Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số trình bày quan hệ hàm số; đồ thị của hàm số; khái niệm hàm ngược; một số đặc trưng của hàm số; các hàm số cơ bản và các phép toán sơ cấp đối với hàm số; các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế.

Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số BÀI CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình môn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: BỘ MƠN TỐN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 2, NXB Giáo dục NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 3, NXB Giáo dục ALPHA C CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc MICHAEL HOY,JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Biến số;  Quan hệ hàm số;  Đồ thị hàm số;  Khái niệm hàm ngược;  Một số đặc trưng hàm số;  Các hàm số phép toán sơ cấp hàm số;  Các mơ hình hàm số phân tích kinh tế Mục tiêu  Nắm khái niệm hàm biến: biến số, quan hệ hàm số…  Bước đầu làm quen với mơ hình hàm số phân tích kinh tế TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Tình dẫn nhập  Một nhà sản xuất hoạt động môi trường độc quyền, lượng cầu sản phẩm mức giá p là: Q  200  0, 25p  Biết lượng chi phí cần bỏ để sản xuất Q sản phẩm là: TC  Q3  7Q  30Q  20 Hãy tính lợi nhuận nhà sản xuất theo mức sản lượng Q? TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1.1 Biến số 1.1.1 Khái niệm biến số Trong lĩnh vực khoa học, thường gặp đại lượng đo số Khi nghiên cứu quy luật thay đổi trị số đại lượng đó, người ta thường dùng chữ để ký hiệu số đo chúng Chẳng hạn, hình học, thường dùng chữ V để ký hiệu thể tích Với khối hình học khơng gian, V số thực Người ta gọi V biến số hình học Trong ngơn ngữ hình thức tốn học, từ “biến số” hiểu theo nghĩa sau: Định nghĩa: Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số X ≠ Ø cho trước (X  R) Tập hợp X gọi miền biến thiên số thực x0  X gọi giá trị biến số Từ biến số nhiều gọi tắt biến Các biến số thường ký hiệu chữ cái: x, y, z… Thông thường người ta xét biến số mà miền biến thiên có hai số Một biến số nhận giá trị gọi số Trong giải tích tốn học ta thường xét biến số thay đổi giá trị cách liên tục, với miền biến thiên khoảng số Các khoảng số ký hiệu sau: Khoảng đóng (đoạn): [a, b] = {x: a ≤ x ≤ b} Khoảng mở: (a, b) = {x: a < x < b} Các khoảng nửa mở: [a, b) = {x: a ≤ x < b} (a, b] = {x: a < x ≤ b} 1.1.2 Các biến số kinh tế Trong lĩnh vực kinh tế người ta thường quan tâm đến đại lượng như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu, chi phí, thu nhập quốc dân, tỷ lệ lạm phát, tỷ lệ thất nghiệp… Khi phân tích xu hướng thay đổi trị số đại lượng theo khơng gian, thời gian theo điều kiện khác nhau, nhà kinh tế xem chúng biến số Các biến số gọi biến số kinh tế Trong tài liệu kinh tế, người ta thường ký hiệu biến số kinh tế chữ đầu từ tiếng Anh liên quan đến ý nghĩa biến số Sau số ký hiệu thường gặp: P: giá hàng hoá (price) Qs: Lượng cung (Quantity Supplied) Qd: Lượng cầu (Quantity Demanded) U: Lợi ích (Untility) TC: Tổng chi phí (Total Cost) TR: Tổng doanh thu (Total Revenue) Y: thu nhập quốc dân (National Income) C: Tiêu dùng (Consumption) I: