “ Bốn phương pháp bản” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua việc khảo sát khảo sát nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT địa bàn huyện Nga Sơn trình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần nhận thấy học sinh gặp câu tìm ngun hàm, tích phân có chứa hàm ẩn thường không định hướng cách giải chí bỏ qua câu Điều phần thấy khó yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi THPTQG bỏ qua hoàn toàn câu làm vài dạng câu với mức độ nhận biết học chí khoanh bừa Một điều đáng ngạc nhiên năm gần đề thi khảo sát chất lượng môn thi THPTQG trường THPT nước, đề thi đề minh họa Bộ GD &ĐT từ năm 2017 đến thường xuất dạng câu hỏi Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic giúp em học sinh có thêm tự tin để giải tốn khó Đó mục đích đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”mà hướng đến 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa bốn hướng giải vấn đề tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn để giúp học sinh có kỹ cần thiết q trình ơn tập thi THPTQG là: “phương pháp sử dụng định nghĩa, tích chất nguyên hàm; phương pháp sử dụng định nghĩa tính chất tích phân, giải hệ tích phân; phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích phân phần” Đối với phương pháp, tơi phân tích định hướng cho học sinh cho em làm cụ thể, đồng thời lấy ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải Những dạng tập có nhiều cách giải tơi so sánh phân tích để em thấy ưu nhược cách giải để từ em chủ động việc định hướng,lựa chọn cách giải cho tập tương tự Để minh họa cho phương pháp, đưa toán nằm Đề thi khảo sát THPT QG trường THPT Bộ GD & ĐT Với tốn tơi dẫn cách giải phù hợp với nội dung chương trình học từ học sinh có định hướng phân loại, kỹ giải thành thạo toán gặp 2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân * Định nghĩa 1: Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm f ( x) K F ( x)′ = f ( x), ∀x ∈ K Họ tất nguyên hàm f ( x) K kí hiệu ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , C ∈ R Từ đó: ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ( C số) hay ( ∫ f ( x)dx ) ′ = f ( x) * Định nghĩa 2: Cho hàm số f ( x) liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) K hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân f ( x) từ a đến b kí hiệu là: b b a a ∫ f ( x)dx hay ∫ f ′( x)dx = f (b) − f (a) 2.3.1.2 Tính chất nguyên hàm, tích phân * Giả sử hàm số f ( x), g ( x) liên tục K thì: ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ; ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x), ∀k ≠ * Giả sử hàm số f ( x), g ( x) liên tục K ba số a, b, c thuộc K Khi : a + ∫ a b f ( x)dx = ; ∫ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ; b b ∫ a c c b a f ( x)dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx b b b b a a a a a b + ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ; ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx, k ∈ R b  f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] * Nếu hàm số f ( x) liên tục [ a; b] thỏa mãn  thì: ∫ f ( x)dx > a  f ( x0 ) > 0, x0 ∈ [ a; b ]  f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]  * Nếu hàm số f ( x) liên tục [ a; b]  b thì: f ( x) = 0, ∀x ∈ [ a; b ]  ∫ f ( x )dx = a b b  b f ( x ), g ( x ) a ; b [ ] * Nếu Nếu hàm số liên tục thì:  ∫ f ( x).g ( x)dx ÷ ≤ ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx a a  a Dấu xảy f ( x), g ( x) tỉ lệ [ a; b] 2.3.1.3 Phương pháp đổi biến số phương pháp nguyên hàm, tích phân phần * Phương pháp đổi biến số : + Cho hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f (u ) liên tục cho f [ u ( x) ] xác định K Khi F nguyên hàm f , tức ∫ f (u )du = F (u ) + C ∫ f [ u( x)] u′( x)dx = F [ u( x)] + C + Cho hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f (u ) liên tục cho f [ u ( x) ] xác định K ; a, b hai số thuộc K Khi đó: b ∫ f [ u ( x) ] u′( x )dx = a u (b ) ∫ f (u )du u(a) * Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u ( x ) , v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục K ∫ u ( x).v′( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ′( x)dx * Phương pháp tích phân phần: Nếu u ( x ) , v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục