Áp dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số một biến số để tìm đại lượng max, min trong bài toán vật lí với sự hỗ trợ của phần mềm mathematica

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 Vol 14, No 10 (2017): 51-62 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:http://tckh.hcmue.edu.vn ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TÌM ĐẠI LƯỢNG MAX, MIN TRONG BÀI TỐN VẬT LÍ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM MATHEMATICA Huỳnh Trọng Dương* Trường Đại học Quảng Nam Ngày nhận bài: 23-9-2017; ngày nhận sửa: 11-10-2017; ngày duyệt đăng: 18-10-2017 TÓM TẮT Tốn học khơng mơn khoa học túy lí luận, mà cịn có vai trị tích cực hoạt động nhận thức người Vai trị tốn học khoa học dễ nhận thấy vật lí học Điều thể chỗ, người ta không từ kiện thực nghiệm có thực đến biểu thức tốn học chúng trước làm, mà từ dạng toán học đến tương đương thực tế Báo cáo này, trình bày số ứng dụng phương pháp tìm cực trị hàm số để tìm đại lượng max, tốn vật lí với hỗ trợ phần mềm Mathematica Ở đây, phần mềm Mathematica sử dụng để thực thao tác tính tốn mơ minh họa kết thu Từ khóa: cực trị, Vật lí, Mathematica ABSTRACT Applying the method of finding function’s extreme values to find maximum and minimum quantities in physics problems with the support of the software Mathematica Mathematics is not only a pure theoretical science, but it also has an active role in human cognitive activities The role of mathematics in science is very visible in physics It shows that people not make mathematical expressions from experimental data like they did before, but from mathematical forms to equivalent things in reality This article refers to the applications of the method of finding function’s extreme values to find maximum and minimum quantities in physics problems with the support of the Mathematica software Mathematica software is used to perform computational operations and illustrate the achieved results Keywords: extreme values, Physics, Mathematica Mở đầu Toán học không môn khoa học túy lí luận, mà cịn có vai trị tích cực hoạt động nhận thức người Với đặc điểm đối tượng mình, tốn học ngày thâm nhập sâu rộng vào lĩnh vực khoa học khác nhau, giữ vị trí đặc biệt nhiều khoa học; thế, bao trùm phạm vi rộng lớn hoạt động thực tiễn * Email: htduong.dqu@gmail.com 51 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 Trước đây, với đối tượng cịn trình độ trừu tượng thấp số hình hình học nghiên cứu khoa học, toán học sử dụng chủ yếu vào việc cố định chỉnh lí liệu thực nghiệm biết; để từ đó, rút cơng thức tốn học áp dụng chúng Ngày nay, áp dụng rộng rãi toán học nghiên cứu khoa học chứng tỏ vai trò phát kiến tốn học q trình nhận thức giới khách quan Trong điều kiện phát triển khoa học cơng nghệ, q trình tốn học hóa khoa học ngày diễn cách sâu sắc việc áp dụng phương pháp tốn học có biến đổi Điều thể chỗ, người ta không từ kiện thực nghiệm có thực đến biểu thức tốn học chúng trước làm, mà từ dạng toán học đến tương đương thực tế Nếu giai đoạn đầu, tốn học đóng vai trị biểu diễn hình thức kiện thực, giai đoạn sau, toán học lên với tư cách lĩnh vực tham gia cách tích cực vào việc hình thành lí thuyết Xét trình độ đó, tốn học khơng cịn cơng cụ để chế biến thông tin, mà tham gia vào việc nhận thức quy luật Như