Đầu tư (Investment) S: Tiết kiệm (Saving) TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1.2 Quan hệ hàm số 1.2.1 Khái niệm hàm số Khái niệm hàm số sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực để biểu diễn quan hệ chi phối lẫn biến số Định nghĩa khái niệm hàm số ngơn ngữ hình thức tốn học có nội dung sau: Định nghĩa: Một hàm số f xác định tập hợp (X  R) quy tắc đặt tương ứng số thực x  X với số thực y Tập hợp X gọi miền xác định hàm số f Số y tương ứng với số x, theo quy tắc f, gọi giá trị hàm số f điểm x Giá trị hàm số f điểm x ký hiệu f(x) Khi nói đến hàm số khác nhau, ta sử dụng ký hiệu khác nhau: f, g, φ… Định nghĩa: Miền giá trị hàm số f tập hợp tất số thực giá trị hàm số điểm thuộc miền xác định Miền giá trị hàm số f xác định miền X ký hiệu f(X): f (X)  {y  R : x  X cho f (x)  y 1.2.2 Hàm số cho dạng biểu thức Ở bậc học phổ thông, bạn làm quen với biểu thức chức biến số, từ biểu thức có phép tốn đến biển thức có nhiều phép tốn phối hợp, chẳng hạn như: x n , n x , a x , log a x,sin x, cos x, tgx, cot gx, ax  bx  c, ax  bx  c 3x  , log , px  q 5 x Ta gọi miền xác định tự nhiên biểu thức f(x) tập hợp tất số thực mà gán cho x biểu thức có nghĩa Mỗi biểu thức f(x) hàm số xác định tập X miền xác định tự nhiên nó: số thực x  X đặt tương ứng với giá trị tính tốn biểu thức gán x = x0 Ví dụ: Biểu thức f (x)  log 3x  5 x Là hàm số với miền xác định tự nhiên tập hợp tất số thực x thỏa mãn điều kiện 3x  1 0 x5 5 x Theo biểu thức ta dễ dàng tính giá trị hàm số điểm thuộc miền xác định, chẳng hạn: 3.1  1  log  1 1 3.3  f (3)  log  log  53 f (1)  log TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Phương pháp xác định hàm số biểu thức phương pháp phổ biến toán học lĩnh vực ứng dụng toán học Khi xem xét hàm số cho biểu thức, bạn cần lưu ý điều sau đây:  Về nguyên tắc, miền xác định hàm số tập số thực cho trước, biểu thức giữ vai trò quy tắc tương ứng f định nghĩa hàm số Do đó, hàm số xác định tập X  R cho biểu thức f(x), tập X tập miền xác định tự nhiên biểu thức Tuy nhiên, toán học nhiều người ta cho trước biểu thức f(x) xét biểu thức hàm số Trong trường hợp ta đồng miền xác định hàm số với miền xác định tự nhiên biểu thức f(x)  Một hàm số cho dạng phân rã miền xác định thành tập rời tập quy tắc xác định giá trị tương ứng hàm số điểm biểu diễn biểu thức riêng Ví dụ:  x  x  f (x)   1  2x x  Là hàm số xác định R: khoảng [0; + ∞) giá trị hàm số điểm x tính theo cơng thức f(x) = x2 + 1, khoảng (–∞; 0) giá trị hàm số điểm x tính theo cơng thức f(x) = – 2x 1.2.3 Quan hệ hàm số biến số Trong lĩnh vực khoa học, người ta phân tích quy luật thay đổi giá trị đại lượng đo số dạng biến số có quan hệ với nhau: thay đổi giá trị biến số kéo theo thay đổi giá trị biến số theo quy luật định Chẳng hạn, kinh tế thấy giá hàng hóa thay đổi lượng hàng hóa mà người sản xuất muốn bán thị trường lượng hàng hóa mà người mua lịng mua thay đổi theo; thu nhập hộ gia đình thay đổi lượng tiêu dùng họ thay đổi… Sự phụ thuộc biến số vào biến số khác thường biểu diễn dạng hàm số Cho hai biến số x y với miền biến thiên tập hợp số thực X Y, biến x nhận giá trị tùy ý miền biến