b a, b hai số thuộc K ∫ u ( x).v′( x)dx = ( u ( x).v( x) ) a b b − v( x).u ′( x) dx a ∫a 2.3.1.4 Quy tắc tính đạo hàm nguyên hàm số hàm số * Giả sử u = u ( x), v = v( x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định u ′ u ′v − uv′  ′ v′ ; ÷ = − Ta có: ( u ± v ) ′ = u ′ ± v′; ( u.v ) ′ = u ′v + u.v′;  ÷ = v2 v v v * Nếu hàm số u = g ( x ) có đạo hàm x u′x hàm số y = f ( u ) có đạo hàm u yu′ hàm hợp y = f ( g ( x)) có đạo hàm x y′x = yu′ u′x * Nguyên hàm số hàm số thường gặp:Với u = u ( x ) ; u ′ = u ′( x) xác định liên tục K Ta có: α ∫ u u′dx = uα +1 u′ u′ u′ −1 + C ; ∫ dx = ln u ( x) + C ; ∫ dx = u + C ; ∫ eu u ′dx = eu + C ; ∫ = +C α +1 u u dx u u 2.3.2 Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân 2.3.2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) xác định tập R \ { 1} thỏa mãn : f ′( x) = f (2) = 2018 Tính giá trị biểu thức: S = f (3) − f (−1) A S = B S = ln C S = ln 4035 ; f (0) = 2017; x −1 D S = Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Khi gặp toán em học sinh lúng túng việc sử dụng giá trị hàm số điểm cho trước để tìm hàm ẩn f ( x) Thậm chí có em thấy đề cho“ thừa” kiện có hai giá trị f ( x) dẫn đến sai lầm tìm số C f ( x) Với dạng tốn giả thiết cho từ hai giá trị hàm điểm trở lên hướng dẫn em giải theo hai cách sau: dx = ln ( x − ) + C x −1  f ( x) = ln( x − 1) + 2017, x < Theo giả thiết: f (0) = 2017, f (2) = 2018 nên   f ( x) = ln( x − 1) + 2018, x > Do đó: S = f (3) − f (−1) = ln + 2018 − ln − 2017 = * Cách 1: Ta có ∫ f ( x)dx = ∫ 0  dx ′ f (0) − f ( − 1) = f ( x ) dx = = ln (1)  ∫ ∫ x −1  −1 −1 * Cách 2: Ta có:  3  f (3) − f (2) = f ′( x)dx = dx = ln (2) ∫2 ∫2 x −   Từ (1) (2) suy ra: S = *Nhận xét: Trong hai cách giải cách thứ học sinh sử dụngtrực tiếp định nghĩa nguyên xét khoảng Còn cách thứ hai sử dụng định nghĩa tích phân sử dụng máy tính hỗ trợ rút ngắn thời gian làm 1  Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) xác định tập R \   thỏa mãn : f ′( x) = 2 ; f (0) = Tính 2x −1 giá trị biểu thức: S = f (3) + f (−1) A S = + ln15 B S = + ln15 C S = + ln15 D S = ln15 Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Với dạng tốn mà biết giá trị hàm số f ( x) điểm hướng dẫn học sinh sử dụng trực tiếp định nghĩa nguyên hàm để tìm hàm ẩn f ( x) Ta có f ( x) = ∫ f ′( x)dx = ∫ Theo giả dx = ln ( x − ) + C 2x −1 thiết: f (0) = ⇔ C = ⇔ f ( x) = ln ( x − ) + nên  f (−1) = ln + ⇒ f (−1) + f (3) = + ln15   f (3) = ln + 1  Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) xác định tập R \   thỏa mãn : f ′( x) = 2 f (1) = Tính giá trị biểu thức: S = f (3) + f ( −1) A S = + ln B S = + ln15 C S = + ln15 ; f (0) = 1; 2x −1 D S = ln15 Hướng dẫn: Đáp án B Phân tích: Với tốn tơi hướng dẫn học sinh tìm hàm ẩn f ( x) theo hai cách * Cách 1: 1  dx = ln ( x − 1) + C1 ; f (1) = ⇒ C1 = + Trên khoảng  ; +∞ ÷: f ( x) = ∫ 2x −1 2    dx = ln ( − x ) + C2 ; f (0) = ⇒ C2 = + Trên khoảng  −∞; ÷: f ( x) = ∫ 2x −1     f ( x) = ln(2 x − 1) + 2, x > ⇒ f (−1) + f (3) = + ln15 Vậy :   f ( x) = ln(1 − x) + 1, x <  0  2dx ′ = ln (1)  f (0) − f (−1) = ∫ f ( x) dx = ∫ 2x −1  −1 −1 * Cách 2:  Từ (1) (2) suy ra: S = + ln15 3  f (3) − f (1) = f ′( x)dx = 2dx = ln (2) ∫1 ∫1 x −   Ví dụ 4: Cho hàm số xác định tập R thỏa mãn : f ′( x) = x + 1; f (1) = Phương trình f ( x) = có nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức: S = log x1 + log x2 A S = B S = C S = Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng định nghĩa nguyên hàm Ta có f ( x) = ∫ f ′( x)dx = ∫ (2 x + 1)dx =x + x + C D S = Theo giả thiết: f (1) = ⇔ C = ⇔ f ( x) = x + x + x = Suy ra: S = log x1 + log x2 =  x = −2 Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm khoảng (0; +∞) thỏa mãn f (2) = f ′( x) + (2 x + 4) f ( x) = Tính giá trị biểu thức: S = f (1) + f (2) + f (3) 15 11 11 A S = B S = C S = D S = 30 15 30 15 Xét phương trình: f ( x) = ⇔ x + x + = ⇔  Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Khi gặp dạng tốn tơi hướng dẫn học sinh kết hợp quy tắc đạo hàm với định nghĩa nguyên hàm để tìm hàm ẩn f ( x) − f ′( x) 2 Ta có: f ′( x) + (2 x + 4) f ( x) = 0, f ( x) > ⇒ f ( x) = x + ⇔ f ( x) = x + x + C 1 1 nên C = ⇒ f ( x) = Suy f (1) + f (2) + f (3) = + + = 15 x + 4x + 15 24 30 Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x) xác định liên tục R Biết : f ( x) f ( x) = 12 x + 13; f (0) = Khi phương trình f ( x) = có nghiệm? A S = B S = C S = D S = Mà f (2) = Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Với tốn xuất lũy thừa định hướng cho học sinh áp dụng nguyên hàm ∫ u u′dx = α Ta có: uα +1 + C Từ giải phương trình tìm hàm ẩn f ( x) α +1 f ( x ) f ( x ) = 12 x + 13 ⇒ ∫ f ( x) f ′( x).dx = ∫ ( 12 x + 13) dx ⇔ ∫ f ( x)d ( f ( x ) ) = x + 13 x + C f ( x) 27 ⇔ = x + 13 x + C ; f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = 42 x + 91x + 7 Từ phương trình: f ( x) = ⇔ f ( x) = 2187 ⇒ 42 x + 91x − 2185 = ( 1) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) xác định liên tục R thỏa mãn: f ′( x) = e x + e − x − 2; f (0) = 5; f (ln ) = Tính giá trị biểu thức: S = f ( − ln16) + f (ln 4) 31 A S = B S = C S = D S = 2 15 Hướng dẫn: Đáp án C Phân tích: Với toán đề cho hàm số mũ định hướng cho học sinh sử u u dụng theo nguyên hàm ∫ e u′dx = e + C để tìm hàm ẩn x −x Ta có: f ′( x) = e + e − = ex −1 ex x x − −  2x  2x 2 e + e + C1 , x ≥ e − e , x ≥   = x f ( x ) = Do đó:  x x x e − − e , x < −2e − − 2e + C , x <   ln ln Theo ta có: f (0) = ⇒ C1 = ⇒ f (ln 4) = 2e + 2e − + = Tương tự: f (ln ) = ⇒ −2e Suy ra: f (− ln16) = −2e − ( − ln16 ) − ln ln − 2e − 2e ( − ln16 ) + C2 = ⇒ C = 5 + = − Vậy : S = f ( − ln16) + f (ln 4) = 2 Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x) liên tục nhận giá trị dương R, thỏa mãn f (0) = f ′( x) x = Khi giá trị biểu thức: S = f (2 2) − f (1) thuộc khoảng f ( x) x + A ( 9;12 ) B ( 2;3) C ( 7;9 ) D ( 0;1) Hướng dẫn: Đáp án D Phân tích: Với tốn đề cho tỉ số đạo hàm hàm số định hướng u′ ∫ u dx = ln u( x) + C để tìm hàm ẩn f ′( x) x d ( f ( x )) d ( x + 1) ∫ f ( x) dx = ∫ x + dx ⇔ ∫ f ( x) = ∫ x + ⇒ ln ( f ( x) ) = ln( x + 1) + C cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm Ta có: 2 Do: f (0) = ⇔ C = ⇔ f ( x) = x + ; f (2 2) = 3; f (1) = 2 ⇒ f (2 2) − f (1) = − 2 ∈ (0;1) Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) ≠ thỏa mãn điều kiện f ′( x) = (2 x + 3) f ( x); f (0) = − Biết tổng a a f (1) + f (2) + + f (2017) + f (2018) = ;( a ∈ Z , b ∈ N ∗ ) phân số tối giản Mệnh đề b b đúng? A b − a = 3029 B a >1 b C a + b = 1010 D a < −1 b Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng quy tắc đạo hàm thương định nghĩa nguyên hàm f ′( x ) f ′( x) −1 2 Ta có: f ′( x) = (2 x + 3) f ( x) ⇔ f ( x) = x + ⇒ ∫ f ( x) dx = ∫ ( x + 3) dx ⇒ f ( x) = x + 3x + C ⇒ f ( x) = − 1 −1   ; f (0) = − ⇒ C = ⇒ f ( x) = = − − x + 3x + C x + 3x +  x + x +  Khi đó: a 1   = f (1) + f (2) + + f (2017) + f (2018) = −  + + + + ÷ b 2018.2019 2019.2020   2.3 3.4 1 1   1009 a = −1009 1 1 1 = −  − + − + + − + − ; ⇒ b − a = 3029 ÷= −  − ÷= − 2018 2019 2019 2020  2020 b = 2020 2 3  2020   f ′′( x) f ( x) − [ f ′( x ) ] + xf ( x) = y = f ( x ), ∀ x ≥ Ví dụ10: Cho , thỏa mãn:  Tính f (1) ?  f ′(0) = 0; f (0) = A S = B S = C S = D S = Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Khi gặp toán với giả thiết cho hệ thức chứa tổng(hiệu) có chứa f ′ tơi định hướng cho học sinh biến đổi theo quy tắc đạo hàm áp dụng định nghĩa nguyên hàm tìm hàm ẩn f ( x) Ta có: f ′′( x) f ( x) − [ f ′( x) ] f ′′( x) f ( x) − [ f ′( x) ] + xf ( x) = ⇔ = −x f ( x) 2  f ′( x) ′ f ′( x) − x f ′(0) −02 f ′( x) − x ⇒   = −x ⇒ = +C ⇒ = +C ⇒C = 0⇒ = f ( x) f (0) f ( x)  f ( x)  1 f ′( x) − x2 1  − x3  1 −1 ⇒∫ dx = ∫ dx ⇒ − = + = ⇒ f (1) = ÷ ⇒− f ( x) f ( x)   f (1) f (0) 0 Theo giả thiết: f (0) = ⇔ C = ⇔ f ( x) = x + nên Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , thỏa mãn f ′(0) = f ′′( x) + [ f ′( x) − x ] = Tính T = f (1) − f (0) A T = + ln B T = + ln C T = − ln D T = Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Đây tốn khó gây lúng túng việc định hướng tìm cách giải Nên gặp hệ thức chứa đạo hàm hướng dẫn em khéo léo biến đổi bám theo quy tắc đạo hàm dẫn đến hàm ẩn f ( x) f ′′( x) − 1 Ta có: f ′′( x) + [ f ′( x) − x ] = ⇒ ( f ′′( x) − 1) = − [ f ′( x) − x ] ⇒ − f ′( x) − x = [ ] 2 f ′′( x) − 1 x Lấy nguyên hàm vế ta được: − ∫ f ′( x) − x dx = ∫ 9dx ⇒ f ′( x) − x = + C [ ] 24 −1 f (1) = =− C = −5 + = −1 ⇒ f ( x) = Từ f (2) = ; Suy Suy x − −1 − −1 4 2.3.2.2.Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân * Nhận xét: Sau số tốn tìm tích phân chứa hàm ẩn việc sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân có kết hợp nhạy bén quy tắc đạo hàm hàm số chương trình lớp 11 Tơi đưa số ví dụ sau để học sinh tự phân tích, định hướng đưa lời giải Ví dụ 1: Cho ∫ f ( x) dx = 10 Kết ∫ [ − f ( x)] dx bằng: A 34 B 36 C 40 Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng tính chất tích phân 2 5 D 32 Ta có: ∫ [ − f ( x) ] dx = ∫ dx + ∫ f ( x)dx = 34 Ví dụ 2: Cho hàm sơ f ( x ) liên tục R F ( x) nguyên hàm f ( x ) , biết: ∫ f ( x)dx = F (0) = Tính F (9) ? A F (9) = 12 B F (9) = C F (9) = −6 Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng định nghĩa tích phân Ta có: D F (9) = −12 ∫ f ( x)dx = F ( x) = F (9) − F (0) = ⇔ F (9) = 12 Ví dụ 3: Cho ∫ 9 ∫ g ( x)dx = 16 Tính: I = ∫ [ f ( x) + 3g ( x)] dx f ( x)dx = 37 A I = 26 B I = 58 C I = 143 Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng tính chất tích phân 9 0 0 D I = 122 Ta có: I = ∫ [ f ( x) + 3g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + 3∫ g ( x)dx = ∫ f ( x)dx − 3∫ g ( x)dx = 26 Ví dụ 4: Nếu ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = −1 : I = ∫ f ( x)dx bằng: A I = B I = −2 C I = Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng tính chất tích phân 5 1 D I = Ta có: I = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = − = Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 0;10] 10 ∫ f ( x )dx = 10 6 ∫ f ( x)dx = Tính P = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x)dx A P = B P = −4 C P = Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng tính chất tích phân D P = 10 10 10 10 0 6 Ta có: I = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ⇔ ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = − = 10 Ví dụ 6: Biết 1 ∫ f ( x)dx = −2 , ∫ f ( x)dx = , ∫ g ( x)dx = Mệnh đề sau sai? A ∫ f ( x)dx = −5 4 B ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = 10 ∫ f ( x)dx = C 4 D ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx = −2 Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng tính chất tích phân Ta có: 1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx = −2 − = −5 −2 Ví dụ 7: Cho ∫ f ( x)dx = −2 ∫ g ( x)dx = Tính: I= ∫ [ f ( x) − g ( x) − 1] dx −2 A I = 13 B I = 27 C I = −11 Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng tính chất tích phân Ta có: I = 5 −2 −2 ∫ [ f ( x) − g ( x) − 1] dx = ∫ −2 f ( x)dx + ∫ g ( x )dx − x D I = = 13 −2 Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x) = x − x + x − x + 1, ∀x ∈ R Tính I = ∫ f ( x) f ′( x)dx 2 A − C B −2 D Hướng dẫn: Đáp án A Sử dụng tích phân hàm lũy thừa 1 0 2 Ta có: I = ∫ f ( x) f ′( x)dx = ∫ f ( x).d ( f ( x)) = f ( x) f (1) − f (0) = =− 3 Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;1] , thỏa mãn f ( x) > 0, ∀x ∈ R f ′( x) + f ( x) = Biết f (1) = , tính f ( −1) A f (−1) = e4 B f (−1) = e−2 C f (−1) = e3 D f (−1) = Hướng dẫn: Đáp án A Sử dụng tích phân hàm số lôgarit 1 f ′( x) f ′( x) = −2 ⇔ ∫ dx = ∫ −2dx = −4 ⇔ ln ( f ( x) ) f ( x) f ( x) −1 −1 Ta có: f ′( x) + f ( x) = ⇔ Suy f (−1) = e4 Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f ′( x) f ( x) = x + x Biết A f (2) = 332 15 B f (2) = 313 15 C f (2) = 324 15 −1 = −4 f (0) = Tính f (2) 323 D f (2) = 15 Hướng dẫn: Đáp án A Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp máy tính casio Ta có: f ′( x) f ( x) = x + x 2 Suy : ∫ 2 0 f ′( x) f ( x)dx = ∫ ( x + x ) dx ⇔ ∫ f ( x)df ( x) = 136 f ( x) 136 332 ⇔ = ⇒ f (2) = 15 15 15 Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] , thỏa mãn điều kiện 1 1 0 ∫ f ( x)dx = ∫ xf ( x)dx = ∫ [ f ( x)] dx = , Giá trị tích phân ∫ [ f ( x)] dx A B Hướng dẫn: Đáp án C C 10 D 80 11 *Phân tích: Đây tốn tính tích phân hàm ẩn chứa lũy thừa đặc biệt mũ 2, định hướng học sinh phân tích theo đẳng thức sử dụng thêm tích chất:  f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b   ∫ f ( x)dx = a thì: f ( x) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] từ tìm hàm ẩn f ( x) + Xét: 1 1 0 ∫  f ( x) + ( ax + b )  dx = ∫ [ f ( x)] dx + 2∫  f ( x) ( ax + b )  dx + ∫ ( ax + b ) dx 2 1 a2 = + 2a ∫ xf ( x )dx + 2b ∫ f ( x) dx + ( ax + b ) = + 2(a + b) + + ab + b 3a 0 a Ta cần