vậy, từ chỗ cơng cụ bổ trợ cho nghiên cứu, tốn học trở thành phương tiện nghiên cứu sử dụng thường xuyên nhiều công cụ có hiệu lực hoạt động khoa học Sự biến đổi vai trị tốn học khoa học dễ nhận thấy vật lí học Điều nhà vật lí học người Mĩ – Edison khẳng định: "Đối với nhà vật lí, tốn học khơng cơng cụ mà dựa vào đó, diễn tả tượng lượng, mà cội nguồn chủ yếu khái niệm nguyên tắc lấy làm chỗ dựa cho việc xây dựng lí thuyết mới" Nếu trước kia, vật lí học cổ điển vạch rõ mối quan hệ đại lượng toán học xác định vật thể trình vật lí để sau đó, tìm phương trình liên kết chúng nhờ diễn tả quy luật vật lí, vật lí lí thuyết đại lại sử dụng đối tượng toán học trừu tượng dạng kí hiệu, sau tìm biểu vật lí chúng Vai trị sáng tạo tư tốn học nhận thức thể rõ nét chỗ, toán học xem công cụ thiếu khoa học việc khám phá tìm chất vật tượng giới khách quan Báo cáo trình bày ứng dụng cụ thể, đơn giản tốn học vào tốn vật lí với tựa đề: “Áp dụng phương pháp tìm cực trị hàm số biến số để tìm đại lượng max, tốn vật lí với hỗ trợ phần mềm Mathematica” Phần mềm Mathematica phần mềm tổ hợp thao tác tính tốn kí hiệu, tính số, xử lí đồ họa lập trình Trong năm gần đây, phần mềm Mathematica sử dụng phổ biến lĩnh vực giáo dục Việc sử dụng phần mềm nghiên cứu, học tập môn khoa học tự nhiên nói chung vật lí nói riêng, đem lại thành tựu vô quan trọng Về bản, phần mềm cung cấp tảng Tốn học máy tính, đồng thời cho phép mô tượng khoa học trình xảy 52 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Huỳnh Trọng Dương tượng kèm với thay đổi thông số cách tùy ý Ở đây, phần mềm Mathematica sử dụng để thực thao tác tính tốn mơ kết thu Nội dung 2.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số a) Tìm cực trị cách sử dụng bảng biến thiên Tìm cực trị cho hàm số theo bước sau: * Bước 1: Tìm tập xác định hàm số * Bước 2: Tìm , giải phương trình * Bước 3: Lập bảng biến thiên kết luận: + Nếu đổi dấu từ sang qua điểm (từ trái sang phải) hàm số đạt cực tiểu + Nếu đổi dấu từ sang qua điểm (từ trái sang phải) hàm số đạt cực đại b) Tìm cực trị cách sử dụng đạo hàm cấp Phương pháp thường sử dụng hàm số mà việc lập bảng biến thiên tương đối khó khăn Các bước thực hiện: * Bước 1: Tìm tập xác định hàm số * Bước 2: Tìm , giải phương trình kí hiệu ( ) nghiệm * Bước 3: Tính kết luận: + Nếu hàm số đạt cực đại + Nếu hàm số đạt cực tiểu c) Áp dụng phương pháp tìm cực trị hàm số vào tốn vật lí * Bước 1: Tìm hiểu u cầu tốn vật lí Xác định hàm đối số hàm Ở đối số ẩn số yêu cầu tốn Ví dụ: Hỏi phải ném vật theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang góc để với vận tốc ban đầu cho trước, tầm xa vật đạt cực đại? Xuất phát từ u cầu tốn, tầm xa vật đóng vai trị hàm, đối số hàm góc hợp phương ném mặt phẳng ngang * Bước 2: Đối chiếu kiện xuất phát ẩn số phải tìm, xem xét chất vật lí tình cho để nhận định luật, công thức lí thuyết có liên quan Xác lập mối liên hệ cụ thể kiện xuất phát ẩn số phải tìm Biểu diễn mối liên hệ dạng hàm đối số Ví dụ: Ở toán vật ném xiên trên, tầm xa vật biểu diễn dạng hàm góc : 53 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 * Bước 3: Sử dụng hai phương pháp tìm cực trị để tìm ẩn số tốn Kết hợp sử dụng phần mềm Mathematica để tính tốn mơ kết toán 2.2 Giới thiệu phần mềm Mathematica Phần mềm Mathematica mắt lần vào năm 1988 hãng