thiên X Ta gọi x biến độc lập, hay đối số Định nghĩa: Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x, hay biến số y hàm số biến số x, tồn quy tắc quy luật f cho giá trị biến số x miền biến thiên X đặt tương ứng với giá trị biến số y Theo định nghĩa quy tắc f hàm số xác định miền biến thiên X biến số x giá trị hàm số f điểm x giá trị tương ứng biến số y x  y  f (x) Để nói cách khái quát y hàm số x (y phụ thuộc hàm số vào x) ta viết: y = y(x) TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Chú ý: Hai định nghĩa hàm số tương đương với Khi cho hàm số f với miền xác định tập hợp X, cách diễn đạt sau có nghĩa sau: Cho hàm số f xác định tập X (X tập số cho trước) Cho hàm số f(x), x  X Cho hàm số y = f(x), x  X Chú ý viết hàm số dạng y = f(x), ký hiệu x y mang ý nghĩa hình thức, dùng để gọi tên biến số Một hàm số xác định hai yếu tố: miền xác định X (miền biến thiên biến độc lập x) quy tắc f cho phép ta xác định giá trị hàm số điểm x  R Chẳng hạn, giác độ tốn học ta khơng phân biệt hàm số y = x2 v = u2 miền biến thiên x miền biến thiên u trùng 1.3 Đồ thị hàm số Quan hệ hàm số y = f(x) liên kết cặp số thực (x0, y0), x0 số thuộc miền xác định X hàm số y0 = f(x0) Mỗi cặp số điểm mặt phẳng tọa độ Định nghĩa: Đồ thị hàm số f tập hợp tất điểm M(x, y) mặt phẳng tọa độ có hồnh độ x số thực lấy từ miền xác định hàm số tung độ y giá trị tương ứng hàm số điểm x Việc lập đồ thị hàm số f với miền xác định khoảng số thực thường thực theo trình tự sau:  Lấy số x1, x2,…, xn từ miền xác định hàm số (càng gần tốt)  Tính giá trị tương ứng hàm số điểm đó:  y1 = f(x1), y2 = f(x2),…, yn = f(xn)  Định vị điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2),…,Mn(xn, yn)  Nối điểm M1, M2,…,Mn ta hình ảnh đồ thị hàm số y y = f(x) yn Mn y2 y1 M2 M1 x1 x2 xn x Phương pháp đồ thị phương pháp xác Tuy nhiên, người ta thường sử dụng đồ thị để minh họa hình ảnh đặc trưng phụ thuộc hàm số biến số Nhìn vào đồ thị ta dễ dàng quan sát xu hướng biến thiên hàm số biến độc lập thay đổi giá trị TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1.4 Khái niệm hàm ngược Xét hàm số y = f(x) với miền xác định X miền giá trị Y = f(X) Nếu với giá trị y0  Y tồn giá trị x0  X cho f(x0) = y0, tức phương trình f(x) = y0 có nghiệm x0 miền X, y  f  x   x  f 1  y  (x  X, y  Y) Trong ký hiệu x0 = f–1(y0) nhiệm phương trình f(x) = nói Như vậy, trường hợp quan hệ hàm số y = f(x) biểu diễn phụ thuộc y vào x đảo ngược để biểu diễn phụ thuộc x vào y thông qua hàm số x  f 1  y  Định nghĩa: Với giả thiết quy ước ký hiệu nêu trên, ta gọi hàm số x = f–1(y) hàm ngược hàm số y = f(x) Nói cách khác, hàm số f–1 (xác định miền Y = f(X) hàm ngược hàm số f (xác định miền X) Ví dụ: Hàm số y = x3 với miền xác định X = R có hàm ngược hàm số x  y y  x3  x  y (x  X, y  Y) Hàm ngược hàm số mũ y = ax hàm số logarit x = logay: y  a x  x  loga y (x  X, y  0) Chú ý: Hàm số y = f(x) hàm ngược x = f–1(y) đồ thị, y = f(x) x = f–1(y) phương trình tương đương Tuy nhiên, toán học người ta thường dùng ký hiệu x để biến độc lập ký hiệu y để biến phụ thuộc, thay cho cách viết hàm ngược dạng x = f–1(y) người ta tráo ký hiệu biến số viết