xác định số a, b để + 2(a + b) + + ab + b = − ( b − 2) 2 Ta có: ∆ = b + 4b + − (b + 4b + 4) = ≤ ⇒ b = ⇒ a = −6 3 1 Khi đó: ∫  f ( x) + ( -6x + )  dx = ⇒ f ( x) = x − ⇒ ∫ [ f ( x)] dx = ∫ [ (6 x − 2) ] dx = 10 3 Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai liên tục R , thỏa mãn điều kiện  f ( x) > 0, ∀x ∈ R   f (0) = f ′(0) = Mệnh đề sau đúng?  xy + y′2 = yy′′, ∀x ∈ R  1 A < ln f (1) < B < ln f (1) < C < ln f (1) < 2 2 D.1 < ln f ( 1) < Hướng dẫn: Đáp án D.Sử dụng quy tắc đạo hàm thương định nghĩa tích phân ′′ ′2 ′ ′ ′ Ta có: xy + y′2 = yy′′ ⇔ yy −2 y = x ⇔  y ÷ = x ⇔ y = x + C y ⇔  y y f ′( x) x f ′( x) x = + C ; f (0) = f ′(0) = ⇒ C = ⇒ = +1 f ( x) f ( x) 2 ⇔∫ 1  x2  f ′( x) dx = ∫  + 1÷dx ⇔ ln ( f ( x) ) = ⇔ ln ( f (1) ) = ⇒ < ln f ( 1) < f ( x)  0 2.3.2.3 Phương pháp đổi biến số A Phương pháp đổi biến số loại Ví dụ 1: Cho ∫ f ( x)dx = 12 Tính: I = ∫ f (3 x)dx A I = B I = 36 Hướng dẫn: Đáp án A C I = 2 Xét tích phân I = ∫ f (3x)dx Đặt : 3x = t ⇒ dx = Do đó: I = ∫ f (3x)dx = D I = dt Khi x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 6 1 f (t )dt = ∫ f ( x )dx = 12 = ∫ 30 30 12 Ví dụ 2: Cho ∫ f (x + 1)dx = Tính: I = ∫ f ( x)dx A I = B I = Hướng dẫn: Đáp án A C I = D I = −1 Xét tích phân ∫ f (x + 1)dx = Đặt : x + = t ⇒ dt = xdx Khi x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = Do đó: ∫ 5 f ( x + 1)dx = ∫ f (t )dt ⇒ ∫ f (t )dt = ∫ f ( x + 1)dx = 22 2 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn: ∫ f ( x)dx = Tính: −5 I = ∫ [ f (1 − x) + 9] dx A I = 21 Hướng dẫn: Đáp án A B I = 15 C I = 27 D I = 75 Xét tích phân I = ∫ [ f (1 − 3x) + 9] dx Đặt : − x = t ⇒ dt = −3dx Khi x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = −5 Do đó: 2 −5 0 I = ∫ [ f (1 − x) + 9] dx = ∫ f (1 − 3x )dx + ∫ 9dx = ∫[ 11 dt f (t ) ] + x = ∫ f ( x)dx + 18 = + 18 = 21 −5 −3 B Phương pháp đổi biến số loại Cho hàm số f ( x) thỏa mãn: A f ( x) + B.u ′ f (u ) + C f (a + b − x) = g ( x) Bằng phương pháp đổi biến ta chứng minh được: u (a) = a + Với  u (b) = b b ∫ b f ( x)dx = a g ( x) dx (I) A + B + C ∫a b u (a) = b f ( x ) dx = g ( x) dx (II) + Với  ∫ A − B + C ∫a u (b) = a a b * Nếu y = f ( x) liên tục [ a; b] b ∫ a b f (a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx a Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn: f ( x) + f (1 − x) = − x Tính: I = ∫ f ( x)dx A I = 15 B I = C I = D I = Hướng dẫn: Đáp án A 1 Đặt : t = − x ⇒ dx = −dt ⇒ ∫ f (1 − x )dx = − ∫ f (t )dt = ∫ f ( x )dx 1 0 f ( x) + f (1 − x) = − x ⇔ 5∫ f ( x)dx = ∫ − xdx = 2 ⇒I = 15 13 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục [ −1; 2] thỏa mãn: f ( x) + xf ( x − 2) + f (1 − x) = x Tính: I = ∫ f ( x)dx −1 B I = A I = C I = 15 D I = Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Với ví dụ tơi hướng dẫn học sinh thực theo hai cách đổi biến số vận dụng công thức nêu để từ thấy hiệu cách làm + Cách 1: Đổi biến số f ( x) + xf ( x − 2) + f (1 − x) = x3 ⇒ ∫ −1 2 −1 −1 −1 f ( x)dx + ∫ xf ( x − 2)dx + ∫ f (1 − x )dx = ∫ x 3dx Đặt : + t = x − ⇒ dt = xdx ⇒ x = −1 ⇒ t = −1; x = ⇒ t = 2 ⇒ ∫ xf ( x − 2)dx = −1 ∫ −1 f (t ) dt = ∫ f ( x)dx ( 1) −1 + u = − x ⇒ du = −dx ⇒ x = −1 ⇒ u = 2; x = ⇒ t = −1 ⇒ ∫ f − x )dx = −1 ∫ −1 ( 2) f (u )du = ∫ f ( x )dx −1 2 Vậy : ∫ f ( x)dx = 15 ⇒ ∫ f ( x)dx = −1 + −1 Cách 2: Áp dụng công thức (I) ta có: u (−1) = −1 f ( x) + xf ( x − 2) + f (1 − x) = x3 ⇒ A = 1; B = 1; C = 3;  u (2) = 2 Nên I = ∫ f ( x)dx = −1 x 3dx = ∫ + + −1 * Bình luận: Cách giải thứ hai học sinh sử dụng linh hoạt, kết hợp bấm máy tính cho kết nhanh, xác Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục [ −1; 2] thỏa mãn: f ( x) = x + + xf (3 − x ) Tính: I = ∫ f ( x)dx −1 A I = 28 B I = Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng f ( x) + công D I = C I = thức (II) 14 ta có: u (−1) = 1 ( −2 x ) f (3 − x ) = x + ⇒ A = 1; B = ; C = 0; u = − x ,  2 u (2) = −1 28 I = ∫ f ( x)dx = x + 2dx = ∫ Nên −1 − + −1 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn: f ( x) − x f ( x ) + x3 x2 + = 14 Tích phân: I = ∫ f ( x)dx = a−b a b ; a, b, c ∈ Z ; ; tối giản Tính a + b + c c c c A I = B I = −4 Hướng dẫn: Đáp án A Biến đổi f ( x) − x f ( x ) + x3 x2 + D I = −10 C I = = ⇔ f ( x) − 2.4 x f ( x ) = − x3 x2 + ; A = 1; B = −2; C = Áp dụng cơng thức (I) ta có:  x3  2− − dx =  ÷ ∫ + (−2) + 0  x2 +  Suy ra: a = 2; b = 1; c = ⇒ a + b + c = Nên I = ∫ f ( x)dx = Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn: f (1 + x) + f (1 − x ) = x2 , ∀x ∈ R x2 + Tính tích phân: I = ∫ f ( x)dx −1 A I = − π B I = − π π C I = − D I = π Hướng dẫn: Đáp án A t −1 Khi điều kiện trở thành: t − 2t + x2 − 2x + f (t ) + f (2 − t ) = ⇒ f ( x) + f (2 − x) = ; A = 1; B = 0; C = t − 2t + x − 2x + 3 x2 − x + π ⇒ ∫ f ( x)dx = dx = − ( ≈ 0, 429 ) ∫ + x − x + −1 −1 Đặt: t = + x ⇒ − x = − t; x = C Phương pháp đổi biến số loại Phương pháp: Lần lượt đặt t = u ( x); t = v( x) đưa hệ phương trình hai ẩn (ẩn f(x)) để từ tìm hàm số f(x) * Một số kết chứng minh được: Cho biểu thức:  x −b   x−c A.g  ÷− B.g  ÷  a   −a  * A f (ax + b) + B f (−ax + c) = g ( x) ( A2 ≠ B ) ⇒ f ( x) = ( ) A2 − B A.g ( x ) − B.g ( − x ) + Hệ 1: A f ( x) + B f (− x) = g ( x) ⇒ f ( x) = A2 − B g ( x) + Hệ 2: A f ( x) + B f (− x) = g ( x) ⇒ f ( x) = , g(x) hàm số chẵn A+ B f ( x) 1 I = dx ∫ y = f ( x ) f ( x ) + f = x R Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục Tính  ÷ x x   A I = B I = C I = D I = −1 Hướng dẫn: Đáp án A     Đặt : t = ⇒ x = Khi điều kiện trở thành : f  ÷+ f (t ) = ⇒ f  ÷+ f ( x ) = t x x t t   x 1 3 15 1 1 Hay f  ÷+ f ( x) = Kết hợp với điều kiện f ( x) + f  ÷ = 3x Suy ra: x  x x 2 f ( x) f ( x)    −2  f ( x) = − x ⇒ = −1 ⇒ I = ∫ dx = ∫  − 1÷dx =  − x ÷ = x x x x   x  1 x 2 x Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục R f (− x) + 2018 f ( x ) = e Tính I = ∫ f ( x)dx −1 A I = e2 − 2019e B I = e2 − 2018e C I = D I = e2 − e Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Đối với dạng tốn hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau để qua em thấy ưu nhược phương pháp để có định hướng lựa chọ cách giải phù hợp cho trình làm thi trắc nghiệm + Cách 1: (Áp dụng PP đổi biến số loại 2) 1 e2 − x f (− x ) + 2018 f ( x ) = e ⇒ A = 1; B = 2018 ⇒ I = ∫ f ( x )dx = e dx = + 2018 −∫1 2019e −1 x + Cách 2: (Áp dụng PP đổi biến số loại 3) 2018e x − e − x e2 − x −x f ( − x) + 2018 f ( x ) = e ⇒ f ( x) = ⇒ ∫ f ( x)dx = ( 2018e − e ) dx = 2019e 20182 − 2019.2017 −∫1 −1 1 x Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục R f ( x) + f ( − x ) = 2sin x Tính I = A I = B I = Hướng dẫn: Đáp án A C I = π π Đặt t = − x ⇒ dt = −dx; x = − ⇒ t = ; x = ∫ f ( x) dx −π D I = π π ⇒t =− 2 π π π π π π − π − π − − π Khi đó: I = − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx ⇒ I = ∫ [ f ( x) + f (− x) ] dx = π ∫ 2sin xdx = ⇒ I = − π D Phương pháp đổi biến số loại * Tính chất: + Nếu hàm số y = f ( x) hàm số chẵn liên tục đoạn [ −a; a ] , a > a ∫ −a a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + Nếu + Nếu hàm số y = f ( x) hàm số lẻ liên tục đoạn [ −a; a ] , a > a ∫ f ( x )dx = −a Chứng minh: Đổi biến đặt x = −t Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) hàm lẻ liên tục [ −4; 4] thỏa mãn : ∫ −2 f (− x )dx = 2; ∫ f (−2 x)dx = Tính I = ∫ f ( x)dx 16 A I = −6 B I = 10 C I = −10 D I = Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Đây tốn đặc trưng tính tích phân hàm ẩn hàm số lẻ Tôi hướng dẫn em sử dụng tính chất nêu 4=∫ ∫ 2= −4 −2 −2 1 f (−2 x)dx = − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ⇔ ∫ f ( x)dx = −2 −4 −4 −2 2 0 f (− x )dx = − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ⇔ ∫ f ( x)dx = Suy : 0= ∫ f ( x)dx = −4 −2 ∫ −4 −2 f ( x )dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx   ⇔ = +  ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx ÷+ I ⇔ + (0 − 2) + I ⇔ I = −6  −2  2 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) hàm chẵn, liên tục [ −1;1] thỏa mãn : ∫ f ( x)dx = −1 f ( x) dx Tính I = ∫ x + e −1 A I = B I = Hướng dẫn: Đáp án A Ta có: I = D I = C I = f ( x) f ( x) f ( x) ∫−1 + e x dx =−∫1 + e x dx + ∫0 + e x dx = I1 + I Xét : f ( x) ∫ 1+ e x −1 1 f (−t ) e f (t ) dt e f ( x)dx − dt ) = ∫ =∫ −t ( t 1+ e 1+ e + ex 0 dx; x = −t ⇒ dx = −dt ; x = ⇒ t = 0; x = −1 ⇒ t = ⇒ I1 = ∫ t x ( + e ) f ( x) dx = f ( x)dx = f ( x)dx = f ( x) dx = Suy ra: I = ∫ ∫0 + e x ∫0 + ex −∫1 −1 1 x 1 E Phương pháp đội biến số loại Bài toán: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn g [ f ( x)] = x g (t ) hàm