Wolfram Research Với tính vượt trội, phần mềm gây ấn tượng sâu sắc người sử dụng máy tính kĩ thuật lĩnh vực khác Đây phần mềm tổ hợp thao tác tính tốn kí hiệu, số, xử lí đồ họa lập trình Mục đích phần mềm hãng Wolfram đưa lần hỗ trợ nghiên cứu cho ngành khoa học vật lí, cơng nghệ tốn học Chỉ vài năm sau đó, Mathematica trở nên quan trọng phạm vi rộng sử dụng toàn ngành khoa học thuộc lĩnh vực tự nhiên xã hội Ngày nay, với tiến vượt bậc lĩnh vực công nghệ thông tin, phiên Mathematica ngày đại với mở rộng nhiều tính đời, ứng dụng Mathematica khai thác mạnh mẽ hết, khơng sử dụng ngành khoa học tự nhiên vật lí, sinh học, tốn học, hóa học, cơng nghệ mà cịn cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho ngành khoa học xã hội lĩnh vực khoa học khác Phần mềm Mathematica trường đại học giới sử dụng việc soạn thảo giáo án, nghiên cứu hỗ trợ học tập cho sinh viên Thực tế cho thấy, việc sử dụng phần mềm giảng dạy, nghiên cứu, học tập mơn học nói chung, đem lại thành tựu vô quan trọng Với giao diện thân thiện, Mathematica cơng cụ hỗ trợ tích cực cho hoạt động dạy - học, giúp cho tương tác người dạy người học đạt hiệu cao Về bản, phần mềm cung cấp tảng tốn học máy tính, cho phép người dạy tập trung sâu vào khái niệm vật lí thay thời gian qua bước đại số hay toán học mà học sinh biết Ngồi ra, Mathematica mơ tượng khoa học trình xảy tượng kèm với thay đổi thơng số cách tùy ý, từ giúp người học hiểu sâu tượng khoa học Bản thân người học, sử dụng phần mềm công cụ hỗ trợ học tập, làm tập nghiên cứu khoa học * Mathematica hệ thống thao tác tính tốn: Mathematica cho phép thực thao tác tính tốn kí hiệu, số xử lí đồ họa Vì vậy, Mathematica có khả thực phép tính đại số số học Ngồi ra, Mathematica cịn cung cấp cho người dùng danh sách hàm ứng dụng để giải tốn giải tích phức tạp tốn tính đạo hàm, tích phân, phương trình vi phân… cách nhanh chóng Đồ họa mạnh Mathematica, hỗ trợ người dùng cần vẽ hàm không gian hai chiều ba chiều, tạo dựng biểu đồ dựa số liệu ngẫu nhiên, thiết kế hình thể, vật thể tùy ý 54 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Huỳnh Trọng Dương * Mathematica sử dụng ngơn ngữ lập trình: Giống ngơn ngữ khác ngôn ngữ C hay Fortran, Mathematica biết đến ngơn ngữ lập trình Với hàm cần sử dụng không dựng sẵn, Mathematica cho phép xây dựng hàm với ngôn ngữ bậc cao có tính trực quan cách nhanh chóng đơn giản Mathematica cung cấp ngơn ngữ lập trình bậc cao đồng linh hoạt cho phép người sử dụng tập trung vào vấn đề lược bỏ thời gian dành cho đoạn mã chương trình dài dòng * Vai trò phần mềm Mathematica dạy học vật lí: Trong giảng dạy vật lí, với hỗ trợ Mathematica, giảng viên vật lí tạo mơ hình riêng điều khiển trực quan theo ý đồ Giảng viên trình giảng dạy dễ dàng thay đổi giá trị lệnh thao tác đơn giản Ngồi ra, sinh viên học vật lí sử dụng Mathematica để hiểu sâu khái niệm, hoàn thành tập nhà thực dự án lớn nghiên cứu đề tài mà không cần thêm phần mềm chuyên dụng khác Khi thiết kế sửa đổi nội dung môn học lớp, Mathematica cho phép giáo viên tổ chức thử nghiệm ý tưởng, từ phát triển thành học thực tế Mathematica hỗ trợ người dạy người học khơng suốt khóa học mà trình phát triển nghề nghiệp họ sau 2.3 Áp dụng phương pháp tìm cực trị hàm số để tìm đại lượng max, tốn vật lí với hỗ trợ phần mềm Mathematica a) Bài