hàm ngược hàm số y = f(x) dạng y = f–1(x) Chẳng hạn, ta nói: hàm số y = logax hàm ngược hàm số ax, hay đơn giản hơn: logax hàm ngược hàm số ax Do tráo ký hiệu biến số nên điểm M(x, y) thuộc đồ thị y = f–1(x) điểm M’(y, x) thuộc đồ thị y = f(x) Trên mặt phẳng tọa độ hai điểm M(x, y) M’(y, x) đối xứng qua đường phân giác thứ Như vậy, biểu diễn hai đồ thị y = f(x) y = f–1(x) hệ tọa độ trực chuẩn chúng đối xứng qua đường thẳng y = x (đường phân giác góc phần tư thứ nhất) Chẳng hạn, hai đường cong y = ax y = logax có dạng hình vẽ y = ax y y=x y = logax TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 x Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1.5 Một số đặc trưng hàm số 1.5.1 Hàm số đơn điệu Định nghĩa: Ta nói hàm số y = f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) khoảng K với cặp điểm x1, x2 (x1 ≠ x2) thuộc K, hiệu số f(x2) – f(x1) ln dấu (trái dấu) với x2 – x1 Nói cách khác: Hàm số f(x) hàm đơn điệu tăng khoảng K x1  x  f (x1 )  f (x ) (x1 , x  K) Hàm số f(x) hàm đơn điệu giảm khoảng K x1  x  f (x1 )  f (x ) (x1 , x  K) Hàm số đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) gọi hàm số đồng biến (hàm số nghịch biến) Ví dụ: Hàm số f(x) = x2 hàm đơn điệu tăng khoảng [0; +∞) đơn điệu giảm khoảng (–∞; 0]: x1 , x  [0;  ) : x1  x  x12  x 22 x1 , x  ( ; 0] : x1  x  x12  x 22 Hàm số f (x)  đơn điệu giảm khoảng (0; +∞): x 1 x1 , x  (0; ) : x1  x   x1 x Nếu quan sát đồ thị hàm số theo hướng từ trái sang phải đồ thị hàm số đơn điệu tăng có dáng dốc lên đồ thị hàm số đơn điệu giảm có dáng dốc xuống y y y = f(x) f(x2) f(x2) f(x1) f(x1) x1 x2 x Hàm số đơn điệu tăng 1.5.2 y = f(x) x1 x2 x Hàm số đơn điệu giảm Hàm số bị chặn Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi hàm bị chặn miền X giá trị hàm số thay đổi phạm vi tập khoảng số hữu hạn x biến thiên miền X, tức tồn số m M cho: m  f (x)  M x  X TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Hàm số f(x) gọi hàm bị chặn miền X tồn số M cho: f (x)  M x  X Hằng số M gọi cận hàm số f(x) miền X Hàm số f(x) gọi hàm bị chặn miền X tồn số m cho: f (x)  m x  X Hằng số m gọi cận hàm số f(x) miền X Chú ý tính bị chặn bao hàm bị chặn bị chặn Dễ dàng thấy hàm số f(x) bị chặn miền X tồn số K > cho: f (x)  K (x  X) Ví dụ: Hàm số f(x) = x2 + a (x  R) hàm bị chặn dưới: f(x) = x2 + a ≥ a, x  R Hàm số f(x) = –x2 + a (x  R) hàm bị chặn trên: f(x) = –x2 + a ≤ a, x  R Hàm số f(x) = sin x (x  R) hàm bị chặn: –1 ≤ sin x ≤ 1, x  R 1.5.3 Hàm số chẵn hàm số lẻ Định nghĩa:  Hàm số f(x) xác định miền X gọi hàm chẵn với x  X ta ln có  x  X f(–x) = f(x)  Hàm số f(x) xác định miền X gọi hàm lẻ với x  X ta ln có; f(–x) = –f(x) Ví dụ 1: Các hàm số f(x) = x2, g(x) = cosx (x  R) hàm số chẵn: f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), x  R g(–x) = cos(–x) = cos(x) = g(x), x  R Ví dụ 2: Các hàm số f(x) = x3, g(x) = sinx (x  R) hàm số lẻ: f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x), x  R g(–x) = sin(–x) = –sinx = –g(x), x  R Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ có tính chất đối xứng: đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 1.5.4 Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f(x) xác định miền X gọi hàm tuần hoàn với chu kỳ T với x  X ta ln có x  T  X và: f(x + T) = f(x) TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Dễ dàng thấy hàm số f(x) tuần hồn với chu kỳ T tuần hoàn với chu kỳ mT (m số nguyên bất kỳ): F(x + mT) = f(x), x  X Để cho xác định, nói đến chu kỳ hàm số tuần hoàn người ta thường lấy chu kỳ dương nhỏ Ví dụ: Các hàm số sinx, cosx hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π: sin(x + 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cosx, x  R Các hàm số tgx, cotgx hàm tuần hoàn với chu kỳ T = π: tan(x + π) = tanx, x    k ; cot(x + π) = cotx, x  k 1.6 Các hàm số phép toán sơ cấp hàm số 1.6.1 Các hàm số sơ cấp Thông thường hàm số y = f(x) cho dạng biểu thức hữu hạn Các biểu thức hữu hạn hợp thành từ biểu thức hàm số Các hàm số sau gọi hàm số sơ cấp (bỏ qua hàm lượng giác ngược)  F(x) = C (hàm số nhận giá trị không đổi C với x)  Hàm số lũy thừa: f(x) = xα (α = const.)  Hàm số mũ: f(x) = ax (a > a ≠ 1)  Hàm số logarit: f(x) = logax (a > a ≠ 1)  Các hàm số lượng giác: f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tan x, f(x) = cotx Chú ý: Trong giải tích tốn học cung góc ln ln đo radian 1.6.2 Các phép toán sơ cấp hàm số Ta gọi phép toán sơ cấp phép toán: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia phép hợp hàm  Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia biểu thức hàm số thực giống biểu thức đại số Nếu f(x) g(x) hàm số cho dạng biểu thức biểu thức f (x) f x  g x, f x – g x, f x g x, g(x) Được gọi tương ứng tổng, hiệu, tích, thương f(x) g(x) Các hàm số đặt tương ứng giá trị biến độc lập x với tổng hiệu, tích, thương giá trị hàm số f g điểm x: f(x) + g(x): x  y  f (x)  g(x) f(x) – g(x): x  y  f (x)  g(x) f(x).g(x): x  y  f (x).g(x) f (x) f (x) :x  y  g(x) g(x) 10 TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Ví dụ: Hàm số y = x + sinx tổng hai hàm số: f(x) = x, g(x) = sinx Hàm số y = x3log3x tích hai hàm số f(x) = x3, g(x) = log3x  Phép hợp hàm phép lập hàm số hàm số Giả sử ta có hai hàm số: y = f(u): biểu diễn phụ thuộc y vào u u = φ(x): biếu diễn phụ thuộc u vào x Giả sử x thay đổi miền X, giá trị hàm số u = φ(x) luôn thuộc miền xác định hàm số y = f(u) Khi đó, giá trị biến số x đặt tương ứng với giá trị biến số y theo quy tắc sau:  f x  u  (x)  y  f[(x)]  g(x) Hàm số y = g(x) = f[φ(x)] đặt tương ứng giá trị biến số x với giá trị biến y theo quy tắc nêu gọi hàm hợp hàm số y = f(u) u = φ(x) Hàm hợp gọi hàm kép Bỏ qua vai trị hình thức ký hiệu biến số ta nói: g(x) = f[φ(x)] hàm hợp hai hàm số f(x) φ(x) Ví dụ: Hàm số y = sin5x hàm hợp hai hàm số y = u5 u = sinx Ta nói: g(x) = sin5x hàm hợp hai hàm số f(x) = x5, φ(x) = sinx 1.6.3 Các hàm số sơ cấp Ta gọi hàm số sơ cấp hàm số cho dạng biểu thức hữu hạn, tức biểu thức hợp thành từ hàm số sơ cấp nói thơng qua số hữu hạn phép tốn sơ cấp hàm số Phạm vi tập hợp hàm sơ cấp rộng Trong kinh tế học người ta thường hay sử dụng dạng hàm số sau:  Hàm số f(x) = axα (a α số)  Hàm số mũ hàm số logarit: f(x) = ax, f(x) = logax (a > a ≠ 1)  Hàm đa thức, hay hàm nguyên: f(x) = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn  Hàm phân thức, hay hàm hữu tỷ: f (x)  P(x) Q(x) Trong P(x) Q(x) đa thức 1.7 Các mơ hình hàm số phân tích kinh tế 1.7.1 Hàm cung hàm cầu Khi phân tích thị trường hàng hóa dịch vụ, nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung (supply function) hàm cầu (demand function) để biểu diễn phụ thuộc TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 11 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số lượng cung lượng cầu loại hàng hóa vào giá hàng hóa Hàm cung hàm cầu có dạng: Hàm cung: Qs = S(p) Hàm cầu: Qd = D(p) Trong đó: p giá hàng hóa; Qs lượng cung (quantity supplied), tức lượng hàng hóa mà người bán lịng bán mức giá; Qd lượng cầu (quantity demanded), tức lượng hàng hóa mà người mua lịng mua mức giá Trong mơ hình phân tích thị trường loại hàng hóa, lượng cung thị trường tổng lượng cầu tất người tiêu dùng Tất nhiên, lượng cung lượng cầu hàng hóa khơng phụ thuộc vào giá hàng hóa mà chịu ảnh hưởng nhiều yếu tố khác, chẳng hạn thu nhập giá hàng hóa liên quan Khi xem xét mơ hình hàm cung hàm cầu dạng nêu người ta giả thiết yếu tố khác không thay đổi Quy luật thị trường kinh tế học nói rằng, hàng hóa thơng thường, hàm cung hàm đơn điệu tăng, hàm cầu hàm đơn điệu giảm Điều có nghĩa là, với yếu tố khác giữ ngun, giá hàng hóa tăng lên người bán muốn bán nhiều người mua mua Các nhà kinh tế gọi đồ thị hàm cung hàm cầu đường cung đường cầu Giao điểm đường cung đường cầu gọi điểm cân thị trường Ở mức giá cân p ta có Q s  Q d  Q , tức người bán bán hết người mua mua đủ, thị trường tượng dư thừa khan hàng hóa Chú ý: Trong tài liệu kinh tế người ta thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng Q trục tung để biểu diễn giá p Cách biểu diễn tương ứng với việc đảo ngược hàm cung hàm cầu dạng nói Trong kinh tế học nhiều người ta gọi hàm ngược hàm Qs = S(p) hàm cung hàm ngược hàm Qd = D(p) hàm cầu: Qs  S  p   p  S1  Qs  Qd  D  p   p  D 1  Qd  Đồ thị hàm cung hàm cầu (đường cung đường cầu) có dạng hình vẽ p p = S–1(Q) p p = D–1(Q) Q Điểm cân điểm (Q, p) , Q lượng cân p giá cân 12 TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1.7.2 Hàm sản xuất ngắn hạn Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mơ tả phụ thuộc sản lượng hàng hóa (tổng số lượng sản phẩm vật) nhà sản xuất vào yếu tố đầu vào sản xuất, gọi yếu tố sản xuất, vốn lao động… Trong kinh tế học khái niệm ngắn hạn dài hạn không xác định khoảng thời gia cụ thể, mà hiểu theo nghĩa sau: Ngắn hạn khoảng thời gian mà yếu tố sản xuất thay đổi Dài hạn khoảng thời gian mà tất yếu tố sản xuất thay đổi Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng vốn (Capital) lao động (Labor), ký hiệu tương ứng K L Trong ngắn hạn K khơng thay đổi, hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = f(L) Trong L lượng lao động sử dụng Q mức sản lượng tương ứng Chú ý xét hàm sản xuất sản lượng Q yếu tố sản xuất K, L đo theo luồng (flow), tức đo định kỳ (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm…) 1.7.