đơn điệu R b Tính tích phân: I = ∫ f ( x)dx a Cách giải: Đặt y = f ( x) ⇒ g ( y ) ⇒ dx = g ′( y )dy β b  x = a ⇒ g ( y) = a ⇔ y = α ⇒ I = ∫ f ( x)dx = ∫ y.g ( y )dy Đổi cận:   x = b ⇒ g ( y) = b ⇔ y = β a α Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục R thỏa mãn f ( x ) + f ( x) = x, ∀x ∈ R Tính I = ∫ f ( x)dx A I = B I = C I = D I = Hướng dẫn: Đáp án C 17 * Phân tích: Đây tốn đặc trưng tìm tích phân hàm ẩn Để giải tốn định hướng cho học sinh sử dụng phép đổi biến sau có lời giải ngắn gọn phù hợp với tư họcsinh  x = ⇒ y + y = ⇔ y = y = f ( x ) ⇒ x = y + y ⇒ dx = y + dy ; ( )  x = ⇒ y3 + y = ⇔ y = Đặt  Khi đó: I = ∫ f ( x)dx = ∫ y (3 y + 1)dy = 0 Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục R thỏa mãn f ( x ) − f ( x) + f ( x) = x, ∀x ∈ R Tính I = ∫ f ( x)dx A I = B I = 12 C I = D I = Hướng dẫn: Đáp án D  x = ⇒ y − y + y = ⇔ y = Đặt y = f ( x) ⇒ x = y − y + y ⇒ dx = ( y − y + 1) dy;   x = ⇒ y − y + y = ⇔ y = 1 I = f ( x ) dx = Khi đó: ∫0 ∫0 y.6( y − y + 1)dy = 2 2.3.2.4 Phương pháp nguyên hàm, tích phân phần Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục [ 0; 2] f ( ) = 3; ∫ f ( x)dx = Tính ∫ x f ′( x)dx A −3 B C D Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Với tốn dấu tích phân xuất tích hàm ẩn hàm số tơi định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân phần với phép đặt u là số biết 2 2 ′ x f ( x ) dx = xd ( f ( x )) = x f ( x ) − ∫ f ( x)dx = f (2) − = Ta có: ∫ ∫ 0 0 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′( x)dx = 10 f ( 1) − f (0) = 2; Tính ∫ f ( x)dx A −8 B C D −4 Hướng dẫn: Đáp án A 2 ′ x f ( x ) dx = xd ( f ( x )) = x f ( x ) − f ( x)dx = f (2) − = Ta có: ∫ ∫0 ∫0 18 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn: π π f ( x) + f ( − x ) = s inx.cos x , với x thuộc R f (0) = Tính I = x f ′( x )dx ∫ B I = A I = − 4 C I = π D I = − π Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Với tốn hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân phần đổi biến số loại để tìm đáp số π π π Theo giả thiết : f (0) = 0; f ( x ) + f ( − x) = s inx.cos x ⇒ f (0) + f ( ) = ⇔ f ( ) = π π π π π 2 Ta có: I = ∫ x f ′( x)dx = ∫ xd ( f ( x )) = [ x f ( x ) ] − ∫ f ( x )dx ⇒ I = − ∫ f ( x )dx 0 0 π π 0 π Mặt khác ta có: f ( x) + f ( π − x) = s inx.cos x ⇒ ∫ f ( x)dx + ∫ f ( π − x)dx = ∫ s inx.cos xdx = π π 2 π 2 π 1 π  ⇒ ∫ f ( x)dx − ∫ f ( − x )d  − x ÷ = ⇔ ∫ f ( x)dx = ⇒ I = − ∫ f ( x)dx = − 4 2  π 0 0 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 1; 2] , thỏa mãn: 2 2 ∫1 ( x − 1) f ( x)dx = − 3; f (2) = 0; ∫1 [ f ′( x)] dx = Tính: I = ∫1 f ( x)dx 7 A I = − B I = C I = 5 20 D I = −7 20 Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích:Đây câu hỏi có mức độ vận dụng cao việc định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp phần tơi hướng dẫn em có kỹ phân tích tìm  f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ]  hàm ẩn f ( x) nhờ tính chất  b  ∫ f ( x)dx = a thì: f ( x) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] Từ em giải thành thạo ví dụ tập tương tự sau  du = f ′ ( x ) dx 3 u = f ( x) 2 ( x − 1) x − 1)  ( ⇒ Đặt:  ( x − 1) ⇒ − = ∫ ( x − 1) f ( x)dx = f ( x) − ∫ f ′( x)dx  dv = ( x − 1) dx v = 1  2 1 3 ⇔ − = − ∫ ( x − 1) f ′( x)dx ⇔ ∫ ( x − 1) f ′( x )dx = ⇒ − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′( x)dx = −14 31 1 Tính được: 19 2 2 ∫ 49 ( x − 1) dx = ⇒ ∫  f ′ ( x )  dx − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′( x)dx + ∫ 49 ( x − 1) dx = 1 ( x − 1) +C 4 ⇒ ∫ 7( x − 1)3 − f ′( x)  dx = ⇒ f ′( x) = 7( x − 1)3 ⇒ f ( x) = 2  7( x − 1)  7( x − 1) 7 − ⇒ I = ∫ f ( x) dx = ∫  − dx = − 4 4 1  Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn: Do f (2) = ⇒ f ( x) = π ∫0 f ( x)dx = 2; f (0) + f (1) = 0; ∫0 f ′( x).cos(π x)dx = Tính: I = ∫0 f ( x)dx 3π A I = B I = C I = π π 1 D I = π Hướng dẫn: Đáp án A 1 u = cos(π x) du = −π sin(π x)dx ′ ⇒ ⇒ f ( x ) c os( π x ) dx = c os π x f ( x ) + π ( ) Đặt: dv = f ′( x)dx v = f ( x) ∫0 ∫0 f ( x).sin ( π x ) dx   1 0 = − ( f (1) + f (0) ) + π ∫ f ( x ).sin ( π x ) dx = π ∫ f ( x).sin ( π x ) dx ⇒ ∫ f ( x).sin ( π x ) dx = 1 Ta tìm số thực k cho: ∫  f ( x) − k sin ( π x )  dx = 1 1 0 2 Ta có: ∫  f ( x) − k sin ( π x )  dx = ∫ [ f ( x) ] dx − 2k ∫ f ( x).sin(π x)dx + k ∫ sin (π x)dx ⇒ 2 1 k 2 −k + = ⇔ k = ⇒ ∫ [ f ( x ) − sin(π x) ] dx = ⇒ f ( x) = sin(π x) ⇒ I = ∫ f ( x) dx = ∫ sin(π x) dx = 2 π 0 Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn: ∫[ f ′( x) ] dx = 7; f (1) = 0; ∫ x f ( x )dx = A I = 1 Tính: I = ∫ f ( x)dx C I = B I = D I = Hướng dẫn: Đáp án A  du = f ′( x)dx 1 u = f ( x) x f ( x) 1  ′ ⇒ ⇒ ∫ x f ( x)dx = − ∫ x f ( x)dx = ⇒ ∫ x f ′( x )dx = −1 Đặt:  x 30 3  dv = x dx v = 0  Ta tìm số thực k cho: ∫  f ′( x) + kx  dx = Ta có: ∫  f ′( x) + kx  1 dx = ∫ [ f ′( x) ] dx + 2k ∫ f ′( x).x dx + k ⇒ f ′( x) = −7 x3 ⇒ f ( x) = ∫ x dx = ⇔ − 2k + k =0⇔k =7 1  −7 x  −7 7 x + C ; f (1) = ⇒ C = ⇒ I = ∫ f ( x)dx = ∫  + ÷dx = 4 4 0 * Bình luận: Qua ví dụ tơi nhận thấy học sinh dễ dàng tư hình thành nên kỹ giải toán tương tự gặp đề thi THPT QG 20 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục R thỏa mãn x + f ( x ) + f ( x) = 1, ∀x ∈ R Tính I= ∫ f ( x)dx −2 D I = Bài : Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 4] , đồng biến đoạn [ 1; 4] A I = B I = 12 C I = thỏa mãn đẳng thức x + x f ( x) = [ f ( x)] , ∀x ∈ [ 1; 4] Biết f (1) = , tính I = ∫ f ( x)dx 1186 1174 1222 1201 A I = B I = C I = D I = 45 45 45 45 Bài (Đề thi KS THPT QG lần năm học 2018 - 2019– THPT Ba Đình ) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp R thỏa mãn f (1 − x) = ( x + 3) f ( x + 1) Biết f ( x) ≠ 0∀x ∈ R Tính I = ∫ ( x − 1) f ′′( x )dx A I = B I = C I = −4 D I = Bài : Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , thỏa mãn đẳng thức ∫ [ f ′( x)] dx = ∫ ( x + 1) e x f ( x )dx = B I = A I = e − e2 − Biết f (1) = , tính I = ∫ f ( x)dx e C I = e2 D I = e −1 Bài 5: (Đề thi KS THPT QG lần năm học 2018 - 2019– THPT chuyên Lam Sơn ) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp liên tục đoạn [ 0; π ] thỏa mãn f ′( x) + sin f ( x) = cos x.e π cos x , ∀x ∈ [ 0; π ] Tính I = ∫ f ( x)dx (làm tròn đến phần trăm) A I ≈ 6,55 B I ≈ 17,30 C I ≈ 10,31 D I ≈ 16,91 2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách đưa giải pháp tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho phần toán Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ôn tập kiến thức lý thuyết, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi đại học năm gần Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi, trung bình lớp mà giảng dạy lớp 12E,12C năm học 2018 -2019 Với toán 1,2,3,4 hệ thống tập tự luyện trên, lớp chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết; 21 thấy kết sau: nhóm I nhóm II khơng có học sinh để trống, số lượng học sinh làm câu có nhóm I, nhóm II học sinh làm nhiều câu lại làm 1-2 câu Kết thu cụ thể thể bảng sau: Số học sinh có lời Số học sinh có lời Nhóm Số học giải 1-2 câu giải 3-4 câu sinh câu câu câu câu Nhóm I Lớp 12C Lớp 12E 15 20 6 10 Nhóm II Lớp 12C 15 Lớp 12E 20 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hồn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 23/ 05/ 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Diễm Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Giải tích 12 – Nâng cao 22 Sách ĐS GT 11 Tích phân xác định ứng dụng 12 – Nhà xuất đại học sư phạm Nguồn tài liệu từ INTERNET; Đề thi thử trường THPT tỉnh năm học 2018 -2019 Mẫu (2) 23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả:Lê Diễm Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên , Trường THPT Nga Sơn TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp Kết loại đánh giá Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) Rèn luyện cho học sinh kỹ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình vơ tỉ phương pháp nhân lượng liên hợp Cấp tỉnh (A, B, C) C 2015 - 2016 24 ... cao , xin nêu lên hướng giải tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TỐN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA , nhằm làm cho học... tập tiến tới kỳ thi THPTQG tới mạnh dạn đưa cách giải khó khăn học sinh đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TỐN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 1.2 MỤC ĐÍCH... giải toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic giúp em học sinh có thêm tự tin để giải tốn khó Đó mục đích đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TỐN NGUN HÀM,