tốn học Một viên gạch có khối lượng trượt mặt phẳng nghiêng góc so với phương nằm ngang Hệ số ma sát viên gạch mặt phẳng nghiêng Tại thời điểm khảo sát, viên gạch trượt lên với vận tốc Hỏi khoảng thời gian để viên gạch lên đến độ cao cực đại? * Bước 1: Xác định hàm đối số hàm Gọi vị trí viên gạch thời điểm khảo sát (gốc toạ độ chọn trùng với vị trí , ), vị trí cao viên gạch (có hồnh độ ), khoảng thời gian cần tìm Bài tốn dẫn đến việc xác lập hàm 55 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 * Bước 2: Xác lập mối liên hệ cụ thể kiện xuất phát ẩn số phải tìm Biểu diễn mối liên hệ dạng hàm đối số Xét toán hệ quy chiếu gắn với Trái Đất, chọn hệ toạ trục toạ độ Các lực tác dụng lên viên gạch gồm trọng lực , phản lực mặt phẳng nghiêng lực ma sát Phương trình định luật II Newton cho viên gạch: (1) Chiếu phương trình (1) lên hai trục ta được: (2) (3) Với , giải phương trình (2) ta được: (4) Ta thấy , viên gạch chuyển động chậm dần dừng lại điểm cao Phương trình chuyển động viên gạch trục xác định biểu thức: (5) * Bước 3: Tính tốn minh họa kết với hỗ trợ phần mềm + Thời gian để viên gạch lên đến độ cao cực đại: Sử dụng lệnh: Biểu thức thời gian cần tìm: + Minh họa kết quả: Kết chạy chương trình cho giao diện bảng Hình Với giá trị vận tốc ban đầu , góc nghiêng , hệ số ma sát , kết thu được:  Thời gian để vật lên đến vị trí cao  Vị trí vật trục Ox  Gia tốc vật ax = -5,07m/s2 Để khảo sát với giá trị khác, cần thay đổi giá trị vận tốc ban đầu, góc nghiêng, hệ số ma sát cách nhập số liệu ô hiển thị đại lượng tương ứng bảng, nhấn “Enter” giao diện hiển thị kết 56 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Huỳnh Trọng Dương Hình Mơ hình khảo sát vật chuyển động lên mặt phẳng nghiêng với vận tốc ban đầu , góc nghiêng , hệ số ma sát 57 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 b) Bài toán điện trường vật mang điện gây điểm: Một vòng tròn làm dây dẫn mảnh bán kính mang điện tích phân bố dây Tại điểm trục vòng dây, cường độ điện trường có trị số cực đại? Tính trị số cực đại * Bước 1: Xác định hàm đối số hàm Gọi điểm trục vịng dây mà cường độ điện trường có trị số cực đại, khoảng cách từ đến tâm vịng dây Bài tốn dẫn đến việc xác lập hàm * Bước 2: Xác lập mối liên hệ cụ thể kiện xuất phát ẩn số phải tìm Biểu diễn mối liên hệ dạng hàm đối số Cường độ điện trường vòng dây gây điểm tổng cường độ điện trường phần tử điện tích nằm vịng dây gây Hình Vectơ cường độ điện trường Cường độ điện trường Hình 2, gây phần tử điện tích phần tử điện tích gây xác định có độ lớn: (1) Với Vectơ phân tích làm hai phần: (2) Do tính chất đối xứng nên thành phần thành phần Hay: 58 phương, chiều Do đó: triệt tiêu lẫn nhau, cịn lại Huỳnh Trọng Dương TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM (3) Theo Hình ta có: (4) Khi đó: (5) * Bước 3: Tính tốn minh họa kết với hỗ trợ phần mềm + Khoảng cách để cực đại: Biểu thức tìm được: Kết quả: + Minh họa kết quả: Di en t ich q Ban kin h R Kh o an g cach h 20 000 000 0.05 0.1          m s ; Ban kinh R  05; 20 000 000 Khoang c ach de EM cuc dai h  03536 m ; Gia t ri cuc dai EM  69 140 V m ; Dien t ich q   Dien t ruong o khoang cach h  0.1 EM V m 100 000 m la E  32 133 Vm 50 000 0.10  0.05 0.05  0.10  hm 50 000  100 000  Hình Mơ hình khảo sát điện trường gây vịng dây tích điện 