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận Tổng doanh thu (total revenue), tổng chi phí (total cost) tổng lợi nhuận (total profit) nhà sản xuất phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Khi phân tích hoạt động sản xuất, với hàm sản xuất nhà kinh tế học sử dụng hàm số:  Hàm doanh thu hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng doanh thu (ký hiệu TR) vào sản lượng (ký hiệu Q): TR = TR(Q) Chẳng hạn, tổng doanh thu nhà sản xuất cạnh tranh hàm bậc nhất: TR = pQ Trong p giá sản phẩm thị trường  Hàm chi phí hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng chi phí sản xuất (ký hiệu TC) vào sản lượng (ký hiệu Q): TC = TC(Q)  1.7.4 Hàm lợi nhuận hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng lợi nhuận (ký hiệu π)vào sản lượng (ký hiệu Q): π = π(Q) Hàm lợi nhuận xác định thơng qua hàm doanh thu hàm chi phí: π = TR(Q) – TC(Q) Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm Lượng tiền mà người tiêu dùng dành để mua sắm hàng hóa dịch vụ phụ thuộc vào thu nhập Các nhà kinh tế sử dụng hàm tiêu dùng để biểu diễn phụ thuộc biến tiêu dùng C (Consumption) vào biến thu nhập Y (Income): C = f(Y) Theo quy luật chung, thu nhập tăng người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, hàm tiêu dùng hàm đồng biến Hàm tiết kiệm hàm số biểu diễn phụ thuộc biến tiết kiệm S (Saving) vào biến thu nhập: S = S(Y) TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 13 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Tóm lược cuối  Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số x ≠ Ø cho trước  Hàm số quy tắc đặt tương ứng x  X với số thực y  Ta thường cho hàm số dạng biểu thức, hàm số cho dạng biểu thức – không nói thêm tập xác định hàm số hiểu tập xác định tự nhiên biểu thức  Một số hàm số thường gặp phân tích kinh tế: 14  Hàm cung: Qs = S(p)  Hàm cầu: Qd = D(p)  Hàm sản xuất ngắn hạn: Q = f(L)  Hàm doanh thu: TR = TR(Q)  Hàm chi phí: TC = TC(Q)  Hàm lợi nhuận:  = TR(Q) – TC(Q)  Hàm tiêu dùng: C = f(Y)  Hàm tiết kiệm: S = S(Y) TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Câu hỏi ôn tập Nêu định nghĩa biến số, hàm số Gọi tên biến số thường gặp kinh tế Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến? Hàm số chẵn, hàm số lẻ? Hàm tuần hoàn? Hãy cho nhận xét hình dáng đồ thị hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng Hàm số y = tan(6x) hàm hợp hàm nào? Hàm số y = tan6(x) hàm hợp hàm nào? Hàm sơ cấp gì? Hãy nêu hàm số phân tích kinh tế? Thế điểm cân thị trường (với thị trường gồm hàng hóa)? TXTOCB01_Bai1_v1.0014105205 15 ... TXTOCB01_Bai1_v1.001410 520 5 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1 .2 Quan hệ hàm số 1 .2. 1 Khái niệm hàm số Khái niệm hàm số sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực để biểu diễn quan hệ chi phối lẫn biến số Định nghĩa khái niệm. .. TXTOCB01_Bai1_v1.001410 520 5 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số Hàm số f(x) gọi hàm bị chặn miền X tồn số M cho: f (x)  M x  X Hằng số M gọi cận hàm số f(x) miền X Hàm số f(x) gọi hàm bị chặn miền X tồn số m cho: ... 12 TXTOCB01_Bai1_v1.001410 520 5 Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số 1.7 .2 Hàm sản xuất ngắn hạn Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả phụ thuộc sản lượng hàng hóa (tổng số