59 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 Sử dụng đoạn lệnh sau: Kết chạy chương trình cho giao diện bảng Hình c) Bài tốn dịng điện khơng đổi Cho mạch điện có sơ đồ Hình Cho ; ; biến trở có điện trở toàn phần ; ; ; lớn Phải để vị trí để cơng suất tiêu thụ tồn biến trở lớn nhất? Giá trị lớn Hình Sơ đồ mạch điện * Bước 1: Xác định hàm đối số hàm Đặt , toán dẫn đến việc xác lập hàm 60 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Huỳnh Trọng Dương * Bước 2: Xác lập mối liên hệ cụ thể kiện xuất phát ẩn số phải tìm Biểu diễn mối liên hệ dạng hàm đối số mắc song song với nhau, điện trở tương đương : (1) Điện trở mạch ngoài: (2) Cường độ dịng điện qua mạch chính: (3) Cơng suất tiêu thụ tồn biến trở: (4) * Bước 3: Tính tốn minh họa kết với hỗ trợ phần mềm + Giá trị để công suất tiêu thụ toàn biến trở lớn nhất: Giải phương trình vi phân bậc một: Kết Tiếp tục giải phương trình vi phân bậc hai: Kết thu được: Kết cho thấy biến trở cực đại Giá trị lớn nhất: , cơng suất tiêu thụ tồn 61 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 51-62 + Minh họa kết quả: ฀฀ Pb W 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 10 ฀฀ RCM ฀ Hình Minh họa giá trị cực đại cơng suất tiêu thụ tồn biến trở Kết luận Ngày tốn học khơng cịn ngành khoa học khơ khan trừu tượng, đóng vai trị quan trọng khơng ngành khoa học tự nhiên, mà nhiều ngành khoa học xã hội khác Trong đó, nói vật lí học tốn học có mối quan hệ mật thiết, khơng thể tách rời Trên ứng dụng tốn học vào vật lí Thay trải qua cơng thức vật lí, vận dụng phương pháp tìm cực trị hàm số để tìm đại lượng max, tốn vật lí Phần mềm Mathematica sử dụng để thực tính tốn minh họa kết tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Văn Đốn (2007) Vai trị sáng tạo tư toán học nhận thức khoa học Tạp chí Triết học, số (191) https://www1.trangcongnghe.com/tin-tuc-cong-nghe/31669-vai-tro-cua-nha-toan-hoc-lon-nhat-theky-20-gdel-trong-cuoc-tim-kiem-su-that.html http://www.thongtincongnghe.com/article/14402 http://ebook.net.vn/ebook/su-dung-ngon-ngu-lap-trinh-mathematica-de-giai-mot-so-bai-toan-venang-luong-lien-ket-va-su-phong-xa-cua-hat-nhan-chuong-5955/ http://download2.nust.na/pub4/sourceforge/r/rl/rlnvsp/2014/Individuals/NguyenThiThuTrang_Mat hematica_Baitoan_giaitich.pdf http://vienthongke.vn/tin-tuc/43-tin-tuc/1234-hoi-thao-khoa-hoc-thong-ke-truc-tuyen-cua-wolfram http://www.ebook.edu.vn/?page=1.39&view=1263 http://www.pcworld.com.vn/articles/kinh-doanh/giai-phap/2010/12/1222458/mathematica-8-phanmem-dai-so-hieu-ngon-ngu-tu-nhien/ http://diendantoanhoc.net/topic/40210-mathematica-60/ http://baohtb.com/chuyen-de/cac-phuong-phap-tim-cuc-tri-cua-ham-so.html 62 ... 2.3 Áp dụng phương pháp tìm cực trị hàm số để tìm đại lượng max, tốn vật lí với hỗ trợ phần mềm Mathematica a) Bài tốn học Một viên gạch có khối lượng trượt mặt phẳng nghiêng góc so với phương. .. phá tìm chất vật tượng giới khách quan Báo cáo trình bày ứng dụng cụ thể, đơn giản toán học vào tốn vật lí với tựa đề: ? ?Áp dụng phương pháp tìm cực trị hàm số biến số để tìm đại lượng max, tốn vật. .. kèm với thay đổi thông số cách tùy ý Ở đây, phần mềm Mathematica sử dụng để thực thao tác tính tốn mơ kết thu Nội dung 2.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số a) Tìm cực trị cách sử dụng bảng biến